Test recapitulativ: algebră (clasa a IX-a)

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Recapitulare finală (clasa a IX-a)

Exerciții

Partea I – Noțiuni și tehnici de bază

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Negația propoziției „oricare ar fi $x \in R$ , $x^{2} + 1 > 0$ " este: A. „oricare ar fi $x \in R$ , $x^{2} + 1 \leq 0$ "; B. „există $x \in R$ astfel încât $x^{2} + 1 \leq 0$ "; C. „există $x \in R$ astfel încât $x^{2} + 1 > 0$ "; D. „oricare ar fi $x \in R$ , $x^{2} + 1 < 0$ ".

b) Valoarea de adevăr a propoziției „ $(2 > 3) \Rightarrow (5 = 5)$ " este: A. adevărat; B. fals; C. nu se poate stabili; D. depinde de valoarea lui $x$ .

c) Negația propoziției compuse $p \land q$ este: A. $\overline{p} \land \overline{q}$ ; B. $\overline{p} \lor \overline{q}$ ; C. $p \lor q$ ; D. $\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu primul termen $a_{1} = 4$ și rația $r = 3$ . a) Calculează $a_{10}$ . (2 p) b) Calculează suma primilor $20$ de termeni, $S_{20}$ . (2 p) c) Determină rangul $n$ pentru care $a_{n} = 100$ . (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Se consideră progresia geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{1} = 2$ și rația $q = 3$ . Calculează $b_{5}$ . (2 p) b) Pentru aceeași progresie, calculează suma primilor $6$ termeni, $S_{6}$ . (2 p) c) Un utilaj cumpărat cu $5000$ de lei se depreciază cu $20%$ în fiecare an, raportat la valoarea din anul precedent. Ce valoare are utilajul după $3$ ani? (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 6$ . a) Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate. (2 p) b) Precizează monotonia funcției și justifică răspunsul. (2 p) c) Rezolvă în $R$ inecuația $f (x) \geq 0$ . (2 p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se consideră funcția $g : R \to R$ , $g (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . a) Determină coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. (2 p) b) Determină coordonatele vârfului parabolei și ecuația axei de simetrie. (2 p) c) Determină mulțimea valorilor funcției $g$ . (2 p)

Partea a II-a – Aplicații

Exercițiul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $R$ inecuația $x^{2} - x - 6 < 0$ . (3 p) b) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $x^{2} - 4 x + m > 0$ , oricare ar fi $x \in R$ . (4 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții: a) $f (x) = 2 x - 6$ ; (2 p) b) $g (x) = 9 - x^{2}$ ; (2 p) c) $h (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ . (3 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

a) Rezolvă în $R$ ecuația $2^{x} = 32$ . (2 p) b) Calculează $lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{9}$ . (2 p) c) Determină numărul real $x$ pentru care $lo g_{2} (x - 1) = 3$ , folosind definiția logaritmului. Verifică apoi condiția de existență. (3 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă un șir este progresie geometrică cu rația $q = 1$ , atunci el este și progresie aritmetică." b) „Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , este descrescătoare pe $R$ ." c) „Ecuația $x^{2} + x + 1 = 0$ are două soluții reale distincte." d) „Negația propoziției «există $x \in R$ astfel încât $x^{2} = 2$ » este «oricare ar fi $x \in R$ , $x^{2} \neq = 2$ »."

Exercițiul 10 (7 puncte)

(Problemă aplicată.) Într-un laborator, numărul bacteriilor dintr-o cultură se dublează la fiecare $3$ ore. La ora $8 : 00$ în cultură se află $500$ de bacterii. a) Câte bacterii vor fi la ora $17 : 00$ în aceeași zi? (3 p) b) După câte ore de la ora $8 : 00$ numărul bacteriilor depășește pentru prima dată $30000$ ? (4 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Item de sinteză: funcții și progresii.) a) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ , și șirul $a_{n} = f (n)$ , pentru $n \geq 1$ . Arată că $(a_{n})_{n \geq 1}$ este progresie aritmetică, precizează primul termen și rația, apoi calculează $S_{20} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20}$ . (4 p) b) Se consideră funcția $g : R \to R$ , $g (x) = 3^{x}$ , și șirul $b_{n} = g (n)$ , pentru $n \geq 1$ . Arată că $(b_{n})_{n \geq 1}$ este progresie geometrică, precizează primul termen și rația, apoi calculează $S_{5} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{5}$ . (4 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Item de sinteză: funcția de gradul al doilea într-o problemă practică.) Un fermier are $40$ de metri de gard și vrea să îngrădească o parcelă dreptunghiulară lipită de zidul drept al hambarului. Zidul ține loc de una dintre laturi, așa că gardul se folosește doar pentru celelalte trei laturi. Notăm cu $y$ lungimea (în metri) a fiecăreia dintre cele două laturi perpendiculare pe zid. a) Exprimă aria $A$ a parcelei în funcție de $y$ și precizează valorile posibile ale lui $y$ . (3 p) b) Determină dimensiunile parcelei pentru care aria este maximă. (4 p) c) Calculează aria maximă. (2 p)

