Funcții injective, surjective, bijective

Gândește-te la garderoba unui teatru. Fiecare spectator își lasă haina și primește un jeton cu număr. Sistemul funcționează doar dacă respectă o regulă de fier: spectatori diferiți primesc jetoane diferite. Dacă doi oameni ar primi jetonul 27, la final unul dintre ei ar pleca cu haina altcuiva. Iar dacă vrei ca niciun cârlig să nu rămână gol — garderoba plină la refuz — ai nevoie de a doua proprietate: fiecare cârlig să fie folosit de cineva.

Aceste două cerințe — „diferiți primesc diferit" și „nimic nu rămâne neatins" — au nume precise în matematică: injectivitate și surjectivitate. Iar când o funcție le are pe amândouă, se numește bijectivă și realizează o corespondență perfectă, unu-la-unu, între două mulțimi. Sunt proprietățile care decid, printre altele, dacă o funcție poate fi „întoarsă din drum" — adică dacă are inversă, cum vei vedea în lecția despre funcția inversă. La mate-info le vei reîntâlni peste tot: la baze de date (chei unice), la criptare (orice mesaj criptat trebuie să se poată decripta unic), la numărare și combinatorică.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definițiile funcției injective, surjective și bijective și să le explici cu propriile cuvinte.
• Vei ști să folosești testul dreptei orizontale: cum citești injectivitatea și surjectivitatea direct de pe grafic.
• Vei ști să demonstrezi algebric că o funcție este injectivă (pornind de la $f(x_1)=f(x_2)$) sau surjectivă (rezolvând ecuația $f(x)=y$).
• Vei ști să infirmi aceste proprietăți printr-un contraexemplu bine ales.
• Vei ști să decizi injectivitatea și surjectivitatea pe mulțimi finite, cu diagrame cu săgeți și principiul cutiei.
• Vei ști cum se repară o funcție „stricată": restrângerea domeniului sau a codomeniului ca să obții o bijecție.

Hai să descoperim împreună

1. Ne reamintim: ce transportă o funcție

O funcție $f:A\to B$ asociază fiecărui element din domeniul $A$ exact un element din codomeniul $B$. Mulțimea valorilor efectiv atinse, $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in A\}$, se numește imaginea funcției și este o submulțime a codomeniului — am studiat-o în lecția despre funcții egale, restricții și imagine. Două întrebări naturale rămân deschise:

• Se poate ca două elemente diferite din $A$ să ajungă în aceeași valoare din $B$?
• Se poate ca unele elemente din $B$ să nu fie atinse de nimeni?

Răspunsurile la aceste două întrebări sunt exact injectivitatea și surjectivitatea.

2. Funcții injective: „diferiți primesc diferit"

Definiție. Funcția $f:A\to B$ este injectivă dacă oricare două elemente diferite din domeniu au imagini diferite:

$$x_1,x_2\in A,x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2).$$

În practică, forma aceasta e incomodă — e greu să lucrezi cu „$\ne$". De aceea folosim aproape întotdeauna formularea echivalentă (contrapusa implicației, exact ca la validarea rațională a implicațiilor):

$$f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2.$$

Adică: dacă două valori coincid, atunci ele provin obligatoriu din același element. Așa arată o demonstrație de injectivitate: presupui $f(x_1)=f(x_2)$ și deduci prin calcul $x_1=x_2$.

Exemplu pozitiv. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$: din $2x_1+3=2x_2+3$ scădem $3$ și împărțim la $2$, deci $x_1=x_2$. Funcția este injectivă.

Exemplu negativ. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. Aici $f(-3)=f(3)=9$, deși $-3\ne 3$. Un singur contraexemplu ajunge: funcția nu este injectivă. Reține asimetria: pentru „da" trebuie demonstrație generală; pentru „nu" ajunge un contraexemplu concret.

3. Testul dreptei orizontale

Injectivitatea se vede pe grafic. Valorile egale $f(x_1)=f(x_2)=m$ înseamnă două puncte ale graficului pe aceeași dreaptă orizontală $y=m$. Prin urmare:

$f$ este injectivă $⟺$ orice dreaptă orizontală $y=m$ taie graficul în cel mult un punct.

