Raza cercului înscris și raza cercului circumscris

Un peisagist are de amenajat un parc triunghiular cu laturile de $30$, $40$ și $50$ de metri. În mijloc vrea un rond de flori circular, cât mai mare, dar care să nu depășească nicăieri gardul. Cât de mare poate fi? Alături, un arhitect are de montat o boltă semicirculară care să treacă exact prin trei stâlpi deja fixați în beton. Ce rază trebuie să comande?

Ambii caută, fără să știe, aceleași două numere: raza cercului înscris ($r$) și raza cercului circumscris ($R$) unui triunghi. Vestea bună este că nu trebuie construit nimic: ai deja tot ce-ți trebuie, pentru că ambele raze se exprimă prin arie și prin laturi. Din formulele pe care le vei deduce astăzi — $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ — cele două cercuri ale triunghiului ies din trei măsurători cu ruleta.

Ce vei învăța

• Vei ști să distingi cercul înscris de cercul circumscris și să știi unde se află centrele lor.
• Vei ști să demonstrezi formula $\mathcal{S}=p\cdot r$, descompunând triunghiul în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris.
• Vei ști să demonstrezi formula $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$, combinând teorema sinusurilor cu formula ariei.
• Vei ști să calculezi $r$ și $R$ doar din cele trei laturi, folosind formula lui Heron.
• Vei ști formulele rapide pentru triunghiul dreptunghic și pentru cel echilateral.
• Vei ști să alegi, pentru $R$, între $\frac{a}{2\sin A}$ și $\frac{abc}{4\mathcal{S}}$, după datele problemei.

Hai să descoperim împreună

1. Cele două cercuri ale unui triunghi

Orice triunghi are exact două cercuri „ale sale", și e esențial să nu le confunzi.

Cercul circumscris trece prin cele trei vârfuri. Centrul lui, notat $O$, este punctul de intersecție al mediatoarelor laturilor — singurul punct egal depărtat de cele trei vârfuri. Raza lui se notează $R$ și a apărut deja în teorema sinusurilor, sub forma $\frac{a}{\sin A}=2R$.

Cercul înscris este tangent la cele trei laturi, pe dinăuntru. Centrul lui, notat $I$, este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor — singurul punct egal depărtat de cele trei laturi. Raza lui se notează $r$ și este exact distanța de la $I$ la fiecare latură.

Reține perechile: circumscris — vârfuri — mediatoare — $R$ și înscris — laturi — bisectoare — $r$.

2. Formula $\mathcal{S}=p\cdot r$ și deducerea ei

Teoremă. Într-un triunghi cu aria $\mathcal{S}$, semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$ și raza cercului înscris $r$, are loc

$$\mathcal{S}=p\cdot r,\text{adica˘}r=\frac{\mathcal{S}}{p}.$$

Demonstrație. Unim centrul $I$ al cercului înscris cu cele trei vârfuri. Triunghiul $ABC$ se descompune astfel în trei triunghiuri care nu se suprapun: $IBC$, $ICA$ și $IAB$.

Ce înălțime are fiecare? Distanța de la $I$ la latura corespunzătoare — adică exact $r$, pentru că cercul înscris este tangent la toate cele trei laturi, iar raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe latură. Prin urmare:

$${\mathcal{S}}_{IBC}=\frac{a\cdot r}{2},{\mathcal{S}}_{ICA}=\frac{b\cdot r}{2},{\mathcal{S}}_{IAB}=\frac{c\cdot r}{2}.$$

Adunând cele trei arii obținem aria totală:

$$\mathcal{S}=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}=r\cdot p.■$$

Combinată cu formula lui Heron, relația devine o rețetă completă: din trei laturi calculezi $p$, apoi $\mathcal{S}$, apoi $r$. Nu ai nevoie nici de bisectoare, nici de compas.

