Formule: Exponențiale și logaritmi

Creșteri care explodează și întrebarea „la ce putere?” — primii pași în exponențiale și logaritmi. 9 formule, clasele 9–10.

Funcția exponențială — clasa 9
Definiția logaritmului — clasa 9
Egalitățile de bază ale logaritmului — clasa 9
Funcția logaritmică — clasa 9
Logaritm natural și logaritm zecimal — clasa 9
Creșterea exponențială continuă — clasa 9
Puterea cu exponent rațional — clasa 10
Proprietățile logaritmilor — clasa 10
Formula de schimbare a bazei — clasa 10

Funcția exponențială — clasa 9

f : R \to (0, + \infty), f (x) = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)

Baza $a$ este un număr fix, pozitiv și diferit de $1$ , iar necunoscuta stă la exponent — asta o deosebește de funcția putere. Valorile sunt întotdeauna strict pozitive, deci graficul nu taie niciodată axa $O x$ ; el trece prin $(0, 1)$ pentru orice bază și prin $(1, a)$ , de unde se citește baza direct de pe desen. Monotonia depinde de bază: pentru $a > 1$ funcția crește, pentru $0 < a < 1$ scade. Axa $O x$ este asimptotă orizontală: curba se apropie oricât de mult de ea, fără să o atingă.

Exemplu: $f (x) = 2^{x}$ : $f (0) = 1$ , $f (1) = 2$ , $f (3) = 8$ , $f (- 2) = \frac{1}{4}$ — valori mereu pozitive. • Ecuația $2^{x} = 8$ are soluția $x = 3$ , iar $2^{x} = - 5$ nu are nicio soluție, pentru că $2^{x} > 0$ oricare ar fi $x$ .

Definiția logaritmului — clasa 9

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b (a > 0, a \neq = 1, b > 0)

Logaritmul este un exponent: $lo g_{a} b$ răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza $a$ ca să obțin argumentul $b$ ?”. Condițiile de existență sunt baza $a > 0$ cu $a \neq = 1$ și argumentul $b > 0$ — nu există logaritm din zero sau din numere negative. Capcană: rezultatul poate fi negativ sau fracționar, iar negativ nu înseamnă inexistent; inexistent este doar logaritmul cu argument nepozitiv.

Exemplu: $lo g_{2} 8 = 3$ , pentru că $2^{3} = 8$ . • $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , pentru că $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . • $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ , pentru că $9^{\frac{1}{2}} = 3$ . • Încadrare între întregi: din $3^{3} < 50 < 3^{4}$ rezultă $3 < lo g_{3} 50 < 4$ .

Egalitățile de bază ale logaritmului — clasa 9

lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1, lo g_{a} a^{n} = n, a^{l o g_{a} b} = b

Cele patru egalități se deduc direct din definiție. Ultimele două arată că ridicarea la putere și logaritmul în aceeași bază se anulează reciproc: sunt operații inverse. Le folosești ca să simplifici expresii fără niciun calcul. Capcană: proprietățile produsului și ale câtului ( $lo g_{a} (x y)$ , $lo g_{a} \frac{x}{y}$ ) se studiază la clasa a X-a — în clasa a IX-a lucrezi doar cu definiția și cu aceste patru egalități.

Exemplu: $lo g_{5} 1 = 0$ , $lo g_{5} 5 = 1$ , $lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{3} = 3$ . • $2^{l o g_{2} 7} = 7$ . • $lo g_{3} 81 = lo g_{3} 3^{4} = 4$ .

Funcția logaritmică — clasa 9

f : (0, + \infty) \to R, f (x) = lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1)

Domeniul este $(0, + \infty)$ — se logaritmează doar numere strict pozitive — iar mulțimea valorilor este tot $R$ . Graficul trece întotdeauna prin $(1, 0)$ , indiferent de bază, și prin $(a, 1)$ ; axa $O y$ (dreapta $x = 0$ ) este asimptotă verticală. Monotonia depinde de bază: crescătoare pentru $a > 1$ , descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . Graficele funcțiilor $a^{x}$ și $lo g_{a} x$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ , fiind funcții inverse una alteia.

Exemplu: Pentru $f (x) = lo g_{2} x$ : $f (1) = 0$ , $f (2) = 1$ , $f (8) = 3$ , $f (\frac{1}{2}) = - 1$ . • Semnul, la bază $a > 1$ : negativ pe $(0, 1)$ , nul în $1$ , pozitiv pe $(1, + \infty)$ .

