Test: Compunerea funcțiilor și inversabilitate

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Proprietăți ale funcțiilor și compunerea lor

Exerciții

Partea I – Compunere și inversă: noțiuni de bază

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x^2$, valoarea $(g\circ f)(1)$ este: A. $5$; B. $9$; C. $3$; D. $7$.

b) Inversa funcției bijective $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-2$, este: A. $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$; B. $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{5}$; C. $f^{-1}(x)=5x+2$; D. $f^{-1}(x)=\frac{1}{5x-2}$.

c) O funcție $f:A\to B$ este inversabilă dacă și numai dacă este: A. injectivă; B. surjectivă; C. bijectivă; D. strict monotonă.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$ și $g(x)=x+4$. a) Determină expresiile funcțiilor $g\circ f$ și $f\circ g$. (3 p) b) Arată, printr-un exemplu numeric, că $f\circ g\ne g\circ f$. (1 p) c) Calculează $(f\circ f)(2)$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Compunerea funcțiilor este comutativă." b) „Dacă $f:A\to B$ și $g:B\to C$ sunt bijective, atunci $g\circ f$ este bijectivă." c) „Orice funcție strict crescătoare $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este inversabilă." d) „Dacă $f:A\to B$ este bijectivă, atunci $f^{-1}\circ f=1_A$ și $f\circ f^{-1}=1_B$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Determină inversa fiecăreia dintre următoarele funcții bijective, precizând domeniul și codomeniul inversei (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+8$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+3$; c) $f:[0,+\infty )\to [1,+\infty )$, $f(x)=x^2+1$.

Reamintește-ți, privind figura, că graficele funcțiilor $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$.

Partea a II-a – Compunere pe ramuri, bijectivitate, ecuații funcționale

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ 2x,& x>0\end{array}g(x)=x-2.$$ a) Determină expresia funcției $f\circ g$, scrisă pe ramuri. (4 p) b) Determină expresia funcției $g\circ f$, scrisă pe ramuri. (2 p) c) Calculează $(f\circ g)(1)$, $(f\circ g)(5)$ și $(g\circ f)(-3)$, verificând rezultatele și prin calcul direct. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}\setminus \{1\}$, $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. a) Demonstrează că $f$ este injectivă. (3 p) b) Demonstrează că $f$ este surjectivă, verificând că soluția găsită aparține domeniului. (3 p) c) Determină funcția inversă $f^{-1}$ și precizează domeniul și codomeniul ei. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$ și $g(x)=3x+1$, unde $a$ este un număr real. a) Determină valoarea lui $a$ pentru care $f\circ g=g\circ f$. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, determină expresia funcției $f\circ f$. (2 p) c) Pentru aceeași valoare a lui $a$, determină $f^{-1}$. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$ și $h(x)=4x+1$. a) Determină funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ pentru care $f\circ g=h$. (4 p) b) Determină funcția $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ pentru care $g\circ u=h$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Exercițiul 9 (9 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:[1,+\infty )\to [3,+\infty )$, $f(x)=x^2-2x+4$. a) Arată că $f(x)=(x-1{)}^2+3$ pentru orice $x$ real. (1 p) b) Demonstrează că $f$ este injectivă. (3 p) c) Demonstrează că $f$ este surjectivă. (3 p) d) Deduce că $f$ este inversabilă și determină $f^{-1}$. (2 p)

Exercițiul 10 (9 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $f:A\to B$ și $g:B\to C$ două funcții. a) Demonstrează că, dacă $f$ și $g$ sunt injective, atunci $g\circ f$ este injectivă. (3 p) b) Demonstrează că, dacă $g\circ f$ este injectivă, atunci $f$ este injectivă. (3 p) c) Dă un exemplu de funcții $f$ și $g$ pe mulțimi finite pentru care $g\circ f$ este injectivă, dar $g$ nu este injectivă. (3 p)

Exercițiul 11 (9 puncte)

