Implicația «dacă…, atunci…»

Un părinte promite: „Dacă iei nota $10$ la teză, îți cumpăr bicicleta". Peste o lună faceți bilanțul. Dacă ai luat $10$ și ai primit bicicleta, promisiunea a fost ținută. Dacă ai luat $10$ și nu ai primit-o, e limpede: promisiunea a fost încălcată. Dar dacă nu ai luat $10$? Fie că ai primit bicicleta (părintele s-a înduioșat), fie că nu, nimeni nu poate spune că promisiunea a fost călcată — pur și simplu, condiția nu s-a declanșat.

Ai analizat, fără să știi, toate cele patru cazuri posibile ale celei mai importante operații logice din matematică: implicația. Ea este forma în care se scriu aproape toate teoremele („dacă un triunghi are un unghi drept, atunci pătratul ipotenuzei…"), toate criteriile („dacă suma cifrelor se divide cu $3$, atunci numărul se divide cu $3$") și fiecare pas al oricărei rezolvări. Iar unicul caz în care implicația este falsă este exact cel din exemplul de mai sus: condiția s-a îndeplinit, promisiunea nu.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești implicația a două propoziții și să folosești notația $p\Rightarrow q$.
• Vei ști tabelul de adevăr al implicației și de ce este falsă într-un singur caz.
• Vei ști să numești corect ipoteza și concluzia unei implicații și să recunoști formulările echivalente din limbaj („$p$ numai dacă $q$", „$q$ este necesar pentru $p$").
• Vei ști de ce o implicație cu ipoteză falsă este adevărată și la ce folosește această convenție.
• Vei ști să scrii reciproca unei implicații și să arăți, cu un contraexemplu, că ea poate avea altă valoare de adevăr.
• Vei ști ce este contrara reciprocei și de ce ea are întotdeauna aceeași valoare de adevăr ca implicația inițială.

Hai să descoperim împreună

1. Cele patru cazuri ale unei promisiuni

Notăm $p$: „iei nota $10$ la teză" și $q$: „primești bicicleta". Promisiunea părintelui este enunțul compus „dacă $p$, atunci $q$". Judecăm, ca la orice enunț compus, toate combinațiile:

Liniile a treia și a patra sunt cele care surprind. Dacă nu ai luat $10$, promisiunea nu ți-a fost călcată, orice s-ar fi întâmplat cu bicicleta: părintele nu s-a angajat la nimic în acest caz. Iar în logică, „nu este falsă" înseamnă „este adevărată" — nu există a treia posibilitate.

2. Definiție, notație, tabel de adevăr

Definiție. Se numește implicația propozițiilor $p$ și $q$ propoziția, notată $p\Rightarrow q$ (se citește „$p$ implică $q$" sau „dacă $p$, atunci $q$"), care este falsă dacă și numai dacă $p$ este adevărată și $q$ este falsă; în celelalte trei cazuri este adevărată.

Propoziția $p$ se numește ipoteză (sau premisă), iar $q$ se numește concluzie. Spre deosebire de conjuncție și de disjuncție, implicația nu este comutativă: ordinea contează enorm, iar $p\Rightarrow q$ și $q\Rightarrow p$ sunt lucruri diferite, cum vom vedea în secțiunea 6.

Reține regula într-o singură propoziție, pentru că e cea mai rentabilă din tot capitolul: o implicație este falsă doar când din adevărat se ajunge la fals. Din adevărat nu se poate ajunge, printr-un raționament corect, la fals — pe acest principiu se sprijină toată matematica.

3. De ce implicația cu ipoteză falsă este adevărată

Este convenția care nedumerește cel mai des, așa că merită un exemplu matematic, nu doar unul cu bicicleta.