Parabola lui $x^2$ pică testul: dreapta $y=9$ o taie în două puncte, $(-3,9)$ și $(3,9)$. Graficul lui $2x+3$ îl trece: fiind o dreaptă oblică, orice orizontală o intersectează exact o dată.

Tot de aici vine și o observație extrem de utilă: orice funcție strict monotonă este injectivă. Dacă $f$ este strict crescătoare și $x_1<x_2$, atunci $f(x_1)<f(x_2)$, deci valorile nu pot coincide. La multe exerciții, cel mai rapid drum spre injectivitate este să arăți monotonia strictă. Atenție însă la reciprocă: există funcții injective care nu sunt monotone — vei construi una la exerciții.

4. Funcții surjective: „nimic nu rămâne neatins"

Definiție. Funcția $f:A\to B$ este surjectivă dacă orice element al codomeniului este imaginea a cel puțin unui element din domeniu:

$$\forall y\in B,\exists x\in A\text{astfel ıˆncaˆt}f(x)=y.$$

Echivalent, pe scurt: $\mathrm{Im}f=B$ — imaginea umple tot codomeniul.

Cum demonstrezi practic? Iei un $y$ oarecare din $B$ și rezolvi ecuația $f(x)=y$ cu necunoscuta $x$. Dacă găsești măcar o soluție în $A$ pentru fiecare $y$, funcția e surjectivă.

Exemplu pozitiv. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Fie $y\in \mathbb{R}$. Rezolvăm $2x+3=y$, deci $x=\frac{y-3}{2}$, care este număr real. Am găsit pentru orice $y$ un $x$ care îl atinge — funcția e surjectivă.

Exemplu negativ. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. Valoarea $y=-1$ nu este atinsă de nimeni: $x^2=-1$ nu are soluții reale. Nu e surjectivă.

Observă un lucru esențial: surjectivitatea depinde de codomeniu. Aceeași lege $x\mapsto x^2$, privită ca $f:\mathbb{R}\to [0,\infty )$, este surjectivă: pentru $y\ge 0$, ecuația $x^2=y$ are soluția $x=\sqrt{y}$. Schimbând codomeniul, ai schimbat funcția — și verdictul.

Pe grafic: $f$ este surjectivă dacă orice dreaptă orizontală $y=m$ cu $m\in B$ taie graficul în cel puțin un punct.

5. Funcții bijective: corespondența perfectă

Definiție. Funcția $f:A\to B$ este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă.

Pe grafic, cele două condiții se topesc într-una singură: orice orizontală $y=m$, cu $m\in B$, taie graficul în exact un punct — nici zero (ar pica surjectivitatea), nici două sau mai multe (ar pica injectivitatea).

O bijecție împerechează perfect elementele: fiecare $x$ din $A$ cu exact un $y$ din $B$ și invers. De aceea bijecțiile sunt singurele funcții care se pot „întoarce": corespondența citită de la $B$ spre $A$ este tot o funcție — inversa $f^{-1}$, vedeta lecției despre funcția inversă.

Exemplul-model: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$ — am arătat mai sus că e și injectivă, și surjectivă, deci bijectivă. La fel este orice funcție afină $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$.

6. Rețete complete de demonstrație

Să punem totul într-un tabel de lucru, pe care îl vei folosi la fiecare exercițiu:

Un detaliu care face diferența la notare: când rezolvi $f(x)=y$, verifică mereu că soluția găsită chiar aparține domeniului $A$. La funcții definite pe intervale, aici se pierd punctele.

7. Mulțimi finite: diagrame și principiul cutiei

Pe mulțimi finite, totul devine numărare. Desenează $A$ și $B$ ca două ovale cu elemente și trage săgeți: injectivă = săgețile ajung în puncte diferite; surjectivă = fiecare punct din $B$ primește măcar o săgeată.