Un magazin online aplică unui produs de preț de bază $p$ lei, în această ordine, o reducere de 20% și apoi TVA de 21%. Modelăm cele două operații prin funcțiile $r,t:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$, $r(p)=0,8p$ și $t(x)=1,21x$. a) Determină expresiile funcțiilor $t\circ r$ și $r\circ t$ și arată că sunt egale. (3 p) b) Calculează prețul final pentru un produs cu prețul de bază de $500$ de lei. (2 p) c) Determină inversa funcției $t\circ r$ și explică ce calculează ea, practic. (2 p) d) Un client afirmă: „o reducere de 20% urmată de un TVA de 21% înseamnă, în total, o creștere de 1% față de prețul de bază". Este corect? Justifică prin calcul. (2 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+|x|$. a) Calculați $f(2)+f(-2)$. (2 p) b) Scrieți funcția $f$ pe ramuri și arătați că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (3 p) c) Demonstrați că $f$ este bijectivă și determinați $f^{-1}$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Se compune „dinăuntru spre afară": mai întâi $f(1)=2\cdot 1+1=3$, apoi $g(3)=3^2=9$. (Varianta $C$ apare dacă se compune în ordine greșită: $(f\circ g)(1)=f\left(1^2\right)=f(1)=3$ — atenție, în $g\circ f$ se aplică întâi $f$.) b) A. Rezolvăm $5x-2=y$: $5x=y+2$, deci $x=\frac{y+2}{5}$, adică $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$. Verificare: $f\left(\frac{x+2}{5}\right)=5\cdot \frac{x+2}{5}-2=x$ ✓. Varianta $D$ confundă inversa funcției cu inversul numărului. c) C. Inversabilitatea este echivalentă cu bijectivitatea: injectivitatea asigură că fiecare valoare provine dintr-un singur element (deci corespondența inversă este bine definită), iar surjectivitatea asigură că inversa este definită pe tot codomeniul.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (3 p) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=(3x-1)+4=3x+3$ (1,5 p); $(f\circ g)(x)=f(g(x))=3(x+4)-1=3x+12-1=3x+11$ (1,5 p).

b) (1 p) Pentru $x=0$: $(g\circ f)(0)=3$, iar $(f\circ g)(0)=11$; cum $3\ne 11$, cele două funcții compuse sunt diferite. (Se acceptă orice valoare numerică sau observația că $3x+3\ne 3x+11$ pentru orice $x$.)

c) (2 p) $f(2)=3\cdot 2-1=5$ (1 p), apoi $(f\circ f)(2)=f(5)=3\cdot 5-1=14$ (1 p).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Contraexemplu: pentru $f(x)=x+1$ și $g(x)=2x$ avem $(g\circ f)(x)=2x+2$, iar $(f\circ g)(x)=2x+1$ — funcții diferite. În plus, uneori doar una dintre compuneri are sens (când domeniile și codomeniile nu se potrivesc în ambele sensuri). b) A. Compunerea a două funcții injective este injectivă, iar a două surjective este surjectivă; cum bijectiv înseamnă injectiv și surjectiv, $g\circ f$ este bijectivă. (Inversa ei este $f^{-1}\circ g^{-1}$.) c) F. Monotonia strictă asigură doar injectivitatea, nu și surjectivitatea. Contraexemplu: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x<0$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\ge 0$, este strict crescătoare, dar valoarea $y=\frac{1}{2}$ nu este atinsă de nimeni (imaginea este $(-\infty ,0)\cup [1,+\infty )$), deci $f$ nu este surjectivă și nici inversabilă. d) A. Aceasta este chiar definiția funcției inverse: compunând $f$ cu $f^{-1}$ în oricare ordine se obține funcția identică a mulțimii corespunzătoare — „duci și aduci înapoi", ajungând de unde ai plecat.