Exercițiul 13 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2^{x}$ . a) Calculați $f (0) + f (3) - f (1)$ . (2 p) b) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) + f (x + 1) = 24$ . (4 p) c) Arătați că numerele $f (1)$ , $f (3)$ , $f (5)$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice și determinați rația acesteia. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Negația unei propoziții cu cuantificatorul universal $\forall$ se face schimbând cuantificatorul în $\exists$ și negând predicatul: negația lui $x^{2} + 1 > 0$ este $x^{2} + 1 \leq 0$ . (Observație: propoziția inițială este adevărată, deci negația ei este falsă — dar întrebarea cere forma negației, nu valoarea ei de adevăr.) b) A. Implicația $p \Rightarrow q$ este falsă într-un singur caz: antecedent adevărat și consecvent fals. Aici antecedentul „ $2 > 3$ " este fals, deci implicația este adevărată, indiferent de consecvent. c) B. Legea lui De Morgan: $\overline{p \land q} = \overline{p} \lor \overline{q}$ . Varianta A este negația disjuncției, nu a conjuncției.

Exercițiul 2. (6 p) a) (2 p) $a_{10} = a_{1} + 9 r = 4 + 9 \cdot 3 = 31$ . b) (2 p) $a_{20} = 4 + 19 \cdot 3 = 61$ (1 p), deci $S_{20} = \frac{20 ( a _{1} + a _{20} )}{2} = \frac{20 \cdot 65}{2} = 650$ (1 p). c) (2 p) Din $4 + (n - 1) \cdot 3 = 100$ rezultă $3 (n - 1) = 96$ , deci $n - 1 = 32$ și $n = 33$ . Verificare: $a_{33} = 4 + 32 \cdot 3 = 100$ ✓.

Exercițiul 3. (6 p) a) (2 p) $b_{5} = b_{1} q^{4} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ . b) (2 p) $S_{6} = b_{1} \cdot \frac{q ^{6} - 1}{q - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 728$ . (Verificare prin adunare: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓.) c) (2 p) O scădere cu $20%$ înseamnă înmulțire cu $0, 8$ (1 p), deci valorile formează o progresie geometrică de rație $0, 8$ : $5000 \cdot 0, 8^{3} = 5000 \cdot 0, 512 = 2560 lei$ (1 p). (Greșeala tipică: a scădea $3 \times 20% = 60%$ și a răspunde $2000$ de lei — scăderile procentuale repetate nu se adună.)

Exercițiul 4. (6 p) a) (2 p) Cu axa $O y$ : $f (0) = 6$ , deci punctul $(0, 6)$ (1 p). Cu axa $O x$ : $- 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ , deci punctul $(3, 0)$ (1 p). b) (2 p) Funcția este strict descrescătoare pe $R$ , deoarece coeficientul lui $x$ este $a = - 2 < 0$ (1 p). Justificare directă: dacă $x_{1} < x_{2}$ , atunci $- 2 x_{1} > - 2 x_{2}$ , deci $f (x_{1}) > f (x_{2})$ (1 p). c) (2 p) $- 2 x + 6 \geq 0 ⟺ - 2 x \geq - 6 ⟺ x \leq 3$ (la împărțirea cu $- 2$ se schimbă sensul inegalității) (1 p). Soluția: $x \in (- \infty, 3]$ (1 p).

🖼️ [Imagine (pentru corectare): reper cartezian cu graficul dreptei $y = - 2 x + 6$ trasat cu albastru, tăind axa $O y$ în punctul $(0, 6)$ și axa $O x$ în punctul $(3, 0)$ ; ambele puncte de intersecție marcate cu bulină și etichetate; porțiunea de grafic aflată deasupra axei $O x$ , corespunzătoare soluției $x \leq 3$ , este îngroșată.]

