Rezolvarea triunghiurilor oarecare

Un arhitect primește de la cadastru trei cifre despre un teren triunghiular: două laturi, $50$ m și $80$ m, și unghiul dintre ele, $60^{\circ }$. Din aceste trei numere trebuie să scoată tot — a treia latură, celelalte două unghiuri, mai târziu aria și distanțele până la limitele vecinilor. Un topograf primește alte trei cifre pentru alt teren: o latură și unghiurile de la capetele ei. Un navigator are două distanțe și un unghi care nu e între ele — și, spre surprinderea lui, va descoperi că datele lui pot descrie două trasee diferite.

Toți trei fac același lucru: rezolvă un triunghi. Ai deja ambele unelte — teorema cosinusului și teorema sinusurilor. Ce urmează acum nu este o formulă nouă, ci ceva mai valoros: strategia. Vei învăța să citești datele, să recunoști cazul, să alegi unealta care nu te trădează și — cel mai important — să spui cinstit când problema are o soluție, două sau niciuna.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă a rezolva un triunghi și de ce sunt necesare exact trei date, dintre care cel puțin o latură.
• Vei ști să identifici instantaneu cazul: LLL, LUL, ULU, LUU sau LLU.
• Vei ști să alegi între teorema sinusurilor și teorema cosinusului, evitând capcana ambiguității sinusului.
• Vei ști să rezolvi complet un triunghi în fiecare caz, cu toate cele șase elemente.
• Vei ști să faci discuția cazului ambiguu LLU: zero, una sau două soluții, cu justificare.
• Vei ști să-ți verifici rezultatul cu trei controale rapide, înainte de a preda lucrarea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „a rezolva un triunghi"

Un triunghi are șase elemente: trei laturi ($a$, $b$, $c$) și trei unghiuri ($A$, $B$, $C$). A rezolva triunghiul înseamnă a determina toate cele șase, pornind de la câteva date.

Câte date trebuie? Trei, dar nu oricare trei. Dacă știi doar cele trei unghiuri (cazul UUU), triunghiul nu e determinat: toate triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri și laturi diferite — un triunghi cu unghiurile $60^{\circ },60^{\circ },60^{\circ }$ poate avea latura $1$ sau latura $1000$. Unghiurile fixează forma, nu și mărimea. Concluzia:

Pentru a rezolva un triunghi ai nevoie de trei elemente, dintre care cel puțin o latură.

Cele trei date pot fi combinate în patru moduri esențiale, pe care le notăm cu inițialele („L" = latură, „U" = unghi), în ordinea în care apar pe conturul triunghiului:

• LLL — trei laturi;
• LUL — două laturi și unghiul dintre ele;
• ULU (și varianta LUU) — o latură și două unghiuri;
• LLU — două laturi și un unghi care nu este între ele.

Primele trei determină triunghiul în mod unic — sunt exact cazurile de congruență din gimnaziu. Al patrulea este cel „ciudat", pentru că nu e caz de congruență, și de aceea îi vom dedica o secțiune întreagă.

2. Harta deciziilor

Înainte de orice calcul, pune-ți o singură întrebare: am o pereche completă latură–unghi opus?

• Da $\Rightarrow$ teorema sinusurilor poate porni imediat (cazurile LUU și LLU).
• Nu $\Rightarrow$ pornește cu teorema cosinusului (cazurile LLL și LUL) sau completează perechea din suma unghiurilor (cazul ULU).

Traseul recomandat, pe cazuri:

• LLL: cosinusul pentru două unghiuri (începe cu cel opus laturii celei mai mari), al treilea din suma $180^{\circ }$.
• LUL: cosinusul pentru a treia latură, apoi tot cosinusul pentru al doilea unghi, al treilea din suma $180^{\circ }$.
• ULU: al treilea unghi din suma $180^{\circ }$, apoi sinusurile pentru cele două laturi necunoscute.
• LUU: direct sinusurile (perechea e completă), plus suma unghiurilor.
• LLU: sinusurile — cu discuție — sau teorema cosinusului privită ca ecuație de gradul al doilea.

3. Cazul LLL: trei laturi

Primul lucru, înainte de orice formulă: verifică dacă triunghiul există. Inegalitatea triunghiului cere ca fiecare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două; e suficient să verifici pentru cea mai mare. Dacă laturile sunt $5$, $7$ și $13$, nu ai ce rezolva: $5+7=12<13$.