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p calculul, 0,5 p domeniul/codomeniul și verificarea).

a) Rezolvăm $4x+8=y$: $x=\frac{y-8}{4}$, deci $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=\frac{x-8}{4}$. Verificare: $f\left(\frac{x-8}{4}\right)=(x-8)+8=x$ ✓.

b) Rezolvăm $-x+3=y$: $x=3-y$, deci $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=3-x$. Observație: $f^{-1}=f$ — funcția este propria ei inversă, iar graficul ei este simetric față de prima bisectoare.

c) Rezolvăm $x^2+1=y$ cu $x\ge 0$: $x^2=y-1\ge 0$, deci $x=\sqrt{y-1}$ (semnul plus, ca să rămânem în domeniu). Așadar $f^{-1}:[1,+\infty )\to [0,+\infty )$, $f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$. Verificare: $f\left(\sqrt{x-1}\right)=(x-1)+1=x$ ✓.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (4 p) $(f\circ g)(x)=f(x-2)$. Ramura se alege după semnul argumentului $x-2$ (1 p):

• dacă $x-2\le 0$, adică $x\le 2$, folosim prima ramură: $f(x-2)=(x-2)+1=x-1$ (1,5 p);
• dacă $x-2>0$, adică $x>2$, folosim a doua ramură: $f(x-2)=2(x-2)=2x-4$ (1,5 p).

$$(f\circ g)(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x\le 2\\ 2x-4,& x>2\end{array}$$

(Greșeala tipică, penalizată cu 2 p: se păstrează condițiile $x\le 0$ și $x>0$ în loc de $x-2\le 0$ și $x-2>0$.)

b) (2 p) $(g\circ f)(x)=f(x)-2$; aici condiția rămâne cea originală, pentru că $f$ se aplică prima, direct lui $x$: $$(g\circ f)(x)=\{\begin{array}{ll}(x+1)-2=x-1,& x\le 0\\ 2x-2,& x>0\end{array}$$

c) (2 p) $(f\circ g)(1)$: cum $1\le 2$, avem $1-1=0$; direct: $g(1)=-1\le 0$, deci $f(-1)=-1+1=0$ ✓. $(f\circ g)(5)$: cum $5>2$, avem $2\cdot 5-4=6$; direct: $g(5)=3>0$, deci $f(3)=6$ ✓. $(g\circ f)(-3)$: cum $-3\le 0$, avem $-3-1=-4$; direct: $f(-3)=-2$, iar $g(-2)=-4$ ✓. (Câte 0,5 p pe valoare, 0,5 p pentru verificări.)

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ cu $f(x_1)=f(x_2)$, adică $\frac{x_1+1}{x_1-2}=\frac{x_2+1}{x_2-2}$ (0,5 p). Numitorii sunt nenuli, deci putem înmulți în cruce (0,5 p): $$(x_1+1)(x_2-2)=(x_2+1)(x_1-2).$$ Dezvoltăm ambii membri (1 p): $$x_1{x}_2-2x_1+x_2-2=x_1{x}_2-2x_2+x_1-2.$$ Reducem $x_1{x}_2$ și $-2$, apoi grupăm: $-2x_1+x_2=-2x_2+x_1$, deci $3x_2=3x_1$ și $x_1=x_2$ (1 p). Funcția este injectivă. $■$

b) (3 p) Fie $y\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ oarecare. Rezolvăm ecuația $\frac{x+1}{x-2}=y$ cu necunoscuta $x$ (0,5 p): $$x+1=y(x-2)⟹x+1=yx-2y⟹x(1-y)=-2y-1⟹x(y-1)=2y+1\text{(1 p)}.$$ Cum $y\ne 1$, avem $y-1\ne 0$ și obținem $x=\frac{2y+1}{y-1}$, număr real (1 p). Rămâne de verificat că $x$ este în domeniu, adică $x\ne 2$: dacă am avea $\frac{2y+1}{y-1}=2$, ar rezulta $2y+1=2y-2$, adică $1=-2$, fals; deci $x\ne 2$ pentru orice $y$ (0,5 p). Funcția este surjectivă. $■$

c) (2 p) Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă, deci inversabilă (0,5 p), iar din calculul de la punctul b): $$f^{-1}:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}\setminus \{2\},f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}\text{(1 p)}.$$ Verificare pentru $x=3$: $f(3)=\frac{4}{1}=4$, iar $f^{-1}(4)=\frac{9}{3}=3$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 7. (7 p)

