Intersecția a două drepte și interpretarea ei

Două firme îți oferă acces la o sală de sport. Prima cere $20$ de lei taxă de înscriere și $2$ lei pe fiecare oră petrecută acolo; a doua cere $50$ de lei taxă și doar $0, 5$ lei pe oră. Care e mai avantajoasă? Răspunsul corect nu este „prima" sau „a doua", ci depinde — și există un număr de ore exact la care cele două costuri devin egale. Sub el câștigă o ofertă, peste el cealaltă.

Dacă scrii cele două costuri ca funcții de numărul de ore, obții două drepte. Punctul în care ele se taie este exact pragul căutat. Aceasta e ideea lecției: intersecția a două drepte se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor, iar punctul obținut are, în problemele reale, un înțeles precis — momentul de echilibru, prețul de echilibru, locul întâlnirii. Vei învăța și ce se întâmplă când sistemul nu are soluție sau are o infinitate: geometria îți spune, în acele cazuri, că dreptele sunt paralele sau confundate.

Ce vei învăța

Vei ști să afli punctul de intersecție a două drepte rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.
Vei ști să alegi între metoda substituției și metoda reducerii, în funcție de forma ecuațiilor.
Vei ști să interpretezi geometric cele trei situații posibile ale unui sistem liniar: soluție unică (drepte secante), fără soluție (drepte paralele), o infinitate de soluții (drepte confundate).
Vei ști să decizi poziția a două drepte doar comparând pantele sau coeficienții, fără să rezolvi sistemul.
Vei ști să tratezi cazurile speciale în care una dintre drepte este verticală sau orizontală.
Vei ști să folosești punctul de intersecție în probleme practice și să determini un parametru dintr-o condiție de paralelism sau de concurență.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un punct de intersecție

Un punct $P$ aparține unei drepte dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ecuația acelei drepte. Prin urmare, $P$ aparține ambelor drepte dacă și numai dacă coordonatele lui verifică ambele ecuații simultan. Iar „ambele condiții în același timp" se scrie matematic printr-un sistem:

$d_{1} \cap d_{2} : {ecua ț ia lui d_{1} ecua ț ia lui d_{2}$

Aceasta este toată teoria lecției. Punctele comune a două drepte sunt exact soluțiile sistemului format din ecuațiile lor; nu trebuie nici să desenezi, nici să ghicești. Iar dacă la un moment dat uiți metoda, întreabă-te doar: „ce condiții trebuie să îndeplinească punctul căutat?" — și sistemul se scrie singur.

2. Metoda substituției

Când ambele drepte sunt date sub forma explicită $y = m x + n$ , cea mai rapidă cale e să egalezi cei doi membri drepți: dacă punctul e pe amândouă, aceeași abscisă îi dă aceeași ordonată.

Fie $d_{1} : y = 2 x - 1$ și $d_{2} : y = - x + 5$ . Egalăm:

$2 x - 1 = - x + 5 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2.$

Înlocuim în oricare dintre ecuații pentru a afla ordonata: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Deci $d_{1} \cap d_{2} = {P (2, 3)}$ .

Verificarea e obligatorie și durează două secunde: înlocuim în cealaltă ecuație, $y = - 2 + 5 = 3$ ✓. Dacă cele două valori nu coincid, ai greșit undeva.

Aceeași metodă funcționează și când doar una dintre ecuații e explicită: exprimi o necunoscută din ecuația mai simplă și o substitui în cealaltă.

3. Metoda reducerii

Când dreptele sunt date sub forma generală, e mai comod să combini ecuațiile astfel încât o necunoscută să dispară. Fie

${2 x + 3 y = 12 x - y = 1$

Din a doua ecuație, $x = y + 1$ . Substituim în prima: $2 (y + 1) + 3 y = 12 \Rightarrow 5 y + 2 = 12 \Rightarrow y = 2$ , deci $x = 3$ . Punctul de intersecție este $P (3, 2)$ .