Consideră criteriul: „dacă numărul $n$ se divide cu $4$, atunci $n$ se divide cu $2$". Este, evident, o afirmație adevărată — și trebuie să rămână adevărată pentru orice număr $n$, altfel nu ar fi un criteriu. Să o verificăm pe câteva valori:

• $n=8$: ipoteza adevărată ($8=4\cdot 2$), concluzia adevărată ($8$ e par). Linia $1\Rightarrow 1$.
• $n=6$: ipoteza falsă ($6$ nu se divide cu $4$), concluzia adevărată ($6$ e par). Linia $0\Rightarrow 1$.
• $n=7$: ipoteza falsă, concluzia falsă ($7$ e impar). Linia $0\Rightarrow 0$.

Dacă am declara false ultimele două linii, criteriul nostru — o afirmație perfect corectă — ar deveni fals pentru $n=6$ și pentru $n=7$, ceea ce ar fi absurd. Convenția „ipoteză falsă $\Rightarrow$ implicație adevărată" este deci singura care păstrează adevărul regulilor generale. Spunem că o astfel de implicație este adevărată în gol: ea nu afirmă nimic despre cazurile în care ipoteza nu se îndeplinește.

De aici și un sfat practic: când verifici o implicație, te uiți doar la cazurile în care ipoteza este adevărată. Restul liniilor nu-ți pot strica niciodată enunțul.

4. Cum se citește o implicație

Aceeași implicație $p\Rightarrow q$ apare în manuale și în enunțuri sub multe forme. Merită să le recunoști pe toate:

• „dacă $p$, atunci $q$";
• „$p$ implică $q$";
• „$p$ este condiție suficientă pentru $q$" — ca să ai $q$, e de ajuns să ai $p$;
• „$q$ este condiție necesară pentru $p$" — fără $q$ nu poți avea $p$;
• „$p$ numai dacă $q$";
• „$q$, dacă $p$".

Ultimele două se confundă foarte ușor. Ține minte regula, cu nuanța ei: după „dacă" simplu stă ipoteza — în „$q$, dacă $p$", ipoteza este tot $p$; după „numai dacă" stă însă concluzia — în „$p$ numai dacă $q$", propoziția $q$ este condiția fără de care $p$ nu poate avea loc, deci concluzia, iar ipoteza rămâne $p$.

Un exemplu concret: „un număr se divide cu $10$ numai dacă se termină în $0$". Aici $p$: „$n$ se divide cu $10$" și $q$: „$n$ se termină în $0$", iar enunțul afirmă $p\Rightarrow q$. Terminarea în $0$ este condiție necesară pentru divizibilitatea cu $10$.

5. Teoremele sunt implicații

Deschide orice manual la o teoremă și vei găsi, aproape sigur, structura „dacă…, atunci…", uneori ascunsă în formulare.

Teorema lui Pitagora: „dacă un triunghi este dreptunghic, atunci pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor". Ipoteza: triunghiul este dreptunghic. Concluzia: relația dintre laturi.

Criteriul de divizibilitate cu $3$: „dacă suma cifrelor unui număr se divide cu $3$, atunci numărul se divide cu $3$".

De aici rezultă și cum se demonstrează o implicație: presupui ipoteza adevărată și, printr-un lanț de pași justificați, ajungi la concluzie. Nu ai de verificat decât linia întâi și a doua a tabelului — și, cum linia a doua trebuie evitată, tot ce ai de arătat este că din $p$ adevărată nu se poate ajunge la $q$ falsă.

Fiecare pas al unei rezolvări este, la rândul lui, o implicație: din „$2x-6=4$" rezultă „$2x=10$", de unde „$x=5$". Săgeata $\Rightarrow$ pe care o pui între rânduri nu este un simbol decorativ, ci exact afirmația că pasul următor decurge din cel dinainte. Despre cum se verifică validitatea unui astfel de lanț vei învăța în lecția Validarea logică a pașilor unui raționament.

6. Reciproca: „dacă…, atunci…" citit invers

Definiție. Se numește reciproca implicației $p\Rightarrow q$ implicația $q\Rightarrow p$.

Punctul esențial: o implicație și reciproca ei nu au, în general, aceeași valoare de adevăr.

