Ecuația dreptei determinate de două puncte

Un abonament de telefonie ți-a costat $22$ de lei într-o lună cu $40$ de minute vorbite și $46$ de lei într-o lună cu $100$ de minute. Cât vei plăti pentru $70$ de minute? Întrebarea pare să ceară informații pe care nu le ai — nu știi nici abonamentul fix, nici tariful pe minut. Și totuși, cele două facturi sunt suficiente: dacă legea de formare a prețului este liniară, ele determină complet dreapta, deci și răspunsul.

Aceasta este ideea lecției. Ai învățat că un punct și o pantă determină o dreaptă; acum vei vedea că două puncte fac același lucru, pentru că din ele poți calcula panta. Este cel mai frecvent tip de cerință din toată geometria analitică — „scrieți ecuația dreptei $A B$ " — și, în același timp, instrumentul care transformă două măsurători oarecare într-un model de calcul: temperaturi, costuri, distanțe parcurse, niveluri care scad. Ceea ce în geometrie se numește „dreapta prin două puncte", în lumea reală se numește „legea liniară dedusă din două observații".

Ce vei învăța

Vei ști să determini ecuația dreptei prin două puncte date, cu rețeta în doi pași: întâi panta, apoi formula punct-pantă.
Vei ști să folosești și formula directă sub formă de proporție, atunci când e mai comodă.
Vei ști să arăți că rezultatul nu depinde de punctul ales la pasul al doilea.
Vei ști să tratezi cazurile speciale: puncte cu aceeași ordonată (dreaptă orizontală) și puncte cu aceeași abscisă (dreaptă verticală).
Vei ști să verifici obligatoriu ambele puncte în ecuația găsită și să aduci răspunsul la forma generală cu coeficienți întregi.
Vei ști să afli ordonata unui punct al dreptei când îi cunoști abscisa și să determini parametri din condiții de apartenență.
Vei ști să deduci o dependență liniară din două măsurători și să o folosești pentru predicții.

Hai să descoperim împreună

1. Două puncte determină o dreaptă — deci și o ecuație

Din geometria de gimnaziu știi axioma: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. În limbaj analitic, asta înseamnă că perechea de puncte $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ , cu $A \neq = B$ , determină o singură ecuație de dreaptă.

Cum o găsim? Nu avem nevoie de nimic nou. Formula pe care o cunoști, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , cere un punct și o pantă. Punct avem — chiar două. Pantă nu avem, dar o putem calcula din cele două puncte, cu formula din lecția despre panta unei drepte. Deci problema e deja rezolvată; rămâne doar să organizăm calculul.

2. Rețeta în doi pași

Pasul 1 — calculezi panta:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}, x_{1} \neq = x_{2} .$

Pasul 2 — scrii ecuația cu formula punct-pantă, folosind oricare dintre cele două puncte:

$y - y_{1} = m (x - x_{1}) .$

Aplicăm pe $A (1, 2)$ și $B (3, 8)$ . Panta:

$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3.$

Ecuația, cu punctul $A$ :

$y - 2 = 3 (x - 1) \Rightarrow y - 2 = 3 x - 3 \Rightarrow y = 3 x - 1.$

Verificarea, obligatorie și pe ambele puncte: pentru $x = 1$ obținem $3 - 1 = 2$ ✓ (ordonata lui $A$ ); pentru $x = 3$ obținem $9 - 1 = 8$ ✓ (ordonata lui $B$ ). Dacă doar unul dintre puncte verifică ecuația, ai greșit undeva la calculul pantei.

3. Nu contează cu ce punct scrii pasul al doilea

O întrebare firească: dacă la pasul $2$ folosesc $B$ în loc de $A$ , obțin altă ecuație? Răspunsul este nu, și merită văzut pe un caz concret.

Fie $A (- 5, 2)$ și $B (5, - 3)$ . Panta este $m = \frac{- 3 - 2}{5 - ( - 5 )} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$ .

