Cum arată o lucrare de final de an la clasa a IX-a

Există o teamă care se repetă în fiecare an, în fiecare clasă: „nu știu ce o să pice". E o teamă firească, dar, dacă stai puțin să te gândești, e și cea mai ușor de dezamorsat dintre toate. Pentru că o lucrare de final de an nu este o surpriză. Ea acoperă materia pe care ai făcut-o, în proporții previzibile, în forme pe care le-ai mai văzut, cu un punctaj construit după reguli publice. Un elev care știe cum arată lucrarea intră în sală cu un avantaj real față de unul care știe aceeași matematică, dar nu știe la ce să se aștepte.

Lecția aceasta îți dă exact acel avantaj. Vei vedea din ce este alcătuită o lucrare de final, cum îți împarți cele cincizeci de minute, ce anume dintr-o rezolvare aduce puncte și ce greșeli le pierd. Iar la final găsești un model complet de lucrare, cu barem și rezolvări, pe care îl poți da singur acasă, cu ceasul pe masă. Nu e o lecție de matematică nouă — e o lecție despre cum arăți ce știi. Și, sincer, mulți elevi pierd mai multe puncte din al doilea motiv decât din primul.

Ce vei învăța

• Vei ști din ce este alcătuită o lucrare de final de an: câte subiecte are, ce tip de cerințe conține fiecare și cum se distribuie cele $90$ de puncte.
• Vei ști să-ți faci un plan de timp pe cele $50$ de minute și să decizi în ce ordine ataci cerințele.
• Vei ști ce anume punctează un corector: pașii intermediari, formulele scrise explicit, justificările — nu doar rezultatul final.
• Vei ști să eviți greșelile care costă cel mai mult, de la condițiile de existență neverificate până la răspunsurile fără unitate de măsură.
• Vei ști cum arată verificarea din ultimele minute, cea care recuperează cel mai des două-trei puncte pierdute din grabă.
• Vei putea rezolva un model complet de lucrare, cu barem, ca simulare acasă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o lucrare de final de an

Lucrarea de final de an (teza, la multe școli) este o evaluare sumativă: ea nu verifică o lecție, ci un traseu întreg. De aici vin două consecințe practice pe care merită să le ai în minte.

Prima: subiectele sunt gradate. Începe cu lucruri pe care le poate face oricine a fost prezent la ore și urcă spre cerințe care cer legarea a două-trei noțiuni. Nimeni nu-ți pune cel mai greu exercițiu la început — deci, dacă primele cerințe ți se par simple, nu e o capcană, e proiectarea normală a unei lucrări.

A doua: materia e acoperită proporțional. Capitolele mari ale anului — mulțimi și logică, progresii, funcții și lecturi grafice, funcția de gradul al doilea, radicali, trigonometrie, iar la profilurile unde s-a studiat și geometria analitică — apar fiecare cu cel puțin o cerință. Asta înseamnă că nu poți „paria" pe un singur capitol, dar înseamnă și că nu trebuie să știi totul perfect ca să iei o notă bună: fiecare capitol stăpânit îți aduce punctele lui.

2. Structura pe subiecte

Formatul cel mai răspândit are trei subiecte și $90$ de puncte, la care se adaugă $10$ puncte din oficiu:

La Subiectul I contează rezultatul corect, dar și aici se cere calculul, nu doar cifra finală. La Subiectul al II-lea și al III-lea, punctajul se acordă pe pași: formula scrisă, condiția pusă, ecuația obținută, soluția, verificarea. De aceea o rezolvare începută corect și neterminată poate valora $3$ puncte din $5$, în timp ce un rezultat corect apărut din senin, fără nicio urmă de calcul, poate valora $1$ sau chiar $0$.

3. Planul de timp: cincizeci de minute, împărțite

Cea mai frecventă cauză a notelor mai mici decât ar merita elevul nu este necunoașterea, ci rămânerea blocat. Un plan simplu previne asta:

Observă că cele trei subiecte valorează la fel — câte $30$ de puncte —, dar nu cer același timp: Subiectul I se rezolvă rapid, în timp ce problemele cu context ale Subiectului al III-lea cer redactare completă. De aceea planul le alocă timp aproximativ proporțional cu efortul, nu cu punctajul.