Apoi aplici de două ori forma cu cosinusul izolat:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},$$

iar al treilea unghi îl obții gratuit: $m(\angle C)=180^{\circ }-m(\angle A)-m(\angle B)$.

Exemplu. Triunghiul cu laturile $4$, $5$, $6$. Avem $6<4+5$ ✓, deci triunghiul există.

$$\cos A=\frac{25+36-16}{2\cdot 5\cdot 6}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4},\cos B=\frac{16+36-25}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}.$$

De aici $m(\angle A)\approx 41,41^{\circ }$ și $m(\angle B)\approx 55,77^{\circ }$, deci $m(\angle C)\approx 82,82^{\circ }$. Toate cosinusurile ies pozitive, deci triunghiul e ascuțitunghic. Control: unghiul cel mai mare, $C$, stă în fața laturii celei mai mari, $6$ ✓.

De ce nu folosim sinusurile aici? Pentru că din laturi nu avem nicio pereche completă: ne trebuie mai întâi un unghi, iar el vine numai de la cosinus.

4. Cazul LUL și capcana sinusului

Ai două laturi și unghiul dintre ele. Pasul întâi e obligatoriu: teorema cosinusului pentru a treia latură. Pasul al doilea pare liber — ai acum o pereche completă, deci ai putea folosi sinusurile. Nu o face fără grijă. Iată de ce.

Exemplu. $b=3$, $c=8$, $m(\angle A)=60^{\circ }$. Latura a treia:

$$a^2=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=73-24=49\Rightarrow a=7.$$

Acum unghiul $C$. Cu sinusurile: $\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}\approx 0,9897$, de unde calculatorul răspunde $C\approx 81,79^{\circ }$. Greșit! Cealaltă soluție a ecuației, $180^{\circ }-81,79^{\circ }=98,21^{\circ }$, este cea adevărată.

Cu cosinusul nu ai cum să greșești:

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{49+9-64}{2\cdot 7\cdot 3}=\frac{-6}{42}=-\frac{1}{7}<0,$$

deci $C$ este obtuz, $m(\angle C)\approx 98,21^{\circ }$, iar $m(\angle B)\approx 21,79^{\circ }$.

Regula de aur: cosinusul unui unghi îi trădează și semnul, deci determină unghiul fără ambiguitate pe $(0^{\circ },180^{\circ })$; sinusul nu. Dacă totuși vrei să folosești sinusurile după LUL, aplică-le doar pentru unghiul opus laturii celei mai mici — acela e sigur ascuțit, pentru că cel mult un unghi al unui triunghi poate fi obtuz, iar el stă în fața laturii celei mai mari.

5. Cazurile ULU și LUU: o latură și două unghiuri

Aici lucrează teorema sinusurilor, iar triunghiul este întotdeauna unic determinat (dacă suma celor două unghiuri date e mai mică decât $180^{\circ }$).

Algoritm.

1. Al treilea unghi: $180^{\circ }$ minus suma celor două cunoscute.
2. Constanta: $2R=\frac{\text{latura cunoscuta˘}}{\sin (\text{unghiul opus ei})}$.
3. Celelalte laturi: $2R\sin (\text{unghiul opus fieca˘reia})$.

Exemplu (ULU). $a=8$, $m(\angle B)=60^{\circ }$, $m(\angle C)=90^{\circ }$. Atunci $m(\angle A)=30^{\circ }$ și

$$2R=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=16,b=16\sin 60^{\circ }=8\sqrt{3},c=16\sin 90^{\circ }=16.$$

Triunghiul $(8,8\sqrt{3},16)$ este dreptunghic — verificare imediată: $64+192=256=16^2$ ✓. Observă și că ipotenuza este chiar diametrul: $c=2R$.

6. Cazul LLU: discuția completă

Se dau $a$, $b$ și unghiul $A$ (opus laturii $a$). Geometric, construcția e limpede: desenezi unghiul $A$, pui latura $b$ pe una dintre laturile unghiului și, din capătul ei ($C$), rotești un compas cu deschiderea $a$ până taie a doua latură a unghiului. Câte puncte de intersecție găsești — atâtea triunghiuri există.

Cheia este distanța de la $C$ la dreapta suport, adică înălțimea $h=b\sin A$. Discuția se face pe două ramuri, după natura unghiului dat.