Cu punctul $A$ :

$y - 2 = - \frac{1}{2} (x + 5) \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2} + 2 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} .$

Cu punctul $B$ :

$y + 3 = - \frac{1}{2} (x - 5) \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} .$

Aceeași ecuație. Explicația e simplă: ambele puncte sunt pe dreaptă, iar formula punct-pantă descrie toată dreapta, nu doar o parte din ea pornind de la punctul folosit. Practic, alege punctul cu numerele mai comode — de regulă cel cu coordonate întregi mai mici sau cel cu zerouri.

4. Formula directă, sub formă de proporție

Există și o scriere care sare peste calculul separat al pantei. Pornind de la condiția ca panta $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}}$ să fie egală cu $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ și rearanjând, obținem ecuația dreptei determinate de două puncte:

$\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}, x_{1} \neq = x_{2}, y_{1} \neq = y_{2} .$

Este o proporție: rapoartele „cât ai avansat din drumul pe orizontală" și „cât ai avansat din drumul pe verticală" sunt egale. Pentru $E (- 3, - 1)$ și $F (5, 3)$ :

$\frac{x + 3}{5 + 3} = \frac{y + 1}{3 + 1} \Rightarrow \frac{x + 3}{8} = \frac{y + 1}{4} .$

Înmulțim în cruce: $4 (x + 3) = 8 (y + 1)$ , adică $4 x + 12 = 8 y + 8$ , de unde $4 x - 8 y + 4 = 0$ și, simplificând cu $4$ :

$x - 2 y + 1 = 0.$

Verificare pe ambele puncte: $- 3 - 2 (- 1) + 1 = - 3 + 2 + 1 = 0$ ✓ și $5 - 2 \cdot 3 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0$ ✓.

Formula directă e elegantă, dar are o limitare importantă: cere ca ambii numitori să fie nenuli, deci nu se aplică dreptelor orizontale sau verticale. Rețeta în doi pași este mai robustă și rămâne varianta recomandată la examen.

5. Cazurile speciale: aceeași ordonată, aceeași abscisă

Puncte cu aceeași ordonată. Pentru $G (2, 7)$ și $H (6, 7)$ , panta este $\frac{7 - 7}{6 - 2} = 0$ , deci ecuația este $y - 7 = 0$ , adică $y = 7$ : dreaptă orizontală. Se putea vedea și direct — ambele puncte au ordonata $7$ , deci toate punctele dreptei o au.

Puncte cu aceeași abscisă. Pentru $P (- 4, 1)$ și $Q (- 4, 6)$ , avem $x_{2} - x_{1} = 0$ : panta nu există, iar formula punct-pantă nu se poate aplica. Dreapta este verticală, iar ecuația ei se scrie direct din observație: $x = - 4$ .

Regula practică, verificată înainte de orice calcul: compară coordonatele. Ordonate egale $\to$ dreaptă orizontală $y = y_{1}$ . Abscise egale $\to$ dreaptă verticală $x = x_{1}$ . În ambele situații răspunsul se scrie într-o linie, fără formule.

6. Forma generală și scrierea îngrijită a răspunsului

Când panta este fracționară, forma explicită conține fracții. Pentru un răspuns curat, se trece la forma generală $a x + b y + c = 0$ cu coeficienți întregi, înmulțind cu numitorul comun.

Exemplu, pentru $R (- 1, - 2)$ și $S (5, 7)$ . Panta:

$m = \frac{7 - ( - 2 )}{5 - ( - 1 )} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Ecuația cu punctul $R$ :

$y + 2 = \frac{3}{2} (x + 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2} .$

Înmulțim cu $2$ și mutăm totul într-un membru:

$2 y = 3 x - 1 \Rightarrow 3 x - 2 y - 1 = 0.$

Verificare: $3 (- 1) - 2 (- 2) - 1 = - 3 + 4 - 1 = 0$ ✓ și $3 \cdot 5 - 2 \cdot 7 - 1 = 15 - 14 - 1 = 0$ ✓. Simplificarea pantei la $\frac{3}{2}$ înainte de a scrie ecuația scutește de calcule cu numere mari; niciodată nu lăsa panta ca $\frac{9}{6}$ .