Două reguli de disciplină, mai importante decât planul în sine. Prima: nu stai mai mult de trei minute blocat la o cerință. Treci mai departe, lasă spațiu liber pe foaie și revino. Un exercițiu de $5$ puncte nu merită zece minute atunci când, cu aceleași zece minute, poți lua $15$ puncte din alte părți. A doua: nu lăsa nicio cerință complet goală. Scrie formula pe care ai folosi-o, scrie condiția de existență, scrie ce ai calculat până te-ai oprit — sunt puncte care se acordă.

4. Ce vede corectorul: redactarea care aduce puncte

Un barem este o listă de pași cu punctaje. Corectorul nu îți citește gândul; îți citește foaia. Ce caută el, în ordine:

1. Datele problemei, transcrise. „Fie $a_1=3$ și $r=4$" — o linie, dar arată că ai înțeles enunțul.
2. Formula folosită, scrisă explicit. „$a_n=a_1+(n-1)r$" valorează puncte chiar înainte de a înlocui ceva.
3. Condițiile. La radicali, condiția de existență; la fracții, numitorul nenul; la ecuații de gradul al doilea cu parametru, semnul discriminantului. Sunt pași cu punctaj propriu.
4. Calculul, pe rânduri. Un rând, o operație. Calculele făcute în minte și „aterizate" direct în rezultat nu pot fi punctate parțial dacă rezultatul e greșit.
5. Concluzia, într-o propoziție. „Deci al zecelea termen este $39$." La problemele cu context, cu unitatea de măsură: „Sala are $891$ de locuri."

Adaugă la asta trei obiceiuri de formă care nu costă nimic: scrie lizibil, lasă un rând liber între cerințe, încadrează sau subliniază rezultatul final. Un corector care găsește ușor răspunsul îl punctează ușor.

5. Cele cinci greșeli care costă cel mai mult

Sunt aceleași în fiecare an, în fiecare școală:

• Nu răspunzi la ce s-a cerut. Enunțul cere „determinați $m$", tu calculezi frumos rădăcinile și te oprești. Recitește cerința după ce ai terminat calculul.
• Sari condițiile de existență. La o ecuație cu radical, fără condiții obții soluții străine; la o fracție, o soluție care anulează numitorul. Sunt puncte pierdute la un pas care ia zece secunde.
• Pierzi o soluție. $x^2=9$ înseamnă $x=3$ sau $x=-3$; $\sin x=\frac{1}{2}$ are două familii de soluții pe o perioadă. Întreabă-te mereu: „câte soluții ar trebui să aibă?".
• Uiți unitatea de măsură sau contextul. La o problemă cu locuri într-o sală, răspunsul $891$ e incomplet fără „de locuri"; iar dacă îți iese un număr negativ de locuri sau un timp negativ, ai o soluție de respins, nu una de scris.
• Nu verifici nimic la final. Minutele de verificare de la final recuperează, statistic, mai multe puncte decât rezolvarea încă unei cerințe grele.

6. Verificarea din ultimele minute

Verificarea nu înseamnă „mai citesc o dată". Înseamnă patru controale rapide, în această ordine:

1. Am răspuns la toate cerințele? Numără-le pe foaie. E incredibil cât de des rămâne o cerință neatinsă pentru că foaia s-a întors.
2. Soluțiile intră în condiții? Fiecare soluție a unei ecuații cu radical sau cu numitor se înlocuiește mental în condiție.
3. Rezultatele sunt plauzibile? O lungime negativă, o probabilitate mai mare decât $1$, un cosinus egal cu $1,4$ — toate strigă „eroare de calcul mai sus".
4. Am scris concluziile? Fiecare cerință se încheie cu o propoziție care spune rezultatul.

7. Săptămâna dinainte: cum se învață eficient

Recapitularea utilă are trei etaje, în ordinea aceasta. Întâi, fișa de formule de o pagină: progresii, funcția de gradul al doilea, radicali, trigonometrie de bază — scrise de mână, din memorie, apoi verificate. Apoi, exerciții rezolvate cu cronometrul, nu cu manualul deschis: mai bine cinci exerciții făcute singur decât douăzeci citite. La final, o simulare completă, cronometrată, cum e modelul din secțiunea „Să exersăm" — și abia după ea te uiți la barem.