Dacă $A$ este ascuțit:

• $a<h$: compasul nu ajunge la dreaptă — nicio soluție;
• $a=h$: compasul o atinge tangențial — o soluție, triunghi dreptunghic în $B$;
• $h<a<b$: taie dreapta în două puncte, ambele pe latura unghiului — două soluții;
• $a\ge b$: unul dintre punctele de intersecție cade „în spatele" vârfului $A$ și se pierde — o soluție.

Dacă $A$ este drept sau obtuz: latura $a$, opusă celui mai mare unghi, trebuie să fie cea mai mare dintre toate. Prin urmare:

• $a\le b$: nicio soluție (nu poți avea $a\le b$ și, în același timp, $A\ge B$ cu $A$ neascuțit);
• $a>b$: o singură soluție.

Atenție, deci: cele patru cazuri de mai sus nu se aplică orbește la orice unghi. De exemplu, pentru $a=9$, $b=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$ avem $h=5\sqrt{3}\approx 8,66$, deci $h<a<b$ — dar nu există niciun triunghi, pentru că unghiului obtuz $A$ i-ar trebui latura opusă cea mai mare.

Aceeași discuție, prin algebră. Privește teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea în $c$ (latura necunoscută):

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A⟺c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0.$$

Discriminantul, împărțit la $4$, este

$$\frac{\Delta }{4}=b^2{\cos }^{2}A-b^2+a^2=a^2-b^2(1-{\cos }^{2}A)=a^2-b^2{\sin }^{2}A=a^2-h^2.$$

Regăsim exact aceleași concluzii: dacă $a<h$, discriminantul e negativ și nu există niciun $c$ real; dacă $a=h$, avem o rădăcină dublă; dacă $a>h$, două rădăcini distincte. Dintre ele păstrăm doar pe cele strict pozitive — o latură nulă sau negativă nu descrie niciun triunghi.

Aici algebra face toată discuția singură, prin suma rădăcinilor, $2b\cos A$, și produsul lor, $b^2-a^2$ (relațiile lui Viète):

• dacă $A$ este ascuțit, suma este pozitivă. Când $a>b$, produsul e negativ, deci o rădăcină e negativă și se elimină: o soluție. Când $a=b$, produsul e nul, deci o rădăcină este $0$ și se elimină: tot o soluție. Când $h<a<b$, produsul și suma sunt ambele pozitive, deci ambele rădăcini sunt pozitive: două soluții;
• dacă $A$ este drept sau obtuz, atunci $\cos A\le 0$, deci suma rădăcinilor este $\le 0$. Când $a\le b$, produsul este $\ge 0$, iar două numere cu suma nepozitivă și produsul nenegativ nu pot fi amândouă pozitive: nicio soluție. Când $a>b$, produsul e negativ și rămâne exact o rădăcină pozitivă: o soluție.

Este exact tabloul din discuția geometrică — un exemplu splendid despre cum semnele din relațiile lui Viète „văd" geometria.

Exemplu (două soluții). $a=8$, $b=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$. Aici $h=10\cdot \frac{1}{2}=5$ și $5<8<10$, deci două triunghiuri. Cu $2R=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=16$: $\sin B=\frac{10}{16}=0,625$, de unde $m(\angle B)\approx 38,68^{\circ }$ sau $m(\angle B)\approx 141,32^{\circ }$. Corespunzător, $m(\angle C)\approx 111,32^{\circ }$ (și $c\approx 14,91$) sau $m(\angle C)\approx 8,68^{\circ }$ (și $c\approx 2,42$).

Exemplu (nicio soluție). $a=4$, $b=12$, $m(\angle A)=30^{\circ }$: $h=6>4$. Sinusurile o spun singure: $\sin B=\frac{12\cdot 0,5}{4}=1,5>1$, imposibil.

7. Trei verificări care îți salvează nota

După orice rezolvare, treci rezultatele prin filtrul acesta — durează treizeci de secunde:

1. Suma unghiurilor este $180^{\circ }$ (cu eventuale rotunjiri de ordinul sutimilor).
2. Ordinea: cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi, cea mai mică — celui mai mic.
3. Inegalitatea triunghiului: fiecare latură e mai mică decât suma celorlalte două.

În plus, cel mult un unghi poate fi obtuz. Dacă din calcule îți ies două unghiuri peste $90^{\circ }$, ai greșit undeva un semn.

