Care dintre următoarele perechi $$(\cos t, \sin t)$$ nu verifică formula fundamentală $$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$?

$$\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$$

$$\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$$

$$\left(\dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2}\right)$$

Cât este sinus de 30 de grade?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Tabelul valorilor sin, cos uzuale

Este $\frac{1}{2}$ . Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $3 0^{\circ}$ , latura din fața lui măsoară exact jumătate din ipotenuză, iar pe cercul de rază unu asta dă ordonata $\frac{1}{2}$ . Restul tabelului: $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , iar cosinusurile iau aceleași valori în ordine inversă, deci $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ . Controlul se face cu formula fundamentală.

Unghiurile $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ au valori trigonometrice „frumoase" pentru că provin din două figuri simetrice: pătratul tăiat pe diagonală (triunghi $4 5^{\circ}$ - $4 5^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ ) și triunghiul echilateral tăiat pe înălțime (triunghi $3 0^{\circ}$ - $6 0^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ ).

Pentru $\frac{π}{4}$ : punctul $M (\frac{π}{4})$ e pe bisectoarea $y = x$ ; din $2 x^{2} = 1$ obținem $cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ .

Pentru $\frac{π}{3}$ și $\frac{π}{6}$ , folosind faptul că cateta opusă unghiului de $3 0^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză: $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , iar $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ — valorile s-au interschimbat.

Tabelul complet: pentru $t = 0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ , $sin t$ ia valorile $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ , iar $cos t$ ia aceleași valori, în ordine inversă. Pe axele următoare: $sin π = 0$ , $cos π = - 1$ ; $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ , $cos \frac{3 π}{2} = 0$ ; $sin 2 π = 0$ , $cos 2 π = 1$ .

Regula $\frac{n}{2}$ : scriind $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ obții exact rândul sinusului. Pe cadranul I, sinusul crește de la $0$ la $1$ , iar cosinusul scade de la $1$ la $0$ — de aici se compară valori fără calculator. Orice pereche $(cos t, sin t)$ trebuie să verifice $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ ; e cel mai rapid test contra confuziei dintre $\frac{2}{2}$ și $\frac{3}{2}$ .

De reținut

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
cosinusul ia aceleași valori, în ordine inversă
pe primul cadran sinusul crește, iar cosinusul scade

Greșeala tipică

Se amestecă rândurile și se scrie $sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; controlează perechea cu formula fundamentală, fiindcă suma pătratelor trebuie să dea exact unu.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $sin \frac{π}{6}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{2}{2}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

În triunghiul dreptunghic $O P M$ pentru $t = \frac{π}{6}$ ( $3 0^{\circ}$ ), cateta $P M$ (ordonata, adică sinusul) este opusă unghiului de $3 0^{\circ}$ din $O$ , deci este jumătate din ipotenuza $O M = 1$ : $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Varianta c) este de fapt $cos \frac{π}{6}$ — cea mai frecventă confuzie a acestui tabel.
Cât este $cos \frac{π}{4}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{2}{2}$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2}{2}$

Punctul $M (\frac{π}{4})$ se află pe bisectoarea $y = x$ , deci abscisa (cosinusul) și ordonata (sinusul) sunt egale. Din $x^{2} + x^{2} = 1$ rezultă $x = \frac{2}{2}$ , deci $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ . Este singura valoare din tabel unde $sin$ și $cos$ coincid.
Care dintre următoarele perechi $(cos t, sin t)$ nu verifică formula fundamentală $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ ?
- a) $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$
- b) $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$
- c) $(\frac{2}{2}, \frac{3}{2})$
- d) $(0, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(\frac{2}{2}, \frac{3}{2})$

Pentru c): $(\frac{2}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \neq = 1$ — este exact greșeala tipică de a amesteca rândurile $\frac{2}{2}$ și $\frac{3}{2}$ . Celelalte verifică: a) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ ; b) $\frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$ ; d) $0 + 1 = 1$ .

Întrebări conexe

Cât este cosinus de 60 de grade?

Este $\frac{1}{2}$ , aceeași valoare ca sinusul de $3 0^{\circ}$ , fiindcă cele două unghiuri se completează până la un unghi drept. Pe cercul trigonometric, punctul asociat lui $6 0^{\circ}$ are abscisa $\frac{1}{2}$ și ordonata $\frac{3}{2}$ . Perechea verifică formula fundamentală.

Cât este tangenta de 45 de grade?

Este $1$ , fiindcă sinusul și cosinusul acelui unghi sunt egale, amândouă $\frac{2}{2}$ , iar raportul lor dă unu. Geometric, punctul asociat se află pe prima bisectoare, unde abscisa și ordonata coincid. Este singura poziție din tabel cu această proprietate.

De unde vin valorile radical din 2 supra 2 și radical din 3 supra 2?

Din două figuri simple: pătratul tăiat pe diagonală dă triunghiul cu unghiuri de $4 5^{\circ}$ , iar triunghiul echilateral tăiat pe înălțime dă unghiurile de $3 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ . Aplicând teorema lui Pitagora în ele, apar exact acele rapoarte.

Cât este sinus de 90 de grade și cât este cosinus de 90 de grade?

Sinusul este $1$ , iar cosinusul este $0$ . Punctul asociat se află chiar în vârful cercului, deci ordonata lui este cea mai mare posibilă, iar abscisa se anulează. Aceasta explică și de ce tangenta acelui unghi nu există: numitorul ar fi zero.

Cum ordonez crescător sinus de 30, sinus de 45 și sinus de 60?

Pe primul cadran sinusul crește odată cu unghiul, deci ordinea este chiar cea a unghiurilor: $\frac{1}{2}$ , apoi $\frac{2}{2}$ , apoi $\frac{3}{2}$ . La cosinus ordinea se întoarce, fiindcă acolo valorile scad pe același cadran.

Cât este tangenta de 30 și de 60 de grade?

Prima este $\frac{3}{3}$ , a doua este $3$ . Se obțin împărțind sinusul la cosinus pentru fiecare unghi. Cele două rezultate sunt inverse unul altuia, fiindcă unghiurile se completează până la un unghi drept, iar produsul lor este egal cu unu.

Oamenii mai întreabă și: cât este sin 30 · valorile sin și cos pentru 30 45 60 · tabelul valorilor trigonometrice · sinus de 30 de grade cât face