Valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază

Există un tabel de doar cinci coloane pe care îl vei folosi la fiecare oră de matematică din liceu, la fizică, la teze și la Bacalaureat. Cinci numere pentru sinus, aceleași cinci pentru cosinus, în ordine inversă. Cine îl știe rezolvă exercițiile din trigonometrie în câteva rânduri; cine îl caută de fiecare dată pierde jumătate din timpul de lucru și, mai grav, își pierde firul raționamentului.

Vestea bună e că tabelul acesta nu se învață pe de rost, ci se deduce. Toate valorile lui ies din două figuri geometrice pe care le știi din gimnaziu: pătratul (mai precis, jumătatea lui, triunghiul dreptunghic isoscel) și triunghiul echilateral (mai precis, jumătatea lui). Le așezăm pe cercul trigonometric, citim coordonatele punctelor și gata — avem valorile. În lecția aceasta le deducem una câte una, le organizăm într-un tabel și învățăm două trucuri care fac memorarea aproape inutilă.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci geometric valorile $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, folosind bisectoarea cadranului I.
• Vei ști să deduci valorile pentru $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{6}$ din triunghiul echilateral și din teorema catetei opuse unghiului de $30^{\circ }$.
• Vei ști pe de rost tabelul complet pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$.
• Vei ști regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$, care îți permite să reconstruiești tabelul în zece secunde.
• Vei ști să compari valori trigonometrice fără calculator, folosind monotonia din cadranul I.
• Vei ști să calculezi expresii numerice cu aceste valori și să le verifici cu formula fundamentală.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin tocmai aceste unghiuri

Nu orice unghi are un sinus care se scrie frumos, cu radicali. Numărul $\sin 1$ există, dar nu poate fi exprimat prin fracții și radicali simpli — îl afli doar cu calculatorul. În schimb, unghiurile de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ ($\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$) sunt speciale, pentru că ele apar în două figuri perfect simetrice:

• pătratul, tăiat pe diagonală, dă un triunghi dreptunghic cu unghiurile $45^{\circ }$, $45^{\circ }$, $90^{\circ }$;
• triunghiul echilateral, tăiat pe înălțime, dă un triunghi dreptunghic cu unghiurile $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$.

Aceste două triunghiuri au laturile în rapoarte pe care le poți calcula exact cu teorema lui Pitagora. De aceea, și numai de aceea, valorile trigonometrice ale unghiurilor lor ies numere „frumoase". Le vom așeza pe rând în cercul trigonometric, unde ipotenuza este raza $1$, iar catetele devin direct cosinusul și sinusul.

Merită spus de la început de ce insistăm pe deducere și nu pe memorare. Un tabel învățat mecanic se șterge într-o vacanță; unul pe care știi să-l reconstruiești din două triunghiuri rămâne pentru totdeauna. În plus, chiar procedeul de deducere — „pun punctul pe cerc, cobor perpendiculara, folosesc Pitagora" — este exact metoda cu care vei rezolva, mai târziu, exerciții în care apar unghiuri necunoscute. Tabelul e doar rezultatul; metoda e ce rămâne.

Istoric, primele tabele trigonometrice au fost alcătuite acum peste două mii de ani de astronomii greci Hipparh și Ptolemeu, care aveau nevoie de ele ca să calculeze poziții pe bolta cerească. Ei nu foloseau sinusul, ci lungimea coardei corespunzătoare unui arc, dar ideea era aceeași: câteva valori exacte, obținute din figuri simetrice, și o mulțime de valori aproximative între ele. Cele cinci valori pe care le deducem noi sunt, practic, aceleași pe care le foloseau ei.

2. Valorile pentru $\frac{\pi }{4}$ — bisectoarea cadranului I

Numărul $\frac{\pi }{4}$ înseamnă $45^{\circ }$, adică exact jumătatea cadranului I. Punctul $M\left(\frac{\pi }{4}\right)$ se află deci pe bisectoarea cadranului I, dreapta de ecuație $y=x$. Notăm coordonatele lui cu $(x,y)$; din faptul că e pe bisectoare avem $x=y$, iar din faptul că e pe cerc avem $x^2+y^2=1$. Rezolvăm sistemul:

$$x^2+x^2=1⟹2x^2=1⟹x^2=\frac{1}{2}⟹x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

unde am ales soluția pozitivă, fiindcă punctul e în cadranul I, și am raționalizat numitorul. Prin urmare:

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707.$$

Sunt egale — și e firesc: punctul stă pe bisectoare, deci se află la aceeași distanță de ambele axe. Aceasta e singura valoare din tabel unde sinusul și cosinusul coincid.

