Disjuncția: propoziții legate prin «sau»

La casa unui muzeu scrie: „Bilet redus pentru elevi sau pensionari". Vine un elev — plătește redus. Vine o pensionară — plătește redus. Dar dacă apare cineva care este și elev, și pensionar (se întâmplă: un pensionar înscris la seral)? Nimeni nu-i cere să aleagă: primește tot biletul redus. Anunțul cere ca măcar una dintre condiții să fie îndeplinită, iar dacă sunt îndeplinite amândouă, cu atât mai bine.

Alteori însă, același cuvânt pare să însemne altceva. Într-un meniu fix scrie „supă sau salată", și e limpede că nu le primești pe amândouă. Limba română folosește un singur „sau" pentru două înțelesuri diferite, iar matematica nu-și poate permite ambiguitatea. De aceea ea alege unul dintre ele și îl fixează prin definiție. Lecția de față stabilește care este acesta, cum se calculează valoarea de adevăr a unui enunț cu „sau" și de ce alegerea făcută de matematicieni este, până la urmă, cea mai comodă.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești disjuncția a două propoziții și să folosești notațiile $p\text{ sau }q$, $p\vee q$.
• Vei ști tabelul de adevăr al disjuncției și regula ei de aur: este falsă doar când ambele propoziții sunt false.
• Vei ști să calculezi $v(p\vee q)$ cu formula $v(p\vee q)=\max (v(p),v(q))$.
• Vei ști să deosebești „sau" inclusiv (cel din matematică) de „sau" exclusiv („ori…, ori…") și să scrii tabelul fiecăruia.
• Vei ști să recunoști disjuncția în produsul nul, ecuațiile cu modul, reuniunea de intervale și în rezolvarea inecuațiilor.
• Vei ști cum se demonstrează și cum se infirmă un enunț legat prin „sau".

Hai să descoperim împreună

1. Ce cere „sau"

Fie propozițiile:

• $p$: „numărul $18$ se divide cu $3$" — adevărată;
• $q$: „numărul $18$ se divide cu $4$" — falsă, căci $18=4\cdot 4+2$.

Enunțul „numărul $18$ se divide cu $3$ sau se divide cu $4$" este adevărat, deși a doua bucată nu se verifică. E de ajuns ca una dintre ele să fie adevărată — asta cere „sau".

Când devine fals un asemenea enunț? Doar atunci când nicio componentă nu este adevărată. „Numărul $18$ se divide cu $4$ sau se divide cu $5$" este fals, pentru că amândouă afirmațiile sunt false.

Iată deci regula, în oglindă cu cea a conjuncției din lecția Conjuncția: propoziții legate prin «și»: dacă „și" era cea mai pretențioasă operație, „sau" este cea mai îngăduitoare.

2. Definiție, notație, tabel de adevăr

Definiție. Se numește disjuncția propozițiilor $p$ și $q$ propoziția, notată $p\vee q$ (se citește „$p$ sau $q$"), care este falsă dacă și numai dacă ambele propoziții sunt false; în toate celelalte cazuri este adevărată.

Tabelul de adevăr are, ca la orice operație cu două propoziții, patru linii:

Privește ultima coloană: o singură linie dă $0$, cea de jos. Formula practică de calcul este:

$$v(p\vee q)=\max (v(p),v(q)).$$

Maximul a două valori din $\{0,1\}$ este $0$ doar când amândouă sunt $0$ — exact ce spune definiția.

Reține perechea de reguli, pentru că împreună se țin minte mult mai ușor: conjuncția ia minimul, disjuncția ia maximul.

Ca și în cazul conjuncției, desenul are corespondent fizic: două comutatoare montate în paralel realizează disjuncția. Un bec de hol comandat din două locuri funcționează pe această idee.

3. „Sau" inclusiv și „sau" exclusiv

Aici este miezul lecției. Prima linie a tabelului — cea în care $p$ și $q$ sunt amândouă adevărate — arată alegerea făcută de matematică: rezultatul este adevărat. Cu alte cuvinte, „sau"-ul matematic este inclusiv: el admite și cazul în care se întâmplă amândouă.