7. Ce poți face cu ecuația odată găsită

Ecuația nu e un scop în sine, ci un instrument. Trei folosiri imediate:

Afli ordonata oricărui punct al dreptei. Pentru dreapta prin $A (3, 3)$ și $B (9, 1)$ , panta este $\frac{1 - 3}{9 - 3} = - \frac{1}{3}$ , iar ecuația $y - 3 = - \frac{1}{3} (x - 3)$ , adică $y = - \frac{1}{3} x + 4$ . Punctul dreptei cu abscisa $- 3$ are ordonata $1 + 4 = 5$ .

Verifici dacă un al treilea punct se află pe dreapta $A B$ . Pentru $A (2, - 1)$ și $B (6, 7)$ obținem $m = 2$ și $y = 2 x - 5$ . Punctul $C (4, 3)$ verifică ecuația ( $8 - 5 = 3$ ), deci se află pe dreapta $A B$ .

Determini un parametru dintr-o condiție de apartenență. Dacă se cere numărul real $q$ pentru care $C (- 1, q)$ aparține dreptei de ecuație $y = - 2 x - 1$ , înlocuiești: $q = 2 - 1 = 1$ .

8. Modelarea: o dependență liniară din două măsurători

Aici se vede toată puterea metodei. Ori de câte ori o mărime variază uniform și cunoști două perechi de valori, poți scrie legea completă.

Revenim la abonamentul din deschidere: $(40, 22)$ și $(100, 46)$ , cu minutele pe abscisă și lei pe ordonată.

$m = \frac{46 - 22}{100 - 40} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0, 4 lei pe minut .$

$C - 22 = 0, 4 (t - 40) \Rightarrow C = 0, 4 t + 6.$

Interpretarea completă: tariful este de $0, 4$ lei pe minut, iar abonamentul fix este de $6$ lei — informații pe care nu le aveai în enunț, dar care ies din model. Pentru $70$ de minute: $C = 0, 4 \cdot 70 + 6 = 34$ de lei.

Alte două modele frecvente în probleme, ambele construite identic:

Lumânare care arde uniform: după $2$ ore are $18$ cm, după $5$ ore are $12$ cm. Panta este $\frac{12 - 18}{5 - 2} = - 2$ cm pe oră, iar ecuația $h = - 2 t + 22$ : lumânarea avea $22$ cm la început și se consumă complet după $11$ ore.
Manoperă facturată: $5$ ore costă $260$ de lei, $8$ ore costă $380$ . Panta este $\frac{380 - 260}{8 - 5} = 40$ de lei pe oră, ecuația $C = 40 t + 60$ , deci taxa fixă de deplasare este de $60$ de lei, iar $10$ ore costă $460$ de lei.

Modelele de tipul acesta continuă direct experiența de citire a poziției și a traseelor din lecția despre coordonate în situații practice: acolo descriai puncte, aici descrii legea care le leagă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rețeta în doi pași

Scrieți ecuația dreptei determinate de punctele $A (1, 2)$ și $B (3, 8)$ .

Rezolvare. Pasul 1, panta:

$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3.$

Pasul 2, formula punct-pantă cu punctul $A$ :

$y - 2 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x - 1.$

Verificare pe ambele puncte: pentru $x = 1$ , $3 - 1 = 2$ ✓; pentru $x = 3$ , $9 - 1 = 8$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Coordonate negative și pantă negativă

Scrieți ecuația dreptei determinate de $C (- 2, 5)$ și $D (4, - 7)$ .