Alternativ, prin reducere directă: înmulțim a doua ecuație cu $3$ și o adunăm la prima: $2 x + 3 y + 3 x - 3 y = 12 + 3$ , deci $5 x = 15$ și $x = 3$ ; apoi $y = x - 1 = 2$ . Același rezultat, alt drum.

Verificare: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ ✓ și $3 - 2 = 1$ ✓.

Alegerea metodei ține de comoditate: substituția e naturală când o necunoscută e deja izolată sau are coeficientul $1$ ; reducerea e naturală când coeficienții aceleiași necunoscute sunt opuși sau ușor de făcut opuși.

4. Cele trei situații posibile și înțelesul lor geometric

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute nu are întotdeauna soluție unică. Iată tabloul complet, cu traducerea geometrică:

Sistemul	Soluții	Poziția dreptelor
compatibil determinat	exact una	secante — se taie într-un punct
incompatibil	niciuna	paralele distincte — nu au niciun punct comun
compatibil nedeterminat	o infinitate	confundate — sunt aceeași dreaptă

Cazul „fără soluție". Fie $d_{1} : y = 2 x + 3$ și $d_{2} : y = 2 x - 1$ . Egalând: $2 x + 3 = 2 x - 1$ , deci $3 = - 1$ — fals, indiferent de $x$ . Sistemul e incompatibil, iar geometric e limpede de ce: cele două drepte au aceeași pantă, $2$ , deci sunt paralele, iar ordonatele la origine diferă, deci nu se suprapun. Nu au niciun punct comun.

Cazul „o infinitate de soluții". Fie $d_{1} : x + y = 4$ și $d_{2} : 3 x + 3 y = 12$ . A doua ecuație este pur și simplu prima înmulțită cu $3$ : aceeași condiție, scrisă altfel. Cele două drepte sunt confundate, iar orice punct al uneia este punct al celeilalte. Sistemul are o infinitate de soluții.

Reține concluzia importantă: o egalitate falsă de tipul $3 = - 1$ înseamnă drepte paralele; o egalitate banal adevărată de tipul $0 = 0$ înseamnă drepte confundate. Nu sunt greșeli de calcul, ci răspunsuri.

5. Decizia rapidă, doar din pante

De multe ori nu ai nevoie de soluție, ci doar de poziția relativă. Dacă ambele drepte sunt date sub forma $y = m x + n$ , comparația e imediată:

$m_{1} \neq = m_{2}$ $\Rightarrow$ secante: direcții diferite, deci se intersectează într-un punct și numai unul;
$m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} \neq = n_{2}$ $\Rightarrow$ paralele distincte: aceeași direcție, înălțimi diferite;
$m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} = n_{2}$ $\Rightarrow$ confundate: aceeași ecuație.

Este exact criteriul de paralelism construit pe baza pantei, iar recunoașterea tipului fiecărei drepte (subiectul lecției Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică) îți spune dinainte când poți aplica acest criteriu și când nu.

Pentru forma generală $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ și $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ , criteriul se scrie cu rapoarte de coeficienți — cu condiția, firească, ca toți numitorii care apar să fie nenuli:

$\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} (secante), \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} (paralele), \frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} (confundate) .$

Un exemplu: $2 x - 3 y + 1 = 0$ și $4 x - 6 y - 5 = 0$ . Avem $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ și $\frac{- 3}{- 6} = \frac{1}{2}$ , dar $\frac{1}{- 5} \neq = \frac{1}{2}$ : dreptele sunt paralele distincte. Într-adevăr, explicitând, ambele au panta $\frac{2}{3}$ , dar ordonate la origine diferite.

6. Când una dintre drepte e verticală sau orizontală

Aceste cazuri sunt cele mai simple, dar tocmai de aceea sunt uneori tratate greșit — elevii încearcă să aplice o metodă generală acolo unde răspunsul se citește direct.