Recapitulările pe capitole sunt gata pregătite pentru tine: Recapitulare: logică și progresii, Recapitulare: funcții și lecturi grafice, Recapitulare: trigonometrie și, la profilurile unde s-a studiat, Recapitulare: geometrie analitică.

8. În ziua lucrării

Dormi. Serios: o noapte de somn face pentru memorie mai mult decât încă două ore de citit după miezul nopții. Ia cu tine două pixuri, riglă și creion. Când primești foaia, respiră adânc de trei ori și citește tot, fără să scrii nimic în primele minute — creierul lucrează la primele cerințe și în timp ce citești ultimele.

Iar dacă te blochezi și simți valul de panică: pune pixul jos pentru zece secunde, uită-te pe fereastră, revino la o cerință ușoară. Un exercițiu rezolvat este cel mai bun calmant din sala de clasă.

Exemple rezolvate

Fiecare exemplu de mai jos e însoțit de modul în care se acordă punctele — ca să vezi concret ce înseamnă „punctaj pe pași".

Exemplul 1 — O cerință de Subiectul I

Calculați ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}$.

Rezolvare. ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$, deci expresia este $3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3$.

Cum se punctează ($5$ p): $3$ puncte pentru dezvoltarea corectă a pătratului, $2$ puncte pentru finalizare. Dacă scrii direct „$3$" fără dezvoltare și rezultatul e corect, primești punctajul; dacă scrii direct un rezultat greșit, nu primești nimic — pentru că nu e nimic de punctat parțial. De aceea calculul se scrie chiar și la cerințele scurte.

Exemplul 2 — Progresie aritmetică, redactare model

Într-o progresie aritmetică, $a_1=5$ și rația este $r=3$. Calculați $a_{20}$ și suma primilor $20$ de termeni.

Rezolvare. Formula termenului general: $a_n=a_1+(n-1)r$, deci $$a_{20}=5+19\cdot 3=5+57=62.$$ Formula sumei: $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$, deci $$S_{20}=\frac{(5+62)\cdot 20}{2}=67\cdot 10=670.$$

Cum se punctează ($5$ p): $1$ p formula termenului general, $1$ p valoarea $a_{20}=62$, $1$ p formula sumei, $2$ p calculul corect al sumei. Observă că formulele scrise valorează singure $2$ puncte din $5$ — chiar dacă apoi greșești o înmulțire.

Exemplul 3 — Funcția de gradul al doilea

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-3$. Determinați coordonatele vârfului, intersecțiile graficului cu axele și precizați valoarea maximă a funcției.

Rezolvare. Coeficienții: $a=-1$, $b=4$, $c=-3$, iar $\Delta =16-12=4$.

Vârful: $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2$ și $y_V=f(2)=-4+8-3=1$, deci $V(2,1)$.

Intersecția cu $Oy$: $f(0)=-3$, deci punctul $(0,-3)$.

Intersecțiile cu $Ox$: $-x^2+4x-3=0⟺x^2-4x+3=0$, cu soluțiile $x=1$ și $x=3$, deci punctele $(1,0)$ și $(3,0)$.

Cum $a<0$, parabola are ramurile în jos, deci funcția are valoare maximă egală cu $y_V=1$, atinsă pentru $x=2$.

Cum se punctează ($5$ p): $2$ p vârful, $1$ p intersecția cu $Oy$, $1$ p intersecțiile cu $Ox$, $1$ p precizarea maximului cu justificarea $a<0$. Fără acea justificare, ultimul punct se poate pierde chiar dacă valoarea e corectă.

Exemplul 4 — Ecuație cu radical: unde se pierd punctele

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+1}=x-1$.

Rezolvare. Condiții: $2x+1\ge 0$, adică $x\ge -\frac{1}{2}$, și $x-1\ge 0$ (membrul drept trebuie să fie nenegativ, fiind egal cu un radical), adică $x\ge 1$. Reținem $x\ge 1$.

Ridicăm la pătrat: $2x+1=x^2-2x+1$, deci $x^2-4x=0$, adică $x(x-4)=0$, cu $x=0$ sau $x=4$.