Rezolvare. Panta, cu atenție la scăderi:

$m = \frac{- 7 - 5}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 12}{6} = - 2.$

Ecuația, cu punctul $C$ :

$y - 5 = - 2 (x - (- 2)) = - 2 (x + 2) \Rightarrow y - 5 = - 2 x - 4 \Rightarrow y = - 2 x + 1.$

Verificare: pentru $x = - 2$ , $4 + 1 = 5$ ✓; pentru $x = 4$ , $- 8 + 1 = - 7$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Pantă fracționară și forma generală

Scrieți ecuația dreptei determinate de $E (- 3, - 1)$ și $F (5, 3)$ , sub forma generală cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Panta:

$m = \frac{3 - ( - 1 )}{5 - ( - 3 )} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$

Ecuația cu punctul $E$ :

$y + 1 = \frac{1}{2} (x + 3) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} .$

Înmulțim cu $2$ : $2 y = x + 1$ , deci forma generală este $x - 2 y + 1 = 0$ . Verificare: $- 3 + 2 + 1 = 0$ ✓ și $5 - 6 + 1 = 0$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Cazurile speciale

Scrieți ecuațiile dreptelor determinate de: a) $G (2, 7)$ și $H (6, 7)$ ; b) $P (- 4, 1)$ și $Q (- 4, 6)$ .

Rezolvare. a) Cele două puncte au aceeași ordonată, deci $m = \frac{7 - 7}{6 - 2} = 0$ și ecuația este $y - 7 = 0$ , adică $y = 7$ — dreaptă orizontală.

b) Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $x_{2} - x_{1} = 0$ și panta nu există. Dreapta este verticală, iar ecuația se scrie direct: $x = - 4$ . Formula punct-pantă și formula sub formă de proporție nu se pot aplica aici. $■$

Exemplul 5 — Modelarea unei dependențe liniare

Un abonament de telefonie a costat $22$ de lei pentru $40$ de minute vorbite și $46$ de lei pentru $100$ de minute. Determinați legea costului și calculați suma de plată pentru $70$ de minute.

Rezolvare. Punem minutele pe abscisă și costul pe ordonată; datele sunt punctele $(40, 22)$ și $(100, 46)$ .

$m = \frac{46 - 22}{100 - 40} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0, 4.$

$C - 22 = 0, 4 (t - 40) \Rightarrow C = 0, 4 t - 16 + 22 = 0, 4 t + 6.$

Verificare: pentru $t = 40$ , $16 + 6 = 22$ ✓; pentru $t = 100$ , $40 + 6 = 46$ ✓. Modelul spune că tariful este de $0, 4$ lei pe minut și abonamentul fix de $6$ lei. Pentru $70$ de minute: $C = 28 + 6 = 34$ de lei. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 2, - 6)$ și $B (4, 3)$ . a) Calculați panta dreptei $A B$ . b) Scrieți ecuația dreptei $A B$ sub forma $y = m x + n$ . c) Arătați că punctul $C (6, 6)$ se află pe dreapta $A B$ .

Rezolvare. a) Panta:

$m = \frac{3 - ( - 6 )}{4 - ( - 2 )} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

b) Cu punctul $B$ (are numere mai comode):

$y - 3 = \frac{3}{2} (x - 4) \Rightarrow y = \frac{3}{2} x - 6 + 3 = \frac{3}{2} x - 3.$

Verificare pe ambele puncte: pentru $x = - 2$ , $- 3 - 3 = - 6$ ✓; pentru $x = 4$ , $6 - 3 = 3$ ✓.

c) Înlocuim abscisa lui $C$ în ecuație:

$\frac{3}{2} \cdot 6 - 3 = 9 - 3 = 6,$

valoare egală cu ordonata lui $C$ . Prin urmare $C$ verifică ecuația dreptei $A B$ , deci se află pe această dreaptă. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare dreaptă: calculează întâi panta (simplificată!), scrie apoi ecuația și verifică ambele puncte în ecuația găsită.

1. Scrie ecuația dreptei determinate de $A (1, 2)$ și $B (3, 8)$ .

2. Scrie ecuația dreptei determinate de $C (- 2, 5)$ și $D (4, - 7)$ .

3. Scrie ecuația dreptei determinate de $E (- 3, - 1)$ și $F (5, 3)$ , apoi adu-o la forma generală cu coeficienți întregi.

4. Scrie ecuația dreptei determinate de $G (2, 7)$ și $H (6, 7)$ . Ce fel de dreaptă este?

5. Scrie ecuația dreptei determinate de $P (- 4, 1)$ și $Q (- 4, 6)$ și explică de ce nu poți calcula panta.

6. Scrie ecuația dreptei determinate de $M (0, - 2)$ și $N (3, 4)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația dreptei prin două puncte iese diferită, după cum folosești primul sau al doilea punct în formula punct-pantă."

