Un elev scrie $$\mathcal{V}(C_f) = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$$. Care este greșeala?

a inversat limitele de integrare

Pentru $$f(x) = x$$ pe $$[0,1]$$, comparați $$A = \pi\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx$$ cu $$B = \pi\left(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\right)^2$$.

$$A = \dfrac{\pi}{3}$$ și $$B = \dfrac{\pi}{4}$$

$$A = \dfrac{\pi}{4}$$ și $$B = \dfrac{\pi}{3}$$

$$A = \dfrac{\pi}{2}$$ și $$B = \dfrac{\pi}{4}$$

Care e formula volumului de rotație?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volumul corpului de rotație

Pentru o funcție continuă și pozitivă pe $[a, b]$ , corpul obținut rotind regiunea de sub grafic în jurul axei orizontale are volumul $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Integrandul este aria discului tăiat de un plan perpendicular pe axă. Astfel, rotind dreapta $y = x$ pe intervalul de la $0$ la $1$ iese $\frac{π}{3}$ , adică volumul unui con.

Corpul de rotație $C_{f}$ este mulțimea descrisă în spațiu de subgraficul funcției continue și pozitive $f : [a, b] \to R$ atunci când acesta se rotește complet în jurul axei $O x$ . Se rotește regiunea plină, nu curba: rotirea graficului singur ar da o suprafață, iar aria suprafeței de rotație nu este în programă. Volumul este $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ , iar integrandul are un sens precis — $π f^{2} (x)$ este aria discului de secțiune făcut de planul perpendicular pe axă în punctul $x$ . Formula se demonstrează tăind corpul în felii cilindrice de volum $π f^{2} (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ și recunoscând suma lor drept sumă Riemann a funcției continue $π f^{2}$ ; ipoteza de pornire este volumul cilindrului. Cei patru pași ai volumului de rotație sunt: verificarea ipotezelor (continuitate și pozitivitate — propoziție punctată separat la Bacalaureat M1), scrierea formulei, simplificarea lui $f^{2}$ , aplicarea formulei Leibniz–Newton. Trei greșeli se repetă: uitarea pătratului, care dă o mărime ce nici măcar nu se măsoară în unități cubice; scrierea $π (\int_{a}^{b} f)^{2}$ în loc de $π \int_{a}^{b} f^{2}$ — pentru $f (x) = x$ pe $[0, 1]$ ies $\frac{π}{3}$ față de $\frac{π}{4}$ ; și pierderea factorului $π$ pe drum.

De reținut

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$
$π f^{2} (x)$ : aria discului de secțiune
$f$ continuă și pozitivă — se scrie în rezolvare

Greșeala tipică

Se uită pătratul funcției din integrand. Rezultatul nu mai are unități cubice, deci nu poate fi un volum; controlul cel mai rapid este chiar privirea la puterea la care apare funcția.

Exerciții din această mini-lecție

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a subgraficului funcției $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 2 x$ , este:
- a) $12 π$
- b) $9 π$
- c) $36 π$
- d) $81 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $36 π$

Funcția este continuă și pozitivă pe $[0, 3]$ , deci $V (C_{f}) = π \int_{0}^{3} 4 x^{2} d x = π \cdot \frac{4 x ^{3}}{3}_{0}^{3} = 36 π$ . Varianta $9 π$ vine din $π \int_{0}^{3} f$ , adică din uitarea pătratului, iar $81 π$ din $π (\int_{0}^{3} f)^{2}$ . Control: corpul este un con de rază $6$ și înălțime $3$ , cu volumul $\frac{π \cdot 36 \cdot 3}{3} = 36 π$ .
Un elev scrie $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Care este greșeala?
- a) a uitat factorul $π$
- b) a uitat pătratul funcției
- c) a inversat limitele de integrare
- d) nu a verificat continuitatea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) a uitat pătratul funcției

Integrandul trebuie să fie aria discului de secțiune, adică $π f^{2} (x)$ ; fără pătrat se obține o mărime care nici măcar nu se măsoară în unități cubice. Factorul $π$ este scris, limitele sunt în ordine, iar continuitatea este o ipoteză de verificat, nu greșeala din formulă.
Pentru $f (x) = x$ pe $[0, 1]$ , comparați $A = π \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x$ cu $B = π (\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2}$ .
- a) $A = \frac{π}{3}$ și $B = \frac{π}{4}$
- b) $A = B$
- c) $A = \frac{π}{4}$ și $B = \frac{π}{3}$
- d) $A = \frac{π}{2}$ și $B = \frac{π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A = \frac{π}{3}$ și $B = \frac{π}{4}$

$A = π \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{π}{3}$ este volumul căutat, iar $B = π (\frac{1}{2})^{2} = \frac{π}{4}$ . Pătratul se aplică funcției, sub semnul de integrare, nu integralei. Acesta este contraexemplul de reținut: cele două expresii nu sunt egale niciodată pentru funcții neconstante.

Întrebări conexe

De unde vine numărul pi în formula volumului?

Din aria feliei. Tăind corpul cu un plan perpendicular pe axă, se vede un disc de rază $f (x)$ , a cărui arie este $π f^{2} (x)$ . Integrala adună aceste arii de-a lungul intervalului, iar factorul $π$ iese în față ca o constantă.

Cât este volumul generat de funcția x pătrat pe intervalul de la 0 la 1?

Este $\frac{π}{5}$ : pătratul dă $x^{4}$ , iar integrala lui pe $[0, 1]$ este $\frac{1}{5}$ . Se vede că iese mai mic decât volumul cilindrului de rază $1$ și înălțime $1$ , fiindcă graficul rămâne sub dreapta $y = 1$ .

Se schimbă volumul dacă funcția ia și valori negative?

Nu. În integrand apare pătratul, care șterge semnul, deci corpul este același cu cel dat de modulul funcției. Rotația duce oricum punctele de sub axă peste cele de deasupra ei, la aceeași depărtare de axa de rotație.

Ce dă formula volumului pentru o funcție constantă?

Dă volumul cilindrului, adică aria discului de bază înmulțită cu înălțimea. Este chiar ipoteza de la care pornește demonstrația, deci calculul are aici doar rolul unei verificări de coerență; dacă nu iese, formula a fost scrisă greșit.

Ce se întâmplă cu unitățile de măsură dacă uit pătratul?

Rezultatul nu mai măsoară un volum. Cu funcția la puterea întâi se obține o mărime care se exprimă în unități pătratice, deci un fel de arie; pătratul din integrand este cel care ridică rezultatul la unități cubice.

Oamenii mai întreabă și: formula volumului corpului de rotație · volum prin rotație în jurul axei Ox · de ce apare pătratul funcției · corp de rotație · volumul obținut prin rotirea unui grafic