3. Cazuri particulare pentru raza cercului înscris

Triunghiul dreptunghic. Dacă $a$ este ipotenuza, iar $b$ și $c$ catetele, atunci $\mathcal{S}=\frac{bc}{2}$ și

$$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{bc}{b+c+a}.$$

Există și o formă mult mai comodă:

$$r=\frac{b+c-a}{2}.$$

Într-adevăr, amplificând prima expresie cu $(b+c-a)$ și folosind $b^2+c^2=a^2$:

$$\frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)}=\frac{bc(b+c-a)}{(b+c{)}^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}=\frac{b+c-a}{2}.$$

Verificare pe triunghiul $5,12,13$: $r=\frac{5+12-13}{2}=2$, iar pe cealaltă cale $\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{30}{15}=2$ ✓.

Triunghiul echilateral de latură $\ell$. Avem $p=\frac{3\ell }{2}$ și $\mathcal{S}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$, deci

$$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2}{3\ell }=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}.$$

Lungimile tangentelor. Cercul înscris atinge laturile în trei puncte, iar din fiecare vârf pleacă spre cerc două tangente de lungimi egale (proprietate cunoscută din gimnaziu). Notăm cu $x$ tangentele din $A$, cu $y$ pe cele din $B$ și cu $z$ pe cele din $C$. Fiecare latură se împarte în două astfel de bucăți:

$$x+y=c,y+z=a,z+x=b.$$

Adunând cele trei relații: $2(x+y+z)=a+b+c=2p$, deci $x+y+z=p$. Scăzând pe rând câte o relație, obținem un rezultat elegant, de reținut:

$$x=p-a,y=p-b,z=p-c.$$

Cu alte cuvinte, de la fiecare vârf până la punctul de tangență este exact $p$ minus latura opusă acelui vârf — chiar parantezele care apar sub radicalul din formula lui Heron. Verificare pe triunghiul cu $a=13$, $b=14$, $c=15$ și $p=21$: bucățile sunt $8$, $7$ și $6$, iar $8+7=15=c$ ✓, $7+6=13=a$ ✓, $6+8=14=b$ ✓.

De aici iese, ca bonus, a doua demonstrație a formulei pentru triunghiul dreptunghic: dacă unghiul drept este în $A$, cele două tangente din $A$ sunt perpendiculare și egale cu $r$ (împreună cu razele spre punctele de tangență formează un pătrat de latură $r$), deci $r=x=p-a=\frac{b+c-a}{2}$.

4. Formula $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ și deducerea ei

Teoremă. Într-un triunghi cu laturile $a$, $b$, $c$, aria $\mathcal{S}$ și raza cercului circumscris $R$:

$$\mathcal{S}=\frac{abc}{4R},\text{adica˘}R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}.$$

Demonstrație. Pornim de la formula ariei cu două laturi și unghiul dintre ele:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C.$$

Din teorema sinusurilor, $\frac{c}{\sin C}=2R$, adică $\sin C=\frac{c}{2R}$. Înlocuim:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.$$

Izolând raza: $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$. $■$

Observă cât de economică e formula: trei laturi și aria — nimic altceva. Iar aria, la rândul ei, iese din cele trei laturi cu Heron. Deci și $R$ se calculează exclusiv din laturi, fără niciun unghi.

5. Două drumuri spre $R$: pe care îl alegi?

Ai acum două formule pentru raza cercului circumscris, iar alegerea depinde exclusiv de date:

• $R=\frac{a}{2\sin A}$ — când cunoști o latură și unghiul opus ei. E cea mai scurtă cale; un singur raport și ai terminat.
• $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ — când cunoști cele trei laturi (sau laturile și aria). Nu-ți trebuie niciun unghi.

Dacă ai trei laturi și vrei doar $R$, a doua formulă e mai rapidă: Heron îți dă aria dintr-o singură linie, pe când prima cale ar cere întâi un cosinus, apoi un sinus. Dacă însă problema îți cere oricum un unghi, calculează-l și folosește prima formulă.