Exemplu. Implicația „dacă $n$ se divide cu $4$, atunci $n$ se divide cu $2$" este adevărată. Reciproca ei — „dacă $n$ se divide cu $2$, atunci $n$ se divide cu $4$" — este falsă: numărul $6$ se divide cu $2$, dar nu se divide cu $4$. Un singur contraexemplu, ca de obicei, este de ajuns.

Alt exemplu, din geometrie: „dacă un patrulater este pătrat, atunci este dreptunghi" — adevărată; reciproca, „dacă un patrulater este dreptunghi, atunci este pătrat" — falsă (un dreptunghi cu laturile de $3$ cm și $5$ cm nu este pătrat).

Și unul algebric, cu care se pierd multe puncte: „dacă $x=2$, atunci $x^2=4$" este adevărată, dar reciproca „dacă $x^2=4$, atunci $x=2$" este falsă, pentru că $x$ poate fi $-2$.

Confuzia dintre o implicație și reciproca ei este cea mai costisitoare greșeală de logică din liceu. Când o teoremă și reciproca ei sunt amândouă adevărate, avem de-a face cu o echivalență — subiectul lecției următoare, Echivalența «dacă și numai dacă».

7. Contrara reciprocei: implicația întoarsă pe dos

Există însă o transformare care păstrează întotdeauna valoarea de adevăr.

Definiție. Se numește contrara reciprocei (sau contrapozitiva) implicației $p\Rightarrow q$ implicația $\neg q\Rightarrow \neg p$.

Verificăm cu un tabel, coloană cu coloană:

Coloana a treia și ultima coincid linie cu linie: $p\Rightarrow q$ și $\neg q\Rightarrow \neg p$ au mereu aceeași valoare de adevăr.

Bunul-simț confirmă: „dacă plouă, atunci strada e udă" spune exact același lucru cu „dacă strada nu e udă, atunci nu plouă". Iar utilitatea este mare, pentru că uneori contrara reciprocei se demonstrează mult mai ușor decât implicația inițială. Vrei să arăți că „dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par"? Direct e complicat. Contrara reciprocei spune „dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar", iar asta se arată dintr-un calcul: pentru $n=2k+1$ avem

$$n^2=(2k+1{)}^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$$

număr impar. Gata: implicația inițială este adevărată. Este exact tehnica folosită în demonstrația faptului că $\sqrt{2}$ este irațional, pe care o vei întâlni la metoda reducerii la absurd.

Atenție să nu confunzi cele trei transformări: reciproca ($q\Rightarrow p$) poate schimba valoarea de adevăr; contrara ($\neg p\Rightarrow \neg q$) la fel; doar contrara reciprocei ($\neg q\Rightarrow \neg p$) o păstrează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea de adevăr a unei implicații

Determinați valoarea de adevăr a implicațiilor: (a) „dacă $2+2=4$, atunci $3\cdot 3=9$"; (b) „dacă $2+2=4$, atunci $3\cdot 3=10$"; (c) „dacă $2+2=5$, atunci $3\cdot 3=10$".

Rezolvare. (a) Ipoteză adevărată, concluzie adevărată: implicația este adevărată (linia $1\Rightarrow 1$).

(b) Ipoteză adevărată, concluzie falsă ($3\cdot 3=9\ne 10$): implicația este falsă — singurul caz de acest fel.

(c) Ipoteză falsă ($2+2=4\ne 5$): implicația este adevărată, indiferent de concluzie. Este o implicație adevărată „în gol".

Exemplul 2 — Ipoteză și concluzie

Precizați ipoteza și concluzia implicației: „un număr natural se divide cu $6$ numai dacă se divide cu $3$". Este adevărată?

Rezolvare. Formularea „$p$ numai dacă $q$" înseamnă $p\Rightarrow q$, deci ipoteza este $p$: „$n$ se divide cu $6$", iar concluzia este $q$: „$n$ se divide cu $3$". Implicația este adevărată: dacă $n=6k$, atunci $n=3\cdot (2k)$, deci se divide cu $3$. Cu alte cuvinte, divizibilitatea cu $3$ este condiție necesară pentru divizibilitatea cu $6$.