8. Terenul arhitectului

Revenim la datele din deschidere: $b=50$ m, $c=80$ m, unghiul dintre ele $m(\angle A)=60^{\circ }$ — caz LUL.

$$a^2=2500+6400-2\cdot 50\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=8900-4000=4900\Rightarrow a=70\text{m}.$$

Unghiurile, cu cosinusul (fără riscuri):

$$\cos B=\frac{4900+6400-2500}{2\cdot 70\cdot 80}=\frac{8800}{11200}=\frac{11}{14}\Rightarrow m(\angle B)\approx 38,21^{\circ },$$

$$\cos C=\frac{4900+2500-6400}{2\cdot 70\cdot 50}=\frac{1000}{7000}=\frac{1}{7}\Rightarrow m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }.$$

Verificare: $60+38,21+81,79=180$ ✓, iar cea mai mare latură ($80$) se opune celui mai mare unghi ($81,79^{\circ }$) ✓. Triunghiul e rezolvat complet; de aici, aria terenului se obține într-un singur pas, în lecția despre aria triunghiului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — LLL rezolvat complet

Rezolvați triunghiul cu $a=13$, $b=14$, $c=15$.

Rezolvare. Există: $15<13+14$ ✓. Aplicăm cosinusul de două ori:

$$\cos A=\frac{196+225-169}{2\cdot 14\cdot 15}=\frac{252}{420}=\frac{3}{5}\Rightarrow m(\angle A)\approx 53,13^{\circ },$$

$$\cos C=\frac{169+196-225}{2\cdot 13\cdot 14}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}\Rightarrow m(\angle C)\approx 67,38^{\circ }.$$

Al treilea: $m(\angle B)\approx 180^{\circ }-53,13^{\circ }-67,38^{\circ }=59,49^{\circ }$. Ordinea se respectă: $13<14<15$ și $53,13^{\circ }<59,49^{\circ }<67,38^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 2 — LUL cu unghi obtuz ascuns

Rezolvați triunghiul cu $b=3$, $c=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

Rezolvare. Latura a treia: $a^2=9+64-24=49$, deci $a=7$. Unghiurile, cu cosinusul:

$$\cos C=\frac{49+9-64}{42}=-\frac{1}{7}\Rightarrow m(\angle C)\approx 98,21^{\circ },m(\angle B)\approx 21,79^{\circ }.$$

Dacă am fi folosit sinusurile pentru $C$, am fi obținut $81,79^{\circ }$ — suplementarul, adică răspunsul greșit. Verificare: $60+21,79+98,21=180$ ✓, iar unghiul obtuz stă în fața laturii $8$, cea mai mare ✓. $■$

Exemplul 3 — ULU rezolvat complet

Rezolvați triunghiul cu $a=10$, $m(\angle B)=45^{\circ }$, $m(\angle C)=45^{\circ }$.

Rezolvare. $m(\angle A)=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, deci $2R=\frac{10}{\sin 90^{\circ }}=10$ și

$$b=c=10\sin 45^{\circ }=5\sqrt{2}\approx 7,07.$$

Triunghi dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $10$ egală cu diametrul cercului circumscris. Control: $(5\sqrt{2}{)}^2+(5\sqrt{2}{)}^2=50+50=100=10^2$ ✓. $■$

Exemplul 4 — LLU cu soluție unică

Rezolvați triunghiul cu $a=7$, $b=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

Rezolvare. Cum $a>b$, discuția spune: o singură soluție. Folosim teorema cosinusului ca ecuație în $c$:

$$49=25+c^2-2\cdot 5\cdot c\cdot \frac{1}{2}⟺c^2-5c-24=0.$$

Rădăcinile sunt $c=8$ și $c=-3$; o păstrăm doar pe cea pozitivă, $c=8$. (Rădăcina negativă e chiar „soluția pierdută în spatele vârfului" din discuția geometrică.) Unghiurile: $\cos B=\frac{49+64-25}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}$, deci $m(\angle B)\approx 38,21^{\circ }$ și $m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }$. $■$

Exemplul 5 — LLU la limită

Câte triunghiuri au $a=6$, $b=12$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$? Rezolvați-le.

Rezolvare. $h=b\sin A=12\cdot \frac{1}{2}=6=a$, deci suntem exact în cazul tangenței: o singură soluție, dreptunghică în $B$. Într-adevăr, $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{6}{6}=1$, deci $m(\angle B)=90^{\circ }$ — o unică valoare. Atunci $m(\angle C)=60^{\circ }$ și, cu $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=12$:

$$c=12\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}\approx 10,39.$$

Verificare cu Pitagora (ipotenuza este $b=12$): $36+108=144$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $BC=8$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. a) Calculați $AC$. b) Calculați $\cos C$. c) Precizați natura triunghiului.

