Test: Recapitulare mate-info clasa a IX-a

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Recapitulare finală (clasa a IX-a)

Exerciții

Partea I – Tehnici de bază ale specializării

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g(x)=x^2$. Valoarea $(f\circ g)(2)$ este: A. $7$; B. $9$; C. $3$; D. $15$.

b) Inversa funcției bijective $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$, este: A. $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$; B. $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}$; C. $f^{-1}(x)=3x-2$; D. $f^{-1}(x)=\frac{1}{3x+2}$.

c) Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+6=0$, atunci $x_1+x_2$ este egal cu: A. $5$; B. $-5$; C. $6$; D. $-6$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, este injectivă." b) „Dacă $f:A\to B$ este bijectivă, atunci $f\circ f^{-1}=1_B$." c) „Numărul $\sqrt{2}$ este rațional." d) „Ecuația $x^2+2x+5=0$ are soluții reale."

Exercițiul 3 (6 puncte)

Se consideră ecuația $x^2-7x+10=0$, cu soluțiile $x_1$ și $x_2$. a) Calculează $S=x_1+x_2$ și $P=x_1{x}_2$, fără a rezolva ecuația. (2 p) b) Calculează $x_1^2+x_2^2$. (2 p) c) Calculează $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$. (2 p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+3}=3$. (2 p) b) Raționalizează numitorul fracției $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$. (1,5 p) c) Arată că $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$. (1,5 p)

Exercițiul 5 (5 puncte)

a) Calculează $\sin 75^{\circ }$, folosind formula pentru $\sin (a+b)$ și descompunerea $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$. (2 p) b) Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\sin 2x$ și $\cos 2x$. (3 p)

Partea a II-a – Metode, funcții și recurențe

Exercițiul 6 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$ și $g(x)=x+4$. a) Determină $f\circ g$ și $g\circ f$ și precizează dacă cele două funcții sunt egale. (3 p) b) Arată că $f$ este bijectivă și determină $f^{-1}$. (4 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_1=2$ și $a_{n+1}=2a_n+3$, pentru orice $n\ge 1$. a) Calculează $a_2$ și $a_3$. (2 p) b) Arată că șirul $(b_n{)}_{n\ge 1}$, unde $b_n=a_n+3$, este progresie geometrică și precizează primul termen și rația. (3 p) c) Deduce formula termenului general $a_n$ și verific-o pentru $n=3$. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

(Redactare completă cerută.) Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice număr natural nenul $n$, $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$

Exercițiul 9 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$$ (3 p) b) Determină coordonatele punctelor de intersecție dintre dreapta $d:y=x+3$ și parabola $P:y=x^2+1$, apoi precizează câte puncte comune au cele două curbe. (4 p)

Partea a III-a – Sinteză, demonstrații și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră ecuația trigonometrică $$2{\cos }^{2}x+3\sin x-3=0.$$ a) Folosind formula fundamentală, adu ecuația la o ecuație de gradul al doilea în necunoscuta $t=\sin x$ și rezolv-o. (3 p) b) Determină toate soluțiile reale ale ecuației. (5 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $BC=7$, $AC=5$ și $AB=8$. a) Calculează $\cos A$ și precizează măsura unghiului $A$. (2 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2 p) c) Calculează raza $R$ a cercului circumscris triunghiului. (2 p) d) Calculează raza $r$ a cercului înscris în triunghi. (2 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Se consideră funcția $f:[2,+\infty )\to [1,+\infty )$, $f(x)=x^2-4x+5$. Demonstrează că $f$ este bijectivă și determină inversa ei. (5 p) b) Demonstrează prin reducere la absurd că numărul $\sqrt{3}$ este irațional. (4 p)