Exemplul 3 — Reciproca și contraexemplul

Scrieți reciproca implicației „dacă $x=3$, atunci $x^2=9$" și stabiliți valoarea ei de adevăr.

Rezolvare. Implicația inițială este adevărată (dacă $x=3$, atunci $x^2=3^2=9$). Reciproca este: „dacă $x^2=9$, atunci $x=3$". Ea este falsă: pentru $x=-3$ avem $(-3{)}^2=9$, deci ipoteza este adevărată, dar concluzia este falsă. Am obținut exact linia $1\Rightarrow 0$ din tabel. $■$

Exemplul 4 — Contrara reciprocei, la lucru

Demonstrați că, dacă $n^2$ se divide cu $3$, atunci $n$ se divide cu $3$ (pentru $n$ număr natural), folosind contrara reciprocei.

Rezolvare. Contrara reciprocei este: „dacă $n$ nu se divide cu $3$, atunci $n^2$ nu se divide cu $3$". O demonstrăm. Dacă $n$ nu se divide cu $3$, atunci $n=3k+1$ sau $n=3k+2$.

În primul caz: $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$, deci restul împărțirii la $3$ este $1$.

În al doilea caz: $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$, deci restul este tot $1$.

În ambele situații $n^2$ nu se divide cu $3$. Contrara reciprocei fiind adevărată, implicația inițială este adevărată. $■$

Exemplul 5 — Condiție necesară, condiție suficientă

Pentru propozițiile $p$: „patrulaterul $ABCD$ este pătrat" și $q$: „patrulaterul $ABCD$ este romb", precizați care dintre ele este condiție suficientă pentru cealaltă și stabiliți dacă reciproca este adevărată.

Rezolvare. Orice pătrat are toate laturile congruente, deci este romb: implicația $p\Rightarrow q$ este adevărată. Prin urmare, „a fi pătrat" este condiție suficientă pentru „a fi romb", iar „a fi romb" este condiție necesară pentru „a fi pătrat".

Reciproca, $q\Rightarrow p$, este falsă: un romb cu unghiuri de $60^{\circ }$ și $120^{\circ }$ nu este pătrat. Faptul că $p\Rightarrow q$ este adevărată, iar $q\Rightarrow p$ falsă arată că cele două proprietăți nu sunt echivalente.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propozițiile $p$: „numărul $3^2+4^2$ este pătrat perfect" și $q$: „numărul $91$ este prim". Determinați $v(p\Rightarrow q)$ și $v(q\Rightarrow p)$.

Rezolvare. Pentru $p$: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, deci numărul este pătrat perfect și $v(p)=1$.

Pentru $q$: $91=7\cdot 13$, deci $91$ nu este prim și $v(q)=0$.

Atunci $p\Rightarrow q$ are ipoteza adevărată și concluzia falsă, deci $v(p\Rightarrow q)=0$.

Reciproca $q\Rightarrow p$ are ipoteza falsă, deci $v(q\Rightarrow p)=1$, indiferent de concluzie.

Observație de redactare. Exemplul arată, pe cifre, că o implicație și reciproca ei pot avea valori de adevăr diferite. La examen, scrie întâi $v(p)$ și $v(q)$ cu justificarea calculelor, apoi citește rezultatul din tabelul implicației.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare implicație, identifică mai întâi ipoteza și concluzia — jumătate din greșeli dispar din acest singur pas.

1. Determină valoarea de adevăr: (a) „dacă $5>3$, atunci $5^2>3^2$"; (b) „dacă $5>3$, atunci $2+2=5$"; (c) „dacă $1=2$, atunci $3=4$".

2. Precizează ipoteza și concluzia: (a) „dacă $n$ este par, atunci $n^2$ este par"; (b) „$n$ se divide cu $9$ numai dacă suma cifrelor lui se divide cu $9$".

3. Completează tabelul de adevăr al implicației și spune pe care linie apare valoarea $0$.

4. Scrie reciproca implicației „dacă un triunghi este echilateral, atunci este isoscel" și stabilește valoarea ei de adevăr.

