Un elev calculează $$\pi\displaystyle\int_0^r \left(r^2 - x^2\right)dx$$ și anunță că a obținut volumul sferei de rază $$r$$. Ce a obținut, de fapt?

volumul calotei de înălțime $$r$$

De unde vine formula volumului sferei?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volumele corpurilor rotunde, cu integrala

Din rotirea semicercului: cu funcția $r^{2} - x^{2}$ luată între cele două capete opuse, pătratul din integrand devine polinomul $r^{2} - x^{2}$ , iar $π \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x$ dă $\frac{4 π r ^{3}}{3}$ . Nu este nevoie de nicio substituție, tocmai fiindcă radicalul dispare la ridicarea la pătrat. Luat doar pe jumătatea din dreapta, calculul ar da semisfera.

Toate corpurile rotunde din gimnaziu se obțin rotind în jurul axei $O x$ subgraficul unei funcții simple, deci volumele lor se deduc din $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , în loc să fie memorate. Cilindrul vine din constanta $f (x) = r$ pe $[0, h]$ — el este ipoteza de pornire a formulei, deci calculul are aici doar rolul unei verificări de coerență. Conul vine din dreapta $f (x) = \frac{r}{h} x$ , unde panta se face cu înălțimea, nu cu generatoarea, pentru că axa corpului este axa $O x$ ; integrala lui $x^{2}$ produce treimea, iar conul are exact o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime. Trunchiul de con vine din $f (x) = r + \frac{R - r}{h} x$ , prin dezvoltarea pătratului, iar formula $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ se verifică pe cazurile-limită: $R = r$ dă cilindrul, $r = 0$ dă conul. Sfera vine din semicercul $f (x) = r^{2} - x^{2}$ pe $[- r, r]$ — pe $[0, r]$ s-ar obține doar semisfera —, iar aici nu se face nicio substituție: după ridicarea la pătrat integrandul este polinomul $r^{2} - x^{2}$ . Calota și zona sferică folosesc aceeași funcție generatoare, pe alt interval; volumul calotei de înălțime $h$ este $\frac{π h ^{2} ( 3 r - h )}{3}$ , cu $r$ raza sferei.

De reținut

sfera: $\frac{4 π r ^{3}}{3}$ ; conul: $\frac{π r ^{2} h}{3}$
trunchi: $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$
calota: $\frac{π h ^{2} ( 3 r - h )}{3}$

Greșeala tipică

Se rotește semicercul doar pe jumătatea din dreapta și se scrie rezultatul ca volum al sferei. Așa iese semisfera; sfera cere intervalul întreg, de la un capăt la celălalt al diametrului.

Exerciții din această mini-lecție

Volumul conului obținut prin rotirea subgraficului funcției $f : [0, 9] \to R$ , $f (x) = \frac{4}{9} x$ , în jurul axei $O x$ este:
- a) $36 π$
- b) $144 π$
- c) $16 π$
- d) $48 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $48 π$

Conul are raza $f (9) = 4$ și înălțimea $9$ , deci $V = π \int_{0}^{9} \frac{16}{81} x^{2} d x = \frac{16 π}{81} \cdot \frac{729}{3} = 48 π$ . Formula dedusă dă același lucru: $\frac{π r ^{2} h}{3} = \frac{π \cdot 16 \cdot 9}{3} = 48 π$ . Varianta $144 π$ este volumul cilindrului circumscris, adică de trei ori mai mare.
Un elev calculează $π \int_{0}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x$ și anunță că a obținut volumul sferei de rază $r$ . Ce a obținut, de fapt?
- a) volumul sferei
- b) volumul calotei de înălțime $r$
- c) volumul semisferei
- d) volumul conului
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) volumul semisferei

Sfera se obține rotind semicercul $f (x) = r^{2} - x^{2}$ pe intervalul $[- r, r]$ ; pe $[0, r]$ se rotește doar sfertul de disc din dreapta, deci rezultatul $\frac{2 π r ^{3}}{3}$ este volumul semisferei, jumătate din $\frac{4 π r ^{3}}{3}$ . Uitarea capătului negativ este greșeala clasică a lecției.
Pentru trunchiul de con cu raza bazei mari $R$ în planul $x = 0$ , raza bazei mici $r$ în planul $x = h$ , funcția generatoare este:
- a) $f (x) = R + \frac{r - R}{h} x$
- b) $f (x) = R + \frac{R - r}{h} x$
- c) $f (x) = r + \frac{R - r}{h} x$
- d) $f (x) = \frac{R}{h} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = R + \frac{r - R}{h} x$

Verificarea se face pe capete: trebuie ca $f (0) = R$ și $f (h) = r$ . Varianta a) dă $f (0) = R$ și $f (h) = R + r - R = r$ — corect. Varianta c) așază razele invers (bază mică la stânga), b) amestecă raza de la un capăt cu diferența de la celălalt și dă $f (h) = 2 R - r$ , iar d) descrie un con. Verifică întotdeauna $f (0)$ și $f (h)$ înainte de a integra.

Întrebări conexe

Ce funcție generează conul prin rotație?

O dreaptă dusă prin origine, cu panta dată de raportul dintre rază și înălțime. Rotind regiunea de sub ea pe un interval cât înălțimea, se obține conul, iar integrala pătratului produce treimea din formula lui.

De ce se ia panta cu înălțimea, nu cu generatoarea?

Fiindcă axa corpului stă pe axa orizontală, iar variabila se mișcă de-a lungul înălțimii, nu de-a lungul laturii înclinate. Folosirea generatoarei ar da o pantă greșită și un volum mai mic decât cel adevărat.

Ce cazuri-limită verifică formula trunchiului de con?

Două: dacă cele două raze sunt egale trebuie să iasă cilindrul, iar dacă una dintre ele este zero trebuie să iasă conul. Amândouă verificările se fac într-un rând, prin înlocuire, și prind imediat o formulă memorată greșit.

Ce interval dă semisfera și care dă sfera întreagă?

Sfera vine din rotirea semicercului pe tot intervalul dintre capetele opuse, iar semisfera doar pe jumătatea din dreapta. Alegerea greșită a intervalului este cea mai deasă sursă a unui rezultat înjumătățit la această formulă.

Ce se obține din formula calotei când înălțimea egalează raza?

Semisfera. Înlocuind $h$ cu $r$ în $\frac{π h ^{2} ( 3 r - h )}{3}$ rămâne $\frac{2 π r ^{3}}{3}$ , adică jumătate din volumul sferei. Potrivirea aceasta este controlul obișnuit al formulei, alături de cazul în care înălțimea se apropie de zero.

Oamenii mai întreabă și: formula volumului sferei · de ce conul are o treime din cilindru · volumul trunchiului de con · volumul calotei sferice · corpuri rotunde cu integrala