Predicate și variabile

Imaginează-ți că găsești pe bancă un bilețel pe care scrie: „El a luat nota cea mai mare la teză." Poți spune dacă propoziția e adevărată sau falsă? Nu. Nu pentru că n-ai destule informații despre teză, ci pentru un motiv mai adânc: nu știi despre cine vorbește. Cuvântul „el" este un loc gol, o casetă care așteaptă să fie completată. Abia după ce completezi — „Mihai a luat nota cea mai mare la teză" — enunțul devine ceva despre care are sens să spui „adevărat" sau „fals".

Matematica e plină de astfel de bilețele cu locuri goale: „$x+3=10$", „$n$ este număr prim", „triunghiul $ABC$ este isoscel". Niciunul nu are, ca atare, valoare de adevăr — și totuși cu ele lucrăm în fiecare oră. Le numim predicate, iar locurile goale se numesc variabile. În lecția despre propoziția logică ai învățat că o propoziție este un enunț care este ori adevărat, ori fals, dar nu amândouă. Astăzi faci pasul următor și cel mai important din tot capitolul: înveți să lucrezi cu enunțuri care devin propoziții, în funcție de ce pui în locul gol. De aici încolo, ecuațiile, inecuațiile și proprietățile numerelor capătă o descriere unitară, iar tu capeți limbajul cu care se scriu, la propriu, toate teoremele din liceu.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești o propoziție de un predicat și să explici de ce un predicat nu are, prin el însuși, valoare de adevăr.
• Vei ști să notezi un predicat cu $p(x)$ și să-i precizezi domeniul — mulțimea din care variabila poate lua valori.
• Vei ști să determini mulțimea de adevăr a unui predicat și să înțelegi de ce ea depinde de domeniu.
• Vei ști să recunoști ecuațiile și inecuațiile ca predicate, iar mulțimea soluțiilor ca mulțime de adevăr.
• Vei ști să lucrezi cu predicate de două variabile și să dai exemple de perechi care le verifică.
• Vei ști să efectuezi operații cu predicate ($\neg$, $\wedge$, $\vee$) și să le citești pe mulțimile de adevăr.

Hai să descoperim împreună

1. Enunțuri care nu sunt încă propoziții

Compară cele două enunțuri:

• $A$: „$7$ este număr prim."
• $B$: „$x$ este număr prim."

Despre $A$ putem spune imediat: este adevărată. Despre $B$ nu putem spune nimic. Nu pentru că ne-ar lipsi cunoștințele, ci pentru că enunțul $B$ nu spune încă nimic complet: are un loc gol, notat $x$. Dacă punem $x=7$, obținem o propoziție adevărată. Dacă punem $x=8$, obținem o propoziție falsă. Dacă punem $x=13$, iarăși adevărată.

Un astfel de enunț se numește predicat (sau propoziție cu variabilă), iar litera $x$ se numește variabilă. Notația obișnuită este $p(x)$, citită „$p$ de $x$": scriem, de exemplu,

$$p(x):\text{„}x\text{ este numa˘r prim"},x\in \mathbb{N}.$$

Când înlocuim variabila cu o valoare concretă, obținem o propoziție: $p(7)$ este propoziția „$7$ este număr prim", adevărată; $p(8)$ este „$8$ este număr prim", falsă. Vom scrie pe scurt: $p(7)=$ A, $p(8)=$ F.

2. Domeniul: fără el, predicatul e incomplet

Un predicat nu este complet definit dacă nu spunem și de unde poate lua valori variabila. Mulțimea aceasta se numește domeniul predicatului și se scrie de obicei imediat după enunț: $x\in \mathbb{N}$, $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \mathbb{R}$ și așa mai departe.

De ce contează? Pentru că același enunț se comportă complet diferit pe domenii diferite. Ia predicatul „$x^2=2$":

• pe $\mathbb{Q}$ (numere raționale) nu există nicio valoare care să-l facă adevărat;
• pe $\mathbb{R}$ (numere reale) există două: $x=\sqrt{2}$ și $x=-\sqrt{2}$.

Sau predicatul „$x+5=2$":

• pe $\mathbb{N}$ nu are nicio soluție;
• pe $\mathbb{Z}$ are soluția $x=-3$.