Verificarea: $x=0$ nu respectă condiția $x\ge 1$ — se respinge (într-adevăr, $\sqrt{1}=1\ne -1$). Pentru $x=4$: $\sqrt{9}=3$ și $4-1=3$ ✓. Soluția este $x=4$.

Cum se punctează ($5$ p): $1$ p condițiile de existență, $2$ p ecuația obținută după ridicarea la pătrat, $1$ p rezolvarea ei, $1$ p respingerea motivată a soluției străine. Un elev care scrie „$x\in \{0,4\}$" pierde ultimul punct chiar dacă tot restul e impecabil.

Exemplul 5 — Problemă cu context, de tip Subiectul III

Un taxi percepe o taxă de pornire de $8$ lei și $2,5$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. a) Cât costă o cursă de $12$ km? b) Câți kilometri s-au parcurs, dacă s-au plătit $48$ de lei?

Rezolvare. Notăm cu $x$ numărul de kilometri și cu $C(x)$ costul cursei, în lei. Atunci $C(x)=8+2,5x$ — o funcție afină.

a) $C(12)=8+2,5\cdot 12=8+30=38$. Cursa costă $38$ de lei.

b) Rezolvăm $8+2,5x=48$, deci $2,5x=40$ și $x=16$. S-au parcurs $16$ km.

Cum se punctează ($10$ p): $3$ p stabilirea modelului $C(x)=8+2,5x$, $3$ p punctul a) cu concluzia în lei, $4$ p punctul b) cu ecuația scrisă și concluzia în kilometri. Observă că modelul valorează aproape o treime din punctaj: la problemele cu context, traducerea enunțului în limbaj matematic este cerința reală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$, unde $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $\mathrm{tg}x$. c) Calculați $\sin (\pi -x)+\cos (\pi -x)$.

Rezolvare. a) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$. Cum $x$ se află în cadranul al II-lea, cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{3}{5}$.

b) $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$.

c) Din formulele de reducere, $\sin (\pi -x)=\sin x=\frac{4}{5}$ și $\cos (\pi -x)=-\cos x=\frac{3}{5}$, deci suma este $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$.

Cum se punctează ($10$ p): $2$ p formula fundamentală, $2$ p discuția semnului după cadran, $2$ p tangenta, $4$ p ultimul punct (câte $2$ p pentru fiecare formulă de reducere aplicată corect). Discuția semnului este pasul pe care îl uită cei mai mulți elevi — și e singurul care deosebește un răspuns corect de unul greșit ca semn.

Să exersăm

Ce urmează este un model complet de lucrare de final de an: cerințele $1$–$15$ formează lucrarea propriu-zisă, de $90$ de puncte, plus $10$ puncte din oficiu. Dă-o acasă, cu ceasul pe masă, în $50$ de minute, fără manual și fără calculator. Abia după ce ai terminat, treci la baremul din secțiunea următoare. Cerințele $16$–$18$ sunt de antrenament, pentru după lucrare.

Subiectul I (30 de puncte — câte 5 puncte pentru fiecare cerință; scrie și calculul, nu doar rezultatul)

1. Calculați $\sqrt{50}-3\sqrt{2}$.

2. Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_1=3$ și rația $r=4$. Calculați $a_{10}$.

3. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2-7x+10=0$.

4. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$.

5. Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\cos x$.

6. Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\left\{x\in \mathbb{Z}|-3\le 2x+1\le 7\right\}$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte — câte 5 puncte pentru fiecare cerință; se punctează pașii rezolvării)

7. Într-o progresie geometrică se cunosc $b_1=2$ și rația $q=3$. Calculați suma primilor $5$ termeni.

8. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. Determinați intersecțiile graficului cu axele de coordonate și coordonatele vârfului.

9. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+7}=x+1$.

10. Calculați $E=\sin 150^{\circ }+\cos 120^{\circ }+\mathrm{tg}135^{\circ }$.

11. Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_3=7$ și $a_7=19$. Determinați rația, primul termen și suma primilor $20$ de termeni.

12. Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $x^2-5x+6\le 0$. (La profilurile la care s-a studiat geometria analitică, cerința se poate înlocui cu: determinați ecuația dreptei care trece prin punctele $A(1,2)$ și $B(4,6)$.)