Limba română are însă și un „sau" exclusiv, pe care îl scoatem în evidență prin construcția „ori…, ori…" sau prin „sau…, sau…, dar nu amândouă": „ori mergem la film, ori rămânem acasă". Acesta se numește disjuncție exclusivă și are propriul tabel:

Singura diferență este pe prima linie, dar ea schimbă totul: disjuncția exclusivă este adevărată doar când exact una dintre propoziții este adevărată.

Când scriem matematică, „sau" înseamnă întotdeauna varianta inclusivă, dacă nu se spune altfel. Motivul este comoditatea: aproape toate enunțurile matematice cu „sau" au nevoie de acest sens. Când spunem „$x\le 3$", înțelegem „$x<3$ sau $x=3$" — și nu ne deranjează deloc că ambele nu pot fi adevărate simultan. Când spunem „$a\cdot b=0$ dacă și numai dacă $a=0$ sau $b=0$", vrem ca și cazul $a=b=0$ să fie acoperit. Dacă „sau" ar fi exclusiv, enunțul ar deveni fals tocmai pentru $a=b=0$, deși produsul este nul — o complicație inutilă.

4. Proprietățile disjuncției

Din tabel se citesc, ca și la conjuncție:

Comutativitate: $p\vee q$ și $q\vee p$ au aceeași valoare de adevăr — ordinea nu contează.

Asociativitate: $(p\vee q)\vee r$ și $p\vee (q\vee r)$ coincid, deci scriem $p\vee q\vee r$, enunț adevărat când măcar una dintre cele trei propoziții este adevărată și fals doar când toate sunt false.

Idempotență: $p\vee p$ are aceeași valoare de adevăr ca $p$.

Rolul propoziției adevărate: dacă una dintre componente este adevărată, disjuncția este adevărată, indiferent de cealaltă. De aceea, ca să arăți că un enunț cu „sau" este adevărat, îți ajunge o singură componentă adevărată.

5. Disjuncția care este mereu adevărată: $p\vee \neg p$

Ce obținem legând prin „sau" o propoziție cu negația ei?

Rezultatul este $1$ pe ambele linii: $p\vee \neg p$ este adevărată oricare ar fi $p$. Un enunț adevărat indiferent de valorile componentelor se numește tautologie, iar aceasta anume este chiar principiul terțului exclus, întâlnit în lecția Negația unei propoziții: „ori plouă, ori nu plouă" — fără a treia posibilitate.

Perechea merită ținută minte: $p\wedge \neg p$ este mereu falsă (contradicție), $p\vee \neg p$ este mereu adevărată (tautologie).

6. Unde întâlnești disjuncția în matematică

Produsul nul. Cea mai folosită disjuncție din liceu: pentru numere reale,

$$a\cdot b=0\text{ daca˘ și numai daca˘ }a=0\text{ sau }b=0.$$

Pe ea se sprijină rezolvarea ecuațiilor prin descompunere în factori: din $(x-3)(x+2)=0$ deducem $x-3=0$ sau $x+2=0$, adică $x=3$ sau $x=-2$. „Sau"-ul este inclusiv, deși aici cele două cazuri nu se pot întâmpla deodată.

Ecuațiile cu modul. $|x|=5$ înseamnă $x=5$ sau $x=-5$. La fel, $x^2=16$ conduce la $x=4$ sau $x=-4$ — o greșeală frecventă este să se rețină o singură soluție, adică să se uite jumătate de disjuncție.

Reuniunea de mulțimi. $x\in A\cup B$ înseamnă $x\in A$ sau $x\in B$. Cum conjuncția corespundea intersecției, disjuncția corespunde reuniunii: soluțiile unei inecuații de tipul $x^2\ge 4$ formează mulțimea $(-\infty ,-2]\cup [2,\infty )$, adică „$x\le -2$ sau $x\ge 2$".

Inegalitățile nestricte. Scrierea $x\le 3$ este prin definiție disjuncția „$x<3$ sau $x=3$". Din acest motiv, propoziția „$5\le 5$" este adevărată, deși mulți elevi ezită: a doua componentă a disjuncției se verifică.

Discuția de cazuri. Când rezolvi o problemă spunând „numărul $n$ este par sau impar", folosești o disjuncție adevărată (chiar o tautologie, pentru numere întregi) ca să împarți rezolvarea în două ramuri.

