Creșterea exponențială continuă: formulă

Formulă din tema Exponențiale și logaritmi, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$N_0$ este valoarea de la momentul $0$, $k$ este rata de creștere continuă ($k>0$ creștere, $k<0$ descreștere), iar $N(t)$ este valoarea după timpul $t$. Baza $e$ este alegerea naturală pentru procesele care se desfășoară continuu: dobândă cu capitalizare continuă, creșterea populațiilor, dezintegrarea radioactivă, răcirea unui corp. Timpul de dublare nu depinde de valoarea inițială, ci doar de $k$. Pentru creșteri pe pași, cu $p\%$ pe perioadă, folosești progresia geometrică $V_n=V_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$, iar pentru o estimare rapidă a dublării, regula lui $70$: aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade.

Exemplu: O cultură de bacterii cu $k=0,35$ pe oră se dublează după $t=\frac{\ln 2}{0,35}\approx \frac{0,693}{0,35}\approx 2$ ore. • La $7\%$ pe an, o sumă se dublează în aproximativ $\frac{70}{7}=10$ ani. • Orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, în cele din urmă, orice creștere liniară.