De aici, două concluzii imediate, cunoscute ca principiul cutiei (al lui Dirichlet):

• dacă $|A|>|B|$, nicio funcție $f:A\to B$ nu poate fi injectivă (prea multe săgeți, prea puține ținte — două săgeți nimeresc aceeași țintă);
• dacă $|A|<|B|$, nicio funcție $f:A\to B$ nu poate fi surjectivă (săgețile nu ajung pentru toate țintele);
• dacă $f:A\to B$ este bijectivă, atunci obligatoriu $|A|=|B|$.

Așadar, la garderoba cu 200 de cârlige și 201 spectatori, oricât de inteligent ai împărți jetoanele, doi spectatori împart același cârlig. Matematica nu negociază.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcția afină, tratată complet

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$ este bijectivă.

Rezolvare. Injectivitatea. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$, adică $3x_1-2=3x_2-2$. Adunăm $2$ și împărțim la $3$: $x_1=x_2$. Deci $f$ este injectivă.

Surjectivitatea. Fie $y\in \mathbb{R}$ oarecare. Rezolvăm $3x-2=y$, de unde $x=\frac{y+2}{3}\in \mathbb{R}$. Orice $y$ este atins, deci $f$ este surjectivă.

Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă. $■$

Exemplul 2 — O funcție de gradul al doilea pică ambele teste

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$ nu este nici injectivă, nici surjectivă.

Rezolvare. Formăm pătratul: $f(x)=(x-2{)}^2+3$.

Nu e injectivă: alegem două valori simetrice față de $x=2$, de exemplu $f(1)=1-4+7=4$ și $f(3)=9-12+7=4$. Cum $1\ne 3$ dar $f(1)=f(3)$, injectivitatea pică.

Nu e surjectivă: din $(x-2{)}^2\ge 0$ rezultă $f(x)\ge 3$ pentru orice $x$. Valoarea $y=2\in \mathbb{R}$ nu este atinsă niciodată, deci surjectivitatea pică. $■$

Geometric: parabola cu vârful în $(2,3)$ este tăiată de orizontala $y=4$ în două puncte (pică injectivitatea) și nu e atinsă deloc de orizontala $y=2$ (pică surjectivitatea).

Exemplul 3 — Aceeași lege, domeniul și codomeniul potrivite

Arătați că $g:[2,\infty )\to [3,\infty )$, $g(x)=x^2-4x+7$ este bijectivă.

Rezolvare. Aceeași formulă ca în Exemplul 2 — dar am tăiat exact jumătatea de parabolă care strica totul.

Injectivitatea. Fie $x_1,x_2\ge 2$ cu $g(x_1)=g(x_2)$: $(x_1-2{)}^2+3=(x_2-2{)}^2+3$, deci $(x_1-2{)}^2=(x_2-2{)}^2$. Cum $x_1-2\ge 0$ și $x_2-2\ge 0$, iar două numere nenegative cu pătrate egale sunt egale, rezultă $x_1-2=x_2-2$, adică $x_1=x_2$. ✓

Surjectivitatea. Fie $y\ge 3$. Rezolvăm $(x-2{)}^2+3=y$: $(x-2{)}^2=y-3\ge 0$, deci $x=2+\sqrt{y-3}$ (alegem semnul plus ca să rămânem în domeniu). Cum $\sqrt{y-3}\ge 0$, avem $x\ge 2$, deci $x\in [2,\infty )$. ✓

Prin urmare $g$ este bijectivă. $■$ Aceasta este „repararea" standard a unei funcții: restrângi domeniul până devine injectivă și codomeniul până devine surjectivă.

Exemplul 4 — Mulțimi finite și numărare

Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{a,b,c,d\}$. a) Există funcții surjective $f:A\to B$? b) Dați un exemplu de funcție injectivă $f:A\to B$. c) Există funcții injective $g:B\to A$?