Exercițiul 5. (6 p) a) (2 p) Cu $O x$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ , $Δ = 36 - 20 = 16$ , $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ , deci punctele $(1, 0)$ și $(5, 0)$ (1,5 p). Cu $O y$ : $g (0) = 5$ , deci punctul $(0, 5)$ (0,5 p). b) (2 p) $x_{V} = - \frac{b}{2 a} = \frac{6}{2} = 3$ și $y_{V} = g (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ , deci $V (3, - 4)$ (1,5 p). (Verificare cu formula: $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{16}{4} = - 4$ ✓.) Axa de simetrie: $x = 3$ (0,5 p). c) (2 p) Coeficientul dominant este $a = 1 > 0$ , deci ramurile sunt în sus și vârful dă minimul funcției (1 p). Prin urmare $Im g = [- 4, + \infty)$ (1 p).

🖼️ [Imagine (pentru corectare): parabola $y = x^{2} - 6 x + 5$ cu ramurile în sus, intersectând axa $O x$ în $(1, 0)$ și $(5, 0)$ , axa $O y$ în $(0, 5)$ ; vârful $V (3, - 4)$ marcat cu roșu, iar axa de simetrie $x = 3$ trasată punctat vertical.]

Exercițiul 6. (7 p) a) (3 p) Rădăcinile ecuației $x^{2} - x - 6 = 0$ : $Δ = 1 + 24 = 25$ , deci $x_{1} = - 2$ și $x_{2} = 3$ (1,5 p). Cum $a = 1 > 0$ , expresia este negativă între rădăcini (1 p), deci soluția inecuației este $x \in (- 2, 3)$ (0,5 p). b) (4 p) O funcție de gradul al doilea cu $a > 0$ este strict pozitivă pe tot $R$ dacă și numai dacă nu are rădăcini reale, adică $Δ < 0$ (2 p). Aici $Δ = 16 - 4 m$ (1 p), deci $16 - 4 m < 0 ⟺ m > 4,$ adică $m \in (4, + \infty)$ (1 p). (Atenție la capăt: pentru $m = 4$ avem $Δ = 0$ și $f (x) = (x - 2)^{2}$ , care se anulează în $x = 2$ — nu este strict pozitivă, deci $m = 4$ nu convine.)

Exercițiul 7. (7 p) a) (2 p) Condiția $2 x - 6 \geq 0$ dă $x \geq 3$ , deci $D_{f} = [3, + \infty)$ . b) (2 p) Condiția $9 - x^{2} \geq 0$ se scrie $x^{2} \leq 9$ , adică $- 3 \leq x \leq 3$ , deci $D_{g} = [- 3, 3]$ . c) (3 p) Sunt două condiții simultane: $x + 2 \geq 0$ (radicalul) (1 p) și $x - 1 \neq = 0$ (numitorul) (1 p). Din $x \geq - 2$ și $x \neq = 1$ obținem $D_{h} = [- 2, 1) \cup (1, + \infty)$ (1 p).

Exercițiul 8. (7 p) a) (2 p) $32 = 2^{5}$ , deci $2^{x} = 2^{5}$ și, funcția exponențială fiind injectivă, $x = 5$ . b) (2 p) $lo g_{2} 8 = 3$ , pentru că $2^{3} = 8$ (1 p); $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ , pentru că $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ (0,5 p). Suma este $3 + (- 2) = 1$ (0,5 p). c) (3 p) Condiția de existență: $x - 1 > 0$ , adică $x > 1$ (1 p). Din definiția logaritmului, $lo g_{2} (x - 1) = 3$ înseamnă exact $2^{3} = x - 1$ (1 p), deci $x - 1 = 8$ și $x = 9$ (0,5 p). Verificare: $9 > 1$ ✓, iar $lo g_{2} (9 - 1) = lo g_{2} 8 = 3$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Dacă $q = 1$ , toți termenii sunt egali cu $b_{1}$ , deci șirul este constant. Un șir constant verifică $a_{n + 1} - a_{n} = 0$ , adică este progresie aritmetică de rație $r = 0$ . b) F. Funcția $f (x) = x^{2}$ este descrescătoare doar pe $(- \infty, 0]$ și crescătoare pe $[0, + \infty)$ . Contraexemplu: $- 1 < 2$ , dar $f (- 1) = 1 < 4 = f (2)$ , deci nu este descrescătoare pe tot $R$ . c) F. $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0$ , deci ecuația nu are nicio soluție reală (graficul, cu ramurile în sus, este în întregime deasupra axei $O x$ ). d) A. Negația unei propoziții existențiale se face schimbând $\exists$ în $\forall$ și negând predicatul: negația lui $x^{2} = 2$ este $x^{2} \neq = 2$ . (Aici propoziția inițială este adevărată — $x = 2$ —, deci negația este falsă; forma negației rămâne însă cea indicată.)