Subiectul al III-lea (30 de puncte — câte 10 puncte pentru fiecare problemă; se cere rezolvare completă)

13. (Problemă aplicată.) O sală de spectacol are $18$ rânduri de scaune. Primul rând are $24$ de locuri, iar fiecare rând următor are cu $3$ locuri mai mult decât cel dinaintea lui. a) Câte locuri are rândul al $12$-lea? b) Câte locuri are sala în total? c) Care este primul rând care are cel puțin $60$ de locuri?

14. De pe o terasă înaltă de $25$ de metri se aruncă vertical în sus o minge. Înălțimea ei față de sol, după $t$ secunde, este $h(t)=-5t^2+20t+25$ (metri). a) La ce înălțime se află mingea în momentul aruncării? b) După cât timp atinge înălțimea maximă și care este aceasta? c) După cât timp ajunge mingea la sol?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\sin x=\frac{12}{13}$, unde $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $\mathrm{tg}x$. c) Arătați că ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$ și calculați valoarea acestei expresii.

După lucrare (exerciții de antrenament, nepunctate)

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La o cerință la care nu ajung la rezultatul final, e mai bine să nu scriu nimic, ca să nu greșesc."

17. Presupune că ți-au mai rămas $12$ minute și că ai netratate: cerința $6$ (5 p), cerința $11$ (5 p) și problema $14$ (10 p), din care știi sigur doar punctul a). În ce ordine le abordezi și cât timp aloci fiecăreia? Justifică-ți alegerea în două-trei rânduri.

18. (Provocare.) Scrie tu baremul cerinței $9$ (ecuația cu radical), împărțind cele $5$ puncte pe pași, apoi corectează cu el rezolvarea ta. Câte puncte îți dai și pentru ce anume?

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

1. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, deci $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$. (3 p scoaterea factorului de sub radical, 2 p finalizarea.)

2. $a_{10}=a_1+9r=3+9\cdot 4=3+36=39$. (2 p formula, 3 p calculul.)

3. $\Delta =49-40=9$, deci $x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$, adică $x\in \{2,5\}$. (2 p discriminantul, 3 p soluțiile; se acceptă și rezolvarea prin Viète: două numere cu suma $7$ și produsul $10$.)

4. $x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$ și $y_V=f(3)=9-18+5=-4$, deci $V(3,-4)$. (2 p abscisa, 3 p ordonata.)

5. ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, iar în cadranul I cosinusul este pozitiv, deci $\cos x=\frac{4}{5}$. (3 p formula fundamentală, 2 p discuția semnului — fără ea, un punct se pierde.)

6. $-3\le 2x+1\le 7⟺-4\le 2x\le 6⟺-2\le x\le 3$. Numerele întregi din acest interval sunt $-2,-1,0,1,2,3$, deci $A$ are $6$ elemente. (3 p rezolvarea dublei inegalități, 2 p numărarea corectă — atenție, sunt $6$, nu $5$: capetele se includ.)

Subiectul al II-lea

7. $S_5=b_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}=2\cdot \frac{243-1}{2}=242$. (2 p formula, 1 p $q^5=243$, 2 p finalizarea.) Control: $2+6+18+54+162=242$ ✓.

8. $\Delta =16-12=4$, deci ecuația $x^2-4x+3=0$ are soluțiile $1$ și $3$: intersecțiile cu $Ox$ sunt $(1,0)$ și $(3,0)$. Intersecția cu $Oy$: $f(0)=3$, deci $(0,3)$. Vârful: $x_V=2$, $y_V=4-8+3=-1$, deci $V(2,-1)$. (2 p intersecțiile cu $Ox$, 1 p cu $Oy$, 2 p vârful.)

9. Condiții: $x+7\ge 0$ și $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$. Ridicăm la pătrat: $x+7=x^2+2x+1$, adică $x^2+x-6=0$, cu soluțiile $x=2$ și $x=-3$. Valoarea $-3$ nu respectă condiția $x\ge -1$ și se respinge. Verificare pentru $x=2$: $\sqrt{9}=3=2+1$ ✓. Soluția: $x=2$. (1 p condițiile, 2 p ecuația de gradul al doilea, 1 p soluțiile ei, 1 p respingerea motivată.)

10. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$; $\cos 120^{\circ }=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$; $\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$. Deci $E=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-1$. (Câte 1 p pentru fiecare valoare redusă corect la primul cadran, 2 p finalizarea; semnele sunt esențiale.)

11. $a_7-a_3=4r=19-7=12$, deci $r=3$. Apoi $a_1=a_3-2r=7-6=1$. Suma: $S_{20}=\frac{\left[2a_1+19r\right]\cdot 20}{2}=\frac{(2+57)\cdot 20}{2}=59\cdot 10=590$. (2 p rația, 1 p primul termen, 2 p suma.)

12. Rădăcinile trinomului sunt $2$ și $3$; cum coeficientul dominant este pozitiv, expresia este negativă între rădăcini. Deci $x\in [2,3]$ (capetele se includ, pentru că inecuația este cu $\le$). (2 p rădăcinile, 1 p tabelul de semn sau justificarea, 2 p intervalul cu capete corecte.) Varianta de geometrie analitică: panta este $m=\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$, iar ecuația dreptei este $y-2=\frac{4}{3}(x-1)$, adică $4x-3y+2=0$. Verificare: $A$: $4-6+2=0$ ✓; $B$: $16-18+2=0$ ✓.

Subiectul al III-lea

13. Numărul de locuri pe rânduri formează o progresie aritmetică cu $a_1=24$ și $r=3$. (2 p identificarea modelului.) a) $a_{12}=24+11\cdot 3=57$ locuri. (3 p) b) $a_{18}=24+17\cdot 3=75$, deci $S_{18}=\frac{(24+75)\cdot 18}{2}=99\cdot 9=891$ de locuri. (3 p) c) Căutăm cel mai mic $n$ cu $24+3(n-1)\ge 60$, adică $3(n-1)\ge 36$, deci $n\ge 13$: primul rând cu cel puțin $60$ de locuri este rândul al $13$-lea (are exact $60$). (2 p)

14. a) La momentul aruncării, $t=0$: $h(0)=25$ metri — chiar înălțimea terasei. (2 p) b) Funcția e de gradul al doilea cu $a=-5<0$, deci are maxim în vârf: $t_V=-\frac{20}{2\cdot (-5)}=2$ secunde, iar $h(2)=-20+40+25=45$ de metri. (4 p — 2 p momentul, 2 p înălțimea; justificarea $a<0$ face parte din rezolvare.) c) La sol, $h(t)=0$: $-5t^2+20t+25=0⟺t^2-4t-5=0$, cu soluțiile $t=5$ și $t=-1$. Timpul nu poate fi negativ, deci mingea ajunge la sol după $5$ secunde. (4 p — 2 p ecuația, 1 p soluțiile, 1 p respingerea motivată a valorii negative.)

15. a) ${\cos }^{2}x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$; în cadranul al II-lea cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{5}{13}$. (3 p, dintre care 1 p pentru semn.) b) $\mathrm{tg}x=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}$. (2 p) c) ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$, folosind formula fundamentală. Valoarea: $\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}$. (5 p — 3 p descompunerea în factori și folosirea formulei fundamentale, 2 p valoarea numerică.)

Total: $30+30+30=90$ de puncte, plus $10$ din oficiu. Peste $90$ de puncte înseamnă foarte bine; între $75$ și $89$, bine; între $60$ și $74$, satisfăcător; sub $60$, reia capitolele la care ai pierdut cele mai multe puncte.

Exerciții de antrenament

16. Fals. Baremul punctează pași, nu doar rezultatul final: formula scrisă, condiția pusă, ecuația obținută valorează puncte chiar dacă nu ajungi la capăt. O cerință lăsată complet goală valorează cu certitudine $0$ puncte, în timp ce una începută corect valorează aproape întotdeauna ceva. Regula practică: scrie măcar formula pe care ai folosi-o.

17. Ordinea rațională: întâi cerința $6$ și cerința $11$ (câte $5$ puncte fiecare, ambele scurte și cu formule cunoscute — să zicem $3$ minute fiecare), apoi punctul a) de la problema $14$, care e imediat ($1$ minut), și abia în minutele rămase încerci punctele b) și c). Motivul: puncte pe minut. Două cerințe scurte îți aduc $10$ puncte în $6$ minute, în timp ce o problemă grea ar putea consuma tot timpul pentru $10$ puncte incerte. În ultimele minute, scrie formulele pe care le-ai folosi la punctele netratate — pot aduce punctaj parțial.