Rezolvare. a) Nu. $|A|=3<4=|B|$: cele trei săgeți nu pot acoperi patru ținte, deci cel puțin un element din $B$ rămâne neatins.

b) De exemplu $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=c$ — valori două câte două diferite, deci injectivă (elementul $d$ rămâne neatins, dar injectivitatea nu cere să fie atins totul).

c) Nu. $|B|=4>3=|A|$: patru săgeți spre trei ținte — după principiul cutiei, cel puțin două elemente din $B$ primesc aceeași imagine, deci nicio astfel de funcție nu e injectivă. $■$

Exemplul 5 — Funcția cub, cu factorizare

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$ este injectivă.

Rezolvare. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$, adică $x_1^3=x_2^3$, deci $x_1^3-x_2^3=0$. Folosim factorizarea cunoscută:

$$(x_1-x_2)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)=0.$$

Analizăm al doilea factor scriindu-l ca sumă de pătrate: $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3x_2^2}{4}\ge 0$, cu egalitate doar când $x_1=x_2=0$. Deci: ori al doilea factor e strict pozitiv și atunci obligatoriu $x_1-x_2=0$, ori ambii $x_1=x_2=0$. În ambele cazuri $x_1=x_2$, deci $f$ este injectivă. $■$

(Este și surjectivă — pentru orice $y$ real există $x=\sqrt[3]{y}$ — deci bijectivă; radicalul de ordinul 3 îl studiem riguros în capitolul funcției radical.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat, cu modul

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-|x|$. Arătați că $f$ este bijectivă.

Rezolvare. Explicităm modulul pe ramuri, ca în lecția despre funcția modul:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-x=2x,& x\ge 0\\ 3x+x=4x,& x<0\end{array}$$

Injectivitatea prin monotonie. Pe $(-\infty ,0)$, $f(x)=4x$ e strict crescătoare cu valori în $(-\infty ,0)$; pe $[0,\infty )$, $f(x)=2x$ e strict crescătoare cu valori în $[0,\infty )$. Cum orice valoare de pe prima ramură este strict mai mică decât orice valoare de pe a doua, $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă.

Surjectivitatea. Fie $y\in \mathbb{R}$. Dacă $y\ge 0$, ecuația $2x=y$ dă $x=\frac{y}{2}\ge 0$ — în ramura potrivită. ✓ Dacă $y<0$, ecuația $4x=y$ dă $x=\frac{y}{4}<0$ — din nou în ramura potrivită. ✓

Deci $f$ este bijectivă. $■$ Observă disciplina de la surjectivitate: nu ajunge să rezolvi ecuația — verifici că soluția cade în ramura din care a venit formula.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. Regula de aur: pentru „da" — demonstrație generală; pentru „nu" — contraexemplu concret, cu valori calculate.

1. Fie $A=\{1,2,3\}$, $B=\{5,6,7,8\}$ și $f:A\to B$ cu $f(1)=6$, $f(2)=8$, $f(3)=6$. Este $f$ injectivă? Este surjectivă? Justifică pe diagrama cu săgeți.

2. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-1$ este injectivă.

3. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-1$ este surjectivă. Ce poți conchide despre $f$?

4. Arată, prin contraexemple numerice, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ nu este nici injectivă, nici surjectivă.

5. Demonstrează că $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f(x)=x^2$ este bijectivă.

6. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+7$. Arată că $f$ este strict descrescătoare și explică de ce rezultă de aici injectivitatea; apoi demonstrează surjectivitatea.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție strict monotonă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este injectivă."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție injectivă $f:A\to \mathbb{R}$, cu $A\subseteq \mathbb{R}$, este strict monotonă." (Caută un contraexemplu cu o funcție definită pe două ramuri sau pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.)

9. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$ nu este injectivă. (Caută valori diferite cu aceeași imagine.)

10. Fie $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, $f(n)=n+3$. Arată că $f$ este injectivă, dar nu este surjectivă. Ce elemente din codomeniu rămân neatinse?

11. Este $f:\mathbb{R}\to [1,\infty )$, $f(x)=x^2+1$ surjectivă? Dar injectivă? Justifică fiecare răspuns.

12. Câte funcții bijective $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c\}$ există? Enumeră-le sistematic (după $f(1)$, apoi $f(2)$).