Rezolvare. a) Unghiul $B$ este între laturile date (caz LUL), deci:

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49\Rightarrow AC=7.$$

b) Cu notațiile obișnuite, $b=AC=7$, $c=AB=5$, $a=BC=8$:

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+49-25}{2\cdot 8\cdot 7}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}.$$

c) Toate cosinusurile sunt pozitive ($\cos B=\frac{1}{2}$, $\cos C=\frac{11}{14}$, iar $\cos A=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{1}{7}$), deci triunghiul este ascuțitunghic. Alternativ, direct din laturi: $8^2=64<49+25=74$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi cazul (LLL, LUL, ULU, LUU, LLU) și unealta aleasă, apoi calculează. Unghiurile care nu ies remarcabile se dau aproximativ, cu două zecimale.

1. Precizează cazul și prima teoremă pe care o folosești, fără să calculezi: a) $a=7$, $b=9$, $c=12$; b) $b=4$, $c=9$, $m(\angle A)=45^{\circ }$; c) $a=6$, $m(\angle B)=40^{\circ }$, $m(\angle C)=70^{\circ }$; d) $a=5$, $b=9$, $m(\angle B)=30^{\circ }$.

2. Rezolvă complet triunghiul cu $b=3$, $c=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

3. Rezolvă complet triunghiul cu laturile $4$, $5$, $6$.

4. Rezolvă complet triunghiul cu $a=8$, $m(\angle B)=60^{\circ }$, $m(\angle C)=90^{\circ }$.

5. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $a=6$. Calculează $b$ și $m(\angle C)$.

6. Discută și rezolvă: $a=9$, $b=12$, $m(\angle A)=30^{\circ }$.

7. Câte triunghiuri există cu $a=4$, $b=12$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$? Justifică în două moduri: cu înălțimea $h$ și cu teorema sinusurilor.

8. Rezolvă complet triunghiul cu $a=6$, $b=12$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$.

9. Rezolvă complet triunghiul cu $a=7$, $b=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$, folosind teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea.

10. Există un triunghi cu laturile $5$, $7$, $13$? Dar unul cu unghiurile $80^{\circ }$, $60^{\circ }$, $50^{\circ }$? Justifică.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă știi cele trei unghiuri ale unui triunghi, poți afla laturile."

12. Un coleg a rezolvat un triunghi și a obținut $a=5$, $b=7$, $c=9$, $m(\angle A)=95^{\circ }$. Arată, fără să refaci calculul, că a greșit.

13. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are două laturi de $50$ m și $80$ m, iar unghiul dintre ele are $60^{\circ }$. Află a treia latură și celelalte două unghiuri.

14. (Problemă aplicată.) Doi observatori sunt așezați la capetele unui pod lung de $120$ m și văd un far de pe malul opus sub unghiurile de $30^{\circ }$ și, respectiv, $45^{\circ }$ față de direcția podului. La ce distanță se află farul de fiecare observator?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=5$, $BC=8$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. a) Calculați $AC$. b) Calculați $\cos C$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați $BC$. b) Calculați $\sin B$.

17. Demonstrează că, în cazul LLU cu datele $a$, $b$, $A$, dacă $a>b$ atunci problema are exact o soluție, oricare ar fi măsura unghiului $A$. (Indicație: folosește ecuația de gradul al doilea în $c$ și semnul produsului rădăcinilor.)

18. (Provocare.) Se dau $a=6$, $b=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Scrie teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea în $c$, arată că are două rădăcini pozitive și determină-le exact.

Răspunsuri și explicații

1. a) LLL — teorema cosinusului (nu am niciun unghi, deci nicio pereche completă). b) LUL — teorema cosinusului pentru latura $a$. c) ULU — întâi $m(\angle A)=180^{\circ }-40^{\circ }-70^{\circ }=70^{\circ }$, apoi teorema sinusurilor. d) LLU — teorema sinusurilor, cu discuție; aici perechea completă este $(b,B)$.

2. $a^2=9+64-24=49\Rightarrow a=7$. Apoi $\cos C=\frac{49+9-64}{42}=-\frac{1}{7}$, deci $m(\angle C)\approx 98,21^{\circ }$ și $m(\angle B)\approx 21,79^{\circ }$. Triunghiul e obtuzunghic, cu unghiul obtuz opus laturii $8$.