Verticală și orizontală: $x = 3$ și $y = - 2$ se taie în $P (3, - 2)$ . Nici nu e nevoie de calcul: fiecare ecuație fixează câte o coordonată.
Verticală și oblică: pentru $x = - 1$ și $y = 2 x + 5$ , înlocuiești direct $x = - 1$ în a doua și obții $y = 3$ , deci $P (- 1, 3)$ .
Orizontală și oblică: pentru $y = 4$ și $2 x - y = 6$ , înlocuiești $y = 4$ și obții $2 x = 10$ , deci $x = 5$ și $P (5, 4)$ .
Două verticale ( $x = 2$ și $x = 5$ ) sunt paralele; două orizontale ( $y = 1$ și $y = 7$ ) la fel. Dacă abscisele (respectiv ordonatele) coincid, dreptele sunt confundate.
O verticală și o orizontală sunt întotdeauna secante, iar unghiul lor este drept.

7. Interpretarea în probleme reale

Aici se vede de ce merită învățată lecția. Când două drepte descriu două procese, punctul lor de intersecție este momentul (sau valoarea) în care cele două procese devin egale:

două oferte de preț — punctul de intersecție e pragul de rentabilitate: sub el convine o ofertă, peste el cealaltă;
două rezervoare, unul care se golește și unul care se umple — punctul de intersecție e momentul în care conțin la fel de mult;
două mobile care se deplasează — punctul de intersecție al graficelor spațiu–timp e momentul întâlnirii;
cerere și ofertă în economie — punctul de intersecție e prețul de echilibru.

Să rezolvăm problema din deschidere. Costul la prima sală, după $x$ ore, este $C_{1} = 20 + 2 x$ ; la a doua, $C_{2} = 50 + 0, 5 x$ . Egalăm:

$20 + 2 x = 50 + 0, 5 x \Rightarrow 1, 5 x = 30 \Rightarrow x = 20,$

iar costul comun este $C = 20 + 2 \cdot 20 = 60$ de lei. Interpretarea: la exact $20$ de ore pe lună cele două oferte costă la fel, câte $60$ de lei. Sub $20$ de ore e mai ieftină prima (taxa mică de înscriere contează mai mult), peste $20$ de ore e mai ieftină a doua (tariful orar mic contează mai mult). Iată un răspuns pe care „la ochi" nu-l puteai da.

Observă și ce înseamnă geometric cele două numere din fiecare ecuație: ordonata la origine este costul fix, iar panta este costul pe oră — legătură pe care ai construit-o studiind intersecțiile dreptei cu axele de coordonate.

8. Trei drepte concurente

Un tip de cerință care apare des: se dau trei drepte și se cere valoarea unui parametru pentru care ele sunt concurente, adică trec toate prin același punct.

Strategia e mereu aceeași: afli întâi punctul de intersecție al celor două drepte complet cunoscute, apoi impui ca a treia să treacă prin el.

Exemplu: $d_{1} : y = 2 x - 1$ , $d_{2} : y = - x + 5$ , $d_{3} : y = k x + 1$ . Am văzut că $d_{1} \cap d_{2} = P (2, 3)$ . Impunem ca $P$ să fie pe $d_{3}$ : $3 = 2 k + 1 \Rightarrow k = 1$ . Deci pentru $k = 1$ cele trei drepte sunt concurente în $P (2, 3)$ .

Nu porni niciodată cu dreapta care conține parametrul — ai lucra cu litere în ambii membri, fără niciun folos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Forma explicită, prin egalare

Determinați punctul de intersecție al dreptelor $d_{1} : y = 2 x - 1$ și $d_{2} : y = - x + 5$ .

Rezolvare. Egalăm ordonatele: $2 x - 1 = - x + 5 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ .

Înlocuim în $d_{1}$ : $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ .

Verificare în $d_{2}$ : $y = - 2 + 5 = 3$ ✓. Deci $d_{1} \cap d_{2} = {P (2, 3)}$ . $■$

Exemplul 2 — Forma generală, prin reducere

Rezolvați sistemul ${3 x - 2 y = 5 x + 2 y = 7$ și interpretați geometric rezultatul.

Rezolvare. Coeficienții lui $y$ sunt opuși, deci adunăm ecuațiile: $4 x = 12 \Rightarrow x = 3$ . Din a doua ecuație: $3 + 2 y = 7 \Rightarrow y = 2$ .

Verificare în prima: $3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 5$ ✓.

Interpretare: sistemul e compatibil determinat, deci cele două drepte sunt secante și se taie în punctul $P (3, 2)$ . $■$

Exemplul 3 — Drepte paralele

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_{1} : y = 2 x + 3$ și $d_{2} : y = 2 x - 1$ .

Rezolvare. Pantele sunt egale ( $m_{1} = m_{2} = 2$ ), iar ordonatele la origine diferă ( $3 \neq = - 1$ ), deci dreptele sunt paralele distincte și nu au niciun punct comun.

Confirmare prin calcul: din $2 x + 3 = 2 x - 1$ rezultă $3 = - 1$ , egalitate falsă, deci sistemul este incompatibil. $■$

Exemplul 4 — Drepte confundate

Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_{1} : x + y = 4$ și $d_{2} : 3 x + 3 y = 12$ .

Rezolvare. Împărțind a doua ecuație la $3$ obținem $x + y = 4$ , adică exact prima ecuație. Rapoartele coeficienților confirmă: $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ .

Dreptele sunt confundate, sistemul are o infinitate de soluții, iar mulțimea lor este chiar dreapta $x + y = 4$ . $■$

Exemplul 5 — Problemă practică: două rezervoare

Un bazin conține $100$ de litri de apă și pierde $4$ litri pe minut. Un al doilea conține $40$ de litri și se umple cu $2$ litri pe minut. După cât timp au același volum și care este acesta?

Rezolvare. Notăm cu $t$ timpul în minute. Volumele sunt $V_{1} = 100 - 4 t$ și $V_{2} = 40 + 2 t$ — două drepte în reperul timp–volum, una descrescătoare, cealaltă crescătoare.

$100 - 4 t = 40 + 2 t \Rightarrow 60 = 6 t \Rightarrow t = 10.$

Volumul comun: $V = 100 - 4 \cdot 10 = 60$ de litri (verificare: $40 + 2 \cdot 10 = 60$ ✓).

Interpretare: după $10$ minute ambele bazine conțin câte $60$ de litri. Pantele fiind de semne contrare, dreptele sunt sigur secante — întâlnirea era garantată. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră dreptele $d_{1} : 2 x - y - 4 = 0$ și $d_{2} : x + y - 5 = 0$ . a) Determinați coordonatele punctului $P$ de intersecție. b) Arătați că $P$ se află în primul cadran. c) Calculați aria triunghiului determinat de $d_{1}$ , $d_{2}$ și axa $O y$ .

Rezolvare. a) Scriem sistemul ${2 x - y = 4 x + y = 5$ și adunăm ecuațiile: $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ , apoi $y = 5 - 3 = 2$ . Deci $P (3, 2)$ . Verificare: $2 \cdot 3 - 2 - 4 = 0$ ✓ și $3 + 2 - 5 = 0$ ✓.

b) Ambele coordonate sunt strict pozitive ( $3 > 0$ și $2 > 0$ ), deci $P$ este în cadranul I.

c) Aflăm unde taie fiecare dreaptă axa $O y$ , punând $x = 0$ : pentru $d_{1}$ , $- y - 4 = 0 \Rightarrow y = - 4$ , deci $A (0, - 4)$ ; pentru $d_{2}$ , $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$ , deci $B (0, 5)$ .