7. Cum demonstrezi și cum infirmi un enunț cu „sau"

Regulile sunt exact inverse față de conjuncție:

• Ca să demonstrezi că „$p$ sau $q$" este adevărată, îți ajunge să demonstrezi una dintre ele.
• Ca să infirmi enunțul „$p$ sau $q$", trebuie să arăți că ambele sunt false.

Există și o strategie foarte des folosită în demonstrații: pentru a arăta că „$p$ sau $q$" este adevărată, presupui că $p$ este falsă și demonstrezi că atunci $q$ este adevărată. Este suficient: dacă $p$ e adevărată, enunțul e adevărat oricum; dacă $p$ e falsă, ai arătat că $q$ ține locul. Vei folosi acest tipar la teoreme de tipul „dacă $a\cdot b=0$, atunci $a=0$ sau $b=0$": presupui $a\ne 0$, împarți cu $a$ și obții $b=0$.

Iar dacă vrei să negi un enunț cu „sau", regula este surprinzătoare la prima vedere, dar firească după ce o gândești: negația lui „$p$ sau $q$" este „$\neg p$ și $\neg q$". Ca să fie fals că „iau bursă sau premiu", trebuie să nu iau nici bursă, nici premiu. Aceasta este una dintre legile lui De Morgan, pe care le vei demonstra riguros, cu tabel de adevăr, peste câteva lecții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea de adevăr a unei disjuncții

Se consideră $p$: „numărul $18$ se divide cu $3$" și $q$: „numărul $18$ se divide cu $4$". Determinați $v(p\vee q)$ și $v(p\wedge q)$.

Rezolvare. $18=3\cdot 6$, deci $v(p)=1$. Împărțind, $18=4\cdot 4+2$, deci $v(q)=0$. Rezultă $v(p\vee q)=\max (1,0)=1$ și $v(p\wedge q)=\min (1,0)=0$. Același cuplu de propoziții dă rezultate diferite, după operația folosită — motiv în plus să citești cu atenție cuvântul de legătură din enunț.

Exemplul 2 — Disjuncție falsă

Determinați valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $2027$ se divide cu $2$ sau se divide cu $7$".

Rezolvare. Numărul $2027$ este impar, deci prima propoziție este falsă. Pentru a doua: $2027=7\cdot 289+4$, deci nici cu $7$ nu se divide; a doua propoziție este tot falsă. Ambele componente fiind false, disjuncția este falsă. Observă că, spre deosebire de conjuncție, aici a trebuit să le verificăm pe amândouă.

Exemplul 3 — Produsul nul

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x-3)(x+2)=0$.

Rezolvare. Un produs de două numere reale este nul dacă și numai dacă măcar unul dintre factori este nul:

$$x-3=0\text{ sau }x+2=0⟹x=3\text{ sau }x=-2.$$

Mulțimea soluțiilor este $S=\{-2,3\}$. Cuvântul „sau" din rezolvare nu este de umplutură: el spune că fiecare dintre cele două valori, luată separat, verifică ecuația.

Exemplul 4 — Ecuație cu modul

Rezolvați ecuația $|2x-6|=4$.

Rezolvare. Prin definiția modulului, $|A|=4$ înseamnă $A=4$ sau $A=-4$. Obținem:

$$2x-6=4\text{ sau }2x-6=-4,$$

adică $2x=10$ sau $2x=2$, deci $x=5$ sau $x=1$. Verificare: $|2\cdot 5-6|=|4|=4$ și $|2\cdot 1-6|=|-4|=4$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{1,5\}$.

Exemplul 5 — „Sau" inclusiv contra „ori…, ori…"

O ofertă spune: „Reducere de $20\%$ pentru elevi sau pensionari". O altă ofertă spune: „Primești ori voucherul de $50$ de lei, ori transportul gratuit". Ce se întâmplă, în fiecare caz, cu un client care îndeplinește ambele condiții, respectiv care ar vrea ambele beneficii?

Rezolvare. Prima ofertă folosește „sau" inclusiv: un client care este și elev, și pensionar îndeplinește condiția (chiar de două ori) și primește reducerea. Enunțul este adevărat pe primele trei linii ale tabelului.