Morala: domeniul face parte din predicat, la fel cum la o ecuație face parte mulțimea în care căutăm soluțiile. Un exercițiu care spune doar „$x^2=2$", fără să precizeze domeniul, este un exercițiu incomplet.

3. Mulțimea de adevăr

Acum putem pune întrebarea centrală a lecției: care sunt toate valorile care fac predicatul adevărat? Răspunsul este o mulțime.

Definiție. Fie $p(x)$ un predicat cu domeniul $D$. Mulțimea de adevăr a lui $p$ este

$$A_p=\{x\in D\mid p(x)\text{ este adeva˘rata˘}\}.$$

Se citește: „mulțimea acelor $x$ din $D$ pentru care $p(x)$ este adevărată". Câteva exemple, calculate complet:

• $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $12$", $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Divizorii lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$, deci $A_p=\{1,2,3,4,6,12\}$.
• $q(x)$: „$x^2=4$", $x\in \mathbb{N}$. Singura valoare naturală este $2$, deci $A_q=\{2\}$. Pe $\mathbb{Z}$, aceeași scriere ar da $A_q=\{-2,2\}$.
• $r(x)$: „$x^2+1=0$", $x\in \mathbb{R}$. Cum $x^2\ge 0$, avem $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci $A_r=\varnothing$ (mulțimea vidă).
• $s(x)$: „$x^2\ge 0$", $x\in \mathbb{R}$. Este adevărat pentru orice număr real, deci $A_s=\mathbb{R}$, adică tot domeniul.

Ultimele două exemple merită nume proprii: un predicat cu $A_p=\varnothing$ se numește identic fals pe domeniul respectiv, iar unul cu $A_p=D$ se numește identic adevărat. Sunt cazurile extreme, între care se află toate celelalte predicate.

4. Ecuațiile și inecuațiile sunt predicate

Aici lecția se leagă de tot ce ai făcut la algebră până acum. O ecuație precum $3x+1=10$, privită pe $\mathbb{R}$, este un predicat: pentru $x=3$ devine propoziția adevărată $10=10$, iar pentru $x=5$ devine propoziția falsă $16=10$. Iar ceea ce numeai „mulțimea soluțiilor" este exact mulțimea de adevăr a acestui predicat:

$$A_p=\{3\}=S.$$

Același lucru pentru inecuații. Predicatul $q(x)$: „$2x-8>0$", $x\in \mathbb{R}$, este adevărat exact pentru $x>4$, deci mulțimea lui de adevăr este intervalul $A_q=(4,+\infty )$.

Așadar, „a rezolva o ecuație" înseamnă, în limbajul de astăzi, „a determina mulțimea de adevăr a unui predicat". Nu e o simplă traducere savantă: privirea aceasta îți explică de ce trebuie mereu să precizezi domeniul și de ce răspunsul corect la o ecuație este o mulțime, nu un număr izolat.

Iată încă două calcule complete, pe domenii diferite, care arată cât de mult contează domeniul:

• „$5x=12$" pe $\mathbb{N}$: niciun număr natural nu verifică (căci $12$ nu se împarte exact la $5$), deci $A=\varnothing$. Pe $\mathbb{Q}$: $A=\left\{\frac{12}{5}\right\}$.
• „$x^2<9$" pe $\mathbb{Z}$: valorile întregi cu pătratul mai mic decât $9$ sunt $-2,-1,0,1,2$, deci $A=\{-2,-1,0,1,2\}$. Pe $\mathbb{R}$, aceeași scriere dă intervalul $(-3,3)$.

5. Predicate cu mai multe variabile

Un enunț poate avea mai multe locuri goale. Predicatul

$$p(x,y):\text{„}x+y=7\text{"},x,y\in \mathbb{N},$$

are două variabile. El devine propoziție abia când completăm amândouă locurile: $p(3,4)$ este propoziția adevărată „$3+4=7$", iar $p(3,5)$ este propoziția falsă „$3+5=7$".

Mulțimea de adevăr a unui predicat cu două variabile este formată din perechi. În exemplul de mai sus:

$$A_p=\{(0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0)\},$$

adică opt perechi de numere naturale. (Pe $\mathbb{Z}$ ar fi o infinitate, iar pe $\mathbb{R}$ mulțimea de adevăr ar fi chiar dreapta de ecuație $x+y=7$ — dar asta e o poveste pentru capitolul de geometrie analitică.)

