Binomul lui Newton pentru matrice: formulă

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, iar $C_n^k$ sunt combinările din clasa a X-a. Condiția $AB=BA$ este esențială și se verifică explicit înainte de a scrie formula: fără ea, dezvoltarea produce termeni de tipul $ABA$ care nu se pot grupa. Cazul care apare cel mai des la Bacalaureat M1: $A=\alpha I_n+N$, unde $N$ este nilpotentă (adică $N^q=O_n$ pentru un $q$); cum $I_n$ comută cu orice matrice, suma se oprește la $k=q-1$ și rămân doar câțiva termeni. Capcană: $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ este falsă pentru matrice care nu comută.

Exemplu: Fie $A=I_3+N$ cu $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$; atunci $N^3=O_3$, deci $A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2$. • Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2+N$ cu $N^2=O_2$: $A^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$.