A doua folosește „ori…, ori…", adică disjuncția exclusivă: clientul trebuie să aleagă; dacă le-ar primi pe amândouă, condiția ofertei nu ar mai fi respectată. În matematică se subînțelege mereu primul sens; al doilea se marchează explicit prin „ori…, ori…" sau prin adăugarea „dar nu amândouă".

Aplicație numerică: la un preț de $250$ de lei, reducerea de $20\%$ înseamnă $0,20\cdot 250=50$ de lei, deci prețul plătit este $200$ de lei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propozițiile $p$: „numărul $91$ este prim" și $q$: „$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$". Determinați $v(p\vee q)$ și $v(\neg p\vee \neg q)$.

Rezolvare. Pentru $p$: $91=7\cdot 13$, deci numărul nu este prim și $v(p)=0$.

Pentru $q$: folosim formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, deci

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1,$$

prin urmare $v(q)=1$.

Rezultă $v(p\vee q)=\max (0,1)=1$. Pentru al doilea enunț: $v(\neg p)=1$ și $v(\neg q)=0$, deci $v(\neg p\vee \neg q)=\max (1,0)=1$.

Observație de redactare. Scrie mereu valoarea de adevăr a fiecărei propoziții cu justificarea ei (descompunerea lui $91$, respectiv calculul cu formula produsului sumă–diferență) și abia apoi aplică regula disjuncției.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare enunț cu „sau", stabilește separat valorile de adevăr ale componentelor; ține minte că, pentru a declara o disjuncție falsă, trebuie verificate ambele.

1. Se consideră $p$: „$4^2=16$" și $q$: „numărul $7$ este par". Determină $v(p\vee q)$.

2. Determină valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $2027$ se divide cu $3$ sau se divide cu $5$".

3. Completează tabelul de adevăr al disjuncției și verifică pe fiecare linie formula $v(p\vee q)=\max (v(p),v(q))$.

4. Rezolvă ecuația $(x-5)(x+1)=0$ și scrie soluția folosind explicit cuvântul „sau".

5. Rezolvă ecuația $|x-2|=7$.

6. Scrie sub formă de disjuncție de inegalități apartenența $x\in (-\infty ,-3)\cup [4,\infty )$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $v(p)=1$, atunci $v(p\vee q)=1$, indiferent de $q$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Propoziția «$5\le 5$» este falsă, pentru că $5$ nu este mai mic decât $5$."

9. Determină valoarea de adevăr a enunțului: „numărul $144$ este pătrat perfect sau se divide cu $7$".

10. Scrie negația enunțului „$x<0$ sau $x>10$" și reprezint-o pe axa numerelor.

11. Explică diferența dintre enunțurile „un număr natural este par sau se divide cu $3$" și „un număr natural este ori par, ori se divide cu $3$", dând un număr pentru care cele două au valori de adevăr diferite.

12. (Problemă aplicată.) La un concurs se acordă diplomă elevilor care au obținut cel puțin $85$ de puncte sau au rezolvat integral ultima problemă. Ana are $80$ de puncte și a rezolvat integral ultima problemă; Bogdan are $90$ de puncte și nu a rezolvat-o. Cine primește diplomă?

13. Rezolvă inecuația $x^2\ge 9$ și scrie mulțimea soluțiilor ca reuniune de intervale, apoi ca disjuncție de inegalități.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Enunțul $p\vee \neg p$ este adevărat pentru orice propoziție $p$."

15. Se consideră $p$: „$2^{10}=1024$" și $q$: „numărul $2^{10}$ este pătrat perfect". Determină $v(p\vee q)$, $v(p\wedge q)$ și $v(\neg p\vee q)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „numărul $\sqrt{50}-\sqrt{18}$ este natural" și $q$: „numărul $121$ este pătrat perfect". Determinați $v(p\vee q)$ și $v(p\wedge q)$.

17. Un elev afirmă: „Ca să arăt că enunțul «$n$ se divide cu $2$ sau cu $5$» este adevărat pentru $n=30$, verific ambele condiții". Este necesar? Dar dacă ar vrea să arate că enunțul este fals pentru $n=21$?