Triunghiul $A B P$ are baza $A B$ pe axa $O y$ , de lungime $A B = 5 - (- 4) = 9$ , iar înălțimea corespunzătoare este distanța de la $P$ la axa $O y$ , adică abscisa lui $P$ : $h = 3$ . Prin urmare

$A_{A B P} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13, 5. ■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, verifică soluția înlocuind-o în ambele ecuații și încheie cu o concluzie geometrică (secante, paralele sau confundate).

1. Determină punctul de intersecție al dreptelor $y = x + 2$ și $y = - x + 6$ .

2. Determină punctul de intersecție al dreptelor $y = 3 x - 5$ și $y = x + 1$ .

3. Rezolvă sistemul ${2 x + y = 7 x - y = 2$ și interpretează geometric soluția.

4. Rezolvă sistemul ${3 x - 2 y = 5 x + 2 y = 7$ și interpretează geometric soluția.

5. Stabilește poziția relativă a dreptelor $y = 2 x + 3$ și $y = 2 x - 1$ .

6. Stabilește poziția relativă a dreptelor $x + y = 4$ și $3 x + 3 y = 12$ .

7. Determină punctul de intersecție al dreptelor $x = 3$ și $y = - 2$ .

8. Determină punctul de intersecție al dreptelor $x = - 1$ și $y = 2 x + 5$ .

9. Determină punctul de intersecție al dreptelor $y = 4$ și $2 x - y = 6$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două drepte cu pante diferite se intersectează întotdeauna într-un singur punct."

11. Determină $m \in R$ astfel încât dreptele $y = m x + 2$ și $y = 4 x - 1$ să fie paralele.

12. Determină $m \in R$ astfel încât dreptele $y = (m - 1) x + 3$ și $y = 2 x + 3$ să fie confundate.

13. Stabilește poziția relativă a dreptelor $2 x - 3 y + 1 = 0$ și $4 x - 6 y - 5 = 0$ , folosind rapoartele coeficienților.

14. (Problemă aplicată.) Un bazin are $100$ de litri și pierde $4$ litri pe minut; altul are $40$ de litri și se umple cu $2$ litri pe minut. După cât timp au același volum și cât anume?

15. Determină $m \in R$ astfel încât dreptele $y = 2 x - 1$ , $y = - x + 5$ și $y = m x + 1$ să fie concurente.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră dreptele $d_{1} : 2 x - y - 4 = 0$ și $d_{2} : x + y - 5 = 0$ . a) Determină coordonatele punctului $P$ de intersecție. b) Arată că $P$ se află în primul cadran. c) Calculează aria triunghiului determinat de $d_{1}$ , $d_{2}$ și axa $O y$ .

17. Determină punctul în care dreapta $y = - 3 x + 8$ intersectează prima bisectoare, de ecuație $y = x$ .

18. (Provocare.) Determină $m \in R$ pentru care dreptele $d_{1} : y = m x + 1$ , $d_{2} : y = 2 x - 3$ și $d_{3} : y = - x + 3$ sunt concurente. Ce poziție are, pentru valoarea găsită, dreapta $d_{1}$ ?

Răspunsuri și explicații

1. $x + 2 = - x + 6 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ , iar $y = 2 + 2 = 4$ . Punctul este $P (2, 4)$ ; verificare în a doua ecuație: $- 2 + 6 = 4$ ✓. Dreptele sunt secante (pante $1$ și $- 1$ ).

2. $3 x - 5 = x + 1 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ , iar $y = 3 + 1 = 4$ . Punctul este $P (3, 4)$ ; verificare: $3 \cdot 3 - 5 = 4$ ✓.

3. Adunăm ecuațiile: $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ , apoi $y = x - 2 = 1$ . Soluția $(3, 1)$ este unică, deci dreptele sunt secante și se taie în $P (3, 1)$ . Verificare: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓.

