Progresia geometrică și rația ei

Ia o foaie de hârtie și îndoaie-o în două. Ai acum $2$ straturi. Mai îndoaie o dată: $4$ straturi. Încă o dată: $8$. Numărul de straturi este $1,2,4,8,16,32,64,128,\dots$ — de fiecare dată dublul celui dinainte. Comparativ, dacă ai pune foi una peste alta, una câte una, ai avea $1,2,3,4,\dots$ straturi, adică adaosul constant pe care îl cunoști de la progresiile aritmetice. Prima situație este radical diferită de a doua: acolo se adună mereu același număr, aici se înmulțește mereu cu același număr.

Șirurile construite prin înmulțire repetată cu același factor se numesc progresii geometrice și sunt, pentru realitatea din jurul nostru, cel puțin la fel de importante ca cele aritmetice: prețul unui produs care se reduce la jumătate la fiecare val de solduri, valoarea unui obiect care își pierde o parte fixă din valoare în fiecare an, numărul de pătrățele dintr-un desen care se subdivizează. În această lecție construim noțiunea de la zero: ce este o progresie geometrică, ce este rația ei, cum o determini dintr-un șir de numere date și cum deosebești, într-o clipă, o progresie geometrică de una aritmetică.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția progresiei geometrice și să spui de ce se cer condițiile $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$.
• Vei ști să determini rația $q$ a unei progresii geometrice, împărțind un termen la cel dinaintea lui, și să verifici corect dacă un șir dat este progresie geometrică.
• Vei ști să scrii primii termeni ai unei progresii geometrice când cunoști $b_1$ și $q$, inclusiv pentru rații negative sau subunitare.
• Vei ști să citești din rație cum se comportă progresia: crescătoare, descrescătoare, constantă sau cu semne alternante.
• Vei ști să deosebești o progresie geometrică de una aritmetică și să recunoști șirurile care nu sunt nici una, nici alta.

Hai să descoperim împreună

1. De la „adaug" la „înmulțesc"

Să punem față în față două șiruri care încep la fel:

$$3,6,9,12,15,\dots \text{și}3,6,12,24,48,\dots$$

Primul se construiește adunând mereu $3$: este o progresie aritmetică cu rația $3$, exact tiparul din lecția Progresia aritmetică și rația ei. Al doilea se construiește înmulțind mereu cu $2$: $3\cdot 2=6$, $6\cdot 2=12$, $12\cdot 2=24$, $24\cdot 2=48$.

Diferența dintre cele două mecanisme se vede după puțini pași. La al zecelea termen, primul șir ajunge la $30$, al doilea la $1536$. Înmulțirea repetată „ia viteză" într-un fel în care adunarea repetată nu o face niciodată — de aici expresia din limbajul comun „creștere exponențială", pe care o auzi în știri.

2. Definiția

Definiție. Un șir de numere reale $(b_n{)}_{n\ge 1}$ se numește progresie geometrică dacă $b_1\ne 0$ și există un număr real $q\ne 0$, numit rația progresiei, astfel încât

$$b_{n+1}=b_n\cdot q\text{pentru orice }n\ge 1.$$

Cu alte cuvinte, fiecare termen se obține din cel dinaintea lui prin înmulțire cu același număr $q$. Termenii unei progresii geometrice se notează de obicei cu litera $b$ (pentru a-i deosebi de $a_n$, folosit la progresii aritmetice), iar faptul că un șir este progresie geometrică se scrie uneori $b_1,b_2,b_3,\cdots ÷$ progresie geometrică.

Câteva progresii geometrice, cu rația lor:

3. Cum determini rația

Din relația $b_{n+1}=b_n\cdot q$, împărțind cu $b_n$ (care este nenul, vom vedea imediat de ce), obținem instrumentul de lucru:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}\text{pentru orice }n\ge 1.$$

Așadar, rația este raportul dintre orice termen și cel dinaintea lui. Atenție la ordine: se împarte termenul mai nou la cel mai vechi, nu invers.

Ca să verifici dacă un șir dat este progresie geometrică, calculezi toate rapoartele posibile ale termenilor consecutivi și te uiți dacă ies egale. Un singur raport diferit strică totul:

• $2,6,18,54$: rapoartele sunt $\frac{6}{2}=3$, $\frac{18}{6}=3$, $\frac{54}{18}=3$. Toate egale, deci este progresie geometrică cu $q=3$.
• $2,6,18,54,160$: primele trei rapoarte sunt $3$, dar ultimul este $\frac{160}{54}=\frac{80}{27}\ne 3$. Nu este progresie geometrică.
• $2,4,6,8$: rapoartele sunt $2$, $\frac{3}{2}$, $\frac{4}{3}$ — diferite. Nu este progresie geometrică (dar este progresie aritmetică, cu rația $2$).

Greșeala clasică este să calculezi un singur raport și să tragi concluzia. Într-un șir de patru termeni ai de verificat trei rapoarte; într-unul de cinci termeni, patru rapoarte.