Exercițiul 10. (7 p) a) (3 p) De la $8 : 00$ la $17 : 00$ trec $9$ ore, adică $9 : 3 = 3$ perioade de dublare (1,5 p). Numărul de bacterii este $500 \cdot 2^{3} = 500 \cdot 8 = 4000$ (1,5 p). b) (4 p) După $k$ dublări sunt $500 \cdot 2^{k}$ bacterii, iar condiția este $500 \cdot 2^{k} > 30000$ , adică $2^{k} > 60$ (1,5 p). Cum $2^{5} = 32 < 60$ și $2^{6} = 64 > 60$ , cel mai mic $k$ natural care convine este $k = 6$ (1,5 p). Șase dublări înseamnă $6 \cdot 3 = 18 ore$ de la ora $8 : 00$ (deci la ora $2 : 00$ în noaptea următoare), când sunt $500 \cdot 64 = 32000$ de bacterii (1 p). (Control: după $15$ ore sunt $500 \cdot 32 = 16000 < 30000$ , deci $18$ este într-adevăr primul moment.)

Exercițiul 11. (8 p) a) (4 p) $a_{n} = f (n) = 2 n - 1$ (0,5 p). Calculăm diferența a doi termeni consecutivi: $a_{n + 1} - a_{n} = (2 (n + 1) - 1) - (2 n - 1) = 2,$ constantă, deci $(a_{n})$ este progresie aritmetică (1,5 p), cu $a_{1} = 1$ și rația $r = 2$ (0,5 p). Atunci $a_{20} = 2 \cdot 20 - 1 = 39$ și $S_{20} = \frac{20 ( 1 + 39 )}{2} = 10 \cdot 40 = 400$ (1,5 p). (Observație pentru profesor: acesta este faptul general — restricția unei funcții afine la $N^{*}$ este întotdeauna progresie aritmetică, cu rația egală cu panta.) b) (4 p) $b_{n} = g (n) = 3^{n}$ (0,5 p). Raportul a doi termeni consecutivi: $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{3 ^{n + 1}}{3 ^{n}} = 3,$ constant și nenul, deci $(b_{n})$ este progresie geometrică (1,5 p), cu $b_{1} = 3$ și rația $q = 3$ (0,5 p). Atunci $S_{5} = b_{1} \cdot \frac{q ^{5} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 3 \cdot 121 = 363$ (1,5 p). (Verificare prin adunare: $3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363$ ✓.)

Exercițiul 12. (9 p) a) (3 p) Gardul acoperă cele două laturi de lungime $y$ și latura paralelă cu zidul; notând cu $x$ această ultimă latură, avem $x + 2 y = 40$ , deci $x = 40 - 2 y$ (1,5 p). Aria este $A (y) = x \cdot y = (40 - 2 y) y = - 2 y^{2} + 40 y$ (1 p). Condițiile $y > 0$ și $x = 40 - 2 y > 0$ dau $y \in (0, 20)$ (0,5 p). b) (4 p) $A$ este o funcție de gradul al doilea cu $a = - 2 < 0$ , deci are un maxim, atins în vârf (1,5 p): $y_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{40}{- 4} = 10.$ (1,5 p) Valoarea $y = 10$ aparține intervalului $(0, 20)$ ✓. Atunci $x = 40 - 2 \cdot 10 = 20$ , deci parcela are $20$ m paralel cu zidul și $10$ m perpendicular pe zid (1 p). c) (2 p) $A_{m a x} = A (10) = - 2 \cdot 100 + 400 = 200 m^{2}$ (1,5 p). Verificare de control: pentru $y = 9$ aria este $198$ m², iar pentru $y = 11$ tot $198$ m² — ambele mai mici, ceea ce confirmă maximul (0,5 p).