a) (3 p) Calculăm cele două compuneri (1,5 p): $$(f\circ g)(x)=2(3x+1)+a=6x+2+a,(g\circ f)(x)=3(2x+a)+1=6x+3a+1.$$ Egalitatea funcțiilor înseamnă egalitatea expresiilor pentru orice $x$; termenii în $x$ coincid deja, deci rămâne $2+a=3a+1$ (1 p), de unde $2a=1$ și $a=\frac{1}{2}$ (0,5 p). Verificare: pentru $a=\frac{1}{2}$, ambele compuneri dau $6x+\frac{5}{2}$ ✓.

b) (2 p) Pentru $a=\frac{1}{2}$ avem $f(x)=2x+\frac{1}{2}$, deci $$(f\circ f)(x)=2\left(2x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=4x+1+\frac{1}{2}=4x+\frac{3}{2}.$$

c) (2 p) Rezolvăm $2x+\frac{1}{2}=y$: $2x=y-\frac{1}{2}$, deci $x=\frac{2y-1}{4}$ (1,5 p). Așadar $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{4}$ (0,5 p). Verificare: $f\left(\frac{2x-1}{4}\right)=\frac{2x-1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2x-1+1}{2}=x$ ✓.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (4 p) Condiția $f\circ g=h$ se scrie $f(2x+3)=4x+1$ pentru orice $x$ real (1 p). Notăm $t=2x+3$; când $x$ parcurge $\mathbb{R}$, și $t$ parcurge tot $\mathbb{R}$, iar $x=\frac{t-3}{2}$ (1,5 p). Înlocuim: $$f(t)=4\cdot \frac{t-3}{2}+1=2(t-3)+1=2t-5\text{(1 p)}.$$ Deci $f(x)=2x-5$. Verificare: $f(g(x))=2(2x+3)-5=4x+6-5=4x+1=h(x)$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Condiția $g\circ u=h$ se scrie $2u(x)+3=4x+1$ pentru orice $x$ real (1,5 p). De aici $2u(x)=4x-2$, deci $u(x)=2x-1$ (1 p). Verificare: $g(u(x))=2(2x-1)+3=4x-2+3=4x+1$ ✓ (0,5 p). (Observă diferența de metodă: la punctul a) funcția necunoscută era „în afară", deci a trebuit făcută substituția; aici este „înăuntru" și se izolează direct.)

Exercițiul 9. (9 p) — redactare completă.

a) (1 p) $(x-1{)}^2+3=x^2-2x+1+3=x^2-2x+4=f(x)$, pentru orice $x$ real.

b) (3 p) Fie $x_1,x_2\in [1,+\infty )$ cu $f(x_1)=f(x_2)$, adică $(x_1-1{)}^2+3=(x_2-1{)}^2+3$, deci $(x_1-1{)}^2=(x_2-1{)}^2$ (1 p). Cum $x_1\ge 1$ și $x_2\ge 1$, numerele $x_1-1$ și $x_2-1$ sunt nenegative (1 p), iar două numere nenegative cu pătrate egale sunt egale: $x_1-1=x_2-1$, deci $x_1=x_2$ (1 p). Funcția este injectivă. $■$

(Fără restricția domeniului, injectivitatea ar cădea: $f(0)=f(2)=4$.)

c) (3 p) Fie $y\in [3,+\infty )$ oarecare. Rezolvăm $(x-1{)}^2+3=y$, adică $(x-1{)}^2=y-3$ (1 p). Cum $y\ge 3$, membrul drept este $\ge 0$, deci ecuația are soluții; alegem $x-1=\sqrt{y-3}$, adică $x=1+\sqrt{y-3}$ (1 p). Verificăm apartenența la domeniu: $\sqrt{y-3}\ge 0$, deci $x\ge 1$, adică $x\in [1,+\infty )$ ✓ (1 p). Am găsit pentru orice $y$ din codomeniu un $x$ din domeniu cu $f(x)=y$, deci $f$ este surjectivă. $■$

d) (2 p) Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă, deci inversabilă (0,5 p). Din calculul de la punctul c): $$f^{-1}:[3,+\infty )\to [1,+\infty ),f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-3}\text{(1 p)}.$$ Verificare pentru $x=7$: $f^{-1}(7)=1+\sqrt{4}=3$, iar $f(3)=9-6+4=7$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 10. (9 p) — redactare completă.