4. De ce $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$

Cele două condiții din definiție nu sunt capricii, ci exact ce trebuie ca noțiunea să funcționeze.

Dacă am accepta $b_1=0$, atunci toți termenii ar fi $0$ (fiindcă $0\cdot q=0$), iar rația nu ar mai putea fi determinată: raportul $\frac{0}{0}$ nu are sens, așa că orice număr ar „merge" drept rație. Șirul constant nul este exclus tocmai ca rația să fie unic determinată.

Dacă am accepta $q=0$, atunci după primul termen toți ceilalți ar fi $0$: $b_1,0,0,0,\dots$. Iar de la al doilea pas încolo nu am mai putea împărți, deci nu am mai putea recupera rația din șir.

Consecința practică, pe care e bine să o reții: într-o progresie geometrică toți termenii sunt nenuli. Într-adevăr, $b_2=b_{1}q\ne 0$ ca produs de două numere nenule, apoi $b_3=b_{2}q\ne 0$ și așa mai departe. De aceea împărțirea prin $b_n$ este mereu permisă.

5. Ce citim din rație

Rația nu e doar un număr de calcul: ea îți spune dintr-o privire cum arată progresia. Presupunem, pentru descrierea de mai jos, că $b_1>0$.

• $q>1$: progresia este strict crescătoare și crește tot mai repede. Exemplu: $2,10,50,250,1250$ (cu $q=5$).
• $q=1$: toți termenii sunt egali cu $b_1$; progresia este constantă. Exemplu: $7,7,7,7$.
• $0<q<1$: progresia este strict descrescătoare, dar rămâne mereu pozitivă, apropiindu-se de zero. Exemplu: $64,32,16,8,4$ (cu $q=\frac{1}{2}$).
• $q<0$: semnele termenilor alternează, plus, minus, plus, minus. Exemplu: $3,-6,12,-24,48$ (cu $q=-2$).

Dacă $b_1<0$, comportamentul se „oglindește": pentru $q>1$ progresia devine strict descrescătoare (termenii sunt negativi și tot mai mari în valoare absolută). Regula sigură, care merge în toate cazurile: semnul termenilor îl dă $b_1$ împreună cu paritatea puterilor lui $q$, iar „mărimea" o dă $|q|$ — dacă $|q|>1$ valorile absolute cresc, dacă $|q|<1$ ele scad.

6. Aritmetică sau geometrică: deosebirea

Cele două tipuri de progresii se construiesc după mecanisme diferite, iar deosebirea se face în două secunde dacă știi ce să compari.

Testul practic: calculează diferențele termenilor consecutivi. Dacă ies egale, e aritmetică. Dacă nu, calculează rapoartele. Dacă ies egale, e geometrică. Dacă nici diferențele, nici rapoartele nu sunt constante, șirul nu este nici progresie aritmetică, nici geometrică — cum e cazul șirului $1,2,4,7,11$ (diferențele $1,2,3,4$ nu sunt egale, rapoartele $2,2,\frac{7}{4}$ nici atât).

Există și un caz care le satisface pe amândouă: un șir constant cu termeni nenuli, de exemplu $5,5,5,5$, este progresie aritmetică cu $r=0$ și progresie geometrică cu $q=1$. Este singurul tip de șir cu această proprietate, iar demonstrația o vei face chiar tu, în exercițiul de la finalul lecției.

7. Cum construiești o progresie geometrică

Dacă știi primul termen și rația, progresia e complet determinată: scrii termenii înmulțind pas cu pas. Pentru $b_1=3$ și $q=-2$ obții $3,-6,12,-24,48,\dots$

Dacă știi doi termeni care nu sunt consecutivi, ai de rezolvat o ecuație. Fie, de exemplu, o progresie geometrică cu $b_1=5$ și $b_3=45$. Deoarece $b_2=b_{1}q$ și $b_3=b_{2}q=b_1{q}^2$, avem

$$5q^2=45⟺q^2=9⟺q=3\text{ sau }q=-3.$$

Amândouă valorile convin, iar problema are două soluții: progresia $5,15,45,\dots$ și progresia $5,-15,45,\dots$. Nu uita ramura negativă — este una dintre cele mai frecvente pierderi de puncte la teze. Doar dacă enunțul cere explicit termeni pozitivi (sau o progresie crescătoare) reții o singură valoare.

Același tip de calcul apare când ți se cere să „strecori" un termen între alți doi. Ce număr $x$ face ca $2,x,18$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice? Din egalitatea rapoartelor, $\frac{x}{2}=\frac{18}{x}$, deci $x^2=36$ și $x\in \{-6,6\}$: ambele funcționează, $2,6,18$ (cu $q=3$) și $2,-6,18$ (cu $q=-3$). Relația $x^2=2\cdot 18$ dintre trei termeni consecutivi nu e o întâmplare; ea este studiată pe larg în Caracterizarea progresiilor: relația dintre trei termeni consecutivi.