4. Adunăm ecuațiile (coeficienții lui $y$ sunt opuși): $4 x = 12 \Rightarrow x = 3$ , apoi $2 y = 7 - 3 = 4 \Rightarrow y = 2$ . Dreptele sunt secante, cu punctul comun $P (3, 2)$ .

5. Pantele sunt egale ( $2 = 2$ ), ordonatele la origine diferite ( $3 \neq = - 1$ ): dreptele sunt paralele distincte. Egalând ecuațiile se obține $3 = - 1$ , fals, deci sistemul e incompatibil.

6. A doua ecuație este prima înmulțită cu $3$ , deci dreptele sunt confundate; sistemul are o infinitate de soluții, iar mulțimea lor este dreapta $x + y = 4$ .

7. Prima fixează abscisa, a doua ordonata, deci $P (3, - 2)$ . Dreptele sunt perpendiculare (una verticală, cealaltă orizontală).

8. Înlocuim $x = - 1$ în a doua ecuație: $y = 2 \cdot (- 1) + 5 = 3$ . Punctul este $P (- 1, 3)$ .

9. Înlocuim $y = 4$ : $2 x - 4 = 6 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ . Punctul este $P (5, 4)$ .

10. Adevărat. Pante diferite înseamnă direcții diferite, deci dreptele nu pot fi paralele și nici confundate; rămâne singura posibilitate, aceea de a fi secante. Sistemul lor este compatibil determinat, deci punctul comun este unic. (Observație: enunțul presupune implicit că ambele drepte au pantă, adică niciuna nu e verticală.)

11. Paralelismul cere pante egale: $m = 4$ . Ordonatele la origine diferă ( $2 \neq = - 1$ ), deci dreptele sunt paralele distincte, așa cum se cerea.

12. Dreptele sunt confundate când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine. Ordonatele la origine sunt deja egale ( $3 = 3$ ), deci rămâne $m - 1 = 2$ , adică $m = 3$ .

13. $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $\frac{- 3}{- 6} = \frac{1}{2}$ , dar $\frac{1}{- 5} \neq = \frac{1}{2}$ . Primele două rapoarte sunt egale, al treilea diferă, deci dreptele sunt paralele distincte.

14. $100 - 4 t = 40 + 2 t \Rightarrow 60 = 6 t \Rightarrow t = 10$ minute, iar volumul comun este $100 - 40 = 60$ de litri (verificare: $40 + 20 = 60$ ✓).

15. Aflăm întâi $d_{1} \cap d_{2}$ : $2 x - 1 = - x + 5 \Rightarrow x = 2$ , $y = 3$ , deci $P (2, 3)$ . Impunem ca $P$ să fie pe a treia dreaptă: $3 = 2 m + 1 \Rightarrow m = 1$ .

16. a) Adunând ecuațiile scrise ca $2 x - y = 4$ și $x + y = 5$ : $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ , $y = 2$ , deci $P (3, 2)$ . b) $3 > 0$ și $2 > 0$ , deci $P$ este în cadranul I. c) $d_{1} \cap O y = A (0, - 4)$ , $d_{2} \cap O y = B (0, 5)$ ; baza $A B = 9$ , înălțimea din $P$ pe $O y$ este abscisa lui $P$ , adică $3$ , deci aria este $\frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2}$ .

17. $- 3 x + 8 = x \Rightarrow 4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ , iar $y = x = 2$ . Punctul este $P (2, 2)$ — firesc, orice punct al primei bisectoare are abscisa egală cu ordonata.

18. Începem cu dreptele fără parametru: $2 x - 3 = - x + 3 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ , iar $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ , deci $d_{2} \cap d_{3} = Q (2, 1)$ . Impunem ca $Q$ să fie pe $d_{1}$ : $1 = 2 m + 1 \Rightarrow m = 0$ . Pentru $m = 0$ , dreapta $d_{1}$ devine $y = 1$ , adică o dreaptă orizontală, iar cele trei drepte sunt concurente în $Q (2, 1)$ .