8. Pentru $A (- 5, 2)$ și $B (5, - 3)$ , scrie ecuația dreptei folosind pe rând fiecare dintre cele două puncte în formula punct-pantă și arată că obții același rezultat.

9. Scrie ecuația dreptei determinate de $R (- 1, - 2)$ și $S (5, 7)$ , sub forma generală cu coeficienți întregi.

10. (Problemă aplicată.) Un abonament de telefonie a costat $22$ de lei pentru $40$ de minute vorbite și $46$ de lei pentru $100$ de minute. Scrie legea costului în funcție de numărul de minute și calculează suma de plată pentru $70$ de minute.

11. Scrie ecuația dreptei care trece prin originea reperului și prin punctul $T (5, 3)$ .

12. Scrie ecuația dreptei determinate de $U (- 6, 0)$ și $V (0, 4)$ , sub forma generală cu coeficienți întregi.

13. Determină ecuația dreptei prin $A (3, 3)$ și $B (9, 1)$ , apoi calculează ordonata punctului acestei drepte care are abscisa $- 3$ .

14. Punctele $A (2, - 1)$ și $B (6, 7)$ determină o dreaptă. Verifică dacă punctul $C (4, 3)$ se află pe această dreaptă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 4, 7)$ și $B (2, - 5)$ . a) Calculați panta dreptei $A B$ . b) Scrieți ecuația dreptei $A B$ sub forma $y = m x + n$ . c) Determinați numărul real $q$ pentru care punctul $C (- 1, q)$ aparține dreptei $A B$ .

16. (Problemă aplicată.) O lumânare arde uniform: după $2$ ore mai are $18$ cm, iar după $5$ ore mai are $12$ cm. Scrie legea înălțimii în funcție de timp și află după câte ore se consumă complet.

17. Scrie ecuația dreptei determinate de $K (4, - 2)$ și $L (- 2, 7)$ , sub forma generală cu coeficienți întregi.

18. (Provocare.) Punctele $A (- 1, 6)$ și $B (3, - 2)$ determină dreapta $d$ . Determină numărul real $k$ pentru care punctul $E (k, k + 1)$ aparține dreptei $d$ .

Răspunsuri și explicații

1. $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; $y - 2 = 3 (x - 1)$ , deci $y = 3 x - 1$ . Verificare: $x = 1 \to 2$ ✓, $x = 3 \to 8$ ✓.

2. $m = \frac{- 7 - 5}{4 + 2} = \frac{- 12}{6} = - 2$ ; $y - 5 = - 2 (x + 2)$ , deci $y = - 2 x + 1$ . Verificare: $x = - 2 \to 5$ ✓, $x = 4 \to - 7$ ✓.

3. $m = \frac{3 + 1}{5 + 3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ; $y + 1 = \frac{1}{2} (x + 3)$ , deci $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ . Înmulțind cu $2$ și mutând termenii: $x - 2 y + 1 = 0$ . Verificare: $- 3 + 2 + 1 = 0$ ✓ și $5 - 6 + 1 = 0$ ✓.

4. $m = \frac{7 - 7}{6 - 2} = 0$ , deci $y = 7$ : dreaptă orizontală, paralelă cu axa $O x$ . Se vedea și direct, din faptul că ambele puncte au ordonata $7$ .

5. Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $x_{2} - x_{1} = - 4 - (- 4) = 0$ , iar panta ar cere împărțirea la zero. Dreapta este verticală și nu are pantă; ecuația ei este $x = - 4$ .

6. $m = \frac{4 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$ ; folosind punctul $M (0, - 2)$ : $y + 2 = 2 (x - 0)$ , deci $y = 2 x - 2$ . Verificare: $x = 0 \to - 2$ ✓, $x = 3 \to 4$ ✓.

