Pentru dreptele $$d_1: 3x - y + 2 = 0$$ și $$d_2: x + 3y - 5 = 0$$, unghiul $$\theta$$ dintre ele este:

$$90^\circ$$, fiindcă $$1 + m_1m_2 = 0$$

$$0^\circ$$, pentru că pantele sunt egale

$$45^\circ$$, pentru că $$\operatorname{tg}\theta = 1$$

$$\operatorname{arctg}\dfrac{10}{3}$$, un unghi nestandard

Tangenta unghiului dintre dreapta $$x = 5$$ și dreapta $$4x - 3y + 2 = 0$$ este:

unghiul nu se poate calcula, pentru că $$x = 5$$ nu are pantă

Ce formulă dă tangenta unghiului a două drepte?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Unghiul a două drepte

Se folosește $tg θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ , unde $m_{1}$ și $m_{2}$ sunt pantele celor două drepte. Modulul alege unghiul ascuțit dintre cele două unghiuri suplementare formate. Pentru $m_{1} = 2$ și $m_{2} = 3$ iese $\frac{1}{7}$ , deci un unghi de aproximativ $8^{\circ}$ . Când numitorul se anulează, dreptele sunt perpendiculare, iar unghiul este drept.

Panta este, prin definiție, tangenta unghiului $α$ pe care dreapta îl face cu semiaxa pozitivă $O x$ , măsurat în sens trigonometric, cu $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ . Dacă fiecare dreaptă își spune înclinarea față de aceeași axă, atunci unghiul dintre ele este diferența înclinărilor — iar tangenta unei diferențe se calculează cu o formulă din clasa a IX-a. De aici se naște toată lecția.

Două drepte concurente formează patru unghiuri, două câte două egale, iar cele alăturate suplementare. Prin convenție, unghiul a două drepte este cel ascuțit (sau drept): $θ \in [0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ . Pentru drepte paralele sau confundate se ia $θ = 0^{\circ}$ . Convenția face din $θ$ o măsură a diferenței de direcție, cu valori de la $0^{\circ}$ la $9 0^{\circ}$ .

Formula este $tg θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$ , valabilă pentru drepte neverticale, cu $1 + m_{1} m_{2} \neq = 0$ . Modulul aduce la aceeași valoare tangentele celor două unghiuri suplementare și face rezultatul independent de ordinea dreptelor. Primul pas al oricărei rezolvări este verificarea numitorului: anularea lui înseamnă $m_{1} m_{2} = - 1$ , adică drepte perpendiculare, deci $θ = 9 0^{\circ}$ fără alt calcul.

Dacă una dintre drepte este verticală, formula nici nu se poate scrie — verticala nu are pantă. Se folosește atunci $tg θ = \frac{1}{∣ m ∣}$ pentru $m \neq = 0$ , iar pentru $m = 0$ unghiul este drept. Când valoarea obținută nu este remarcabilă, răspunsul se scrie cu $arctg$ , nu se rotunjește.

De reținut

$tg θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$
$1 + m_{1} m_{2} = 0 \Rightarrow$ drepte perpendiculare
$m_{1} = m_{2} \Rightarrow θ = 0$ , drepte paralele

Greșeala tipică

Se anunță că formula nu se poate aplica atunci când numitorul iese zero și se abandonează exercițiul. Anularea numitorului este chiar răspunsul: dreptele sunt perpendiculare, deci unghiul are $9 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Tangenta unghiului dintre dreptele $d_{1} : y = \frac{1}{3} x + 2$ și $d_{2} : y = - 2 x + 1$ este:
- a) $\frac{7}{3}$
- b) $7$
- c) $- 7$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$