Exercițiul 13 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+m$, unde $m$ este număr real. a) Pentru $m=3$, calculați $f(0)+f(4)$. (3 p) b) Determinați numerele reale $m$ pentru care $f(x)\ge 0$, oricare ar fi $x$ număr real. (3 p) c) Determinați numărul real $m$ pentru care soluțiile $x_1$ și $x_2$ ale ecuației $f(x)=0$ verifică relația $x_1^2+x_2^2=10$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $(f\circ g)(2)=f(g(2))=f(4)=2\cdot 4-1=7$. (Varianta B, $9$, este rezultatul lui $(g\circ f)(2)=g(3)=9$ — exact greșeala de ordine pe care o testează itemul: compunerea nu este comutativă.) b) A. Din $y=3x+2$ se scoate $x=\frac{y-2}{3}$, deci $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$. Verificare: $f\left(\frac{7-2}{3}\right)=f\left(\frac{5}{3}\right)=3\cdot \frac{5}{3}+2=7$ ✓. c) A. Prima relație a lui Viète: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$. (Varianta C este produsul, nu suma.)

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Contraexemplu: $f(-1)=1=f(1)$, deși $-1\ne 1$. Funcția devine injectivă doar dacă restrângem domeniul, de exemplu la $[0,+\infty )$. b) A. Prin definiția inversei, pentru orice $y\in B$ avem $f(f^{-1}(y))=y$, adică $f\circ f^{-1}=1_B$ (funcția identică pe $B$). Simetric, $f^{-1}\circ f=1_A$. (Atenție la ordine: cele două compuneri dau funcții identice pe mulțimi diferite.) c) F. $\sqrt{2}$ este irațional — este rezultatul clasic demonstrat prin reducere la absurd (același raționament ca la punctul b) al itemului 12, cu $2$ în loc de $3$). d) F. $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0$, deci ecuația nu are soluții reale. (Are două soluții complexe conjugate, dar acestea nu se studiază în clasa a IX-a.)

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) Cu relațiile lui Viète, pentru $a=1$, $b=-7$, $c=10$: $$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=7,P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=10.$$ (Control: $\Delta =49-40=9>0$, deci soluțiile sunt reale, anume $2$ și $5$; într-adevăr $2+5=7$ și $2\cdot 5=10$.) b) (2 p) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=S^2-2P$ (1 p) $=49-20=29$ (1 p). (Verificare: $2^2+5^2=4+25=29$ ✓.) c) (2 p) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}$ (1 p) $=\frac{7}{10}$ (1 p). (Verificare: $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5+2}{10}=\frac{7}{10}$ ✓.)

Exercițiul 4. (5 p) a) (2 p) Condiția de existență: $2x+3\ge 0$. Ridicăm la pătrat: $2x+3=9$, deci $2x=6$ și $\mathbf{x}=3$ (1,5 p). Verificare obligatorie: $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$ ✓ (0,5 p). b) (1,5 p) Amplificăm cu conjugata numitorului: $$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}.$$ c) (1,5 p) Scriem radicandul ca pătrat perfect: $7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3}{)}^2$ (1 p). Cum $2+\sqrt{3}>0$, avem $\sqrt{(2+\sqrt{3}{)}^2}=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}$ (0,5 p). $■$

Exercițiul 5. (5 p) a) (2 p) $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$ (1 p) $$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$ (1 p). b) (3 p) Cum $x$ este în primul cadran, $\cos x>0$, deci din formula fundamentală $\cos x=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (1 p). Atunci $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$ (1 p), $$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-2\cdot \frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$$ (1 p). (Control: ${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(\frac{7}{25}\right)}^2=\frac{576+49}{625}=1$ ✓. Se acceptă și $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{16-9}{25}=\frac{7}{25}$.)