7. Fals. Ambele puncte aparțin dreptei, iar formula punct-pantă descrie întreaga dreaptă, indiferent de punctul folosit. După desfacerea parantezelor se obține exact aceeași ecuație — vezi și exercițiul următor.

8. $m = \frac{- 3 - 2}{5 + 5} = \frac{- 5}{10} = - \frac{1}{2}$ . Cu $A$ : $y - 2 = - \frac{1}{2} (x + 5)$ , deci $y = - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2} + 2 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ . Cu $B$ : $y + 3 = - \frac{1}{2} (x - 5)$ , deci $y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ . Rezultatele coincid.

9. $m = \frac{7 + 2}{5 + 1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ (simplificare obligatorie); $y + 2 = \frac{3}{2} (x + 1)$ , deci $y = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ . Înmulțind cu $2$ : $2 y = 3 x - 1$ , adică $3 x - 2 y - 1 = 0$ . Verificare: $- 3 + 4 - 1 = 0$ ✓ și $15 - 14 - 1 = 0$ ✓.

10. Datele sunt punctele $(40, 22)$ și $(100, 46)$ : $m = \frac{24}{60} = 0, 4$ lei pe minut. Apoi $C - 22 = 0, 4 (t - 40)$ , deci $C = 0, 4 t + 6$ (abonamentul fix este de $6$ lei). Pentru $t = 70$ : $C = 28 + 6 = 34$ de lei.

11. Originea este $(0, 0)$ , deci $m = \frac{3 - 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$ și $y = \frac{3}{5} x$ , adică $3 x - 5 y = 0$ . Dreptele prin origine au termenul liber nul.

12. $m = \frac{4 - 0}{0 - ( - 6 )} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ; cu punctul $V (0, 4)$ : $y - 4 = \frac{2}{3} x$ , deci $y = \frac{2}{3} x + 4$ . Înmulțind cu $3$ : $3 y = 2 x + 12$ , adică $2 x - 3 y + 12 = 0$ . Verificare: $- 12 - 0 + 12 = 0$ ✓ și $0 - 12 + 12 = 0$ ✓.

13. $m = \frac{1 - 3}{9 - 3} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$ ; $y - 3 = - \frac{1}{3} (x - 3)$ , deci $y = - \frac{1}{3} x + 4$ . Pentru $x = - 3$ : $y = 1 + 4 = 5$ , deci punctul căutat este $(- 3, 5)$ .

14. $m = \frac{7 - ( - 1 )}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$ ; $y + 1 = 2 (x - 2)$ , deci $y = 2 x - 5$ . Înlocuim abscisa lui $C$ : $2 \cdot 4 - 5 = 3$ , egal cu ordonata lui $C$ . Deci $C$ se află pe dreapta $A B$ .

15. a) $m = \frac{- 5 - 7}{2 - ( - 4 )} = \frac{- 12}{6} = - 2$ . b) Cu $B (2, - 5)$ : $y + 5 = - 2 (x - 2)$ , deci $y = - 2 x + 4 - 5 = - 2 x - 1$ . Verificare: $x = - 4 \to 8 - 1 = 7$ ✓, $x = 2 \to - 4 - 1 = - 5$ ✓. c) Pentru $x = - 1$ : $q = 2 - 1 = 1$ , deci $C (- 1, 1)$ .

16. Datele sunt $(2, 18)$ și $(5, 12)$ : $m = \frac{12 - 18}{5 - 2} = \frac{- 6}{3} = - 2$ cm pe oră. Apoi $h - 18 = - 2 (t - 2)$ , deci $h = - 2 t + 22$ ; lumânarea avea $22$ cm la început. Se consumă complet când $h = 0$ , adică $t = 11$ ore.

17. $m = \frac{7 - ( - 2 )}{- 2 - 4} = \frac{9}{- 6} = - \frac{3}{2}$ ; cu $K (4, - 2)$ : $y + 2 = - \frac{3}{2} (x - 4)$ , deci $y = - \frac{3}{2} x + 6 - 2 = - \frac{3}{2} x + 4$ . Înmulțind cu $2$ : $2 y = - 3 x + 8$ , adică $3 x + 2 y - 8 = 0$ . Verificare: $12 - 4 - 8 = 0$ ✓ și $- 6 + 14 - 8 = 0$ ✓.