5. Scrie reciproca implicației „dacă $n$ se divide cu $10$, atunci $n$ se divide cu $5$" și dă un contraexemplu pentru ea.

6. Scrie contrara reciprocei implicației „dacă plouă, atunci strada este udă".

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O implicație cu ipoteza falsă este întotdeauna adevărată."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $p\Rightarrow q$ este adevărată, atunci și $q\Rightarrow p$ este adevărată."

9. Se consideră $p$: „$2^3=8$" și $q$: „numărul $8$ este par". Determină $v(p\Rightarrow q)$, $v(q\Rightarrow p)$ și $v(\neg p\Rightarrow q)$.

10. Rescrie folosind expresiile „condiție necesară" și „condiție suficientă": „dacă un număr se divide cu $6$, atunci se divide cu $2$".

11. Arată că implicația „dacă $x^2=25$, atunci $x=5$" este falsă și scrie o concluzie corectă care să facă implicația adevărată.

12. (Problemă aplicată.) Un magazin anunță: „Dacă cumperi două produse, primești al treilea gratuit". Un client cumpără un singur produs și nu primește nimic gratuit. A fost încălcată promisiunea? Justifică folosind tabelul implicației.

13. Demonstrează, folosind contrara reciprocei, că „dacă $n^2$ este impar, atunci $n$ este impar" (pentru $n$ număr natural).

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Implicația $p\Rightarrow q$ și contrara reciprocei ei, $\neg q\Rightarrow \neg p$, au întotdeauna aceeași valoare de adevăr."

15. Se consideră $p$: „$\sqrt{16}=4$" și $q$: „numărul $16$ este prim". Determină $v(p\Rightarrow q)$ și $v(\neg q\Rightarrow \neg p)$, apoi compară rezultatele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „numărul $5^2+12^2$ este pătrat perfect" și $q$: „numărul $2^{10}$ se divide cu $3$". Determinați $v(p\Rightarrow q)$ și $v(q\Rightarrow p)$.

17. Un elev scrie: „Din $x^2=4$ rezultă $x=2$, deci ecuația are o singură soluție". Explică ce implicație a folosit greșit și repară rezolvarea.

18. (Provocare.) Pe masă sunt patru cartonașe. Fiecare are pe o față o literă și pe cealaltă o cifră. Se văd: A, B, 4, 7. Cineva afirmă: „Dacă pe o față este vocală, atunci pe cealaltă față este număr par". Ce cartonașe trebuie întoarse, cel puțin, pentru a verifica afirmația? Justifică folosind tabelul implicației.

Răspunsuri și explicații

1. (a) Ipoteză adevărată, concluzie adevărată ($25>9$): implicația este adevărată. (b) Ipoteză adevărată, concluzie falsă: implicația este falsă. (c) Ipoteză falsă ($1\ne 2$): implicația este adevărată, „în gol".

2. (a) Ipoteza: „$n$ este par"; concluzia: „$n^2$ este par". (b) La formularea „$p$ numai dacă $q$", ipoteza rămâne propoziția din față, iar după „numai dacă" stă concluzia: ipoteza este „$n$ se divide cu $9$", concluzia este „suma cifrelor lui $n$ se divide cu $9$".

3. Rezultatele, în ordinea liniilor $11$, $10$, $01$, $00$, sunt $1,0,1,1$. Valoarea $0$ apare pe linia a doua, singura cu ipoteză adevărată și concluzie falsă.

4. Reciproca: „dacă un triunghi este isoscel, atunci este echilateral". Este falsă: un triunghi cu laturile de $5$, $5$ și $8$ este isoscel, dar nu echilateral (verificăm și inegalitatea triunghiului: $5+5=10>8$, deci triunghiul există).

5. Reciproca: „dacă $n$ se divide cu $5$, atunci $n$ se divide cu $10$". Contraexemplu: $n=15$ se divide cu $5$, dar nu cu $10$. Reciproca este falsă, deși implicația inițială este adevărată.

