Formula $$\mathcal{V} = \pi\displaystyle\int_a^b\left(f^{2} - g^{2}\right)dx$$ se aplică:

numai dacă $$f \ge g \ge 0$$ pe $$[a,b]$$

numai dacă $$g$$ este constantă

numai dacă $$f$$ și $$g$$ nu se intersectează

Cum aflu volumul dintre două grafice rotite?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volume de rotație în probleme

Se scad pătratele, nu funcțiile: pentru două funcții pozitive, dintre care una stă deasupra celeilalte, volumul este $π \int_{a}^{b} (f^{2} (x) - g^{2} (x)) d x$ . Integrandul este aria coroanei dintre cele două discuri de secțiune. Pentru funcțiile constante $2$ și $1$ pe un interval de lungime $1$ iese $3 π$ , nu $π$ , ceea ce arată că scăderea funcțiilor ar da alt rezultat.

Când se rotește regiunea dintre graficele a două funcții continue cu $f \geq g \geq 0$ , volumul este $V = π \int_{a}^{b} (f^{2} (x) - g^{2} (x)) d x$ , formulă dedusă ca diferență a două volume de rotație. Integrandul este aria coroanei circulare de raze $f (x)$ și $g (x)$ , deci scăderea se face între pătrate, niciodată între funcții: pentru $f = 2$ , $g = 1$ pe $[0, 1]$ ies $3 π$ față de $π$ . Condiția $g \geq 0$ nu este decorativă — fără ea $C_{g}$ nu mai este corpul de rotație al unui subgrafic, iar „gaura adevărată” cere $g > 0$ pe tot intervalul. Din formulă se deduc corpurile care apar în probleme: elipsoidul de rotație obținut din $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ prin rotație în jurul axei $O x$ are volumul $\frac{4 π a b ^{2}}{3}$ , unde $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime, care apare la pătrat pentru că din ea se face discul; pentru $a = b$ se regăsește sfera. Paraboloidul obținut din $y^{2} = 2 p x$ pe $[0, h]$ are volumul $π p h^{2}$ , adică jumătate din cilindrul circumscris; aici $p$ se citește din $2 p$ , nu direct din ecuație. La problemele cu poveste modelarea are trei etape: așezarea obiectului cu axa pe $O x$ , determinarea funcției-profil din valorile de la capete și verificarea modelului înainte de integrare.

De reținut

$V = π \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}) d x$
elipsoid de rotație: $\frac{4 π a b ^{2}}{3}$
paraboloid: jumătate din cilindrul circumscris

Greșeala tipică

Se scade întâi și se ridică la pătrat după. Diferența pătratelor nu este pătratul diferenței, iar rezultatul iese mai mic; secțiunea corpului este o coroană, nu un disc cu raza egală cu diferența razelor.

Exerciții din această mini-lecție

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a regiunii cuprinse între graficele funcțiilor $f (x) = 5$ și $g (x) = 3$ , pe intervalul $[0, 2]$ , este:
- a) $8 π$
- b) $32 π$
- c) $4 π$
- d) $50 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $32 π$

Corpul este o țeavă: $V = π \int_{0}^{2} (25 - 9) d x = 32 π$ . Varianta $8 π$ vine din $π \int_{0}^{2} (f - g)^{2}$ , adică din scăderea funcțiilor înainte de ridicarea la pătrat — greșeala numărul unu a lecției. Control: diferența cilindrilor, $π \cdot 25 \cdot 2 - π \cdot 9 \cdot 2 = 32 π$ .
Formula $V = π \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}) d x$ se aplică:
- a) numai dacă $f \geq g \geq 0$ pe $[a, b]$
- b) pentru orice $f \geq g$
- c) numai dacă $g$ este constantă
- d) numai dacă $f$ și $g$ nu se intersectează
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) numai dacă $f \geq g \geq 0$ pe $[a, b]$

Se cer ambele condiții: $f \geq g$ , ca diferența pătratelor să fie pozitivă, și $g \geq 0$ , ca $C_{g}$ să fie el însuși corpul de rotație al unui subgrafic. Dacă $g$ ia valori negative, expresia $π (f^{2} - g^{2})$ nu mai este aria unei coroane, iar rezultatul nu mai are sens geometric. Intersecțiile și forma lui $g$ nu intervin în ipoteze.
Elipsa $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ se rotește în jurul axei $O x$ . Volumul elipsoidului obținut este:
- a) $\frac{200 π}{3}$
- b) $\frac{500 π}{3}$
- c) $\frac{80 π}{3}$
- d) $\frac{40 π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{80 π}{3}$

Semiaxa de pe axa de rotație este $a = 5$ , iar raza secțiunii maxime este $b = 2$ , deci $V = \frac{4 π a b ^{2}}{3} = \frac{4 π \cdot 5 \cdot 4}{3} = \frac{80 π}{3}$ . Varianta $\frac{200 π}{3}$ este $\frac{4 π a ^{2} b}{3}$ , adică semiaxele inversate — exact greșeala de evitat; $\frac{500 π}{3}$ este volumul sferei de rază $5$ , iar $\frac{40 π}{3}$ înjumătățește rezultatul.

Întrebări conexe

Ce este coroana circulară de secțiune?

Este figura rămasă între discul mare și cel mic, tăiată de un plan perpendicular pe axă. Aria ei este diferența ariilor celor două discuri, adică $π$ înmulțit cu diferența pătratelor razelor; de aici vine forma integrandului.

Ce condiție cere funcția de jos ca să existe gaura?

Trebuie să rămână strict peste axă pe tot intervalul. Dacă atinge axa undeva, secțiunea de acolo este un disc plin, deci corpul nu mai are gaură pe toată lungimea lui, iar descrierea din enunț nu se mai potrivește.

Care semiaxă apare la pătrat în volumul elipsoidului?

Cea care dă raza secțiunii, adică semiaxa perpendiculară pe axa de rotație. Semiaxa așezată chiar pe axa de rotație apare la puterea întâi. Când cele două sunt egale, formula trebuie să redea volumul sferei, ceea ce este un control bun.

Cât este volumul obținut rotind regiunea dintre y egal 2 și y egal 1?

Pe un interval de lungime $1$ iese $π (4 - 1) = 3 π$ . Dacă s-ar scădea funcțiile înainte de ridicarea la pătrat, ar ieși $π$ , adică un rezultat de trei ori mai mic; exemplul arată de ce scăderea se face între pătrate.

Cum se determină funcția-profil din valorile de la capete?

Se așază obiectul cu axa lui de simetrie pe axa orizontală, se citesc razele din capete și se caută cea mai simplă funcție care le leagă: o dreaptă pentru un profil drept, un arc de cerc sau o parabolă pentru unul curbat. Modelul se verifică apoi pe datele din enunț.

Oamenii mai întreabă și: volumul dintre două grafice · volumul unui corp cu gaură · volumul elipsoidului de rotație · volumul paraboloidului · modelare cu corpuri de rotație