Matricea de rotație: formulă

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\theta$ este unghiul de rotație în jurul originii, măsurat în sens trigonometric; $R(\theta )$ duce punctul de coordonate $(x,y)$ în punctul $(x^{\prime },y^{\prime })$ dat de $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta )\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Prima egalitate din dreapta se demonstrează chiar cu formulele de adunare pentru sinus și cosinus, iar din ea, prin inducție, rezultă a doua: a roti de $n$ ori cu $\theta$ înseamnă a roti o dată cu $n\theta$. Consecințe utile: $R(0)=I_2$, $R(\theta )R(-\theta )=I_2$ — deci $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )$ — și $\det R(\theta )={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. Aceasta este a patra metodă elementară de ridicare la putere.

Exemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{6}\right)$, deci $A^6=R(\pi )=-I_2$ și $A^{12}=R(2\pi )=I_2$. • $R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ duce punctul $(1,0)$ în $(0,1)$.