6. Contrara reciprocei: „dacă strada nu este udă, atunci nu plouă". Are aceeași valoare de adevăr ca implicația inițială.

7. Adevărat. Din tabel, liniile a treia și a patra (cele cu $v(p)=0$) dau rezultatul $1$. O astfel de implicație nu afirmă nimic despre cazurile în care ipoteza nu se îndeplinește, deci nu poate fi încălcată.

8. Fals. Contraexemplu: „dacă $n$ se divide cu $4$, atunci $n$ se divide cu $2$" este adevărată, dar reciproca „dacă $n$ se divide cu $2$, atunci $n$ se divide cu $4$" este falsă pentru $n=6$.

9. $2^3=8$, deci $v(p)=1$; numărul $8$ este par, deci $v(q)=1$. Rezultă $v(p\Rightarrow q)=1$ (linia $1\Rightarrow 1$), $v(q\Rightarrow p)=1$ (tot linia $1\Rightarrow 1$) și $v(\neg p\Rightarrow q)=1$, pentru că $v(\neg p)=0$, deci ipoteza este falsă.

10. „Divizibilitatea cu $6$ este condiție suficientă pentru divizibilitatea cu $2$" sau, echivalent, „divizibilitatea cu $2$ este condiție necesară pentru divizibilitatea cu $6$".

11. Implicația este falsă: pentru $x=-5$ avem $x^2=25$, dar $x\ne 5$ — ipoteză adevărată, concluzie falsă. O concluzie corectă: „atunci $x=5$ sau $x=-5$" (echivalent, $|x|=5$), care transformă enunțul într-o implicație adevărată.

12. Nu a fost încălcată. Ipoteza („cumperi două produse") este falsă, deci implicația este adevărată, indiferent de ce primește clientul. Magazinul nu a promis nimic despre cazul cumpărării unui singur produs — este exact linia a treia sau a patra a tabelului.

13. Contrara reciprocei este: „dacă $n$ este par, atunci $n^2$ este par". Demonstrație: dacă $n=2k$, atunci $n^2=4k^2=2\cdot (2k^2)$, număr par. Contrara reciprocei fiind adevărată, implicația inițială este adevărată.

14. Adevărat. Se verifică prin tabelul de adevăr: coloanele lui $p\Rightarrow q$ și $\neg q\Rightarrow \neg p$ coincid pe toate cele patru linii ($1,0,1,1$). De aceea contrara reciprocei este o unealtă legitimă de demonstrație.

15. $\sqrt{16}=4$, deci $v(p)=1$; numărul $16=2^4$ nu este prim, deci $v(q)=0$. Rezultă $v(p\Rightarrow q)=0$ (ipoteză adevărată, concluzie falsă). Pentru contrara reciprocei: $v(\neg q)=1$ și $v(\neg p)=0$, deci $v(\neg q\Rightarrow \neg p)=0$. Rezultatele coincid, cum era de așteptat.

16. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, deci $v(p)=1$. Numărul $2^{10}=1024$ are suma cifrelor $1+0+2+4=7$, care nu se divide cu $3$, deci $v(q)=0$. Rezultă $v(p\Rightarrow q)=0$ și $v(q\Rightarrow p)=1$ (ipoteză falsă).

17. Elevul a folosit implicația „dacă $x^2=4$, atunci $x=2$", care este falsă — este reciproca implicației adevărate „dacă $x=2$, atunci $x^2=4$". Rezolvarea corectă: $x^2=4$ înseamnă $|x|=2$, adică $x=2$ sau $x=-2$; ecuația are două soluții, $S=\{-2,2\}$.

18. Trebuie întoarse cartonașele A și 7. Afirmația este de forma $p\Rightarrow q$, cu $p$: „pe o față este vocală" și $q$: „pe cealaltă față este număr par"; ea este falsă doar în cazul „vocală + număr impar". Cartonașul A poate ascunde un număr impar (ar infirma afirmația), iar cartonașul 7 poate ascunde o vocală (același caz interzis). Cartonașul B are ipoteza falsă (nu e vocală), deci nu poate infirma nimic, iar 4, oricare ar fi litera de pe verso, cade pe o linie în care implicația este adevărată. (Este celebra „problemă a celor patru cartonașe" a lui Wason: majoritatea oamenilor întorc greșit cartonașul 4, cel care nu poate spune nimic.)