De reținut

Punctele comune a două drepte sunt exact soluțiile sistemului format din ecuațiile lor; se rezolvă prin substituție (egalare, când ambele sunt de forma $y = m x + n$ ) sau prin reducere.
Soluție unică $\Leftrightarrow$ drepte secante; sistem incompatibil $\Leftrightarrow$ drepte paralele distincte; o infinitate de soluții $\Leftrightarrow$ drepte confundate. O egalitate falsă înseamnă paralele, una banal adevărată înseamnă confundate.
Din pante: $m_{1} \neq = m_{2}$ — secante; $m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} \neq = n_{2}$ — paralele; $m_{1} = m_{2}$ și $n_{1} = n_{2}$ — confundate.
Din forma generală: $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ — secante; $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ — paralele; toate trei rapoartele egale — confundate.
În problemele practice, punctul de intersecție înseamnă egalitatea celor două mărimi: pragul de rentabilitate al două oferte, momentul întâlnirii, prețul de echilibru. Pentru trei drepte concurente, afli întâi intersecția celor două fără parametru.

Greșeli frecvente

Oprirea după aflarea abscisei. Se calculează $x$ și se scrie „soluția este $2$ ". Punctul de intersecție are două coordonate; trebuie înlocuit $x$ înapoi în una dintre ecuații pentru a obține și $y$ .
Interpretarea unei egalități false ca greșeală de calcul. Când ajungi la $3 = - 1$ , nu ai greșit: dreptele sunt paralele și sistemul nu are soluție. Analog, $0 = 0$ înseamnă drepte confundate, nu calcul ratat.
Confuzia „paralele" — „confundate". Ambele au aceeași pantă; deosebirea o fac ordonatele la origine. Dacă și acestea coincid, dreptele sunt aceeași dreaptă, deci au o infinitate de puncte comune.
Uitarea verificării în a doua ecuație. Un punct trebuie să verifice ambele ecuații. Verificarea într-una singură nu spune nimic și lasă greșelile nedetectate.
Pornirea de la dreapta cu parametru la problemele de concurență. Corect este să afli întâi punctul comun al celor două drepte complet cunoscute și abia apoi să impui condiția pentru a treia.

Aplică acasă

Compară două abonamente reale. Alege două oferte de telefonie, de internet sau de transport care au o parte fixă și una variabilă. Scrie pentru fiecare ecuația costului în funcție de consum, află punctul de intersecție și spune, în cuvinte, de la ce prag devine mai avantajoasă a doua ofertă. Care ți se potrivește ție, după consumul tău real?
Întâlnirea din drum. Doi membri ai familiei pleacă din locuri diferite unul spre celălalt, mergând pe același traseu. Notează distanțele față de un punct de referință, din cinci în cinci minute. Reprezintă cele două seturi de puncte într-un reper timp–distanță, trage câte o dreaptă prin fiecare și estimează grafic momentul întâlnirii; apoi calculează-l exact prin sistem și compară.
Cursa apei. Umple un vas cu apă și lasă-l să se scurgă printr-un orificiu mic, notând nivelul din minut în minut. Fă același lucru cu un al doilea vas pe care îl umpli constant. Scrie cele două ecuații liniare aproximative și determină, prin calcul, momentul în care nivelurile ar fi egale. Verifică apoi experimental cât de aproape ai fost.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de geometrie analitică din trunchiul comun și răspunde unui obiectiv explicit al programei: determinarea punctului de intersecție a două drepte în contexte diverse, precum și interpretarea coordonatelor acestui punct ca soluție a unui sistem de ecuații, cu semnificația ei în contextul practic dat. Este, de fapt, prima întâlnire serioasă a elevului cu ideea că un obiect algebric (sistemul liniar) și unul geometric (poziția a două drepte) sunt două fețe ale aceluiași lucru — o idee care va reveni la funcția de gradul al doilea, la intersecția dreptei cu parabola și, mai târziu, la sisteme de dimensiuni mai mari.