Exercițiul 6. (7 p) a) (3 p) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(x+4)-3=2x+5$ (1 p); $(g\circ f)(x)=g(f(x))=(2x-3)+4=2x+1$ (1 p). Cele două funcții nu sunt egale: au același domeniu și codomeniu, dar valori diferite, de exemplu în $x=0$ obținem $5\ne 1$ (1 p). b) (4 p) Injectivitate (1,5 p): dacă $f(x_1)=f(x_2)$, atunci $2x_1-3=2x_2-3$, deci $2x_1=2x_2$ și $x_1=x_2$. Surjectivitate (1,5 p): pentru orice $y\in \mathbb{R}$, ecuația $2x-3=y$ are soluția $x=\frac{y+3}{2}\in \mathbb{R}$, deci orice $y$ este valoare a funcției. Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă, deci inversabilă, iar $${\mathbf{f}}^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},{\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{x}+3}{2}$$ (1 p). (Verificare: $f^{-1}(5)=4$ și $f(4)=2\cdot 4-3=5$ ✓.)

Exercițiul 7. (7 p) a) (2 p) $a_2=2\cdot 2+3=7$; $a_3=2\cdot 7+3=17$. b) (3 p) Pentru orice $n\ge 1$: $$b_{n+1}=a_{n+1}+3=(2a_n+3)+3=2a_n+6=2(a_n+3)=2b_n$$ (2 p), deci raportul a doi termeni consecutivi este constant, egal cu $2$. Primul termen este $b_1=a_1+3=5\ne 0$, așadar $(b_n)$ este progresie geometrică cu $b_1=5$ și rația $q=2$ (1 p). c) (2 p) $b_n=b_1{q}^{n-1}=5\cdot 2^{n-1}$, iar $a_n=b_n-3$, deci $$\boxed{a_n=5\cdot 2^{n-1}-3}$$ (1,5 p). Verificare pentru $n=3$: $5\cdot 2^2-3=20-3=17=a_3$ ✓ (0,5 p). (Control suplimentar: $n=1$ dă $5-3=2=a_1$ ✓.)

Exercițiul 8. (7 p) — redactare completă.

Notăm cu $P(n)$ afirmația: $1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. (1 p pentru enunțarea explicită a lui $P(n)$)

Etapa de verificare (1,5 p). Pentru $n=1$, membrul stâng este $1\cdot 2=2$, iar membrul drept este $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2$. Egalitatea are loc, deci $P(1)$ este adevărată.

Ipoteza și ținta (1,5 p). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un număr natural $k\ge 1$ fixat, adică $$1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$ Demonstrăm $P(k+1)$, adică $1\cdot 2+\cdots +(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Pasul de inducție (2,5 p). Adăugăm în ambii membri termenul următor, $(k+1)(k+2)$: $$\underset{\text{ipoteza de inducție}}{\underbrace{1\cdot 2+\cdots +k(k+1)}}+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2).$$ Dăm factor comun $(k+1)(k+2)$: $$=(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right)=(k+1)(k+2)\cdot \frac{k+3}{3}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3},$$ adică exact $P(k+1)$.

Concluzia (0,5 p). Conform principiului inducției matematice, egalitatea are loc pentru orice număr natural nenul $n$. $■$

(Verificare de control: pentru $n=3$, membrul stâng este $2+6+12=20$, iar membrul drept $\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3}=20$ ✓.)

Exercițiul 9. (7 p) a) (3 p) Sistemul este simetric: $x$ și $y$ sunt soluțiile ecuației $t^2-St+P=0$ cu $S=5$, $P=6$ (1,5 p), adică ale ecuației $t^2-5t+6=0$. Cum $\Delta =25-24=1$, obținem $t_1=2$ și $t_2=3$ (1 p). Soluțiile sistemului sunt perechile $(2,3)$ și $(3,2)$ (0,5 p). (Verificare: $2+3=5$ și $2\cdot 3=6$ ✓. Se acceptă și rezolvarea prin substituție, $y=5-x$.) b) (4 p) Un punct comun are aceleași coordonate pe ambele curbe, deci ordonatele coincid (1 p): $$x^2+1=x+3⟺x^2-x-2=0.$$ $\Delta =1+8=9$, deci $x_1=-1$ și $x_2=2$ (1,5 p). Ordonatele se obțin din ecuația dreptei: pentru $x=-1$, $y=2$; pentru $x=2$, $y=5$ (1 p). Punctele de intersecție sunt $(-1,2)$ și $(2,5)$; dreapta și parabola au două puncte comune, adică dreapta este secantă parabolei (ceea ce corespunde lui $\Delta >0$) (0,5 p). (Verificare pe parabolă: $(-1{)}^2+1=2$ ✓ și $2^2+1=5$ ✓.)