De reținut

• Implicația $p\Rightarrow q$ („dacă $p$, atunci $q$") este falsă într-un singur caz: când ipoteza $p$ este adevărată și concluzia $q$ este falsă.
• O implicație cu ipoteză falsă este adevărată („în gol"): ea nu spune nimic despre cazurile în care ipoteza nu se îndeplinește.
• În $p\Rightarrow q$, propoziția $p$ este ipoteza (condiție suficientă), iar $q$ este concluzia (condiție necesară). După „dacă" simplu stă ipoteza, iar după „numai dacă" stă concluzia.
• Reciproca $q\Rightarrow p$ poate avea altă valoare de adevăr decât implicația inițială — se infirmă cu un contraexemplu (din „$x=2\Rightarrow x^2=4$" nu rezultă „$x^2=4\Rightarrow x=2$").
• Contrara reciprocei $\neg q\Rightarrow \neg p$ are întotdeauna aceeași valoare de adevăr ca $p\Rightarrow q$ și este adesea mai ușor de demonstrat.

Greșeli frecvente

• Confundarea implicației cu reciproca ei. Din „dacă $x=3$, atunci $x^2=9$" nu rezultă „dacă $x^2=9$, atunci $x=3$". Este greșeala care duce la pierderea soluțiilor negative în ecuații.
• Declararea ca falsă a unei implicații cu ipoteză falsă. „$1=2\Rightarrow 3=4$" este adevărată; verificarea unei implicații se face doar pe cazurile cu ipoteză adevărată.
• Inversarea ipotezei cu concluzia la „numai dacă". În „$p$ numai dacă $q$", ipoteza rămâne $p$; formularea nu întoarce săgeata.
• Confuzia dintre contrară și contrara reciprocei. $\neg p\Rightarrow \neg q$ (contrara) poate fi falsă chiar dacă $p\Rightarrow q$ este adevărată; doar $\neg q\Rightarrow \neg p$ păstrează valoarea de adevăr.
• Amestecul dintre „condiție necesară" și „condiție suficientă". În $p\Rightarrow q$, ipoteza $p$ este suficientă, iar concluzia $q$ este necesară; inversarea lor schimbă complet sensul enunțului.

Aplică acasă

1. Promisiunile din jurul tău. Notează trei promisiuni sau reguli auzite acasă ori la școală, de forma „dacă…, atunci…". Pentru fiecare, scrie cele patru cazuri posibile și spune în care dintre ele promisiunea ar fi încălcată. Vei observa că, mereu, există un singur astfel de caz.

2. Teoreme întoarse. Alege trei teoreme sau criterii pe care le știi din gimnaziu, scrie-le în forma „dacă…, atunci…" și formulează reciproca fiecăreia. Stabilește dacă reciproca este adevărată; când este falsă, găsește un contraexemplu concret (număr sau figură).

3. Testul cartonașelor. Fă patru cartonașe cu literele și cifrele din exercițiul 18 și propune problema unor colegi sau membrilor familiei. Notează câți întorc cartonașul cu numărul par (greșeala tipică) și explică-le, cu tabelul implicației, de ce acela nu poate infirma regula.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce implicația, operația logică pe care se sprijină întreaga matematică deductivă: teoremele, criteriile și fiecare pas al unei rezolvări sunt implicații. Competențele vizate sunt identificarea operațiilor cu propoziții elementare (IX.CS.2.1), determinarea valorii de adevăr a unui enunț format din propoziții legate prin operatori logici (IX.CS.3.1) și precizarea structurii logice a unui enunț (IX.CS.4.1). Punctul cel mai greu de acceptat rămâne convenția privind ipoteza falsă; exemplul cu criteriul de divizibilitate arată de ce orice altă convenție ar strica regulile generale.