18. Panta: $m = \frac{- 2 - 6}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ ; ecuația, cu $A (- 1, 6)$ : $y - 6 = - 2 (x + 1)$ , deci $y = - 2 x + 4$ . Punctul $E$ are ordonata $k + 1$ și abscisa $k$ , deci condiția de apartenență este:

$k + 1 = - 2 k + 4 \Rightarrow 3 k = 3 \Rightarrow k = 1.$

Așadar $E (1, 2)$ . Verificare: $- 2 \cdot 1 + 4 = 2$ ✓.

De reținut

Rețeta în doi pași: calculezi panta $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ (simplificată), apoi scrii $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ cu oricare dintre cele două puncte.
Rezultatul nu depinde de punctul folosit la pasul al doilea; alege-l pe cel cu numerele mai comode, de obicei cel cu un zero printre coordonate.
Formula directă, sub formă de proporție: $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ , valabilă doar când $x_{1} \neq = x_{2}$ și $y_{1} \neq = y_{2}$ .
Cazuri speciale: ordonate egale $\to$ dreaptă orizontală $y = y_{1}$ ; abscise egale $\to$ dreaptă verticală $x = x_{1}$ , fără pantă. Compară coordonatele înainte de a calcula.
Verifică întotdeauna ambele puncte în ecuația găsită și adu răspunsul la forma generală $a x + b y + c = 0$ cu coeficienți întregi.

Greșeli frecvente

Ordinea amestecată la calculul pantei. Se scrie $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{1} - x _{2}}$ , cu scăderi în ordini diferite sus și jos. Panta iese cu semn greșit, iar dreapta „urcă" în loc să coboare. Fixează ordinea și respect-o în ambii membri ai fracției.
Nesimplificarea pantei. Se lucrează cu $\frac{9}{6}$ în loc de $\frac{3}{2}$ , iar calculele următoare se umplu de numere mari și de erori. Simplifică imediat după ce ai calculat raportul.
Verificarea doar pe un punct. Ecuația scrisă din punctul $A$ va verifica automat punctul $A$ , chiar dacă panta e greșită. Numai verificarea pe punctul $B$ prinde eroarea, deci verifică-le pe amândouă.
Aplicarea formulei-proporție la cazurile speciale. Dacă $y_{1} = y_{2}$ sau $x_{1} = x_{2}$ , unul dintre numitori este zero și formula nu are sens. Recunoaște dreapta orizontală sau verticală și scrie ecuația direct.
Confuzia dintre dreapta verticală și cea orizontală. Puncte cu aceeași abscisă dau $x = x_{1}$ (verticală), puncte cu aceeași ordonată dau $y = y_{1}$ (orizontală). Întreabă-te care coordonată se repetă.

Aplică acasă

Legea propriului consum. Ia două facturi la aceeași utilitate (apă, curent, gaz) și notează perechile (consum, sumă de plată). Scrie ecuația dreptei determinate de cele două puncte, apoi citește din ea tariful pe unitate (panta) și taxa fixă (termenul liber). Compară cu ce scrie efectiv pe factură: cât de bine a ghicit modelul?
Lumânarea sau bateria. Aprinde o lumânare (sau urmărește procentul bateriei telefonului în timpul unei folosiri constante) și notează două măsurători la momente diferite. Scrie legea liniară determinată de ele și prezice momentul în care lumânarea se stinge sau bateria ajunge la zero. Verifică apoi cât de aproape ai fost și explică de unde vin diferențele.
Traseul unei plimbări. Marchează pe hârtie de matematică punctul de plecare și punctul de sosire ale unei plimbări scurte, într-un reper în care o unitate înseamnă $100$ m. Scrie ecuația dreptei care le unește și calculează ordonata punctului de pe traseul direct aflat la o abscisă aleasă de tine. Compară drumul direct cu drumul pe care l-ai făcut efectiv.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie construcția de bază a ecuației dreptei și este, statistic, cea mai des solicitată în evaluări din întreaga unitate. Competențele vizate din programa de trunchi comun sunt IX.CS.3.3 (determinarea ecuației unei drepte în baza unor condiții inițiale date), IX.CS.4.3 (descrierea unei situații concrete prin intermediul ecuației unei drepte) și IX.CS.6.3 (descrierea unei traiectorii rectilinii și a unei dependențe liniare). Metoda recomandată este cea în doi pași — panta, apoi formula punct-pantă — pentru că se sprijină pe cunoștințe deja consolidate și tratează natural cazurile speciale, spre deosebire de formula sub formă de proporție, care cere numitori nenuli.