Exercițiul 13. (9 p) a) (2 p) $f (0) = 2^{0} = 1$ , $f (3) = 2^{3} = 8$ , $f (1) = 2^{1} = 2$ (1 p), deci $f (0) + f (3) - f (1) = 1 + 8 - 2 = 7$ (1 p). b) (4 p) $f (x + 1) = 2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ (1,5 p), deci ecuația devine $2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = 24 ⟺ 3 \cdot 2^{x} = 24 ⟺ 2^{x} = 8$ (1,5 p). Cum $8 = 2^{3}$ , rezultă $x = 3$ (1 p). Verificare: $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ ✓. c) (3 p) $f (1) = 2$ , $f (3) = 8$ , $f (5) = 32$ (1 p). Verificăm caracterizarea progresiei geometrice prin trei termeni consecutivi: $f (3)^{2} = 8^{2} = 64 ș i f (1) \cdot f (5) = 2 \cdot 32 = 64,$ deci $f (3)^{2} = f (1) \cdot f (5)$ , iar termenii sunt nenuli — prin urmare cele trei numere sunt în progresie geometrică (1,5 p). Rația este $q = \frac{8}{2} = 4$ (și, într-adevăr, $\frac{32}{8} = 4$ ) (0,5 p). (Se acordă punctaj integral și soluției care observă direct că $\frac{f ( 3 )}{f ( 1 )} = 2^{2} = 4 = \frac{f ( 5 )}{f ( 3 )}$ .)

Pentru părinți și profesori

Acest test parcurge toată algebra clasei a IX-a la trunchiul comun, într-o singură lucrare. Nu verifică o singură lecție, ci felul în care elevul își mișcă instrumentele dintr-un capitol în altul: logica matematică (valori de adevăr, negație, cuantificatori), progresiile aritmetice și geometrice (termen general, sume, aplicații procentuale), funcția afină (monotonie, semn, intersecții cu axele), funcția de gradul al doilea (vârf, mulțimea valorilor, semn, inecuații, probleme de maxim), funcția radical (domeniul maxim de definiție) și funcțiile exponențială și logaritmică (ecuații simple, calcul de logaritmi). Ultimii trei itemi sunt de sinteză: fiecare combină cel puțin două capitole, pentru că exact așa arată o problemă adevărată — o funcție afină care ascunde o progresie aritmetică, o parabolă care ascunde o problemă de arie maximă, o exponențială care ascunde o progresie geometrică.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs). Recomandăm repartizarea: 15 minute Partea I, 20 de minute Partea a II-a, 15 minute Partea a III-a.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La itemii de tip „determină" răspunsul este complet doar cu justificarea scrisă; rezultatul singur primește cel mult jumătate din punctaj.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine, algebra clasei a IX-a este stăpânită; 75–89 p = bine, rămân de consolidat una-două tehnici; 60–74 p = satisfăcător, elevul rezolvă tipurile standard, dar se pierde la itemii de sinteză; sub 60 p = se reia sistematic recapitularea, capitol cu capitol.
Sfaturi de recapitulare (pe intervale de punctaj):
- sub 60 p — se reia de la temelie: Recapitulare: logică și progresii și apoi Recapitulare: funcții și lecturi grafice, cu 3–4 exerciții rezolvate zilnic, nu cu citit;
- 60–74 p — se lucrează țintit pe capitolele în care s-au pierdut puncte: dacă au căzut itemii 5–6 și 12, capitolul-problemă este funcția de gradul al doilea; dacă au căzut itemii 2–3 și 11, sunt progresiile;
- 75–89 p — se trece la itemii de sinteză și la formatul de lucrare: Cum arată o lucrare de final de an la clasa a IX-a;
- peste 90 p — se poate ataca partea de geometrie analitică și trigonometrie, cu testul recapitulativ pereche.
Formule de reținut: Progresia aritmetică: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ . Progresia geometrică: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ . Funcția afină $f (x) = a x + b$ este crescătoare pentru $a > 0$ și descrescătoare pentru $a < 0$ ; se anulează în $x = - \frac{b}{a}$ . Funcția de gradul al doilea $f (x) = a x^{2} + b x + c$ : $Δ = b^{2} - 4 a c$ , vârful $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , iar pentru $a > 0$ mulțimea valorilor este $[- \frac{Δ}{4 a}, + \infty)$ . Semnul: pentru $Δ > 0$ , funcția are semn contrar lui $a$ între rădăcini și semnul lui $a$ în rest; pentru $Δ < 0$ păstrează semnul lui $a$ pe tot $R$ . Radical: $E (x)$ există dacă și numai dacă $E (x) \geq 0$ . Logaritm: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ . Negarea cuantificatorilor: negația lui „ $\forall x, P (x)$ " este „ $\exists x$ astfel încât $\overline{P (x)}$ ".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".