Numitorul este $1 + \frac{1}{3} \cdot (- 2) = \frac{1}{3} \neq = 0$ , deci formula se aplică: $tg θ = \frac{- 2 - \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = - \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$ . Varianta $\frac{7}{3}$ este doar numărătorul, iar $- 7$ apare dacă se uită modulul — o tangentă negativă ar însemna un unghi obtuz, exclus prin convenție.
Pentru dreptele $d_{1} : 3 x - y + 2 = 0$ și $d_{2} : x + 3 y - 5 = 0$ , unghiul $θ$ dintre ele este:
- a) $0^{\circ}$ , pentru că pantele sunt egale
- b) $4 5^{\circ}$ , pentru că $tg θ = 1$
- c) $arctg \frac{10}{3}$ , un unghi nestandard
- d) $9 0^{\circ}$ , fiindcă $1 + m_{1} m_{2} = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $9 0^{\circ}$ , fiindcă $1 + m_{1} m_{2} = 0$

Pantele sunt $m_{1} = 3$ și $m_{2} = - \frac{1}{3}$ , iar $1 + m_{1} m_{2} = 1 - 1 = 0$ : numitorul se anulează, deci formula nu se aplică. Anularea lui este răspunsul — înseamnă $m_{1} m_{2} = - 1$ , adică drepte perpendiculare. Control pe coeficienți: $3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = 0$ ✓.
Tangenta unghiului dintre dreapta $x = 5$ și dreapta $4 x - 3 y + 2 = 0$ este:
- a) $\frac{4}{3}$
- b) $1$
- c) $\frac{3}{4}$
- d) unghiul nu se poate calcula, pentru că $x = 5$ nu are pantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{3}{4}$

Dreapta $x = 5$ este verticală, deci se folosește $tg θ = \frac{1}{∣ m ∣}$ . Cum a doua dreaptă are panta $\frac{4}{3}$ , rezultă $tg θ = \frac{3}{4}$ . Reține răsturnarea: față de o verticală, o dreaptă abruptă face un unghi mic, exact pe dos față de cum se raportează la axa $O x$ .

Întrebări conexe

Ce unghi fac dreptele cu pantele 1 și minus 1?

Un unghi drept, fiindcă produsul pantelor este $- 1$ . În formulă, numitorul $1 + m_{1} m_{2}$ se anulează, iar tangenta nu există — exact ce se întâmplă la $9 0^{\circ}$ , deci concluzia se citește direct din acel semnal.

Care dintre cele două unghiuri se ia ca răspuns?

Cel ascuțit, prin convenție, iar modulul din formulă îl asigură. Dacă exercițiul cere celălalt unghi, se scade rezultatul din $18 0^{\circ}$ , fiindcă cele două sunt suplementare.

Cum aflu unghiul dacă dreptele sunt date prin ecuații generale?

Scoți întâi pantele, împărțind coeficienții și schimbând semnul, apoi aplici formula. Când coeficientul lui $y$ se anulează la una dintre ecuații, panta nu există: iei unghiul făcut de cealaltă dreaptă cu axa $O x$ și îl scazi din $9 0^{\circ}$ .

Ce tangentă are unghiul dintre dreptele cu pantele 2 și 3?

Diferența pantelor este $1$ , iar numitorul este $1 + 6 = 7$ , deci tangenta unghiului este $\frac{1}{7}$ . Valoarea mică arată că dreptele au direcții apropiate, deși pantele lor par destul de diferite.

Cum aflu unghiul dintre diagonalele unui dreptunghi din coordonate?

Calculezi pantele celor două diagonale din coordonatele vârfurilor și aplici formula. La un pătrat rezultatul iese $9 0^{\circ}$ , iar la un dreptunghi alungit unghiul dintre diagonale se apropie tot mai mult de zero.

Ce legătură are formula cu tangenta diferenței a două unghiuri?

Este chiar ea: dacă dreptele fac cu axa unghiurile $α_{1}$ și $α_{2}$ , atunci unghiul dintre ele este diferența lor, iar tangenta diferenței are exact această formă. Modulul se adaugă pentru a păstra rezultatul ascuțit.

Oamenii mai întreabă și: unghiul dintre două drepte · tangenta unghiului dintre drepte · formula cu m1 și m2 pentru unghi · unghiul format de două drepte cu pante date