Întrebări bune de control: „Ce calculezi mai întâi când ai două puncte?" (panta); „Contează cu ce punct scrii ecuația?" (nu); „Cum verifici că ecuația e corectă?" (înlocuiești ambele puncte); „Ce ecuație au două puncte cu aceeași abscisă?" ( $x = x_{1}$ , dreaptă verticală); „Ce înseamnă panta într-o problemă cu facturi?" (tariful pe unitate). Semne că elevul a înțeles: simplifică panta înainte de a continua, verifică ambele puncte fără să i se ceară, recunoaște din prima privire cazurile orizontal/vertical și interpretează panta și termenul liber în limbajul problemei practice.

La teze și la Bacalaureat, formatul canonic este cel din exercițiul 15: se dau două puncte, se cere panta, ecuația dreptei și o condiție de apartenență cu parametru. Problemele aplicate cu două măsurători (exercițiile 10 și 16) apar frecvent la subiectele cu enunț realist și pun în valoare exact interpretarea pantei ca ritm. Lecția valorifică direct panta unei drepte și ecuația dreptei prin punct și pantă, pe care le presupune stăpânite.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația dreptei dacă știu două puncte? În doi pași: calculezi panta cu $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , apoi înlocuiești panta și unul dintre puncte în formula $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ . La final desfaci paranteza și izolezi $y$ .

Contează cu care dintre cele două puncte scriu ecuația? Nu. Ambele puncte se află pe dreaptă, iar formula descrie întreaga dreaptă, deci rezultatul final este identic. Alege punctul cu numerele mai simple, de exemplu cel care are un zero printre coordonate.

Există o formulă directă, fără să calculez separat panta? Da: $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ , din care ecuația iese prin înmulțire în cruce. Ea funcționează însă doar dacă $x_{1} \neq = x_{2}$ și $y_{1} \neq = y_{2}$ , deci nu acoperă dreptele orizontale și verticale.

Ce fac dacă cele două puncte au aceeași abscisă? Dreapta este verticală și nu are pantă, deci nu poți folosi formulele obișnuite. Ecuația se scrie direct din observație: $x = x_{1}$ . De exemplu, prin $(- 4, 1)$ și $(- 4, 6)$ trece dreapta $x = - 4$ .

Ce fac dacă cele două puncte au aceeași ordonată? Panta este zero, iar dreapta este orizontală: ecuația este $y = y_{1}$ . Prin $(2, 7)$ și $(6, 7)$ trece dreapta $y = 7$ .

Cum verific dacă ecuația găsită este corectă? Înlocuiești pe rând abscisele celor două puncte în ecuație și verifici că obții ordonatele lor. Verificarea pe un singur punct nu e suficientă: dacă ai scris ecuația pornind de la acel punct, el va verifica ecuația chiar și cu o pantă greșită.

Cum aduc ecuația la forma generală cu coeficienți întregi? Muți toți termenii într-un membru și înmulțești cu numitorul comun al fracțiilor. Din $y = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ obții $2 y = 3 x - 1$ , adică $3 x - 2 y - 1 = 0$ .

La ce folosesc două măsurători într-o problemă practică? Dacă mărimea variază uniform, cele două măsurători sunt două puncte ale unei drepte, iar ecuația lor îți dă legea completă: panta este ritmul (lei pe minut, centimetri pe oră), iar termenul liber este valoarea inițială. Cu legea în mână poți face predicții pentru orice altă valoare.