a) (3 p) Fie $x_1,x_2\in A$ cu $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$, adică $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ (1 p). Cum $g$ este injectivă și cele două argumente $f(x_1)$, $f(x_2)$ au aceeași imagine prin $g$, rezultă $f(x_1)=f(x_2)$ (1 p). Cum și $f$ este injectivă, rezultă $x_1=x_2$ (0,5 p). Deci $g\circ f$ este injectivă (0,5 p). $■$

b) (3 p) Presupunem că $g\circ f$ este injectivă și fie $x_1,x_2\in A$ cu $f(x_1)=f(x_2)$ (0,5 p). Aplicăm $g$ ambilor membri — o egalitate se păstrează dacă aplicăm aceeași funcție (1 p): $$g(f(x_1))=g(f(x_2)),\text{adica˘}(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).$$ Din injectivitatea lui $g\circ f$ rezultă $x_1=x_2$ (1 p), deci $f$ este injectivă (0,5 p). $■$

c) (3 p) Fie $A=\{1,2\}$, $B=\{1,2,3\}$, $C=\{1,2\}$, cu $f:A\to B$, $f(1)=1$, $f(2)=2$, și $g:B\to C$, $g(1)=1$, $g(2)=2$, $g(3)=2$ (1,5 p). Atunci $(g\circ f)(1)=1$ și $(g\circ f)(2)=2$ — valori diferite pentru argumente diferite, deci $g\circ f$ este injectivă (1 p). Totuși $g$ nu este injectivă, pentru că $g(2)=g(3)=2$, deși $2\ne 3$ (0,5 p). (Explicația: elementul „vinovat" $3$ nu este atins de $f$, deci compunerea nu îl „vede".)

Exercițiul 11. (9 p)

a) (3 p) $(t\circ r)(p)=t(r(p))=1,21\cdot 0,8p=0,968p$ (1 p); $(r\circ t)(p)=r(t(p))=0,8\cdot 1,21p=0,968p$ (1 p). Cele două expresii coincid, deci $t\circ r=r\circ t$ (0,5 p). Motivul: ambele funcții sunt înmulțiri cu o constantă, iar înmulțirea numerelor reale este comutativă — de aceea ordinea reducerii și a TVA-ului nu schimbă prețul final (0,5 p). (Atenție: acesta este un caz particular; compunerea în general nu este comutativă.)

b) (2 p) $(t\circ r)(500)=0,968\cdot 500=484$ de lei (1,5 p). Verificare pas cu pas: reducerea dă $0,8\cdot 500=400$ de lei, iar TVA-ul dă $1,21\cdot 400=484$ de lei ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Rezolvăm $0,968p=y$, deci $p=\frac{y}{0,968}=\frac{125y}{121}$ (1 p), adică $(t\circ r{)}^{-1}(y)=\frac{125y}{121}$. Practic, ea calculează prețul de bază al unui produs, pornind de la prețul final plătit la casă (0,5 p). Verificare: $\frac{125\cdot 484}{121}=125\cdot 4=500$ ✓ (0,5 p).

d) (2 p) Nu este corect (0,5 p). Procentele nu se adună și nu se scad direct, pentru că se aplică unor baze diferite; efectul lor se compune prin înmulțirea factorilor: $0,8\cdot 1,21=0,968$ (1 p). Cum $1-0,968=0,032$, prețul final este cu $3,2\%$ mai mic decât prețul de bază, nu cu $1\%$ mai mare (0,5 p).