3. $\cos A=\frac{25+36-16}{60}=\frac{3}{4}$, $\cos B=\frac{16+36-25}{48}=\frac{9}{16}$, $\cos C=\frac{16+25-36}{40}=\frac{1}{8}$. Deci $m(\angle A)\approx 41,41^{\circ }$, $m(\angle B)\approx 55,77^{\circ }$, $m(\angle C)\approx 82,82^{\circ }$; suma $\approx 180^{\circ }$ ✓. Triunghi ascuțitunghic.

4. $m(\angle A)=30^{\circ }$, $2R=\frac{8}{\sin 30^{\circ }}=16$, $b=16\sin 60^{\circ }=8\sqrt{3}\approx 13,86$, $c=16$. Verificare: $64+192=256=16^2$ ✓ (triunghi dreptunghic, ipotenuza = diametrul).

5. $m(\angle C)=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$; $2R=\frac{6}{\sin 45^{\circ }}=6\sqrt{2}$, deci $b=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}\approx 7,35$.

6. $h=12\sin 30^{\circ }=6$ și $6<9<12$, deci două soluții. $\sin B=\frac{12\cdot 0,5}{9}=\frac{2}{3}$, de unde $m(\angle B)\approx 41,81^{\circ }$ sau $m(\angle B)\approx 138,19^{\circ }$. Cu $2R=18$: în primul caz $m(\angle C)\approx 108,19^{\circ }$ și $c\approx 17,10$; în al doilea, $m(\angle C)\approx 11,81^{\circ }$ și $c\approx 3,68$.

7. Niciunul. Cu înălțimea: $h=12\sin 30^{\circ }=6>4=a$, deci arcul de rază $a$ nu atinge dreapta. Cu sinusurile: $\sin B=\frac{12\cdot 0,5}{4}=1,5>1$, imposibil, pentru că sinusul unui unghi nu depășește $1$.

8. $h=6=a$: caz de tangență, o soluție. $\sin B=1\Rightarrow m(\angle B)=90^{\circ }$, $m(\angle C)=60^{\circ }$, $2R=12$ și $c=12\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}\approx 10,39$. Verificare cu Pitagora: $36+108=144=12^2$ ✓.

9. $49=25+c^2-5c$, adică $c^2-5c-24=0$, cu rădăcinile $8$ și $-3$; reținem $c=8$. Apoi $\cos B=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}\Rightarrow m(\angle B)\approx 38,21^{\circ }$ și $m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }$.

10. Triunghi cu laturile $5,7,13$: nu există, pentru că $5+7=12<13$ (inegalitatea triunghiului). Triunghi cu unghiurile $80^{\circ },60^{\circ },50^{\circ }$: nu există, pentru că suma lor este $190^{\circ }\ne 180^{\circ }$.

11. Fals. Unghiurile determină doar forma, nu și mărimea: toate triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri, dar laturi diferite (de exemplu, orice triunghi echilateral are unghiurile de $60^{\circ }$, indiferent de latură). Ai nevoie de cel puțin o latură.

12. Unghiul $A$ este opus laturii $a=5$, cea mai mică. Cel mai mic unghi al unui triunghi nu poate fi obtuz — dacă $A=95^{\circ }$, atunci $A$ ar fi cel mai mare unghi și i s-ar opune cea mai mare latură. Colegul a împerecheat greșit latura cu unghiul. (De altfel, $\cos A=\frac{49+81-25}{126}=\frac{105}{126}=\frac{5}{6}>0$, deci $A$ e ascuțit.)

13. $a^2=2500+6400-4000=4900\Rightarrow a=70$ m. $\cos B=\frac{8800}{11200}=\frac{11}{14}\Rightarrow m(\angle B)\approx 38,21^{\circ }$; $\cos C=\frac{1000}{7000}=\frac{1}{7}\Rightarrow m(\angle C)\approx 81,79^{\circ }$. Suma: $60+38,21+81,79=180$ ✓.

14. Caz ULU cu $c=120$ m între unghiurile de $30^{\circ }$ (la $A$) și $45^{\circ }$ (la $B$); farul este $C$, cu $m(\angle C)=105^{\circ }$. Atunci $2R=\frac{120}{\sin 105^{\circ }}\approx 124,23$, deci

$$BC=2R\sin 30^{\circ }\approx 62,12\text{m},AC=2R\sin 45^{\circ }\approx 87,85\text{m}.$$

Distanța mai mare corespunde observatorului care vede farul sub unghiul mai mic ✓.