Predicatele cu două variabile îți sunt de mult familiare, chiar dacă nu le știai numele: „$a$ este divizor al lui $b$", „$x<y$", „dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt paralele". Toate au două locuri goale și devin propoziții doar completate pe amândouă.

6. Operații cu predicate

Predicatele se combină exact ca propozițiile, cu aceiași operatori. Fiind date $p(x)$ și $q(x)$ pe același domeniu $D$:

• $\neg p(x)$ este predicatul „nu $p(x)$";
• $p(x)\wedge q(x)$ este predicatul „$p(x)$ și $q(x)$";
• $p(x)\vee q(x)$ este predicatul „$p(x)$ sau $q(x)$".

Frumusețea este că fiecare operație logică se traduce într-o operație cu mulțimi:

Să verificăm pe un exemplu concret, cu $D={\mathbb{N}}^{\ast }$:

• $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $12$" → $A_p=\{1,2,3,4,6,12\}$;
• $q(x)$: „$x$ este număr par" → $A_q=\{2,4,6,8,10,12,\dots \}$.

Atunci $p(x)\wedge q(x)$ înseamnă „$x$ este divizor par al lui $12$", iar mulțimea lui de adevăr este $A_p\cap A_q=\{2,4,6,12\}$ — exact divizorii pari ai lui $12$. Verifică element cu element: $1$ nu e par, $3$ nu e par, restul sunt. ✓

Iar $\neg p(x)$ înseamnă „$x$ nu este divizor al lui $12$", cu mulțimea de adevăr formată din toate numerele naturale nenule în afară de cele șase de mai sus.

Această corespondență între logică și mulțimi este una dintre ideile cele mai productive din matematică: ea îți permite să răspunzi la întrebări despre enunțuri desenând mulțimi, și invers. O vei folosi din plin când vei studia Reguli de negare: legile lui De Morgan, unde aceleași legi apar și la propoziții, și la mulțimi.

7. De la predicat înapoi la propoziție: cele două drumuri

Am văzut un drum de la predicat la propoziție: înlocuirea variabilei cu o valoare concretă. $p(x)$: „$x>5$" devine $p(7)$: „$7>5$", propoziție adevărată.

Există însă și un al doilea drum, mult mai puternic, pe care îl vei parcurge în lecția următoare: în loc să înlocuim variabila, spunem câte dintre valorile domeniului fac predicatul adevărat. „Orice număr natural verifică $x+0=x$" este o propoziție (adevărată). „Există un număr natural cu $x+5=2$" este tot o propoziție (falsă, pe $\mathbb{N}$). Cuvintele „orice" și „există" se numesc cuantificatori și sunt subiectul lecției Cuantificatorii «oricare» (∀) și «există» (∃).

Reține deci schema: un predicat devine propoziție fie prin înlocuirea variabilei, fie prin cuantificarea ei. Alte drumuri nu există — iar toate teoremele pe care le vei învăța în liceu sunt, de fapt, predicate cuantificate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Propoziție sau predicat?

Precizați care dintre enunțurile de mai jos sunt propoziții și care sunt predicate: a) „$5>3$"; b) „$x>3$", $x\in \mathbb{R}$; c) „Numărul $12$ este divizibil cu $4$"; d) „$n$ este multiplu de $7$", $n\in \mathbb{N}$.

Rezolvare. a) Propoziție, adevărată: nu are variabile. b) Predicat: valoarea de adevăr depinde de $x$ (pentru $x=10$ e adevărat, pentru $x=1$ e fals). c) Propoziție, adevărată ($12=4\cdot 3$). d) Predicat: pentru $n=14$ e adevărat, pentru $n=15$ e fals.

Criteriul rapid: dacă enunțul conține o literă care „așteaptă" o valoare, este predicat; dacă totul e concret, este propoziție.

Exemplul 2 — Valori de adevăr punctuale

Se consideră predicatul $p(x)$: „$x^2-5x+6=0$", $x\in \mathbb{R}$. Calculați $p(1)$, $p(2)$, $p(3)$ și $p(4)$.