🖼️ [Imagine (pentru corectare): reper cartezian cu parabola $y=x^2+1$ (ramuri în sus, vârf în $(0,1)$) și dreapta $y=x+3$ trasată cu roșu; cele două puncte de intersecție, $(-1,2)$ și $(2,5)$, sunt marcate cu bulină și etichetate.]

Exercițiul 10. (8 p) a) (3 p) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ (1 p). Ecuația devine $$2(1-{\sin }^{2}x)+3\sin x-3=0⟺-2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0⟺2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$ Cu notația $t=\sin x$, unde $t\in [-1,1]$ (1 p), obținem $2t^2-3t+1=0$, cu $\Delta =9-8=1$, deci $$t_1=\frac{3+1}{4}=1,t_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.$$ Ambele valori sunt în $[-1,1]$, deci ambele convin (1 p). b) (5 p) Cazul $\sin x=1$ (1,5 p): valoarea maximă a sinusului se atinge într-un singur punct al cercului trigonometric, deci $$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ Cazul $\sin x=\frac{1}{2}$ (2,5 p): pe cercul trigonometric, ordonata $\frac{1}{2}$ corespunde la două puncte, în cadranele I și II, adică arcelor $\frac{\pi }{6}$ și $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$; adăugând perioada $2\pi$: $$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{sau}x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ (Se acceptă și scrierea condensată $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.) Reunirea și verificarea (1 p): mulțimea soluțiilor este $$\mathbf{S}=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi \right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\},\mathbf{k}\in \mathbb{Z}.$$ Verificare pentru $x=\frac{\pi }{6}$: $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$ ✓. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$: $2\cdot 0+3\cdot 1-3=0$ ✓. Pentru $x=\frac{5\pi }{6}$: $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=0$ ✓. (Greșeala tipică: a scrie doar $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, uitând familia din cadranul al II-lea, sau a omite complet cazul $\sin x=1$.)

Exercițiul 11. (8 p)

Notăm, ca de obicei, $a=BC=7$, $b=AC=5$, $c=AB=8$. (Configurația este validă: $5+7>8$, $5+8>7$, $7+8>5$.)

a) (2 p) Din teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, deci $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$ (1,5 p), de unde $A=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ (0,5 p). b) (2 p) $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $$\mathcal{S}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{5\cdot 8}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$ (1,5 p). Verificare cu formula lui Heron, unde $p=\frac{7+5+8}{2}=10$: $$\mathcal{S}=\sqrt{10\cdot 3\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}✓$$ (0,5 p). c) (2 p) Din teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=2R$ (1 p), deci $$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$ (1 p). (Control cu formula $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{7\cdot 5\cdot 8}{4\cdot 10\sqrt{3}}=\frac{280}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}$ ✓.) d) (2 p) Din $\mathcal{S}=p\cdot r$ (1 p) rezultă $$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$$ (1 p).

Exercițiul 12. (9 p) — redactare completă.

a) (5 p) Scriem funcția sub formă canonică (1 p): $$f(x)=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1.$$

Injectivitate (1,5 p): fie $x_1,x_2\in [2,+\infty )$ cu $f(x_1)=f(x_2)$. Atunci $(x_1-2{)}^2=(x_2-2{)}^2$, deci $|x_1-2|=|x_2-2|$. Cum $x_1\ge 2$ și $x_2\ge 2$, ambele module se scot fără schimbare de semn: $x_1-2=x_2-2$, adică $x_1=x_2$.