Pentru triunghiul dreptunghic, ambele se simplifică la același rezultat cunoscut: ipotenuza este diametrul, deci $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$. Pentru triunghiul echilateral de latură $\ell$:

$$R=\frac{\ell \cdot \ell \cdot \ell }{4\cdot \frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{\ell }{\sqrt{3}}=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}.$$

6. Aria, punctul de întâlnire al tuturor formulelor

Adunând tot ce știm, aria devine liantul întregii unități:

$$\mathcal{S}=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{1}{2}ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}.$$

Din ultimele două egalități se pot scoate relații surprinzătoare între cele două raze. De exemplu, împărțindu-le:

$$\frac{pr}{\frac{abc}{4R}}=1⟹abc=4pRr.$$

Merită cunoscută și o inegalitate celebră, inegalitatea lui Euler: în orice triunghi

$$R\ge 2r,$$

cu egalitate numai pentru triunghiul echilateral (unde $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$ și $r=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$, deci exact $R=2r$). Demonstrația ei depășește programa clasei a IX-a, dar o poți folosi ca test de plauzibilitate: dacă din calcule îți iese $R<2r$, sigur ai greșit undeva. Verifică pe triunghiul $13,14,15$: $R=\frac{65}{8}=8,125$ și $2r=8$ — inegalitatea e respectată la limită, semn că triunghiul e „aproape" echilateral ca formă.

7. Rutina de calcul din trei laturi

Când problema îți dă doar $a$, $b$, $c$, drumul e mereu același, în patru pași:

1. Verifică existența: cea mai mare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două.
2. Semiperimetrul: $p=\frac{a+b+c}{2}$.
3. Aria, cu Heron: $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
4. Razele: $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$.

Control final: $R\ge 2r$ și, în plus, $r$ trebuie să fie considerabil mai mic decât cea mai mică înălțime a triunghiului (cercul înscris încape pe dinăuntru).

8. Parcul și bolta

Revenim la problemele din deschidere.

Rondul de flori. Terenul are laturile $30$, $40$, $50$ — un triunghi dreptunghic, pentru că $900+1600=2500$. Aria este $\frac{30\cdot 40}{2}=600$ m², iar $p=60$ m, deci

$$r=\frac{600}{60}=10\text{m}.$$

Rondul poate avea raza de cel mult $10$ m, iar suprafața lui va fi $\pi r^2=100\pi \approx 314$ m² — adică peste jumătate din tot parcul. (Verificare rapidă cu formula pentru triunghiul dreptunghic: $r=\frac{30+40-50}{2}=10$ ✓.)

Bolta prin trei stâlpi. Dacă stâlpii formează un triunghi cu laturile $9$, $10$ și $17$ m, atunci $p=18$, iar aria este $\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=36$ m². Raza cercului care trece prin toți trei:

$$R=\frac{9\cdot 10\cdot 17}{4\cdot 36}=\frac{1530}{144}=\frac{85}{8}=10,625\text{m}.$$

Observă cât de mare iese raza față de laturi: triunghiul este foarte „turtit" (obtuzunghic, cu $17^2>9^2+10^2$), iar cercul care-l cuprinde trebuie să fie generos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ambele raze, dintr-un triunghi clasic

Triunghiul $ABC$ are laturile $13$, $14$, $15$. Calculați $r$ și $R$.

Rezolvare. $p=21$, iar cu formula lui Heron $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$. Atunci:

$$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{84}{21}=4,R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8,125.$$

Control: $R\ge 2r$ înseamnă $8,125\ge 8$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Triunghiul dreptunghic, pe două căi

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic, cu catetele $5$ și $12$. Calculați $r$ și $R$.

Rezolvare. Ipotenuza este $\sqrt{25+144}=13$, aria $\mathcal{S}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$, iar $p=15$.

$$r=\frac{30}{15}=2\text{sau, direct,}r=\frac{5+12-13}{2}=2✓$$

$$R=\frac{5\cdot 12\cdot 13}{4\cdot 30}=\frac{780}{120}=6,5\text{sau, direct,}R=\frac{13}{2}=6,5✓$$

Cele două căi coincid, cum era de așteptat. La triunghiul dreptunghic, formulele scurte economisesc timp prețios la examen. $■$

Exemplul 3 — Triunghiul echilateral și egalitatea lui Euler

Calculați $r$ și $R$ pentru un triunghi echilateral cu latura $6$.