Rezolvare. Înlocuim pe rând:

• $p(1)$: $1-5+6=2\ne 0$, deci F;
• $p(2)$: $4-10+6=0$, deci A;
• $p(3)$: $9-15+6=0$, deci A;
• $p(4)$: $16-20+6=2\ne 0$, deci F.

Mulțimea de adevăr este $A_p=\{2,3\}$, adică exact mulțimea soluțiilor ecuației.

Exemplul 3 — Mulțimea de adevăr depinde de domeniu

Determinați mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)$: „$3-x\ge 0$" pe fiecare dintre domeniile: a) $\mathbb{N}$; b) $\mathbb{Z}$; c) $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Inecuația $3-x\ge 0$ este echivalentă cu $x\le 3$.

a) Pe $\mathbb{N}$: numerele naturale cel mult egale cu $3$ sunt $0,1,2,3$, deci $A_p=\{0,1,2,3\}$ — o mulțime finită, cu patru elemente.

b) Pe $\mathbb{Z}$: $A_p=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,3\}$ — o mulțime infinită, care coboară nemărginit.

c) Pe $\mathbb{R}$: $A_p=(-\infty ,3]$ — un interval, care conține și numere ca $2,5$ sau $\sqrt{2}$.

Același enunț, trei răspunsuri diferite: iată de ce domeniul nu se omite niciodată.

Exemplul 4 — Predicat cu două variabile

Se consideră $p(x,y)$: „$x\cdot y=12$", cu $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. a) Calculați $p(3,4)$ și $p(5,2)$. b) Determinați mulțimea de adevăr.

Rezolvare. a) $p(3,4)$: $3\cdot 4=12$, deci A. $p(5,2)$: $5\cdot 2=10\ne 12$, deci F.

b) Căutăm toate perechile de numere naturale nenule cu produsul $12$. Luăm pe rând valorile lui $x$ printre divizorii lui $12$:

$$A_p=\{(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)\}.$$

Sunt șase perechi, câte una pentru fiecare divizor al lui $12$ — ceea ce era de așteptat, fiindcă odată ales $x$ divizor al lui $12$, valoarea lui $y$ este unic determinată: $y=12:x$.

Exemplul 5 — Conjuncție și disjuncție de predicate

Pe $D={\mathbb{N}}^{\ast }$ se consideră $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $18$" și $q(x)$: „$x$ este divizor al lui $12$". Determinați mulțimile de adevăr ale predicatelor $p(x)\wedge q(x)$ și $p(x)\vee q(x)$.

Rezolvare. Mai întâi mulțimile separate: $A_p=\{1,2,3,6,9,18\}$ și $A_q=\{1,2,3,4,6,12\}$.

Conjuncția corespunde intersecției: $A_p\cap A_q=\{1,2,3,6\}$ — sunt exact divizorii comuni ai lui $18$ și $12$, adică divizorii celui mai mare divizor comun, $6$.

Disjuncția corespunde reuniunii: $A_p\cup A_q=\{1,2,3,4,6,9,12,18\}$ — opt elemente (atenție să nu numeri de două ori elementele comune $1,2,3,6$).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră predicatele $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $24$" și $q(x)$: „$x$ este număr par", definite pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$. a) Determinați mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)$. b) Determinați mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$ și precizați numărul elementelor ei. c) Arătați că predicatul $p(x)\wedge q(x)$ nu este identic adevărat pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

Rezolvare. a) Divizorii naturali nenuli ai lui $24$ sunt $1,2,3,4,6,8,12,24$, deci

$$A_p=\{1,2,3,4,6,8,12,24\},\text{cu }8\text{ elemente.}$$

b) Conjuncția înseamnă intersecția mulțimilor de adevăr, adică divizorii lui $24$ care sunt și pari. Eliminăm din lista de mai sus numerele impare $1$ și $3$:

$$A_{p\wedge q}=\{2,4,6,8,12,24\},\text{cu }6\text{ elemente.}$$

c) Un predicat este identic adevărat pe un domeniu dacă mulțimea lui de adevăr coincide cu domeniul. Aici e destul să indicăm o singură valoare din ${\mathbb{N}}^{\ast }$ care nu se află în mulțimea de adevăr: pentru $x=5$ avem $p(5)=$ F (căci $5$ nu divide $24$), deci $p(5)\wedge q(5)=$ F. Prin urmare $A_{p\wedge q}\ne {\mathbb{N}}^{\ast }$ și predicatul nu este identic adevărat.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare predicat, scrie mai întâi domeniul și abia apoi caută mulțimea de adevăr — jumătate din greșeli vin din domeniul ignorat.