13. (Problemă aplicată.) Într-o școală, fiecare elev primește un cod de acces la platforma de teme. Explică, în limbajul funcțiilor, de ce funcția „elev $\mapsto$ cod" trebuie să fie injectivă. Când ar fi bijectivă funcția „elev $\mapsto$ dulap" într-un vestiar cu dulapuri individuale?

14. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1{)}^2+2$ nu este bijectivă. Alege un domeniu $D$ și un codomeniu $C$ (cât mai mari) astfel încât $g:D\to C$, $g(x)=(x-1{)}^2+2$ să fie bijectivă, și demonstrează bijectivitatea.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+|x-1|$. a) Scrie $f$ pe ramuri. b) Studiază injectivitatea și surjectivitatea lui $f$.

16. Fie $f:A\to B$ și $g:B\to C$ două funcții injective. Demonstrează că funcția compusă $g\circ f:A\to C$ este injectivă. (Revezi compunerea funcțiilor.)

17. (Raționament.) La un concurs sunt 5 premii distincte și 4 concurenți. a) Poate fi injectivă funcția „premiu $\mapsto$ câștigător"? b) Dar surjectivă funcția „concurent $\mapsto$ premiu primit", dacă fiecare concurent primește exact un premiu? Justifică prin principiul cutiei.

18. (Provocare.) Construiește o funcție bijectivă $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$, unde $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$. (Indicație: alternează — trimite numerele pare spre întregii $\le 0$ și pe cele impare spre întregii pozitivi; scrie formula pe două ramuri și verifică ambele proprietăți.)

Răspunsuri și explicații

1. Nu e injectivă: $f(1)=f(3)=6$, deși $1\ne 3$ (două săgeți în același punct). Nu e surjectivă: $5$ și $7$ nu primesc nicio săgeată — de altfel $|A|=3<4=|B|$ făcea surjectivitatea imposibilă din start.

2. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$: $5x_1-1=5x_2-1\Rightarrow 5x_1=5x_2\Rightarrow x_1=x_2$. Injectivă. ✓

3. Fie $y\in \mathbb{R}$; rezolvăm $5x-1=y\Rightarrow x=\frac{y+1}{5}\in \mathbb{R}$. Surjectivă. Împreună cu exercițiul 2: $f$ este bijectivă.

4. Injectivitatea pică pe $f(-2)=f(2)=4$ cu $-2\ne 2$. Surjectivitatea pică pe $y=-4$: ecuația $x^2=-4$ nu are soluții reale, căci $x^2\ge 0$.

5. Injectivă: pentru $x_1,x_2\ge 0$ cu $x_1^2=x_2^2$, avem $|x_1|=|x_2|$, iar cum ambele sunt nenegative, $x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y\ge 0$, $x=\sqrt{y}\in [0,\infty )$ satisface $x^2=y$. Deci bijectivă. (Comparație cu exercițiul 4: totul s-a reparat din alegerea domeniului și codomeniului.)

6. Pentru $x_1<x_2$: $-2x_1>-2x_2$, deci $f(x_1)>f(x_2)$ — strict descrescătoare. O funcție strict monotonă nu poate lua aceeași valoare de două ori (valorile „coboară" mereu), deci e injectivă. Surjectivitatea: $-2x+7=y\Rightarrow x=\frac{7-y}{2}\in \mathbb{R}$ pentru orice $y$. ✓ Deci $f$ e bijectivă.

7. Adevărat. Dacă $x_1\ne x_2$, unul dintre ele e mai mic — să zicem $x_1<x_2$. Prin monotonie strictă, $f(x_1)<f(x_2)$ sau $f(x_1)>f(x_2)$, în ambele cazuri $f(x_1)\ne f(x_2)$. Exact definiția injectivității.

8. Fals. Contraexemplu: $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. E injectivă ($\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\Rightarrow x_1=x_2$), dar nu e monotonă pe tot domeniul: $f(-1)=-1<1=f(1)$, însă $f(1)=1>\frac{1}{2}=f(2)$ — urcă între $-1$ și $1$, coboară între $1$ și $2$. Monotonia strictă e suficientă pentru injectivitate, nu și necesară.