Întrebări bune de control: „Cum afli punctul de intersecție a două drepte?" (rezolvi sistemul format din ecuațiile lor); „Ce înseamnă, geometric, un sistem fără soluție?" (drepte paralele distincte); „Dar unul cu o infinitate de soluții?" (drepte confundate); „Cum decizi poziția relativă fără să rezolvi sistemul?" (compari pantele, sau rapoartele coeficienților); „Ce reprezintă punctul de intersecție într-o problemă cu două oferte de preț?" (pragul de la care avantajul se schimbă). Semne că elevul a înțeles: nu se sperie când ajunge la o egalitate falsă, ci o interpretează; verifică soluția în ambele ecuații; alege singur metoda de rezolvare potrivită formei ecuațiilor; explică în cuvinte obișnuite ce înseamnă punctul găsit.

La teze și la Bacalaureat, cerința apare atât direct („determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor $d_{1}$ și $d_{2}$ "), cât și ca prim pas într-o problemă compusă: aria unui triunghi format de două drepte cu o axă, condiția de concurență a trei drepte, determinarea unui parametru pentru paralelism. Recomandăm exersarea formatului din exercițiul 16, care combină rezolvarea sistemului cu o cerință de arie — este structura tipică a subiectului de geometrie analitică.

Întrebări frecvente

Cum aflu punctul de intersecție a două drepte? Rezolvi sistemul format din ecuațiile celor două drepte. Dacă ambele sunt scrise ca $y = m x + n$ , cel mai simplu este să egalezi expresiile lui $y$ , să afli $x$ și apoi să înlocuiești pentru a obține $y$ .

Ce înseamnă că un sistem de două ecuații nu are soluție? Înseamnă că dreptele corespunzătoare sunt paralele distincte: au aceeași direcție, dar nu se suprapun, deci nu au niciun punct comun. În calcul, ajungi la o egalitate falsă, de tipul $3 = - 1$ .

Ce înseamnă că sistemul are o infinitate de soluții? Înseamnă că cele două ecuații descriu aceeași dreaptă — dreptele sunt confundate. O ecuație se obține din cealaltă înmulțind cu un număr nenul, iar în calcul ajungi la o egalitate mereu adevărată, de tipul $0 = 0$ .

Cum știu dacă două drepte sunt paralele fără să rezolv sistemul? Compari pantele: dacă sunt egale, dreptele sunt paralele (distincte dacă ordonatele la origine diferă, confundate dacă sunt și ele egale). Pentru forma generală, compari rapoartele coeficienților lui $x$ și ai lui $y$ .

Se pot intersecta două drepte în mai mult de un punct? Nu, decât dacă sunt confundate — și atunci au toate punctele comune. Două drepte distincte au fie exact un punct comun (secante), fie niciunul (paralele); nu există o situație intermediară.

Cum procedez dacă una dintre drepte este verticală? Nu poți compara pantele, pentru că verticala nu are pantă, dar calculul e chiar mai simplu: înlocuiești direct valoarea fixă a lui $x$ în ecuația celeilalte drepte și afli imediat ordonata punctului comun.

Ce înseamnă punctul de intersecție într-o problemă cu două oferte de preț? Este pragul la care cele două oferte costă exact la fel. Sub acest prag e mai avantajoasă oferta cu taxa fixă mai mică, iar peste el cea cu tariful variabil mai mic — de aceea răspunsul unei astfel de probleme nu e niciodată „una dintre ele", ci „depinde de consum".

Cum arăt că trei drepte sunt concurente? Determini punctul de intersecție al primelor două drepte, apoi verifici dacă acest punct verifică ecuația celei de-a treia. Dacă în enunț apare un parametru, îl afli tocmai din condiția ca a treia dreaptă să treacă prin punctul găsit.