Ce se verifică la elev: (1) știe că implicația este falsă doar în cazul „adevărat $\Rightarrow$ fals"; (2) identifică ipoteza și concluzia, inclusiv în formulările cu „numai dacă"; (3) scrie reciproca și o infirmă cu un contraexemplu; (4) folosește contrara reciprocei într-o demonstrație simplă; (5) nu confundă condiția necesară cu cea suficientă. Întrebări bune de control: „Când este falsă o implicație?"; „Este adevărată reciproca teoremei lui Pitagora?"; „De ce din $x^2=9$ nu rezultă doar $x=3$?".

Semne că a înțeles: verifică singur, la fiecare pas de rezolvare, dacă implicația folosită este cea adevărată sau reciproca ei; scrie ambele soluții la ecuațiile cu pătrate. La teze și la Bacalaureat, implicația apare direct în cerințe cu valori de adevăr, dar mai ales indirect: la ecuațiile cu radicali, unde ridicarea la pătrat este o implicație care nu se poate întoarce (de aici obligativitatea verificării soluțiilor), și la fiecare rezolvare în care lanțul de pași trebuie să fie corect într-un singur sens. Un elev care înțelege implicația redactează demonstrații; unul care o confundă cu reciproca produce rezolvări care „ies", dar nu demonstrează nimic.

Întrebări frecvente

Ce este implicația în logica matematică? Este operația care leagă două propoziții prin „dacă…, atunci…". Implicația $p\Rightarrow q$ este falsă într-un singur caz — când ipoteza $p$ este adevărată și concluzia $q$ este falsă — și adevărată în celelalte trei.

De ce o implicație cu ipoteză falsă este adevărată? Pentru că ea nu promite nimic despre cazurile în care ipoteza nu se îndeplinește. Dacă am declara-o falsă, reguli general valabile precum „dacă $n$ se divide cu $4$, atunci $n$ se divide cu $2$" ar deveni false pentru numerele care nu se divid cu $4$ — un rezultat absurd.

Care este diferența dintre ipoteză și concluzie? Ipoteza este propoziția de la care pornim (stă după „dacă"), iar concluzia este cea la care ajungem (stă după „atunci"). Ipoteza este condiție suficientă pentru concluzie, iar concluzia este condiție necesară pentru ipoteză.

Ce este reciproca unei implicații? Este implicația obținută prin schimbarea ipotezei cu concluzia: reciproca lui $p\Rightarrow q$ este $q\Rightarrow p$. Ea poate avea altă valoare de adevăr: „dacă $n$ se divide cu $4$, atunci se divide cu $2$" este adevărată, dar reciproca este falsă pentru $n=6$.

Ce este contrara reciprocei și de ce este utilă? Este implicația $\neg q\Rightarrow \neg p$, care are întotdeauna aceeași valoare de adevăr ca $p\Rightarrow q$. Este utilă pentru că uneori se demonstrează mult mai ușor: în loc de „dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par", demonstrezi „dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar".

Ce înseamnă „condiție necesară" și „condiție suficientă"? În implicația $p\Rightarrow q$, ipoteza $p$ este condiție suficientă pentru $q$ (dacă ai $p$, ai automat $q$), iar $q$ este condiție necesară pentru $p$ (fără $q$ nu poți avea $p$). Confundarea lor schimbă complet sensul enunțului.

Cum se demonstrează o implicație? Presupui ipoteza adevărată și, printr-un lanț de pași justificați, ajungi la concluzie. Nu trebuie analizate cazurile cu ipoteză falsă, pentru că în ele implicația este automat adevărată.

De ce nu am voie să scriu „din $x^2=4$ rezultă $x=2$"? Pentru că ai folosi reciproca unei implicații adevărate, iar reciproca este falsă: și $x=-2$ verifică ecuația. Corect este „din $x^2=4$ rezultă $x=2$ sau $x=-2$"; aceasta este o greșeală care costă puncte la orice ecuație cu pătrate sau cu module.