18. (Provocare.) Fie $p$, $q$ două propoziții despre care se știe că $v(p\vee q)=1$ și $v(p\wedge q)=0$. Ce se poate spune despre valorile de adevăr ale lui $p$ și $q$? Ce operație logică descriu, împreună, cele două condiții?

Răspunsuri și explicații

1. $4^2=16$, deci $v(p)=1$; numărul $7$ este impar, deci $v(q)=0$. Rezultă $v(p\vee q)=\max (1,0)=1$: o componentă adevărată este de ajuns.

2. Suma cifrelor lui $2027$ este $2+0+2+7=11$, care nu se divide cu $3$, deci prima propoziție este falsă. Ultima cifră este $7$, deci nici a doua nu se verifică. Ambele fiind false, enunțul este fals.

3. Rezultatele, în ordinea liniilor $11$, $10$, $01$, $00$, sunt $1,1,1,0$. Verificare: $\max (1,1)=1$, $\max (1,0)=1$, $\max (0,1)=1$, $\max (0,0)=0$.

4. Produsul este nul dacă și numai dacă $x-5=0$ sau $x+1=0$, adică $x=5$ sau $x=-1$. Mulțimea soluțiilor: $S=\{-1,5\}$.

5. $|x-2|=7$ înseamnă $x-2=7$ sau $x-2=-7$, deci $x=9$ sau $x=-5$. Verificare: $|9-2|=7$ și $|-5-2|=|-7|=7$. $S=\{-5,9\}$.

6. „$x<-3$ sau $x\ge 4$". Capătul deschis dă inegalitate strictă, cel închis dă inegalitate cu egal.

7. Adevărat. Disjuncția este falsă doar când ambele componente sunt false; dacă $p$ este adevărată, rezultatul este adevărat oricare ar fi $q$ (formal, $\max (1,v(q))=1$).

8. Fals. Scrierea $5\le 5$ înseamnă, prin definiție, „$5<5$ sau $5=5$". Prima componentă este falsă, a doua este adevărată, deci disjuncția este adevărată. Aceasta este chiar situația în care „sau"-ul inclusiv își arată utilitatea.

9. $144=12^2$, deci prima propoziție este adevărată și disjuncția este adevărată, fără a mai fi nevoie de a doua verificare. (De altfel, $144=7\cdot 20+4$, deci a doua propoziție este falsă — dar nu contează.)

10. Negația este „$x\ge 0$ și $x\le 10$", adică $x\in [0,10]$: pe axă, segmentul dintre $0$ și $10$, cu capete cu tot. (Negația unui „sau" devine „și" — lege De Morgan.)

11. Primul enunț folosește „sau" inclusiv, al doilea „ori…, ori…", adică disjuncția exclusivă. Numărul $6$ este și par, și divizibil cu $3$: primul enunț este adevărat pentru el, al doilea este fals, pentru că se întâmplă amândouă.

12. Amândoi primesc diplomă. Condiția este o disjuncție: Ana îndeplinește a doua componentă, Bogdan pe prima, iar disjuncția este adevărată dacă măcar o componentă este adevărată. Ar rămâne fără diplomă doar un elev care nu îndeplinește niciuna dintre condiții.

13. $x^2\ge 9$ înseamnă $|x|\ge 3$, adică $x\le -3$ sau $x\ge 3$. Ca reuniune de intervale: $S=(-\infty ,-3]\cup [3,\infty )$. Verificare pe câteva valori: $x=-4$ dă $16\ge 9$ ✓; $x=0$ dă $0\ge 9$ ✗, iar $0$ nu aparține mulțimii.

14. Adevărat. Din cele două linii ale tabelului, $p\vee \neg p$ are valoarea $1$ atât când $v(p)=1$, cât și când $v(p)=0$; enunțul este o tautologie și exprimă principiul terțului exclus.

15. $2^{10}=1024$, deci $v(p)=1$. Cum $1024=32^2$, numărul este pătrat perfect și $v(q)=1$. Rezultă $v(p\vee q)=1$, $v(p\wedge q)=1$ și $v(\neg p\vee q)=\max (0,1)=1$.