Verificare cu formula fundamentală: ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓.

3. Valorile pentru $\frac{\pi }{3}$ — triunghiul echilateral

Fie $M=M\left(\frac{\pi }{3}\right)$, deci unghiul la centru $\angle AOM$ are $60^{\circ }$, unde $A(1,0)$. Fie $P$ proiecția lui $M$ pe axa $Ox$.

Triunghiul $OPM$ este dreptunghic în $P$; unghiul din $O$ are $60^{\circ }$, deci unghiul din $M$ are $30^{\circ }$. Aplicăm teorema pe care o știi din gimnaziu — cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză — pentru cateta $OP$, opusă unghiului din $M$:

$$OP=\frac{OM}{2}=\frac{1}{2}.$$

Cealaltă catetă iese din teorema lui Pitagora:

$$PM=\sqrt{O{M}^2-O{P}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Cum $M$ este în cadranul I, coordonatele lui sunt chiar aceste lungimi:

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866.$$

(Aceeași concluzie se obține și direct: triunghiul $OAM$ este isoscel, cu $OA=OM=1$ și cu unghiul dintre ele de $60^{\circ }$, deci este echilateral; înălțimea din $M$ cade în mijlocul lui $OA$, adică $OP=\frac{1}{2}$, iar înălțimea triunghiului echilateral de latură $1$ este $\frac{\sqrt{3}}{2}$.)

4. Valorile pentru $\frac{\pi }{6}$ — același triunghi, altfel așezat

Fie acum $M=M\left(\frac{\pi }{6}\right)$, adică unghiul la centru are $30^{\circ }$, și $P$ proiecția lui pe $Ox$. În triunghiul dreptunghic $OPM$, unghiul din $O$ are $30^{\circ }$, deci cateta opusă lui, $PM$, este jumătate din ipotenuză:

$$PM=\frac{1}{2},OP=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Prin urmare:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$$

Compară cu secțiunea precedentă: valorile s-au interschimbat. Nu e o coincidență. Punctele $M\left(\frac{\pi }{6}\right)$ și $M\left(\frac{\pi }{3}\right)$ sunt simetrice față de bisectoarea $y=x$, iar simetria față de această dreaptă schimbă între ele abscisa și ordonata. De aici egalitățile:

$$\sin \frac{\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ele sunt primul exemplu al unei reguli generale, pe care o vom demonstra în lecția despre formulele cu $\frac{\pi }{2}$: unghiurile complementare își schimbă între ele sinusul și cosinusul.

5. Tabelul complet

Adăugăm valorile de pe axe, deduse în lecția precedentă direct din coordonatele punctelor $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, și obținem tabelul complet:

Acesta este tabelul. Restul lecției e despre cum să nu-l uiți niciodată.

6. Regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$ și alte trucuri

Trucul principal. Scrie pe primul rând numerele $0,1,2,3,4$. Pune fiecare sub radical și împarte la $2$:

$$\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}=0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1.$$

Acesta e exact rândul sinusului pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$. Rândul cosinusului e același, citit de la dreapta la stânga. Cu aceste două propoziții reconstruiești tabelul oriunde, chiar și pe ciornă, în zece secunde.

Trucul de control. Sinusul „urcă" de la $0$ la $1$, cosinusul „coboară" de la $1$ la $0$. Se vede pe cerc: pe măsură ce punctul se ridică prin cadranul I, ordonata (sinusul) crește, iar abscisa (cosinusul) scade. Dacă ai scris în tabel un sinus care scade, ai greșit rândul.