1. Precizează care dintre enunțuri sunt propoziții și care sunt predicate: a) „$2+2=5$"; b) „$x^2=9$", $x\in \mathbb{R}$; c) „Bucureștiul este capitala României"; d) „$n$ este număr prim", $n\in \mathbb{N}$; e) „$7$ este divizor al lui $42$".

2. Fie $p(x)$: „$x$ este număr par", $x\in \mathbb{N}$. Calculează $p(0)$, $p(3)$, $p(10)$ și $p(21)$.

3. Fie $q(x)$: „$2x+1=9$", $x\in \mathbb{R}$. Calculează $q(2)$, $q(4)$ și $q(5)$, apoi scrie mulțimea de adevăr a lui $q$.

4. Determină mulțimea de adevăr a predicatului „$x$ este divizor al lui $20$", $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. Determină mulțimea de adevăr a predicatului „$x^2=16$" pe fiecare domeniu: a) $\mathbb{N}$; b) $\mathbb{Z}$; c) $\mathbb{R}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Predicatul $p(x)$: «$x+1>x$», $x\in \mathbb{R}$, este identic adevărat."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice predicat are cel puțin o valoare care îl face adevărat."

8. Determină mulțimea de adevăr a predicatului „$x$ este număr prim și $x<20$", $x\in \mathbb{N}$, și precizează câte elemente are.

9. Determină mulțimea de adevăr a predicatului „$|x|\le 3$" pe $\mathbb{Z}$, apoi pe $\mathbb{R}$.

10. Fie $p(x,y)$: „$x+y=5$", cu $x,y\in \mathbb{N}$. Calculează $p(2,3)$ și $p(4,2)$, apoi scrie toate perechile din mulțimea de adevăr.

11. Pe $D={\mathbb{N}}^{\ast }$ se dau $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $16$" și $q(x)$: „$x$ este divizor al lui $24$". Determină mulțimile de adevăr ale predicatelor $p(x)\wedge q(x)$ și $p(x)\vee q(x)$.

12. Fie $p(x)$: „$x$ este multiplu de $3$", $x\in \{1,2,3,\dots ,20\}$. Determină mulțimile de adevăr ale lui $p(x)$ și ale lui $\neg p(x)$ și verifică faptul că împreună au $20$ de elemente.

13. (Problemă aplicată.) Într-o clasă, predicatul $p(x)$ este „elevul $x$ joacă fotbal", iar $q(x)$ este „elevul $x$ cântă la un instrument". Se știe că $12$ elevi joacă fotbal, $9$ cântă la un instrument, $4$ fac amândouă, iar clasa are $28$ de elevi. Câți elevi fac parte din mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\vee q(x)$? Dar din cea a lui $\neg (p(x)\vee q(x))$?

14. Găsește un predicat pe $\mathbb{N}$ a cărui mulțime de adevăr să fie exact $\{0,1,2\}$ și un altul a cărui mulțime de adevăr să fie mulțimea vidă.

15. Determină mulțimea de adevăr a predicatului „$x^2-4x=0$", $x\in \mathbb{R}$, și explică de ce răspunsul nu este $\{4\}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră predicatele $p(x)$: „$x$ este divizor al lui $30$" și $q(x)$: „$x$ este număr impar", definite pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$. a) Determinați $A_p$. b) Determinați mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$ și numărul elementelor ei. c) Arătați că predicatul $p(x)$ nu este identic adevărat pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

17. Fie $p(x)$: „$3x-6>0$" și $q(x)$: „$x<5$", ambele pe $\mathbb{R}$. Determină mulțimea de adevăr a predicatului $p(x)\wedge q(x)$, scriind răspunsul ca interval.