Logaritm natural și logaritm zecimal — clasa 9

l g x = lo g_{10} x, ln x = lo g_{e} x, 1 0^{l g x} = x, e^{l n x} = x

$l g$ este logaritmul zecimal, în baza $10$ : el numără ordinele de mărime, fiindcă o creștere cu $1$ a lui $l g$ înseamnă un număr de $10$ ori mai mare. $ln$ este logaritmul natural, în baza $e \approx 2, 718$ , potrivit proceselor continue. Egalități utile: $l g 1 0^{n} = n$ , $ln e^{n} = n$ și $l g 1 = ln 1 = 0$ . Valori de memorat: $l g 2 \approx 0, 301$ , $l g 5 \approx 0, 699$ , $ln 2 \approx 0, 693$ , $ln 10 \approx 2, 303$ . Capcană: pe calculator tasta „log” înseamnă $l g$ , iar tasta „ln” înseamnă logaritm natural.

Exemplu: $l g 1000 = l g 1 0^{3} = 3$ și $l g 0, 01 = - 2$ . • Partea întreagă a lui $l g N$ este numărul de cifre ale lui $N$ , minus $1$ : $l g 5000 \approx 3, 7$ , iar $5000$ are $4$ cifre. • $ln e^{5} = 5$ .

Creșterea exponențială continuă — clasa 9

N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}, t_{dublare} = \frac{ln 2}{k}

$N_{0}$ este valoarea de la momentul $0$ , $k$ este rata de creștere continuă ( $k > 0$ creștere, $k < 0$ descreștere), iar $N (t)$ este valoarea după timpul $t$ . Baza $e$ este alegerea naturală pentru procesele care se desfășoară continuu: dobândă cu capitalizare continuă, creșterea populațiilor, dezintegrarea radioactivă, răcirea unui corp. Timpul de dublare nu depinde de valoarea inițială, ci doar de $k$ . Pentru creșteri pe pași, cu $p %$ pe perioadă, folosești progresia geometrică $V_{n} = V_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , iar pentru o estimare rapidă a dublării, regula lui $70$ : aproximativ $\frac{70}{p}$ perioade.

Exemplu: O cultură de bacterii cu $k = 0, 35$ pe oră se dublează după $t = \frac{ln 2}{0 , 35} \approx \frac{0 , 693}{0 , 35} \approx 2$ ore. • La $7%$ pe an, o sumă se dublează în aproximativ $\frac{70}{7} = 10$ ani. • Orice creștere exponențială cu factor mai mare decât $1$ depășește, în cele din urmă, orice creștere liniară.

Puterea cu exponent rațional — clasa 10

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}, a > 0, m \in Z, n \in N^{*}

Puterea cu exponent fracționar este doar un alt chip al radicalului: numitorul exponentului dă ordinul radicalului, iar numărătorul rămâne exponent. Caz particular esențial: $a^{\frac{1}{n}} = n a$ . Baza trebuie să fie strict pozitivă — la baze negative definiția s-ar contrazice, pentru că $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ ar da două valori diferite pentru același număr. Rezultatul este întotdeauna strict pozitiv. Toate regulile puterilor rămân valabile: $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ , $\frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s}$ , $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ , $(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$ . Rețeta de calcul: descompune baza în factori primi, extrage întâi radicalul și abia apoi ridică la putere.

Exemplu: $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$ . • $3 2^{\frac{1}{5}} = 532 = 2$ . • $1 6^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{1 6 ^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{( 4 16 ) ^{3}} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ . • $2 7^{\frac{2}{3}} = 9$ .

Proprietățile logaritmilor — clasa 10

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

Valabile pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și argumente strict pozitive, $x > 0$ și $y > 0$ . Logaritmul transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere și ridicarea la putere în înmulțire — de aici vine toată puterea lui de calcul. Consecințe utile: $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ și $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ . Capcană dublă: nu există nicio formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ , deci suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată; iar dacă $x$ poate fi negativ, forma corectă este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ , cu modul.

Exemplu: $l g 2 + l g 5 = l g 10 = 1$ . • $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 8 = 3$ . • $lo g_{3} 81 = lo g_{3} 3^{4} = 4 lo g_{3} 3 = 4$ . • $lo g_{2} 8 = \frac{1}{2} lo g_{2} 8 = 1, 5$ .

Formula de schimbare a bazei — clasa 10

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

Formula permite trecerea de la o bază la alta: argumentul rămâne sus, iar baza veche coboară la numitor. Condiții: $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ , $b > 0$ ; pentru inversare se cere în plus $b \neq = 1$ . Cu calculatorul de buzunar folosești $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a} = \frac{ln b}{ln a}$ , pentru că el are doar tastele pentru baza $10$ și pentru baza $e$ . Consecințe utile: $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ , lanțul $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ (veriga din mijloc se simplifică) și $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ .

Exemplu: $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2} = 1, 5$ . • $lo g_{2} 5 = \frac{l g 5}{l g 2} \approx \frac{0 , 699}{0 , 301} \approx 2, 32$ . • $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8 = lo g_{2} 8 = 3$ .