15. a) $A{C}^2=25+64-40=49\Rightarrow AC=7$. b) Cu $a=BC=8$, $b=AC=7$, $c=AB=5$: $\cos C=\frac{64+49-25}{112}=\frac{11}{14}$.

16. a) $B{C}^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196\Rightarrow BC=14$. b) Latura opusă lui $B$ este $b=AC=10$, iar $a=BC=14$: $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx 0,62$.

17. Latura necunoscută $c$ verifică ecuația $c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0$. Discriminantul ei, $\Delta =4(a^2-b^2{\sin }^{2}A)$, este strict pozitiv: din $a>b$ rezultă $a^2>b^2\ge b^2{\sin }^{2}A$. Deci ecuația are două rădăcini reale distincte. Produsul lor este $b^2-a^2<0$, ceea ce înseamnă că rădăcinile au semne contrare: exact una este strict pozitivă. Cum orice soluție a problemei dă un astfel de $c$ pozitiv, iar un $c$ pozitiv împreună cu $b$ și cu unghiul $A$ dintre ele construiește un triunghi unic (caz LUL), problema are exact o soluție. $■$

18. Ecuația: $36=64+c^2-2\cdot 8\cdot c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, adică $c^2-8\sqrt{3}c+28=0$. Discriminantul: $\Delta =192-112=80>0$, deci două rădăcini reale. Ele sunt pozitive pentru că suma lor, $8\sqrt{3}>0$, și produsul lor, $28>0$, sunt ambele pozitive. Valorile:

$$c_{1,2}=\frac{8\sqrt{3}\pm \sqrt{80}}{2}=4\sqrt{3}\pm 2\sqrt{5},$$

adică $c_1\approx 11,40$ și $c_2\approx 2,46$. Confirmă discuția geometrică: $h=8\sin 30^{\circ }=4$ și $4<6<8$, deci exact două triunghiuri. $■$

De reținut

• Trei date, dintre care cel puțin o latură — altfel triunghiul nu e determinat (UUU dă doar forma, prin asemănare).
• Întrebarea care decide unealta: am o latură împreună cu unghiul opus ei? Dacă da, teorema sinusurilor; dacă nu, teorema cosinusului (sau suma unghiurilor, la ULU).
• LLL și LUL $\to$ cosinus; ULU și LUU $\to$ suma unghiurilor + sinusuri; LLU $\to$ sinusuri cu discuție.
• Pentru unghiuri preferă cosinusul: semnul lui distinge ascuțit de obtuz. Sinusul nu face diferența între $x$ și $180^{\circ }-x$.
• În cazul LLU cu $h=b\sin A$, când $A$ este ascuțit: $a<h$ — nicio soluție; $a=h$ — una (dreptunghică); $h<a<b$ — două; $a\ge b$ — una. Când $A$ este drept sau obtuz: soluție există doar dacă $a>b$, și atunci e unică.

Greșeli frecvente

• Sinusul folosit pentru un unghi care se dovedește obtuz. Rezultatul iese suplementarul corect. Folosește cosinusul, sau aplică sinusul doar unghiului opus laturii celei mai mici.
• Uitarea discuției la LLU. Se dă o singură soluție acolo unde sunt două — la Bacalaureat, punctajul se pierde chiar dacă restul calculului e corect.
• Trecerea peste verificarea existenței. Se rezolvă „triunghiuri" cu $5+7<13$ sau cu unghiuri care însumează $190^{\circ }$. Prima linie a rezolvării ar trebui să fie testul de existență.
• Rotunjiri intermediare prea agresive. Dacă rotunjești un unghi la grade întregi și apoi îl folosești mai departe, eroarea se propagă. Păstrează valorile exacte (fracții, radicali) cât de mult poți și rotunjește doar la final.
• Confuzia dintre unghiul „dintre laturi" și cel „opus". La LUL unghiul dat este între laturile date; dacă nu este, ești în cazul LLU și ai nevoie de discuție.

Aplică acasă

1. Triunghiul din curte. Alege trei puncte din curtea școlii sau din parc (un copac, un stâlp, o bancă) și măsoară cele trei distanțe dintre ele numărând pași sau cu ruleta. Rezolvă triunghiul (caz LLL) și calculează toate unghiurile. Apoi verifică unul dintre ele cu o aplicație de raportor pe telefon: cât de aproape ai fost?