Trucul de verificare. Orice pereche din tabel trebuie să verifice formula fundamentală. Pentru $\frac{\pi }{3}$: ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ ✓. E o verificare de trei secunde care prinde orice confuzie între $\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ordinea de mărime, ca ultimă plasă de siguranță:

$$\frac{1}{2}=0,5<\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707<\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866<1.$$

Aceste trei zecimale merită știute: îți spun imediat dacă un rezultat e plauzibil.

Trucul mâinii. Există și o variantă „de buzunar" a regulii $\frac{\sqrt{n}}{2}$, folosită de generații de elevi. Ține palma stângă deschisă, cu degetele răsfirate, și numerotează degetele de la degetul mic spre degetul mare cu valorile $0^{\circ }$, $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$. Pentru sinusul unghiului de pe un deget, îndoaie degetul respectiv și numără câte degete rămân sub el: dacă sunt $n$, atunci sinusul este $\frac{\sqrt{n}}{2}$. Pentru cosinus numeri degetele de deasupra. La $60^{\circ }$, de pildă, sub degetul îndoit rămân trei degete, deci $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar deasupra rămâne unul, deci $\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$ ✓. E același lucru cu regula radicalilor, doar că nu ai nevoie de creion.

7. Compararea valorilor fără calculator

Pe cadranul I, cercul îți dă gratis monotonia: cu cât $t$ crește de la $0$ la $\frac{\pi }{2}$, cu atât punctul urcă, deci sinusul crește și cosinusul scade. Prin urmare, pentru $0\le t_1<t_2\le \frac{\pi }{2}$:

$$\sin t_1<\sin t_2\text{și}\cos t_1>\cos t_2.$$

Exemplu de raționament: ce e mai mare, $\sin \frac{\pi }{5}$ sau $\sin \frac{\pi }{4}$? Cum $\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{4}$ (numitor mai mare, fracție mai mică) și ambele sunt în $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, rezultă $\sin \frac{\pi }{5}<\sin \frac{\pi }{4}$ — fără să știm valoarea exactă a primului.

Al doilea exemplu, cu cosinusul: care e mai mare, $\cos \frac{\pi }{7}$ sau $\cos \frac{\pi }{5}$? Comparăm întâi argumentele: $\frac{\pi }{7}<\frac{\pi }{5}$. Cosinusul fiind descrescător pe cadranul I, ordinea se inversează: $\cos \frac{\pi }{7}>\cos \frac{\pi }{5}$. Este exact tipul de raționament pentru care ai nevoie de cerc, nu de calculator: cu cât punctul urcă, cu atât umbra lui pe orizontală se scurtează.

Atenție însă: monotonia de mai sus este valabilă doar pe cadranul I. Dincolo de $\frac{\pi }{2}$, sinusul începe să scadă, iar cosinusul devine negativ, așa că regula nu se mai poate aplica direct — comparațiile de acolo se fac după ce învățăm semnele pe cadrane și reducerea la primul cadran.

8. Cum se folosește tabelul în calcule

Aproape orice exercițiu de trigonometrie de clasa a IX-a începe cu înlocuirea valorilor din tabel și continuă cu calcul algebric obișnuit: fracții, radicali, raționalizări. De exemplu:

$$\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1;\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Reține două deprinderi: radicalii se simplifică la final, nu pe parcurs, și rezultatul se compară cu bunul-simț — o sumă de două sinusuri nu poate depăși $2$, un produs de două valori subunitare nu poate depăși $1$.

Un exemplu ceva mai lung, cu fracții suprapuse, ca să vezi mecanismul complet:

$$\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{6}}+\frac{\cos \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{6}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1+1=2.$$

Împărțirea a două fracții se face înmulțind cu inversul celei de-a doua, dar aici numărătorul și numitorul sunt identici, deci fiecare raport este $1$. Exercițiile de acest tip par complicate până înlocuiești valorile — după aceea sunt aritmetică de clasa a VI-a. De aceea primul pas, la orice expresie trigonometrică cu unghiuri de bază, este întotdeauna același: scrie tabelul pe margine și înlocuiește.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Deducerea valorilor pentru $\frac{\pi }{4}$

Determinați coordonatele punctului $M\left(\frac{\pi }{4}\right)$ folosind ecuația cercului.