9. $f(0)=0$, $f(1)=1-1=0$ și $f(-1)=-1+1=0$: trei elemente diferite cu aceeași imagine $0$. Nu e injectivă. (Orizontala $y=0$ taie graficul de trei ori.)

10. Injectivă: $n_1+3=n_2+3\Rightarrow n_1=n_2$. Nu e surjectivă: valorile lui $f$ sunt $3,4,5,\dots$, deci $0,1,2$ din codomeniu nu sunt atinse — ecuația $n+3=2$ ar cere $n=-1\notin \mathbb{N}$.

11. Surjectivă: pentru $y\ge 1$, ecuația $x^2+1=y$ dă $x=\sqrt{y-1}\in \mathbb{R}$ (există, căci $y-1\ge 0$). ✓ Nu e injectivă: $f(-1)=f(1)=2$. Codomeniul restrâns la $[1,\infty )$ a reparat surjectivitatea, dar domeniul $\mathbb{R}$ păstrează simetria care strică injectivitatea.

12. Sunt $3!=6$ bijecții: $f(1)$ se alege în $3$ moduri, $f(2)$ în $2$ (dintre valorile rămase), $f(3)$ forțat. Sistematic: $(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a)$ — tripletul notează $(f(1),f(2),f(3))$.

13. Dacă „elev $\mapsto$ cod" n-ar fi injectivă, doi elevi ar avea același cod și platforma nu i-ar putea deosebi — temele unuia ar ajunge în contul celuilalt. Funcția „elev $\mapsto$ dulap" e bijectivă când e injectivă (fiecare dulap la cel mult un elev) și surjectivă (niciun dulap gol) — adică exact atunci când numărul elevilor este egal cu numărul dulapurilor și repartizarea e unu-la-unu.

14. Vârful parabolei este $(1,2)$, deci alegem $D=[1,\infty )$ și $C=[2,\infty )$. Injectivă pe $D$: $(x_1-1{)}^2=(x_2-1{)}^2$ cu $x_1-1,x_2-1\ge 0$ dă $x_1-1=x_2-1$, deci $x_1=x_2$. Surjectivă pe $C$: pentru $y\ge 2$, $x=1+\sqrt{y-2}\ge 1$ e în $D$. ✓ (Varianta $D=(-\infty ,1]$, cu $x=1-\sqrt{y-2}$, e la fel de corectă.)

15. a) Pentru $x\ge 1$: $f(x)=x+x-1=2x-1$. Pentru $x<1$: $f(x)=x+1-x=1$. b) Nu e injectivă: pe toată ramura $x<1$ funcția e constantă, de exemplu $f(0)=f(-5)=1$. Nu e surjectivă: pe prima ramură $2x-1\ge 1$, iar a doua dă valoarea $1$; deci $\mathrm{Im}f=[1,\infty )$ și orice $y<1$ (de exemplu $y=0$) rămâne neatins.

16. Presupunem $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$, adică $g(f(x_1))=g(f(x_2))$. Din injectivitatea lui $g$ rezultă $f(x_1)=f(x_2)$; din injectivitatea lui $f$ rezultă $x_1=x_2$. Deci $g\circ f$ e injectivă. $■$

17. a) Nu: funcția merge de la 5 premii la 4 câștigători; cum $5>4$, principiul cutiei obligă două premii să ajungă la același concurent — injectivitatea e imposibilă. b) Nu: „concurent $\mapsto$ premiu" merge de la 4 elemente la 5; cu doar 4 săgeți nu se pot acoperi 5 premii, deci un premiu rămâne neacordat.