18. (Provocare.) Fie $p(x,y)$: „$x$ este divizor al lui $y$", cu $x,y\in \{1,2,3,4,5,6\}$. Câte perechi $(x,y)$ se află în mulțimea de adevăr? (Indicație: numără, pentru fiecare valoare a lui $y$, câți divizori are.)

Răspunsuri și explicații

1. a) Propoziție (falsă); b) predicat (depinde de $x$); c) propoziție (adevărată); d) predicat; e) propoziție (adevărată, $42=7\cdot 6$). Criteriul: prezența unei variabile neînlocuite.

2. $p(0)=$ A ($0=2\cdot 0$ este par), $p(3)=$ F, $p(10)=$ A, $p(21)=$ F.

3. $q(2)$: $2\cdot 2+1=5\ne 9$, deci F. $q(4)$: $2\cdot 4+1=9$, deci A. $q(5)$: $11\ne 9$, deci F. Mulțimea de adevăr: $A_q=\{4\}$.

4. Divizorii lui $20$ sunt $1,2,4,5,10,20$, deci $A=\{1,2,4,5,10,20\}$ — șase elemente.

5. a) Pe $\mathbb{N}$: $A=\{4\}$; b) pe $\mathbb{Z}$: $A=\{-4,4\}$; c) pe $\mathbb{R}$: tot $A=\{-4,4\}$, fiindcă ecuația $x^2=16$ nu are alte soluții reale.

6. Adevărat. Inecuația $x+1>x$ este echivalentă cu $1>0$, adevărată indiferent de $x$. Deci $A_p=\mathbb{R}$, adică tot domeniul: predicatul este identic adevărat.

7. Fals. Un predicat poate avea mulțimea de adevăr vidă, adică poate fi identic fals. Contraexemplu: „$x^2+1=0$" pe $\mathbb{R}$ — niciun număr real nu îl face adevărat, fiindcă $x^2+1\ge 1$.

8. Numerele prime mai mici decât $20$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19$, deci $A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$, cu opt elemente. (Atenție: $1$ nu este prim, iar $9=3^2$ și $15=3\cdot 5$ nu sunt prime.)

9. Pe $\mathbb{Z}$: $A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, adică șapte elemente. Pe $\mathbb{R}$: $A=[-3,3]$, un interval închis, cu o infinitate de elemente.

10. $p(2,3)$: $2+3=5$, deci A. $p(4,2)$: $4+2=6\ne 5$, deci F. Mulțimea de adevăr: $\{(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)\}$ — șase perechi.

11. $A_p=\{1,2,4,8,16\}$, $A_q=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$. Conjuncția dă intersecția: $\{1,2,4,8\}$ (divizorii comuni, adică divizorii lui $8$, cel mai mare divizor comun al lui $16$ și $24$). Disjuncția dă reuniunea: $\{1,2,3,4,6,8,12,16,24\}$ — nouă elemente.

12. $A_p=\{3,6,9,12,15,18\}$ — șase elemente. $A_{\neg p}$ este formată din celelalte numere ale domeniului: $\{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20\}$ — paisprezece elemente. Într-adevăr, $6+14=20$, adică numărul elementelor domeniului: negația taie domeniul exact în două părți complementare.

13. Mulțimea de adevăr a lui $p(x)\vee q(x)$ este reuniunea, iar numărul elementelor ei se obține scăzând suprapunerea: $12+9-4=17$ elevi. Negația acoperă restul clasei: $28-17=11$ elevi, cei care nici nu joacă fotbal, nici nu cântă la un instrument.

14. Pentru $\{0,1,2\}$: predicatul „$x<3$", $x\in \mathbb{N}$ (sau, echivalent, „$x\le 2$"). Pentru mulțimea vidă: „$x+1=x$", $x\in \mathbb{N}$ — nicio valoare nu îl face adevărat; la fel de bun este „$x<0$" pe $\mathbb{N}$.

15. $x^2-4x=0⟺x(x-4)=0⟺x=0$ sau $x=4$, deci $A=\{0,4\}$. Răspunsul $\{4\}$ ar apărea dacă am împărți ecuația la $x$, transformare care nu este echivalentă (nu e permisă pentru $x=0$) și care pierde astfel o valoare a mulțimii de adevăr.