Rezolvare. $\mathcal{S}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ și $p=9$, deci

$$r=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}\approx 1,73,R=\frac{6\cdot 6\cdot 6}{4\cdot 9\sqrt{3}}=\frac{216}{36\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\approx 3,46.$$

Se vede imediat că $R=2r$ — cazul de egalitate din inegalitatea lui Euler. Într-un triunghi echilateral, cele două cercuri sunt concentrice, iar centrul comun este și centrul de greutate. $■$

Exemplul 4 — Triunghi cu unghi de $120^{\circ }$

În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculați $r$ și $R$.

Rezolvare. Latura a treia, cu teorema cosinusului: $B{C}^2=36+100+60=196$, deci $BC=14$. Aria:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=15\sqrt{3}.$$

Semiperimetrul: $p=\frac{6+10+14}{2}=15$. Prin urmare:

$$r=\frac{15\sqrt{3}}{15}=\sqrt{3}\approx 1,73,R=\frac{6\cdot 10\cdot 14}{4\cdot 15\sqrt{3}}=\frac{840}{60\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$

Control cu teorema sinusurilor: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ ✓ — același rezultat, pe alt drum. $■$

Exemplul 5 — Formulele citite invers

Un triunghi are perimetrul $42$ și raza cercului înscris $4$. Calculați aria triunghiului.

Rezolvare. Semiperimetrul este $p=\frac{42}{2}=21$, deci

$$\mathcal{S}=p\cdot r=21\cdot 4=84.$$

Nu am avut nevoie de laturi! Formula $\mathcal{S}=pr$ funcționează în ambele sensuri: cu aria afli raza, cu raza afli aria. (Datele corespund chiar triunghiului $13,14,15$ din Exemplul 1.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Triunghiul $ABC$ are $AB=13$, $BC=14$ și $CA=15$. a) Calculați aria triunghiului. b) Calculați raza cercului înscris. c) Calculați raza cercului circumscris. d) Calculați lungimea înălțimii din $A$.

Rezolvare. a) $p=21$ și $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$.

b) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{84}{21}=4$.

c) $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$.

d) Înălțimea din $A$ cade pe $BC=14$, deci $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{168}{14}=12$.

Observă coerența: $r=4$ este comod mai mic decât $h_a=12$, deci cercul înscris chiar încape ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Când ai cele trei laturi, urmează rutina: existență $\to$ semiperimetru $\to$ arie $\to$ raze. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. Triunghiul are laturile $13$, $14$, $15$. Calculează raza cercului înscris.

2. Pentru același triunghi, calculează raza cercului circumscris.

3. Calculează $r$ și $R$ pentru triunghiul cu laturile $3$, $4$, $5$.

4. Calculează $r$ și $R$ pentru triunghiul cu laturile $6$, $8$, $10$.

5. Calculează $r$ și $R$ pentru triunghiul cu laturile $9$, $10$, $17$.

6. Calculează $r$ și $R$ pentru triunghiul isoscel cu laturile $10$, $10$, $12$.

7. Calculează $r$ și $R$ pentru un triunghi echilateral cu latura $6$ și verifică egalitatea $R=2r$.

8. Un triunghi dreptunghic are catetele $8$ și $15$. Calculează $r$ și $R$ folosind formulele scurte, apoi verifică prin $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există triunghiuri în care raza cercului înscris este egală cu raza cercului circumscris."

10. Un triunghi are perimetrul $30$ și raza cercului înscris $3$. Calculează aria triunghiului.

11. Aria unui triunghi este $84$, iar laturile sale sunt $13$, $14$, $15$. Verifică formula $abc=4pRr$ pe acest triunghi.

12. Calculează $r$ și $R$ pentru triunghiul isoscel cu laturile $5$, $5$, $6$.

13. (Problemă aplicată.) Un parc triunghiular are laturile de $30$ m, $40$ m și $50$ m. Care este raza celui mai mare rond circular de flori care încape în el și ce suprafață are rondul?

14. (Problemă aplicată.) Trei stâlpi de iluminat formează un triunghi cu laturile de $9$ m, $10$ m și $17$ m. Ce rază trebuie să aibă cercul care trece prin toți trei?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați aria triunghiului. b) Calculați raza cercului înscris.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Triunghiul $ABC$ are $AB=13$, $BC=14$ și $CA=15$. a) Calculați raza cercului circumscris. b) Calculați lungimea înălțimii din $B$.