16. $\sqrt{50}-\sqrt{18}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, număr irațional (aproximativ $2,83$), deci $v(p)=0$. Cum $121=11^2$, avem $v(q)=1$. Rezultă $v(p\vee q)=\max (0,1)=1$ și $v(p\wedge q)=\min (0,1)=0$.

17. Nu este necesar: pentru $n=30$, prima condiție este deja adevărată ($30=2\cdot 15$), deci disjuncția este adevărată. În schimb, pentru a arăta că enunțul este fals la $n=21$, trebuie verificate ambele condiții: $21$ este impar și nu se termină în $0$ sau $5$, deci nici cu $2$, nici cu $5$ nu se divide. Regula: o disjuncție se confirmă cu o componentă, dar se infirmă doar cu toate.

18. Din $v(p\vee q)=1$ rezultă că măcar una este adevărată; din $v(p\wedge q)=0$ rezultă că nu pot fi amândouă adevărate. Prin urmare exact una dintre $p$ și $q$ este adevărată, adică $p$ și $q$ au valori de adevăr diferite. Cele două condiții descriu împreună disjuncția exclusivă, „ori $p$, ori $q$".

De reținut

• Disjuncția $p\vee q$ („$p$ sau $q$") este falsă doar când ambele propoziții sunt false; în celelalte trei cazuri este adevărată.
• Formula practică: $v(p\vee q)=\max (v(p),v(q))$. Ține minte perechea: conjuncția ia minimul, disjuncția ia maximul.
• În matematică, „sau" este inclusiv: admite și cazul în care ambele propoziții sunt adevărate. Sensul exclusiv se marchează prin „ori…, ori…" și este adevărat doar când exact una dintre propoziții este adevărată.
• Ca să demonstrezi o disjuncție îți ajunge o componentă adevărată; ca să o infirmi, trebuie arătat că toate componentele sunt false.
• Disjuncția apare la produsul nul, ecuațiile cu modul, reuniunea de intervale și în inegalitățile nestricte ($x\le 3$ înseamnă „$x<3$ sau $x=3$"); $p\vee \neg p$ este mereu adevărată (tautologie).

Greșeli frecvente

• Citirea lui „sau" ca „ori…, ori…". În matematică „sau" este inclusiv: enunțul rămâne adevărat și când ambele componente sunt adevărate. Sensul exclusiv trebuie marcat explicit.
• Pierderea unei soluții la ecuațiile cu modul sau cu pătrate. Din $x^2=16$ rezultă $x=4$ sau $x=-4$; reținerea unei singure ramuri înseamnă rezolvarea pe jumătate a disjuncției.
• Declararea unei disjuncții false după verificarea unei singure componente. „Nu se divide cu $2$, deci enunțul e fals" este greșit: mai trebuie verificată și a doua condiție.
• Negarea unui „sau" tot cu „sau". Negația lui „$x<0$ sau $x>10$" este „$x\ge 0$ și $x\le 10$", adică apartenența la intervalul $[0,10]$.
• Ezitarea la „$5\le 5$". Inegalitatea nestrictă este o disjuncție: „$5<5$ sau $5=5$"; a doua componentă fiind adevărată, propoziția este adevărată.

Aplică acasă

1. Ofertele din vitrine. Fotografiază sau notează cinci oferte comerciale care conțin „sau" („reducere pentru studenți sau pensionari", „primești cadou X sau Y"). Decide, pentru fiecare, dacă „sau"-ul este inclusiv sau exclusiv și rescrie oferta fără ambiguitate, așa cum ar formula-o un matematician.

2. Becul de pe hol. Dacă acasă ai o lampă comandată din două locuri, verifică pe ce principiu funcționează întrerupătoarele: unul singur este suficient pentru a aprinde becul (disjuncție) sau este nevoie de amândouă (conjuncție)? Desenează schema și scrie tabelul de adevăr corespunzător.