Rezolvare. Punctul se află pe bisectoarea cadranului I, deci abscisa și ordonata lui sunt egale: $x=y>0$. Cum e și pe cerc:

$$x^2+y^2=1\Rightarrow 2x^2=1\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Așadar $M\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, adică $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. $■$

Exemplul 2 — Deducerea valorilor pentru $\frac{\pi }{6}$

Arătați, folosind triunghiul dreptunghic din cerc, că $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rezolvare. Fie $M=M\left(\frac{\pi }{6}\right)$ și $P$ proiecția lui pe $Ox$. În triunghiul dreptunghic $OPM$ avem $OM=1$ (raza) și unghiul din $O$ de $30^{\circ }$. Cateta $PM$ este opusă unghiului de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză: $PM=\frac{1}{2}$. Din teorema lui Pitagora:

$$OP=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Cum $M$ e în cadranul I, $\sin \frac{\pi }{6}=PM=\frac{1}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{6}=OP=\frac{\sqrt{3}}{2}$. $■$

Exemplul 3 — Un calcul cu tabelul

Calculați $E=4\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}$.

Rezolvare. Din tabel, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$E=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot \frac{3}{4}=3.$$

Am folosit $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$. Control de plauzibilitate: fiecare factor e sub $1$, deci produsul lor e sub $1$, iar înmulțit cu $4$ dă un număr sub $4$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Verificarea cu formula fundamentală

Verificați că valorile din tabel pentru $t=\frac{\pi }{3}$ satisfac relația ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.

Rezolvare.

$${\sin }^2\frac{\pi }{3}+{\cos }^2\frac{\pi }{3}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1✓$$

Verificarea funcționează pentru orice coloană a tabelului. Dacă la un exercițiu obții o pereche care nu o satisface, sigur ai încurcat valorile între ele. $■$

Exemplul 5 — Comparare fără calculator

Comparați $\sin \frac{\pi }{6}$ cu $\cos \frac{\pi }{6}$, apoi $\sin \frac{\pi }{3}$ cu $\sin \frac{\pi }{4}$.

Rezolvare. Prima comparație, direct din tabel: $\frac{1}{2}=0,5$ și $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$, deci $\sin \frac{\pi }{6}<\cos \frac{\pi }{6}$.

A doua, fără nicio valoare: ambele numere $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$ sunt în intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, unde sinusul este crescător, iar $\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{3}$; prin urmare $\sin \frac{\pi }{4}<\sin \frac{\pi }{3}$. (Confirmare numerică: $0,707<0,866$ ✓.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Calculați $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{2}$. b) Arătați că $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}$. c) Arătați că ${\sin }^2\frac{\pi }{6}+{\sin }^2\frac{\pi }{3}=1$.

Rezolvare. a) Din tabel:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2.$$

b) Ambele valori sunt $\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci egalitatea are loc. Explicația geometrică: punctele $M\left(\frac{\pi }{6}\right)$ și $M\left(\frac{\pi }{3}\right)$ sunt simetrice față de bisectoarea $y=x$, iar simetria interschimbă abscisa cu ordonata; unghiurile fiind complementare ($30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$), sinusul unuia este cosinusul celuilalt.

c)

$${\sin }^2\frac{\pi }{6}+{\sin }^2\frac{\pi }{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$$

Observă de ce funcționează: din punctul b), $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}$, deci suma este de fapt ${\sin }^2\frac{\pi }{6}+{\cos }^2\frac{\pi }{6}$ — formula fundamentală deghizată. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie tabelul pe marginea foii înainte de a începe și verifică fiecare pereche de valori cu formula fundamentală.

1. Completează din memorie tabelul valorilor $\sin t$ și $\cos t$ pentru $t\in \left\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right\}$, apoi verifică-l cu regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$.

2. Calculează $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}$.

3. Calculează $\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}$.

4. Calculează $4\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}$.

5. Verifică formula fundamentală ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ pentru $t=\frac{\pi }{6}$ și pentru $t=\frac{\pi }{4}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}$."