16. a) Divizorii lui $30$: $A_p=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$, opt elemente. b) Păstrăm doar impare: $A_{p\wedge q}=\{1,3,5,15\}$, cu patru elemente. c) E suficientă o valoare care îl face fals: $p(4)=$ F, fiindcă $4$ nu divide $30$ ($30:4$ nu dă rest zero). Deci $A_p\ne {\mathbb{N}}^{\ast }$ și predicatul nu e identic adevărat.

17. $3x-6>0⟺3x>6⟺x>2$, deci $A_p=(2,+\infty )$; iar $A_q=(-\infty ,5)$. Conjuncția dă intersecția: $A_{p\wedge q}=(2,5)$, adică numerele reale strict cuprinse între $2$ și $5$.

18. Numărăm, pentru fiecare $y$, divizorii lui aflați în mulțimea $\{1,\dots ,6\}$: pentru $y=1$ un divizor ($1$); $y=2$ doi ($1,2$); $y=3$ doi ($1,3$); $y=4$ trei ($1,2,4$); $y=5$ doi ($1,5$); $y=6$ patru ($1,2,3,6$). Total: $1+2+2+3+2+4=14$ perechi.

De reținut

• Un predicat este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care devine propoziție abia după înlocuirea lor cu valori din domeniu. Notație: $p(x)$, $p(x,y)$.
• Domeniul face parte din predicat. Același enunț poate fi identic fals pe un domeniu și adevărat pe altul: „$x+5=2$" nu are soluții în $\mathbb{N}$, dar are în $\mathbb{Z}$.
• Mulțimea de adevăr este $A_p=\{x\in D\mid p(x)\text{ adeva˘rata˘}\}$. Un predicat cu $A_p=D$ se numește identic adevărat, unul cu $A_p=\varnothing$ se numește identic fals.
• Ecuațiile și inecuațiile sunt predicate, iar mulțimea soluțiilor este chiar mulțimea lor de adevăr — de aceea răspunsul corect este întotdeauna o mulțime.
• Operațiile cu predicate se citesc pe mulțimi: conjuncția dă intersecția, disjuncția dă reuniunea, negația dă complementara față de domeniu.

Greșeli frecvente

• Atribuirea unei valori de adevăr unui predicat. „$x>3$ este adevărat" nu are sens fără să spui cine e $x$. Corect: „$p(5)$ este adevărată", „predicatul este adevărat pentru $x>3$".
• Uitarea domeniului. Mulțimea de adevăr a lui „$x^2=16$" este $\{4\}$ pe $\mathbb{N}$ și $\{-4,4\}$ pe $\mathbb{Z}$. Scrie domeniul înainte de a începe calculul.
• Confundarea mulțimii de adevăr cu o singură soluție. Predicatul „$x^2-4x=0$" are mulțimea de adevăr $\{0,4\}$; cine împarte la $x$ pierde valoarea $0$.
• Numărarea dublă la reuniune. La $A_p\cup A_q$, elementele comune se scriu o singură dată; la numărare se folosește $|A_p|+|A_q|-|A_p\cap A_q|$.
• Confuzia dintre variabilă și necunoscută fixă. Într-un predicat, litera $x$ parcurge tot domeniul; ea nu este „un număr necunoscut, dar bine determinat", ci un loc gol care poate primi, pe rând, orice valoare.

Aplică acasă

1. Predicate din jurul tău. Scrie cinci enunțuri despre colegii tăi care conțin un loc gol („elevul $x$ locuiește la mai puțin de un kilometru de școală"). Pentru fiecare, precizează domeniul (clasa ta) și determină mulțimea de adevăr întrebând trei colegi. Observă cum același enunț are mulțimi de adevăr diferite în clase diferite.

2. Domeniul schimbă totul. Ia predicatul „$x$ este divizor al lui $36$" și determină-i mulțimea de adevăr pe trei domenii: $\{1,2,\dots ,10\}$, ${\mathbb{N}}^{\ast }$ și mulțimea numerelor pare. Notează de fiecare dată câte elemente are și explică diferențele.