17. Demonstrează că, într-un triunghi dreptunghic cu catetele $b$, $c$ și ipotenuza $a$, raza cercului înscris este $r=\frac{b+c-a}{2}$.

18. (Provocare.) Demonstrează că, într-un triunghi dreptunghic, $r+R=\frac{b+c}{2}$ (semisuma catetelor) și verifică pe triunghiul $5$, $12$, $13$.

Răspunsuri și explicații

1. $p=21$, $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$, deci $r=\frac{84}{21}=4$.

2. $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8,125$.

3. Triunghi dreptunghic: $\mathcal{S}=6$, $p=6$, deci $r=1$ (sau $\frac{3+4-5}{2}=1$) și $R=\frac{5}{2}=2,5$ (ipotenuza pe doi). Control: $2,5\ge 2$ ✓.

4. Tot dreptunghic ($36+64=100$), la scară dublă față de $3,4,5$: $\mathcal{S}=24$, $p=12$, $r=2$, $R=5$. Observă că, la dublarea laturilor, ambele raze se dublează — sunt mărimi de tip lungime.

5. $p=18$, $\mathcal{S}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=36$, deci $r=\frac{36}{18}=2$ și $R=\frac{9\cdot 10\cdot 17}{144}=\frac{85}{8}=10,625$. Triunghiul e obtuzunghic, de aceea $R$ este mare în raport cu laturile.

6. $p=16$, $\mathcal{S}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=\sqrt{2304}=48$, deci $r=\frac{48}{16}=3$ și $R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{192}=\frac{1200}{192}=\frac{25}{4}=6,25$.

7. $\mathcal{S}=9\sqrt{3}$, $p=9$, deci $r=\sqrt{3}$ și $R=\frac{216}{36\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$. Într-adevăr $2r=2\sqrt{3}=R$ ✓ — cazul de egalitate din inegalitatea lui Euler.

8. Ipotenuza: $\sqrt{64+225}=17$. Formulele scurte: $r=\frac{8+15-17}{2}=3$ și $R=\frac{17}{2}=8,5$. Verificare: $\mathcal{S}=\frac{8\cdot 15}{2}=60$, $p=20$, deci $\frac{\mathcal{S}}{p}=3$ ✓ și $\frac{8\cdot 15\cdot 17}{240}=8,5$ ✓.

9. Fals. Inegalitatea lui Euler spune că $R\ge 2r$ în orice triunghi, iar $r>0$, deci $R\ge 2r>r$ — raza cercului circumscris este întotdeauna strict mai mare decât cea a cercului înscris. Intuitiv: cercul înscris stă în interiorul triunghiului, iar cel circumscris îl cuprinde în întregime.

10. $p=15$, deci $\mathcal{S}=p\cdot r=15\cdot 3=45$.

11. $p=21$, $R=\frac{65}{8}$, $r=4$, deci $4pRr=4\cdot 21\cdot \frac{65}{8}\cdot 4=\frac{21840}{8}=2730$, iar $abc=13\cdot 14\cdot 15=2730$ ✓. Relația se verifică; ea provine din egalarea celor două scrieri ale ariei, $pr=\frac{abc}{4R}$.

12. $p=8$, $\mathcal{S}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$, deci $r=\frac{12}{8}=1,5$ și $R=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{48}=\frac{150}{48}=\frac{25}{8}=3,125$. Control: $3,125\ge 3$ ✓.

13. Triunghiul e dreptunghic ($900+1600=2500$), cu $\mathcal{S}=600$ m² și $p=60$ m, deci $r=10$ m. Rondul are aria $\pi \cdot 10^2=100\pi \approx 314$ m².

14. $p=18$, $\mathcal{S}=36$ m², deci $R=\frac{9\cdot 10\cdot 17}{4\cdot 36}=\frac{85}{8}=10,625$ m.

15. a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=15\sqrt{3}$. b) Din teorema cosinusului, $BC=14$, deci $p=15$ și $r=\frac{15\sqrt{3}}{15}=\sqrt{3}\approx 1,73$.