7. Ordonează crescător numerele $\sin \frac{\pi }{6}$, $\sin \frac{\pi }{4}$, $\sin \frac{\pi }{3}$.

8. Ordonează descrescător numerele $\cos \frac{\pi }{6}$, $\cos \frac{\pi }{4}$, $\cos \frac{\pi }{3}$.

9. Calculează ${\sin }^2\frac{\pi }{3}-{\cos }^2\frac{\pi }{3}$.

10. Calculează ${\left(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\right)}^2$.

11. (Problemă aplicată.) O scară de $4$ m este sprijinită de un perete și face cu solul un unghi de $\frac{\pi }{3}$. La ce înălțime ajunge capătul de sus al scării? La ce distanță de perete se află baza ei?

12. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are $10$ cm, iar unul dintre unghiurile ascuțite are $\frac{\pi }{6}$. Calculează lungimile catetelor.

13. Scrie coordonatele punctelor $M\left(\frac{\pi }{6}\right)$, $M\left(\frac{\pi }{4}\right)$ și $M\left(\frac{\pi }{3}\right)$ de pe cercul trigonometric.

14. Calculează $\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos 0+\sin 0\cdot \cos \frac{\pi }{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) a) Calculați $2\sin \frac{\pi }{6}+2\cos \frac{\pi }{3}$. b) Arătați că $\cos \frac{\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{6}$. c) Arătați că ${\cos }^2\frac{\pi }{4}+{\sin }^2\frac{\pi }{4}=1$ și explicați de ce rezultatul era de așteptat.

16. Determină numărul $t$ din intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ pentru care $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Dar cel pentru care $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$?

17. Arată, folosind tabelul, că $\sin \frac{\pi }{6}\cdot \cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{6}\cdot \sin \frac{\pi }{3}=1$. Ce număr crezi că se ascunde în spatele acestui rezultat, dacă observi că $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$?

18. (Provocare.) Fie $A(1,0)$ și $M(t)$ un punct din cadranul I al cercului trigonometric. Arată că aria triunghiului $OAM$ este $\frac{\sin t}{2}$. Calculează apoi ariile pentru $t=\frac{\pi }{6}$, $t=\frac{\pi }{4}$, $t=\frac{\pi }{3}$ și ordonează-le crescător.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin$: $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$; $\cos$: $1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$, $0$. Regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$ cu $n=0,1,2,3,4$ dă exact rândul sinusului, iar rândul cosinusului este același citit invers.

2. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

3. $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

4. $4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot \frac{3}{4}=3$.

5. Pentru $\frac{\pi }{6}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓. Pentru $\frac{\pi }{4}$: $\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓.

6. Fals. $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$, iar $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}=0,5$; ele sunt diferite. Egalitatea sinusului cu cosinusul are loc, în cadranul I, doar pentru $t=\frac{\pi }{4}$, adică pe bisectoare.

7. $\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}$, adică $\sin \frac{\pi }{6}<\sin \frac{\pi }{4}<\sin \frac{\pi }{3}$ — în acord cu faptul că sinusul este crescător pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

8. $\cos \frac{\pi }{6}>\cos \frac{\pi }{4}>\cos \frac{\pi }{3}$, adică $\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{2}$ — cosinusul este descrescător pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

9. ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

10. ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.

11. Înălțimea este $4\sin \frac{\pi }{3}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx 3,46$ m, iar distanța de la bază la perete este $4\cos \frac{\pi }{3}=4\cdot \frac{1}{2}=2$ m. Verificare cu Pitagora: $(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=12+4=16=4^2$ ✓.

12. Cateta opusă unghiului de $\frac{\pi }{6}$: $10\sin \frac{\pi }{6}=5$ cm. Cateta alăturată: $10\cos \frac{\pi }{6}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ cm. Verificare: $25+75=100$ ✓.

13. $M\left(\frac{\pi }{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$; $M\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $M\left(\frac{\pi }{3}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. (Abscisa e cosinusul, ordonata e sinusul.)

14. $1\cdot 1+0\cdot 0=1$.

15. a) $2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=2$. b) Ambele valori sunt $\frac{1}{2}$; unghiurile $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{6}$ sunt complementare, iar punctele lor pe cerc sunt simetrice față de bisectoarea $y=x$. c) $\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$; rezultatul era de așteptat pentru că formula fundamentală ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ este valabilă pentru orice număr real $t$, fiind chiar ecuația cercului trigonometric.

