Ce se cere la Subiectul I din progresii?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I: progresii și funcții

Cel mai des: un termen sau o sumă dintr-o progresie, aflarea primului termen și a rației din două condiții, verificarea faptului că trei numere sunt în progresie, iar de la funcții vârful parabolei, mulțimea valorilor și poziția unei drepte față de ea. Fiecare cerință se rezolvă în trei-patru rânduri, cu formulele scrise mai întâi.

Progresiile și funcțiile elementare dau cele mai constante cerințe ale Subiectului I: lecția le strânge în cele zece tipuri de cerințe, fiecare rezolvabil în trei-patru rânduri. La progresia aritmetică lucrează $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2}$ ; la cea geometrică, $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ și $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , cu $q \neq = 1$ . Când enunțul dă două condiții, sistemul se rezolvă prin scădere la progresia aritmetică și prin împărțire la cea geometrică; când rangurile diferă printr-un număr par, ecuația în $q$ are două soluții și amândouă se discută. Trei numere sunt în progresie aritmetică dacă $2 v = u + w$ și în progresie geometrică dacă $v^{2} = u w$ , cu toți termenii nenuli — de aici pasul de respingere pe care baremul îl punctează separat. Funcția de gradul întâi se citește din semnul lui $a$ și din zeroul $x_{0} = - \frac{b}{a}$ . La funcția de gradul al doilea, vârful este $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ , iar ordonata lui este valoarea extremă; imaginea este $[y_{V}, + \infty)$ pentru $a > 0$ și $(- \infty, y_{V}]$ pentru $a < 0$ . Poziția unei drepte față de o parabolă se decide prin discriminantul ecuației obținute prin egalarea celor două expresii: $Δ > 0$ dă două puncte comune, $Δ = 0$ unul, $Δ < 0$ niciunul.

De reținut

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , $S_{n} = \frac{( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ) n}{2}$
$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$
vârful: $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$

Greșeala tipică

Se confundă punctul de extrem cu valoarea extremă la funcția de gradul al doilea. Prima coordonată a vârfului spune unde se atinge extremul, iar a doua spune cât este; se scriu amândouă.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o progresie aritmetică se știe că $a_{4} = 17$ și $a_{9} = 42$ . Primul termen al progresiei este:
- a) $5$
- b) $2$
- c) $- 3$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2$

Din $a_{1} + 3 r = 17$ și $a_{1} + 8 r = 42$ , scăderea dă $5 r = 25$ , deci $r = 5$ și $a_{1} = 17 - 15 = 2$ . Varianta $5$ este rația, nu primul termen. Varianta $- 3$ vine din formula greșită $a_{n} = a_{1} + n r$ , iar $7$ din $a_{1} = 17 - 2 r$ , adică din $a_{4} = a_{1} + 2 r$ . Control: $2, 7, 12, 17, \dots, a_{9} = 2 + 8 \cdot 5 = 42$ .
Într-o progresie geometrică se știe că $b_{1} = 4$ și $b_{3} = 36$ . Rația progresiei poate fi:
- a) numai $3$
- b) numai $6$
- c) $9$ sau $- 9$
- d) $3$ sau $- 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$ sau $- 3$

Din $b_{3} = b_{1} q^{2}$ obținem $q^{2} = \frac{36}{4} = 9$ , deci $q = 3$ sau $q = - 3$ ; rangurile diferă printr-un număr par, deci ecuația în $q$ are două soluții, iar enunțul nu cere termeni pozitivi. Prima variantă pierde soluția negativă (progresia $4, - 12, 36$ e la fel de bună), varianta $6$ confundă $q^{2}$ cu $q \cdot b_{1}$ , iar ultima ia $q^{2} = 81$ .
Mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 13$ , este:
- a) $(- \infty, 5]$
- b) $[5, + \infty)$
- c) $(- \infty, 3]$
- d) $[- 13, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, 5]$

Avem $a = - 2 < 0$ , deci parabola e deschisă în jos și funcția are maxim. Vârful: $x_{V} = - \frac{12}{2 \cdot ( - 2 )} = 3$ și $y_{V} = f (3) = - 18 + 36 - 13 = 5$ . Prin urmare $Im f = (- \infty, 5]$ . Varianta $[5, + \infty)$ uită să discute semnul lui $a$ , varianta $(- \infty, 3]$ confundă abscisa vârfului cu valoarea extremă, iar ultima ia termenul liber drept extrem.

Întrebări conexe

Prin scădere sau prin împărțire se rezolvă sistemul cu doi termeni?

Prin scădere la progresia aritmetică, unde termenii se scriu cu adunare, și prin împărțire la cea geometrică, unde apar puteri ale rației. În amândouă cazurile, una dintre necunoscute dispare dintr-un pas, iar cealaltă iese imediat.

Ce se respinge când ecuația în rație are două soluții?

Se respinge valoarea care nu se potrivește cu enunțul: o rație nulă, una care face termenii nedefiniți sau semnul care contrazice o condiție dată. Respingerea se scrie cu motivul ei, fiindcă baremul o punctează separat.

Ce se întâmplă cu formula sumei dacă rația este 1?

Formula obișnuită nu se mai poate folosi, fiindcă la numitor ar apărea zero. Când rația este $1$ , toți termenii sunt egali, deci suma primilor termeni este chiar primul termen înmulțit cu numărul lor. Cazul se tratează separat.

Cum se află rangul unui termen dintr-o progresie aritmetică?

Din formula termenului general: scazi primul termen din cel dat, împarți la rație și adaugi unu. Dacă numărul obținut nu este natural, valoarea aceea nu apare în progresie, iar concluzia se scrie ca atare.

Ce se citește din semnul lui a la funcția de gradul întâi?

Sensul de variație: coeficient pozitiv înseamnă funcție crescătoare, negativ înseamnă descrescătoare. Zeroul funcției se află împărțind termenul liber la coeficient și schimbând semnul, iar graficul este o dreaptă care taie axa în acel punct.

Oamenii mai întreabă și: Subiectul I progresii · progresia aritmetică la Bac · progresia geometrică la examen · vârful parabolei · dreapta și parabola puncte comune