Surjectivitate (1,5 p): fie $y\in [1,+\infty )$ arbitrar. Ecuația $f(x)=y$ se scrie $(x-2{)}^2=y-1$, iar $y-1\ge 0$, deci ecuația are soluție. Alegem $x=2+\sqrt{y-1}$; cum $\sqrt{y-1}\ge 0$, avem $x\ge 2$, deci $x$ aparține domeniului, și $f(x)=y$.

Concluzia și inversa (1 p): $f$ este injectivă și surjectivă, deci bijectivă, prin urmare inversabilă, iar $${\mathbf{f}}^{-1}:[1,+\infty )\to [2,+\infty ),{\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{y})=2+\sqrt{\mathbf{y}-1}.$$ (Verificare: $f(5)=25-20+5=10$, iar $f^{-1}(10)=2+\sqrt{9}=5$ ✓; $f(3)=2$ și $f^{-1}(2)=2+\sqrt{1}=3$ ✓.)

b) (4 p) Presupunem prin absurd că $\sqrt{3}$ este rațional (0,5 p). Atunci există $p,q\in \mathbb{Z}$, $q\ne 0$, cu $$\sqrt{3}=\frac{p}{q},\text{fracția fiind ireductibila˘ (}p\text{ și }q\text{ nu au divizori comuni ıˆn afara˘ de }\pm 1\text{)}$$ (0,5 p). Ridicând la pătrat: $3=\frac{p^2}{q^2}$, deci $p^2=3q^2$ (1 p). Rezultă că $3\mid p^2$; cum $3$ este număr prim, obținem $3\mid p$ (0,5 p), deci $p=3k$ pentru un întreg $k$. Înlocuind: $$(3k{)}^2=3q^2⟺9k^2=3q^2⟺q^2=3k^2,$$ de unde, prin același argument, $3\mid q$ (1 p). Așadar $3$ divide și pe $p$, și pe $q$ — contradicție cu ipoteza că fracția $\frac{p}{q}$ este ireductibilă (0,5 p). Presupunerea făcută este falsă, deci $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$. $■$

Exercițiul 13. (9 p) a) (3 p) Pentru $m=3$ avem $f(x)=x^2-4x+3$ (0,5 p). Atunci $f(0)=3$ (1 p) și $f(4)=16-16+3=3$ (1 p), deci $f(0)+f(4)=6$ (0,5 p). (Observație: egalitatea $f(0)=f(4)$ nu este întâmplătoare — punctele $0$ și $4$ sunt simetrice față de axa de simetrie $x=2$ a parabolei.) b) (3 p) Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci graficul are ramurile în sus; condiția $f(x)\ge 0$ pentru orice $x$ real este echivalentă cu $\Delta \le 0$ (1,5 p). Avem $\Delta =16-4m$ (0,5 p), deci $$16-4m\le 0⟺m\ge 4,$$ adică $m\in [4,+\infty )$ (1 p). (Capătul se include: pentru $m=4$, $f(x)=(x-2{)}^2\ge 0$ ✓ — inegalitatea nu este strictă.) c) (3 p) Din relațiile lui Viète: $S=x_1+x_2=4$ și $P=x_1{x}_2=m$ (1 p). Atunci $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=16-2m=10⟺2m=6⟺\mathbf{m}=3$$ (1,5 p). Verificare (0,5 p): pentru $m=3$ avem $\Delta =16-12=4>0$, deci ecuația are într-adevăr două soluții reale, $x_1=1$ și $x_2=3$, iar $1^2+3^2=10$ ✓.