16. $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ dă $t=\frac{\pi }{3}$; $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ dă $t=\frac{\pi }{4}$. (Pe acest interval, fiecare valoare se atinge o singură dată, fiindcă sinusul e strict crescător, iar cosinusul strict descrescător.)

17. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. Rezultatul este $\sin \frac{\pi }{2}=1$: expresia are forma $\sin a\cos b+\cos a\sin b$, care — vom demonstra asta la formulele pentru suma și diferența a două numere — este chiar $\sin (a+b)$, aici $\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{2}$.

18. Luăm ca bază latura $OA$, de lungime $1$, situată pe axa $Ox$. Înălțimea din $M$ pe această bază este distanța de la $M$ la axa $Ox$, adică ordonata lui, egală cu $\sin t$ (pozitivă, fiindcă $M$ e în cadranul I). Atunci

$${\mathcal{A}}_{OAM}=\frac{OA\cdot \sin t}{2}=\frac{\sin t}{2}.$$

Ariile cerute sunt $\frac{1}{4}=0,25$, $\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,354$ și $\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 0,433$, deci în ordine crescătoare: aria pentru $\frac{\pi }{6}$, apoi cea pentru $\frac{\pi }{4}$, apoi cea pentru $\frac{\pi }{3}$ — exact ordinea sinusurilor.

De reținut

• Tabelul de bază: $\sin t$ ia, pentru $t=0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$, valorile $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$; $\cos t$ ia aceleași valori, în ordine inversă.
• Regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$: scrie $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ și ai rândul sinusului, gata reconstruit.
• Deducerea geometrică: $\frac{\pi }{4}$ vine din bisectoare ($x=y$ și $x^2+y^2=1$), iar $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$ din triunghiul cu unghiuri de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$, unde cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ e jumătate din ipotenuză.
• Pe axe: $\sin 0=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \pi =0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$; $\cos 0=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \pi =-1$, $\cos \frac{3\pi }{2}=0$.
• Monotonie în cadranul I: sinusul crește de la $0$ la $1$, cosinusul scade de la $1$ la $0$ — de aici se compară valori fără calculator.

Greșeli frecvente

• Se confundă rândurile. Cea mai frecventă eroare din trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, nu $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Reperul sigur: la unghi mic, sinusul e mic (punctul e jos pe cerc), iar cosinusul e mare.
• Se scrie $\frac{\sqrt{2}}{2}$ în loc de $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Verifică imediat cu formula fundamentală: perechea $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ dă $\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\ne 1$, deci e greșită.
• Se uită raționalizarea. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sunt același număr, dar forma standard în care se dau răspunsurile este a doua.
• Se amestecă gradele cu radianii. $\sin 30$ (radiani!) nu este $\frac{1}{2}$; valoarea $\frac{1}{2}$ îi corespunde lui $\sin 30^{\circ }=\sin \frac{\pi }{6}$. Simbolul de grad nu e opțional.
• Se crede că $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$. Fals: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, dar $\sin \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1,37$. Funcțiile trigonometrice nu se „distribuie" peste sumă.

Aplică acasă

1. Cartonașele de memorie. Scrie pe cinci cartonașe valorile $t=0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$, iar pe spatele fiecăruia perechea $(\cos t,\sin t)$. Amestecă-le și exersează zilnic, câte două minute, timp de o săptămână, până răspunzi fără ezitare. Testează-te apoi în ordine inversă: dat fiind $\frac{\sqrt{3}}{2}$, care sunt cele două numere din tabel care îl au ca sinus, respectiv cosinus?

2. Măsurarea unei rampe. Găsește în cartier o rampă de acces sau o pantă (de exemplu, la intrarea unui magazin). Măsoară lungimea ei înclinată și înălțimea la care urcă, apoi calculează raportul înălțime/lungime — acesta este sinusul unghiului de înclinare. Compară-l cu valorile din tabel: e mai aproape de $\sin \frac{\pi }{6}$, de $\sin \frac{\pi }{4}$ sau e mult mai mic? (Normele de accesibilitate cer, de obicei, un raport sub $0,08$.)