18. Un barem rezonabil pentru cerința $9$: $1$ p pentru condițiile de existență ($x\ge -1$); $2$ p pentru ecuația $x^2+x-6=0$ obținută corect prin ridicare la pătrat; $1$ p pentru soluțiile $2$ și $-3$; $1$ p pentru respingerea motivată a lui $-3$ și scrierea concluziei. Corectează-te sincer: dacă ai scris ambele valori ca soluții, îți dai $4$ puncte din $5$ — iar punctul pierdut îți arată exact ce ai de exersat.

De reținut

• Lucrarea nu e o surpriză: trei subiecte gradate, $90$ de puncte plus $10$ din oficiu, materia acoperită proporțional pe capitole. Știind structura, intri în sală cu un plan, nu cu o teamă.
• Punctajul se acordă pe pași. Formula scrisă, condiția pusă, ecuația obținută valorează puncte chiar dacă nu ajungi la rezultat. Nicio cerință nu se lasă complet goală.
• Planul de timp: $5$ minute de citit tot, $13$ minute pentru Subiectul I, $14$ pentru al doilea, $12$ pentru al treilea și $6$ pentru revenire și verificare. Nu stai blocat mai mult de trei minute la o cerință.
• Verificarea are patru controale: am răspuns la toate cerințele, soluțiile respectă condițiile, rezultatele sunt plauzibile, concluziile sunt scrise cu unitate de măsură.
• Cele mai scumpe greșeli nu sunt de calcul: condiții sărite, soluții pierdute, răspuns la altă întrebare decât cea pusă, concluzie nescrisă. Toate se previn cu un obicei de redactare, nu cu mai multă matematică.

Greșeli frecvente

• Începi să scrii înainte să citești tot. Rezultatul: descoperi la minutul $40$ o cerință ușoară pe care nu mai ai timp să o faci. Primele cinci minute de lectură sunt investiție, nu pierdere.
• Te blochezi și rămâi blocat. Trei minute la o cerință de $5$ puncte sunt suficiente; după ele, treci mai departe și revii la final, cu mintea limpede.
• Rezolvi corect, dar nu scrii concluzia. „$x=16$" nu este același lucru cu „s-au parcurs $16$ km". La problemele cu context, concluzia are punctaj propriu în barem.
• Faci calculele pe ciornă și treci pe curat doar rezultatul. Dacă rezultatul e greșit, nu rămâne nimic de punctat. Pașii esențiali se trec pe foaia de lucrare, nu doar pe ciornă.
• Nu verifici plauzibilitatea. Un timp negativ, o lungime negativă, un cosinus mai mare decât $1$ sau un număr de locuri fracționar sunt semne că undeva mai sus e o greșeală — nu rezultate de scris ca atare.

Aplică acasă

1. Simularea cronometrată. Dă modelul de lucrare din această lecție acasă, în exact $50$ de minute, la masă, fără telefon și fără manual. Corectează-te apoi cu baremul și notează-ți nu doar punctajul, ci și unde ai pierdut punctele: la calcul, la condiții, la concluzii sau la timp.

2. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură coală, din memorie, formulele anului: termenul general și suma pentru cele două progresii, vârful și discriminantul la gradul al doilea, condițiile la radicali, valorile trigonometrice ale unghiurilor uzuale. Verifică apoi cu manualul și lasă coala la vedere în săptămâna dinaintea lucrării.

3. Corectorul de o zi. Schimbă foaia de simulare cu un coleg și corectați-vă reciproc, după baremul din lecție. Vei învăța enorm: e mult mai ușor să vezi un pas nescris în rezolvarea altcuiva decât într-a ta, iar data viitoare îl vei scrie tu, fără să te gândești.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu adaugă conținut matematic nou: ea îl organizează pentru evaluare. Rolul ei este să elimine sursele de pierdere de puncte care nu țin de cunoștințe — structura necunoscută a lucrării, gestionarea greșită a timpului, redactarea incompletă. Experiența la clasă arată că un elev de nivel mediu poate câștiga constant $8$–$12$ puncte din o sută doar prin disciplina de redactare și prin planul de timp, fără să învețe o formulă în plus.