16. a) $\mathcal{S}=84$ și $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{336}=\frac{65}{8}$. b) Înălțimea din $B$ cade pe $CA=15$, deci $h_b=\frac{2\cdot 84}{15}=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}=11,2$.

17. Aria triunghiului dreptunghic este $\mathcal{S}=\frac{bc}{2}$, iar semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$. Atunci

$$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{bc}{a+b+c}.$$

Amplificăm cu $(b+c-a)$ și folosim teorema lui Pitagora, $b^2+c^2=a^2$:

$$r=\frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)}=\frac{bc(b+c-a)}{(b+c{)}^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}=\frac{b+c-a}{2}.■$$

18. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$, raza cercului circumscris este $R=\frac{a}{2}$ (ipotenuza e diametrul), iar din exercițiul precedent $r=\frac{b+c-a}{2}$. Adunând:

$$r+R=\frac{b+c-a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{b+c}{2}.■$$

Verificare pe $5,12,13$: $r=2$, $R=6,5$, deci $r+R=8,5$, iar $\frac{5+12}{2}=8,5$ ✓. Relația e frumoasă și prin ce spune: în triunghiul dreptunghic, cele două raze „completează" împreună exact media catetelor.

De reținut

• Cercul înscris este tangent laturilor, cu centrul $I$ la intersecția bisectoarelor; cercul circumscris trece prin vârfuri, cu centrul $O$ la intersecția mediatoarelor.
• $\mathcal{S}=p\cdot r$, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ — demonstrată prin descompunerea triunghiului în trei triunghiuri cu vârful în $I$ și înălțimea $r$.
• $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$, deci $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ — obținută din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ și $\sin C=\frac{c}{2R}$.
• Din trei laturi afli totul: $p$, apoi $\mathcal{S}$ cu Heron, apoi $r$ și $R$. Pentru $R$ ai și varianta rapidă $\frac{a}{2\sin A}$, când cunoști o pereche latură–unghi opus.
• Cazuri particulare: triunghi dreptunghic — $r=\frac{b+c-a}{2}$ și $R=\frac{a}{2}$; echilateral — $r=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$, $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$, deci $R=2r$. În orice triunghi, $R\ge 2r$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre cele două cercuri. „Înscris" înseamnă înăuntru, tangent la laturi, cu centrul pe bisectoare; „circumscris" înseamnă în jur, prin vârfuri, cu centrul pe mediatoare. Un desen mic pe ciornă rezolvă definitiv confuzia.
• Perimetrul în locul semiperimetrului. În $\mathcal{S}=pr$ intră $p=\frac{a+b+c}{2}$. Folosirea perimetrului înjumătățește greșit raza.
• Formula $r=\frac{b+c-a}{2}$ aplicată la orice triunghi. Ea este valabilă numai în triunghiul dreptunghic, unde $a$ este ipotenuza. În rest se folosește $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$.
• Uitarea lui $4$ de la numitor. Formula corectă este $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$, nu $\frac{abc}{\mathcal{S}}$. Verifică pe un triunghi cunoscut: pentru $3,4,5$ trebuie să iasă $2,5$.
• Rezultate imposibile, nesesizate. Dacă îți iese $R<2r$ sau $r$ mai mare decât o înălțime, ai greșit sigur: cercul înscris n-ar mai încăpea în triunghi.

Aplică acasă

1. Cel mai mare cerc din triunghi. Decupează din carton un triunghi oarecare, măsoară-i laturile și calculează $r$. Apoi taie un disc de raza găsită și verifică fizic: intră fix, atingând toate cele trei laturi? Trasează bisectoarele cu un raportor și vezi dacă se întâlnesc chiar în centrul discului.

2. Cercul prin trei puncte. Marchează pe o coală trei puncte oarecare, care nu sunt coliniare, și măsoară distanțele dintre ele. Calculează $R$ cu formula $\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ (aria cu Heron), apoi desenează cercul cu compasul, căutând centrul prin intersecția a două mediatoare. Trece exact prin cele trei puncte?