3. Verifică tabelul cu telefonul. Deschide aplicația de calculator științific, pune-o pe modul RAD și calculează $\sin (\pi /6)$, $\cos (\pi /4)$, $\sin (\pi /3)$. Notează zecimalele afișate și compară-le cu $0,5$, $0,707$ și $0,866$. Apoi calculează $\sqrt{3}/2$ și verifică dacă obții aceeași zecimală — vei vedea cu ochii tăi că valorile exacte cu radicali și cele zecimale sunt același număr.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează cel mai folosit tabel din toată matematica de liceu. Programa cere explicit valorile funcțiilor trigonometrice pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$, precum și deducerea lor cu ajutorul teoremei lui Pitagora în cercul trigonometric — nu memorarea oarbă. De aceea lecția insistă pe cele două construcții geometrice (bisectoarea cadranului I și triunghiul cu unghiuri de $30^{\circ }$–$60^{\circ }$) înainte de a prezenta tabelul.

Întrebări bune de control: „Cât este $\sin \frac{\pi }{6}$ și de ce nu $\frac{\sqrt{3}}{2}$?" (unghi mic, sinus mic — punctul e aproape de axa $Ox$); „De ce sunt egale sinusul și cosinusul pentru $\frac{\pi }{4}$?" (punctul e pe bisectoare, la distanță egală de axe); „Cum verifici rapid o pereche de valori?" (cu formula fundamentală); „Cum reconstruiești tabelul dacă l-ai uitat?" (regula $\frac{\sqrt{n}}{2}$). Semne că a înțeles: recită tabelul fluent, dar poate și să-l rededucă din desen atunci când e provocat.

La teze și la Bacalaureat, aceste valori apar în aproape fiecare exercițiu de trigonometrie și de geometrie: calculul unei arii cu $\frac{1}{2}ab\sin C$, aplicarea teoremei cosinusului, rezolvarea unei ecuații elementare, evaluarea unei expresii. Ezitarea la tabel costă minute prețioase și duce, cel mai des, la greșeli de semn sau de rând. Recomandarea practică: exercițiul zilnic de două minute cu cartonașele, timp de o săptămână, rezolvă problema pentru tot liceul.

Întrebări frecvente

Cât este $\sin \frac{\pi }{6}$? Este $\frac{1}{2}$, adică $0,5$. Corespunde unghiului de $30^{\circ }$, iar valoarea se deduce din faptul că, într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.

Cât este $\cos \frac{\pi }{4}$? Este $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$, la fel ca $\sin \frac{\pi }{4}$. Punctul asociat lui $\frac{\pi }{4}$ se află pe bisectoarea cadranului I, deci are abscisa egală cu ordonata.

Cum țin minte tabelul valorilor trigonometrice? Scrie $\frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$ — acestea sunt valorile sinusului pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$. Rândul cosinusului este același, citit de la dreapta la stânga.

De ce $\sin \frac{\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{6}$? Pentru că unghiurile de $60^{\circ }$ și $30^{\circ }$ sunt complementare, iar punctele lor de pe cerc sunt simetrice față de bisectoarea $y=x$; simetria interschimbă abscisa cu ordonata, deci sinusul unuia devine cosinusul celuilalt.

Cum verific rapid dacă am scris corect valorile? Ridici la pătrat sinusul și cosinusul aceluiași număr și le aduni: trebuie să obții $1$. De exemplu, $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$ pentru $\frac{\pi }{3}$.

De ce nu au toate unghiurile valori „frumoase"? Pentru că doar unghiurile care apar în figuri perfect simetrice — pătratul și triunghiul echilateral — dau rapoarte de laturi exprimabile prin radicali simpli. Pentru un unghi oarecare, de exemplu $\sin 1$, valoarea există, dar se obține doar aproximativ, cu calculatorul.

Care este cel mai mare număr din tabel? Valoarea $1$, atinsă de sinus pentru $\frac{\pi }{2}$ și de cosinus pentru $0$. Nicio valoare din tabel nu poate depăși $1$, pentru că sinusul și cosinusul sunt coordonate ale unor puncte de pe cercul de rază $1$.

Trebuie să știu tabelul și în grade? Da, în ambele forme: $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$, $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$, $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$, $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$. La geometrie enunțurile folosesc de obicei grade, iar la analiză și la fizică, radiani.