2. Aceleași date, două triunghiuri. Ia o riglă și un compas. Desenează un unghi de $30^{\circ }$, taie pe una dintre laturi un segment $AC=10$ cm, apoi pune vârful compasului în $C$ și deschide-l la $8$ cm. Vei vedea cu ochii tăi cele două puncte de intersecție cu cealaltă latură — cele două triunghiuri din cazul ambiguu. Repetă cu deschiderea de $4$ cm și de $12$ cm și explică ce se schimbă.

3. Fișa de rezolvare. Fă-ți un tabel pe o jumătate de pagină, cu patru coloane — caz, date, primul pas, capcane — și completează-l pentru LLL, LUL, ULU și LLU. Lipește-l în caiet: e fișa pe care ți-ai dori-o în cap la teză.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce formule noi, ci metoda: după ce elevul a învățat separat teorema cosinusului și teorema sinusurilor, aici învață să aleagă între ele și să ducă o rezolvare până la capăt. Este o lecție de strategie, în care se verifică simultan achizițiile din cele două lecții precedente și capacitatea de a organiza un raționament în pași. Programa de specialitate (CS) cere explicit determinarea elementelor unui triunghi prin metode adecvate, inclusiv discuția numărului de soluții.

Întrebări bune de control: „Câte date îți trebuie și de ce cel puțin una trebuie să fie o latură?"; „Cum recunoști cazul LUL față de LLU?" (unghiul e sau nu între laturile date); „De ce e mai sigur cosinusul pentru aflarea unui unghi?" (semnul lui distinge ascuțit de obtuz); „Când are problema două soluții?" (numai cu $A$ ascuțit și $h<a<b$). Semne că a înțeles: își începe rezolvarea cu numele cazului, verifică existența triunghiului înainte de calcule și își controlează rezultatul cu suma unghiurilor și cu regula laturii mari.

La Bacalaureatul M1, subiectele cer de obicei un fragment din rezolvarea completă — „calculați $BC$", „calculați $\cos C$", „arătați că triunghiul este ascuțitunghic" — dar punctajul se ia numai dacă elevul alege corect teorema din prima. Recomandăm exersarea cu cronometru a exercițiilor 15 și 16, apoi trecerea la lecția despre aria triunghiului, unde aceleași date se transformă direct în suprafață.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „a rezolva un triunghi"? Înseamnă a determina toate cele șase elemente ale sale — cele trei laturi și cele trei unghiuri — pornind de la trei date, dintre care cel puțin una este o latură.

Cum știu dacă folosesc teorema sinusurilor sau teorema cosinusului? Verifică dacă printre date ai o latură împreună cu unghiul opus ei. Dacă da, pornește cu teorema sinusurilor (cazurile LUU, LLU). Dacă nu, pornește cu teorema cosinusului (cazurile LLL, LUL); la ULU afli întâi al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$.

De ce nu pot afla toate unghiurile doar cu teorema sinusurilor? Pentru că sinusul nu distinge un unghi de suplementarul lui: $\sin 81,79^{\circ }=\sin 98,21^{\circ }$. Cosinusul, în schimb, este negativ exact pentru unghiurile obtuze, deci le identifică fără dubiu.

Ce este cazul ambiguu și când apare? Apare la datele de tip LLU (două laturi și un unghi care nu e între ele), cu unghiul $A$ ascuțit: dacă $h=b\sin A$ satisface $h<a<b$, există două triunghiuri diferite cu aceleași date; dacă $a<h$, niciunul; dacă $a=h$ sau $a\ge b$, exact unul. Dacă unghiul $A$ este drept sau obtuz, ambiguitatea dispare: există un triunghi doar când $a>b$, și atunci e unic.

De ce trei unghiuri nu determină un triunghi? Pentru că triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri, dar laturi proporționale, nu egale. Unghiurile fixează forma, o latură fixează scara.

Cum verific rapid dacă rezolvarea mea e corectă? Trei controale: suma unghiurilor să fie $180^{\circ }$; cea mai mare latură să se opună celui mai mare unghi; fiecare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două. În plus, cel mult un unghi poate fi obtuz.

Ce fac dacă îmi iese $\sin B>1$? Nu ai greșit neapărat calculul: este semnalul matematic că triunghiul cu datele respective nu există. Scrie explicit această concluzie — la examen ea se punctează.

Se poate rezolva cazul LLU fără teorema sinusurilor? Da, și e chiar mai elegant: scrii teorema cosinusului ca ecuație de gradul al doilea în latura necunoscută, $c^2-(2b\cos A)c+(b^2-a^2)=0$. Numărul rădăcinilor pozitive îți dă direct numărul de triunghiuri, fără discuție separată.