3. Raza minimă a unui sens giratoriu. Caută pe o hartă digitală o intersecție triunghiulară din orașul tău, măsoară cele trei laturi și calculează raza cercului înscris. Compară cu dimensiunea reală a sensului giratoriu (dacă există) sau estimează câte mașini ar încăpea pe circumferința lui, știind că o mașină are circa $4,5$ m.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie „trilogia metrică" a unității: după teorema cosinusului, teorema sinusurilor și formulele de arie, elevul învață să determine cele două raze caracteristice ale triunghiului. Programa de specialitate (CS) cere explicit „aplicarea metodei optime pentru determinarea lungimii razei cercului circumscris unui triunghi sau a razei cercului înscris când se cunosc anumite elemente" — de aceea accentul cade nu doar pe formule, ci pe alegerea drumului cel mai scurt dintre variante. Ambele demonstrații sunt scurte și instructive: prima folosește descompunerea unei figuri în figuri mai simple, a doua combină două rezultate deja cunoscute.

Întrebări bune de control: „Unde se află centrul cercului înscris și de ce?" (intersecția bisectoarelor, punct egal depărtat de laturi); „De ce aria e $p\cdot r$?" (trei triunghiuri cu înălțimea $r$); „Cum afli $R$ dacă știi doar laturile?" (Heron pentru arie, apoi $\frac{abc}{4\mathcal{S}}$); „Ce formule scurte ai în triunghiul dreptunghic?" ($r=\frac{b+c-a}{2}$, $R=\frac{a}{2}$). Semne că a înțeles: nu confundă cele două cercuri, verifică rezultatele cu $R\ge 2r$ și folosește formulele și invers, pentru arie sau perimetru.

La Bacalaureatul M1, cerințele tipice sunt „calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$" sau „calculați raza cercului înscris", de regulă ca ultim punct al unei probleme care începe cu o latură calculată prin teorema cosinusului și continuă cu aria. Exercițiile 15 și 16 reproduc exact acest lanț. Materialul se leagă direct de lecția despre aria triunghiului și pregătește lecțiile despre teorema bisectoarei și relația lui Stewart, unde intervin alte segmente remarcabile.

Întrebări frecvente

Care este formula razei cercului înscris într-un triunghi? $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, unde $\mathcal{S}$ este aria triunghiului și $p=\frac{a+b+c}{2}$ semiperimetrul. Echivalent, $\mathcal{S}=p\cdot r$.

Care este formula razei cercului circumscris? $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$ — produsul laturilor împărțit la de patru ori aria. Alternativ, dacă știi o latură și unghiul opus ei, $R=\frac{a}{2\sin A}$, direct din teorema sinusurilor.

Cum calculez ambele raze dacă știu doar cele trei laturi? În trei pași: semiperimetrul $p$, apoi aria cu formula lui Heron, apoi $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$. Nu ai nevoie de niciun unghi.

Unde se află centrul cercului înscris și unde cel al cercului circumscris? Centrul cercului înscris este intersecția bisectoarelor (punctul egal depărtat de laturi), iar centrul cercului circumscris este intersecția mediatoarelor laturilor (punctul egal depărtat de vârfuri).

Cât este raza cercului înscris într-un triunghi dreptunghic? $r=\frac{b+c-a}{2}$, unde $b$ și $c$ sunt catetele și $a$ ipotenuza. Raza cercului circumscris este, în acest caz, jumătate din ipotenuză: $R=\frac{a}{2}$.

Poate raza cercului înscris să fie mai mare decât cea a cercului circumscris? Nu, niciodată. Inegalitatea lui Euler spune că $R\ge 2r$ în orice triunghi, cu egalitate doar la triunghiul echilateral. Dacă îți iese altfel, ai o greșeală de calcul.

Ce legătură există între cele două raze și aria triunghiului? Aria le leagă pe amândouă: $\mathcal{S}=pr=\frac{abc}{4R}$. Egalând cele două scrieri obții și relația $abc=4pRr$.

Unde se folosesc aceste formule în practică? Oriunde trebuie înscris sau circumscris un cerc într-o formă triunghiulară: sensuri giratorii și ronduri în intersecții, piese circulare tăiate din plăci triunghiulare, arce și bolți care trec prin trei puncte fixe, dar și în programarea graficii pe calculator, unde cercul circumscris se folosește la triangulații.