Ce verifică lecția: dacă elevul cunoaște structura pe subiecte și punctajul; dacă își face un plan de timp și îl respectă; dacă scrie formulele și condițiile, nu doar rezultatele; dacă încheie fiecare cerință cu o concluzie, cu unitate de măsură acolo unde e cazul; dacă verifică plauzibilitatea rezultatelor. Întrebări bune de control: „Ce faci dacă te blochezi la a doua cerință?"; „De ce nu lași niciodată o cerință complet goală?"; „Ce verifici în ultimele cinci minute?".

Semne că a înțeles: dă simularea în timpul alocat, fără să sară cerințe; își corectează singur foaia cu baremul și își identifică tipul de greșeală; scrie condițiile de existență din reflex, înainte de a ridica la pătrat. Recomandarea practică pentru acasă: o singură simulare cronometrată, urmată de o discuție de zece minute despre unde s-au pierdut punctele, valorează mai mult decât trei ore de exerciții rezolvate cu manualul deschis alături. Aceleași obiceiuri de redactare sunt cele care vor conta, peste trei ani, la examenul de Bacalaureat.

Întrebări frecvente

Cum arată o lucrare de final de an la matematică în clasa a IX-a? De regulă are trei subiecte și $90$ de puncte, plus $10$ din oficiu: Subiectul I cu șase cerințe scurte, Subiectul al II-lea cu șase cerințe rezolvate pe pași și Subiectul al III-lea cu trei probleme cu context, fiecare cu două-trei cerințe. Timpul obișnuit este de $50$ de minute, adică o oră de curs.

Cât timp aloc fiecărui subiect? Un plan care funcționează: cinci minute pentru a citi toată lucrarea, treisprezece minute pentru Subiectul I, paisprezece pentru al doilea, doisprezece pentru al treilea și ultimele șase minute pentru cerințele sărite și pentru verificare. Subiectele valorează la fel, dar cel de-al treilea cere redactare completă, deci nu îl lăsa pe ultimele minute rămase.

Ce fac dacă mă blochez la un exercițiu? Îi acorzi maximum trei minute, apoi lași spațiu liber pe foaie și treci mai departe. Revii la final, dacă rămâne timp. Un exercițiu de cinci puncte nu merită timpul din care ai putea lua cincisprezece puncte în altă parte.

Se dau puncte dacă nu ajung la rezultatul final? Da, aproape întotdeauna. Baremul punctează pașii: formula folosită, condițiile de existență, ecuația obținută, soluțiile. De aceea se scrie pe foaie tot raționamentul, nu doar rezultatul, și nu se lasă nicio cerință complet goală.

Ce greșeli costă cele mai multe puncte la o teză de matematică? Sărirea condițiilor de existență la ecuațiile cu radicali sau cu numitor, pierderea unei soluții (la ecuații de gradul al doilea sau trigonometrice), răspunsul la altă întrebare decât cea din enunț, lipsa concluziei și a unității de măsură, precum și lipsa verificării finale.

Cum mă pregătesc în săptămâna dinaintea lucrării? În trei pași: scrii din memorie o fișă de formule de o pagină și o verifici; rezolvi exerciții singur, cronometrat, fără manualul deschis; dai o simulare completă și te corectezi cu baremul. Recitirea lecțiilor fără a scrie nimic este cea mai puțin eficientă formă de recapitulare.

Ce iau cu mine în ziua lucrării? Două pixuri, riglă, creion și gumă. Fără calculator, dacă profesorul nu a spus altfel. Cel mai important lucru pe care îl aduci este însă somnul din noaptea dinainte: memoria consolidează materia în timpul somnului, nu la ora două noaptea.

Contează ordinea în care rezolv cerințele? Da, dar nu trebuie să fie ordinea de pe foaie. Începe cu ce recunoști imediat, ca să acumulezi puncte sigure și încredere, apoi treci la cerințele care cer mai mult timp. Singura regulă strictă este să numerotezi clar fiecare rezolvare, ca să știe corectorul la ce cerință se referă.