3. Filtrele care adaugă rezultate. Într-un magazin online, caută un produs în două categorii diferite și numără rezultatele fiecărei căutări, apoi numără rezultatele care apar în măcar una dintre ele. Explică de ce reuniunea are cel puțin atâtea elemente cât fiecare mulțime în parte — regula maximului din disjuncție.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua operație logică binară, disjuncția, și lămurește o confuzie de limbaj cu efecte lungi: „sau"-ul matematic este inclusiv, spre deosebire de „ori…, ori…" din vorbirea curentă. Competențele vizate sunt identificarea operațiilor cu propoziții elementare (IX.CS.2.1) și determinarea valorii de adevăr a unui enunț format din propoziții legate prin operatori logici (IX.CS.3.1). Consecințele practice sunt imediate: rezolvarea ecuațiilor prin descompunere în factori, ecuațiile cu modul și scrierea mulțimilor de soluții ca reuniuni de intervale.

Ce se verifică la elev: (1) știe că disjuncția este falsă numai când ambele componente sunt false; (2) folosește corect regula maximului; (3) deosebește „sau" inclusiv de cel exclusiv și poate da un exemplu pentru fiecare; (4) scrie ambele soluții la $x^2=a$ sau $|x|=a$; (5) neagă un „sau" cu „și". Întrebări bune de control: „Când este falsă o disjuncție?"; „Este adevărată propoziția «$5\le 5$» și de ce?"; „Ce înseamnă, logic, că un produs este nul?".

Semne că a înțeles: la ecuațiile cu modul scrie automat cele două ramuri; citește o reuniune de intervale ca pe o disjuncție de inegalități; nu se mai mira că „sau" acceptă și cazul în care ambele se întâmplă. La teze și la Bacalaureat, disjuncția apare direct în cerințe de tipul „determinați valoarea de adevăr a propoziției $p\vee q$", dar mai ales indirect, în fiecare mulțime de soluții scrisă corect. Elevul care pierde o soluție la o ecuație de gradul al doilea sau la un modul are, aproape întotdeauna, o problemă cu disjuncția, nu cu calculul.

Întrebări frecvente

Ce este disjuncția în logica matematică? Este operația care leagă două propoziții prin cuvântul „sau". Disjuncția $p\vee q$ este adevărată dacă măcar una dintre propoziții este adevărată și este falsă doar atunci când ambele sunt false.

Când este falsă o disjuncție? Într-un singur caz din patru: când $p$ este falsă și $q$ este falsă. De aceea, pentru a arăta că un enunț cu „sau" este fals, trebuie verificate toate componentele, nu doar una.

Ce înseamnă că „sau" este inclusiv în matematică? Înseamnă că enunțul „$p$ sau $q$" rămâne adevărat și atunci când ambele propoziții sunt adevărate. Sensul exclusiv, în care exact una trebuie să fie adevărată, se exprimă prin „ori…, ori…" și are alt tabel de adevăr, care diferă pe prima linie.

Cum se calculează valoarea de adevăr a disjuncției? Cu formula $v(p\vee q)=\max (v(p),v(q))$: maximul este $0$ doar când ambele valori sunt $0$. Ține minte perechea: conjuncția ia minimul, disjuncția ia maximul.

De ce este adevărată propoziția „$5\le 5$"? Pentru că inegalitatea nestrictă este, prin definiție, disjuncția „$5<5$ sau $5=5$". Prima componentă este falsă, a doua adevărată, deci disjuncția este adevărată. Același raționament arată că „$3\le 7$" este adevărată.

Unde apare disjuncția în rezolvările de la clasă? La produsul nul ($a\cdot b=0$ dacă și numai dacă $a=0$ sau $b=0$), la ecuațiile cu modul ($|x|=5$ dă $x=5$ sau $x=-5$), la reuniunea de intervale și la orice discuție de cazuri („$n$ este par sau impar").

Cum se neagă un enunț cu „sau"? Negația lui „$p$ sau $q$" este „$\neg p$ și $\neg q$": ca să fie fals că iei bursă sau premiu, trebuie să nu iei nici bursă, nici premiu. Regula face parte din legile lui De Morgan.

Ce este o tautologie? Este un enunț adevărat indiferent de valorile de adevăr ale propozițiilor din care este format. Exemplul clasic este $p\vee \neg p$ („ori plouă, ori nu plouă"), care exprimă principiul terțului exclus; opusul ei, $p\wedge \neg p$, este mereu falsă și se numește contradicție.