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul de final de an pentru specializarea matematică-informatică: acoperă exclusiv conținuturile din curriculumul de specialitate (CS) parcurse în clasa a IX-a, adică exact partea care face diferența față de trunchiul comun. Sunt evaluate: metodele de demonstrație (inducția matematică și reducerea la absurd), șirurile definite prin recurență și trecerea la formula termenului general, proprietățile funcțiilor — injectivitate, surjectivitate, bijectivitate, compunere, inversă —, relațiile lui Viète și sistemele cu ecuații de gradul al doilea, inclusiv interpretarea geometrică dreaptă ∩ parabolă, ecuațiile cu radicali, formulele trigonometrice avansate (sumă și diferență, unghi dublu) cu ecuațiile trigonometrice care decurg din ele, și relațiile metrice în triunghi (teorema cosinusului, aria, razele cercurilor înscris și circumscris).

Diferența de nivel față de testele de trunchi comun nu stă în volumul de calcul, ci în exigența redactării: la itemii 8 și 12 se cere o demonstrație completă, cu toate etapele scrise, exact cum se punctează la Bacalaureatul M1. Un rezultat corect fără demonstrație primește punctaj parțial.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Recomandăm repartizarea: 12 minute Partea I, 18 minute Partea a II-a, 20 de minute Partea a III-a.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La ecuațiile cu radicali, verificarea soluțiilor face parte din rezolvare (ridicarea la pătrat nu este echivalentă). La ecuațiile trigonometrice, răspunsul este complet doar dacă apar toate familiile de soluții, cu $k\in \mathbb{Z}$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine, elevul e pregătit pentru clasa a X-a la mate-info; 75–89 p = bine, tehnicile sunt însușite, redactarea demonstrațiilor mai are de câștigat; 60–74 p = satisfăcător, se rezolvă tipurile standard, dar demonstrațiile și itemii de sinteză se pierd; sub 60 p = se reia recapitularea CS, cu accent pe demonstrații.
• Sfaturi de recapitulare (pe intervale de punctaj):
  • sub 60 p — se reia Recapitulare mate-info: metode de demonstrație, funcții și ecuații, apoi Recapitulare mate-info: trigonometrie și relații metrice; regula de lucru: nicio zi fără o demonstrație redactată integral, de mână;
  • 60–74 p — se identifică blocul slab: itemii 6, 12a → funcții (injectivitate/inversă); itemii 3, 9, 13 → gradul al doilea și Viète; itemii 5, 10 → trigonometrie; itemul 11 → relații metrice;
  • 75–89 p — se lucrează pe redactare: se rescriu itemii 8 și 12 până când fiecare etapă a demonstrației este explicită, apoi se trece la Cum arată o lucrare de final de an la clasa a IX-a;
  • peste 90 p — se poate începe rezolvarea de subiecte întregi de Bacalaureat M1, cronometrate.
• Formule de reținut: Inducția matematică: se verifică $P(1)$, se presupune $P(k)$ și se demonstrează $P(k+1)$; concluzia se scrie explicit. Recurențe liniare de forma $a_{n+1}=q{a}_n+b$ (cu $q\ne 1$) se rezolvă căutând punctul fix $\ell =q\ell +b$ și arătând că $a_n-\ell$ este progresie geometrică de rație $q$. Compunerea: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$; în general $f\circ g\ne g\circ f$. Inversa: $f$ este inversabilă $⟺$ $f$ este bijectivă, iar $f\circ f^{-1}=1_B$, $f^{-1}\circ f=1_A$. Viète: pentru $a{x}^2+bx+c=0$ cu $a\ne 0$, $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, iar $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$. Ecuații cu radicali: $\sqrt{E(x)}=a$ cu $a\ge 0$ $⟺$ $E(x)=a^2$ (plus condiția de existență). Trigonometrie avansată: $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$; $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$; $\sin 2x=2\sin x\cos x$; $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$. Ecuații trigonometrice elementare: $\sin x=a$, cu $a\in [-1,1]$, are soluțiile $x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Relații metrice: teorema cosinusului $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$; aria $\mathcal{S}=\frac{bc\sin A}{2}$; Heron $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$; $R=\frac{a}{2\sin A}$; $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, unde $p$ este semiperimetrul.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".