18. Definim $f(n)=\{\begin{array}{ll}\frac{n+1}{2},& n\text{ impar}\\ -\frac{n}{2},& n\text{ par.}\end{array}$ Primele valori: $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=-1$, $f(3)=2$, $f(4)=-2$, … Injectivă: imparele dau întregii pozitivi $1,2,3,\dots$, parele dau $0,-1,-2,\dots$ — ramurile nu se suprapun, iar în interiorul fiecărei ramuri formula e strict monotonă în $n$. Surjectivă: un întreg $y\ge 1$ e atins de $n=2y-1$ (impar), iar un întreg $y\le 0$ de $n=-2y$ (par). Deci $f$ e bijecție — mulțimile $\mathbb{N}$ și $\mathbb{Z}$ „au tot atâtea elemente", deși una pare de două ori mai mare. Bun venit în matematica infinitului!

De reținut

• $f:A\to B$ este injectivă dacă $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ — elemente diferite au imagini diferite. Se demonstrează pornind de la egalitatea valorilor; se infirmă cu un contraexemplu.
• $f:A\to B$ este surjectivă dacă orice $y\in B$ are cel puțin un $x\in A$ cu $f(x)=y$, adică $\mathrm{Im}f=B$. Se demonstrează rezolvând ecuația $f(x)=y$ și verificând că soluția e în domeniu.
• Bijectivă = injectivă + surjectivă: orice orizontală $y=m$, $m\in B$, taie graficul exact o dată. Doar funcțiile bijective au inversă.
• Strict monotonă $\Rightarrow$ injectivă (reciproc fals). Testul dreptei orizontale citește ambele proprietăți direct de pe grafic.
• Pe mulțimi finite decide principiul cutiei: $|A|>|B|$ interzice injectivitatea, $|A|<|B|$ interzice surjectivitatea, iar bijecția forțează $|A|=|B|$.

Greșeli frecvente

• „Am verificat câteva valori și nu se repetă, deci e injectivă." Câteva verificări nu demonstrează nimic — injectivitatea cere raționamentul general de la $f(x_1)=f(x_2)$. Doar pentru infirmarea proprietății ajunge un exemplu.
• Uiți că surjectivitatea depinde de codomeniu. $x^2$ nu e surjectivă spre $\mathbb{R}$, dar este spre $[0,\infty )$. Citește întotdeauna cine este $B$ înainte să răspunzi.
• La surjectivitate rezolvi $f(x)=y$ dar nu verifici $x\in A$. Pe domenii restrânse (intervale, $\mathbb{N}$), soluția formală poate cădea în afara domeniului — și atunci acel $y$ nu e atins.
• Confuzia „injectivă = strict monotonă". Monotonia strictă e doar un drum suficient spre injectivitate; există funcții injective nemonotone (de exemplu $1/x$ pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$).
• La funcții pe ramuri, tratezi o singură ramură. Injectivitatea poate pica între ramuri (valori egale pe ramuri diferite), iar la surjectivitate fiecare $y$ trebuie căutat în ramura potrivită — compară cu Exemplul 6.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de coduri. Fă lista a 5 sisteme de identificare din viața ta (CNP, număr de telefon, adresă de e-mail, numărul de la garderobă, numărul matricol). Pentru fiecare, decide: funcția „persoană $\mapsto$ cod" e injectivă? E surjectivă spre mulțimea tuturor codurilor posibile? Care dintre ele sunt gândite anume să fie bijecții și de ce?

2. Testul orizontalei pe graficele tale. Deschide o aplicație de grafice (GeoGebra sau Desmos) și trasează $y=x^3$, $y=x^2$, $y=2x+3$ și $y=x^3-x$. Plimbă o dreaptă orizontală $y=m$ (un slider pentru $m$) și decide din imagine, pentru fiecare, injectivitatea și surjectivitatea spre $\mathbb{R}$. Confruntă apoi cu demonstrațiile din lecție.

3. Bijecția din orar. Scrie funcția care asociază fiecărei ore din orarul tău de luni sala în care se desfășoară. Este injectivă (se schimbă sala la fiecare oră)? Este surjectivă spre mulțimea sălilor școlii? Ce ar însemna, practic, ca ea să fie bijectivă — și de ce școlii nu-i trebuie asta?