3. Rețeta ca predicat. Ia o rețetă de acasă și scrie condiția „aluatul este gata" ca o conjuncție de predicate simple (a crescut de două ori și au trecut cel puțin $40$ de minute și temperatura camerei este peste $20$ de grade). Verifică-le pe rând data viitoare când se gătește și decide dacă enunțul compus a fost adevărat.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce noțiunea care leagă logica de tot restul matematicii: predicatul. Fără ea, elevul nu poate citi corect nici o definiție și nicio teoremă, pentru că toate sunt predicate cuantificate. Miza pedagogică principală este ca elevul să nu mai spună „este adevărat" despre un enunț cu variabilă, ci să întrebe „pentru care valori?" — un reflex care se formează în două-trei ore de exercițiu și care rezolvă, mai târziu, multe confuzii la ecuații și inecuații.

Puncte de verificat în caiet: (1) distinge propozițiile de predicate și motivează distincția prin prezența variabilei; (2) scrie domeniul de fiecare dată, înainte de calcul; (3) determină corect mulțimea de adevăr, inclusiv în cazurile extreme (mulțime vidă, tot domeniul); (4) traduce conjuncția în intersecție și disjuncția în reuniune, verificând pe elemente concrete. Întrebări bune de control: „De ce «$x$ este par» nu este propoziție?"; „Ce se schimbă dacă trecem de la $\mathbb{N}$ la $\mathbb{Z}$?"; „Ce mulțime are un predicat identic fals?"; „Cum se scrie mulțimea soluțiilor unei ecuații în limbajul de astăzi?".

La teze și la Bacalaureat, predicatele apar rareori sub acest nume, dar mereu sub această formă: orice cerință de tipul „determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care…" cere, de fapt, mulțimea de adevăr a unui predicat, iar orice cerință de tipul „determinați numărul elementelor mulțimii…" cere numărarea ei. Semne că elevul a înțeles: nu mai scrie „ecuația este adevărată", precizează spontan domeniul și explică singur de ce răspunsul unei ecuații este o mulțime, nu un număr.

Întrebări frecvente

Ce este un predicat în logica matematică? Este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care nu are, prin el însuși, valoare de adevăr. El devine propoziție — adevărată sau falsă — abia după ce variabilele sunt înlocuite cu valori concrete din domeniu.

Care este diferența dintre o propoziție și un predicat? Propoziția este completă și are o valoare de adevăr fixă („$7$ este prim" este adevărată). Predicatul are un loc gol și își schimbă valoarea de adevăr după cum îl completezi („$x$ este prim" este adevărat pentru $7$ și fals pentru $8$).

Ce este mulțimea de adevăr a unui predicat? Este mulțimea tuturor valorilor din domeniu care fac predicatul adevărat, notată $A_p=\{x\in D\mid p(x)\text{ adeva˘rata˘}\}$. Pentru o ecuație, ea coincide cu mulțimea soluțiilor.

De ce trebuie precizat domeniul unui predicat? Pentru că mulțimea de adevăr depinde de el. Predicatul „$x^2=2$" nu are nicio valoare adevărată pe mulțimea numerelor raționale, dar are două pe mulțimea numerelor reale. Fără domeniu, întrebarea este incompletă.

O ecuație este un predicat? Da. Ecuația $3x+1=10$, privită pe $\mathbb{R}$, este un predicat: devine propoziție adevărată pentru $x=3$ și falsă pentru orice altă valoare. A rezolva ecuația înseamnă a-i determina mulțimea de adevăr.

Ce înseamnă că un predicat este identic adevărat? Înseamnă că mulțimea lui de adevăr este chiar domeniul: orice valoare îl face adevărat. Exemplu: „$x+1>x$" pe $\mathbb{R}$. Dacă, dimpotrivă, mulțimea de adevăr este vidă, predicatul se numește identic fals.

Cum se combină două predicate? Cu aceiași operatori ca propozițiile. Conjuncția $p(x)\wedge q(x)$ are ca mulțime de adevăr intersecția $A_p\cap A_q$, disjuncția $p(x)\vee q(x)$ are reuniunea $A_p\cup A_q$, iar negația $\neg p(x)$ are complementara $D\setminus A_p$.

Ce este un predicat cu două variabile? Este un enunț cu două locuri goale, notat $p(x,y)$, de exemplu „$x+y=7$" sau „$x$ este divizor al lui $y$". Devine propoziție doar când amândouă variabilele primesc valori, iar mulțimea lui de adevăr este formată din perechi.