Exercițiul 12. (9 p)

a) (2 p) $f(2)=3\cdot 2+|2|=6+2=8$ și $f(-2)=-6+|-2|=-6+2=-4$ (1 p), deci $f(2)+f(-2)=8-4=4$ (1 p).

b) (3 p) Explicităm modulul (1,5 p): $$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+x=4x,& x\ge 0\\ 3x-x=2x,& x<0\end{array}$$ Monotonia. Pe $[0,+\infty )$, $f(x)=4x$ este strict crescătoare, cu valori în $[0,+\infty )$; pe $(-\infty ,0)$, $f(x)=2x$ este strict crescătoare, cu valori în $(-\infty ,0)$ (1 p). Cum orice valoare de pe ramura din stânga este strict negativă, deci strict mai mică decât orice valoare de pe ramura din dreapta, funcția este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$ (0,5 p).

c) (4 p) Injectivitatea rezultă din monotonia strictă: o funcție strict crescătoare nu poate lua de două ori aceeași valoare, deci $f(x_1)=f(x_2)$ forțează $x_1=x_2$ (1 p).

Surjectivitatea. Fie $y\in \mathbb{R}$. Dacă $y\ge 0$, ecuația $4x=y$ dă $x=\frac{y}{4}\ge 0$ — valoare aflată exact în ramura din care a venit formula ✓. Dacă $y<0$, ecuația $2x=y$ dă $x=\frac{y}{2}<0$ — din nou în ramura potrivită ✓ (1,5 p). Deci orice $y$ real este atins, iar $f$ este bijectivă (0,5 p).

Inversa. Din calculele de mai sus (1 p): $$f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f^{-1}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{4},& x\ge 0\\ \frac{x}{2},& x<0\end{array}$$ Verificare: $f^{-1}(8)=2$ și $f(2)=8$ ✓; $f^{-1}(-6)=-3$ și $f(-3)=-9+3=-6$ ✓. $■$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică ultimele două trepte ale capitolului de funcții din programa de matematică-informatică: compunerea și inversarea. Sunt evaluate: mecanica compunerii — calculul lui $g\circ f$ și $f\circ g$, inclusiv pentru funcții definite pe ramuri, unde trebuie urmărit în ce ramură cade valoarea intermediară; necomutativitatea compunerii, ilustrată cu exemple concrete; ecuațiile funcționale simple de tipul „determină $f$ știind că $f\circ g=h$"; legătura dintre compunere și injectivitate/surjectivitate, cu demonstrații riguroase; și, în centrul testului, inversabilitatea — o funcție are inversă dacă și numai dacă este bijectivă, iar calculul inversei înseamnă rezolvarea ecuației $f(x)=y$ cu necunoscuta $x$. Testul se sprijină pe lecțiile Operații cu funcții; compunerea funcțiilor, Funcții injective, surjective, bijective și Funcția inversă: condiția de inversabilitate.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice inversă calculată se cere verificarea $f(f^{-1}(y))=y$; la demonstrațiile de surjectivitate se verifică obligatoriu că soluția găsită aparține domeniului. La compunerea funcțiilor pe ramuri, se punctează separat discuția condiției care decide ramura.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe rețetele de demonstrație a injectivității și a surjectivității.
• Formule de reținut: compunerea funcțiilor $f:A\to B$ și $g:B\to C$ este $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, definită pe $A$ cu valori în $C$; ordinea contează — în general $g\circ f\ne f\circ g$ — dar compunerea este asociativă: $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$. Funcția identică a mulțimii $A$ este $1_A:A\to A$, $1_A(x)=x$, și este element neutru: $f\circ 1_A=f$ și $1_B\circ f=f$. O funcție $f:A\to B$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă; atunci există o unică funcție $f^{-1}:B\to A$ cu $f^{-1}\circ f=1_A$ și $f\circ f^{-1}=1_B$. Rețeta inversei: se rezolvă ecuația $f(x)=y$ cu necunoscuta $x$; soluția $x=f^{-1}(y)$ dă formula inversei, după care se schimbă numele variabilei. Grafic: graficele funcțiilor $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, $y=x$. Reguli utile: compunerea a două funcții injective este injectivă, a două surjective este surjectivă, a două bijective este bijectivă, iar $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".