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce tripleta injectiv–surjectiv–bijectiv, specifică programei de matematică-informatică (segmentul CS), și pregătește direct lecția despre funcția inversă: elevul trebuie să plece de aici știind că doar bijecțiile se pot inversa. Accentul cade pe cele două „rețete" de demonstrație — pornirea de la $f(x_1)=f(x_2)$ pentru injectivitate, rezolvarea ecuației $f(x)=y$ pentru surjectivitate — și pe disciplina contraexemplului pentru infirmare.

Întrebări bune de control: „Ce verifică testul dreptei orizontale?" (injectivitatea: cel mult o intersecție; surjectivitatea: cel puțin una, pentru $m$ din codomeniu); „De ce $x^2$ devine surjectivă dacă schimb codomeniul în $[0,\infty )$?"; „Poate fi injectivă o funcție de la o mulțime cu 6 elemente la una cu 5?" (nu — principiul cutiei). Semne că a înțeles: distinge demonstrația generală de verificarea pe cazuri, verifică apartenența soluției la domeniu în demonstrațiile de surjectivitate și poate „repara" o funcție neinjectivă prin restrângerea domeniului.

La Bacalaureat M1, proprietățile apar atât direct („arătați că $f$ este bijectivă"), cât și ca unealtă: existența și unicitatea soluției unei ecuații $f(x)=m$ se traduc prin surjectivitate și injectivitate, iar inversarea funcțiilor (inclusiv la exponențiale și logaritmi, în clasa a X-a) se sprijină integral pe bijectivitate.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție injectivă, pe înțelesul tuturor? O funcție la care elemente diferite din domeniu primesc mereu valori diferite — ca la garderobă, unde doi spectatori nu pot primi același jeton. Matematic: din $f(x_1)=f(x_2)$ rezultă obligatoriu $x_1=x_2$.

Cum demonstrez că o funcție este injectivă? Presupui că două valori coincid, $f(x_1)=f(x_2)$, și arăți prin calcul că $x_1=x_2$. Alternativ, dacă funcția este strict monotonă (strict crescătoare sau strict descrescătoare), este automat injectivă — drum adesea mai scurt.

Cum demonstrez că o funcție este surjectivă? Iei un element oarecare $y$ din codomeniu și rezolvi ecuația $f(x)=y$ cu necunoscuta $x$. Dacă pentru orice $y$ găsești măcar o soluție care aparține domeniului, funcția e surjectivă. Nu uita verificarea apartenenței — acolo se pierd cele mai multe puncte.

Ce înseamnă funcție bijectivă? O funcție care este simultan injectivă și surjectivă: fiecare element din codomeniu este atins exact o dată. Bijecțiile realizează o corespondență perfectă unu-la-unu și sunt singurele funcții care admit inversă.

Ce este testul dreptei orizontale? Un criteriu grafic: dacă orice dreaptă orizontală taie graficul în cel mult un punct, funcția e injectivă; dacă orice orizontală $y=m$ cu $m$ din codomeniu taie graficul în cel puțin un punct, e surjectivă; exact un punct pentru fiecare — bijectivă.

Poate o funcție să fie injectivă fără să fie monotonă? Da. Exemplul clasic: $f(x)=1/x$ pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ este injectivă, dar urcă și coboară. Monotonia strictă garantează injectivitatea, dar nu este obligatorie pentru ea.

De ce contează codomeniul la surjectivitate? Pentru că surjectivitatea cere ca tot codomeniul să fie acoperit de valori. Aceeași lege de calcul poate fi surjectivă spre un codomeniu potrivit ($x^2$ spre $[0,\infty )$) și nesurjectivă spre unul prea mare ($x^2$ spre $\mathbb{R}$). Schimbarea codomeniului schimbă funcția.

Unde se folosesc bijecțiile în informatică? Peste tot unde e nevoie de corespondență fără pierderi: chei unice în baze de date, criptare și decriptare (fiecare mesaj criptat provine dintr-un singur mesaj clar), codificări de caractere, funcții de numerotare. O funcție de criptare neinjectivă ar face decriptarea imposibilă.