8. Progresii geometrice în jurul nostru

Merită să știi de pe acum unde vei întâlni acest tipar, ca să-l recunoști în enunțuri:

• Reduceri repetate de preț. Un produs de $800$ de lei al cărui preț se înjumătățește la fiecare val de solduri costă succesiv $800,400,200,100$ de lei — progresie geometrică cu $q=\frac{1}{2}$.
• Pierderea de valoare. Un obiect care își pierde în fiecare an aceeași fracțiune din valoare (nu aceeași sumă!) generează o progresie geometrică; despre factorul cu care se înmulțește vorbește lecția Creștere și descreștere procentuală repetată.
• Subdivizarea. O foaie îndoită în două de $n$ ori are $2^n$ straturi; o tablă de șah pe care numărul de boabe se dublează din pătrat în pătrat duce la numere uriașe.
• Muzica. Frecvențele notelor la distanță de o octavă se dublează: $220$, $440$, $880$ hertzi — o progresie geometrică cu $q=2$.

Pentru toate acestea îți va trebui o formulă care sare direct la termenul de rang $n$, fără să treci prin toți termenii dinainte. O construim în lecția următoare, Termenul general al unei progresii geometrice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Este sau nu progresie geometrică?

Stabiliți care dintre următoarele șiruri sunt progresii geometrice și precizați rația: a) $2,6,18,54$; b) $3,6,9,12$; c) $1,-2,4,-8$; d) $4,2,1,\frac{1}{2}$.

Rezolvare. a) Rapoartele: $3,3,3$ — progresie geometrică, $q=3$.

b) Rapoartele: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ — diferite, deci nu este progresie geometrică. Este însă progresie aritmetică, cu $r=3$.

c) Rapoartele: $\frac{-2}{1}=-2$, $\frac{4}{-2}=-2$, $\frac{-8}{4}=-2$ — progresie geometrică cu $q=-2$ (semnele alternează, așa cum ne așteptam la rație negativă).

d) Rapoartele: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$ — progresie geometrică cu $q=\frac{1}{2}$.

Exemplul 2 — Scrierea termenilor

Scrieți primii cinci termeni ai progresiei geometrice cu: a) $b_1=2$, $q=5$; b) $b_1=64$, $q=\frac{1}{2}$; c) $b_1=3$, $q=-2$.

Rezolvare. a) $2,10,50,250,1250$.

b) $64,32,16,8,4$.

c) $3,-6,12,-24,48$.

Observă comportamentele anunțate: la $q>1$ valorile explodează, la $0<q<1$ se topesc spre zero, la $q<0$ semnele alternează, iar valorile absolute cresc pentru că $|q|=2>1$.

Exemplul 3 — Rația din doi termeni consecutivi

Într-o progresie geometrică, $b_2=12$ și $b_3=36$. Aflați rația și primul termen.

Rezolvare. Termenii sunt consecutivi, deci rația se obține direct: $q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{36}{12}=3$.

Din $b_2=b_{1}q$ rezultă $b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{3}=4$. Progresia este $4,12,36,108,\dots$

Exemplul 4 — Doi termeni neconsecutivi

Într-o progresie geometrică, $b_1=4$ și $b_3=25$. Aflați $b_2$.

Rezolvare. Din $b_3=b_1{q}^2$ obținem $4q^2=25$, deci $q^2=\frac{25}{4}$ și $q=\pm \frac{5}{2}$.

Ambele valori sunt acceptabile, deci există două progresii care satisfac enunțul: pentru $q=\frac{5}{2}$ avem $b_2=10$ (progresia $4,10,25$), iar pentru $q=-\frac{5}{2}$ avem $b_2=-10$ (progresia $4,-10,25$). Verificarea rapoartelor confirmă ambele variante.

Exemplul 5 — Un șir dat prin formulă

Arătați că șirul definit prin $b_n=3^n$, $n\ge 1$, este o progresie geometrică și precizați primul termen și rația.

Rezolvare. Calculăm raportul a doi termeni consecutivi, pentru un $n$ oarecare:

$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{n+1}}{3^n}=3^{n+1-n}=3.$$

Raportul este constant și nenul, iar $b_1=3^1=3\ne 0$, deci șirul este progresie geometrică cu $b_1=3$ și $q=3$: termenii sunt $3,9,27,81,243,\dots$

Metoda merită reținută: pentru șiruri date prin formulă, calculezi raportul $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ și simplifici; dacă rezultatul nu depinde de $n$, ai o progresie geometrică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Fie $(b_n{)}_{n\ge 1}$ o progresie geometrică cu $b_1=4$ și $b_2=12$. a) Determinați rația progresiei. b) Calculați $b_3$ și $b_4$. c) Arătați că șirul $2,6,18,54,160$ nu este progresie geometrică.

Rezolvare. a) $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{4}=3$.

b) $b_3=b_2\cdot q=12\cdot 3=36$ și $b_4=b_3\cdot q=36\cdot 3=108$.

c) Primele trei rapoarte sunt egale cu $3$: $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$. Ultimul raport însă este $\frac{160}{54}=\frac{80}{27}$, diferit de $3$ (dacă șirul ar fi fost progresie geometrică, al cincilea termen ar fi trebuit să fie $54\cdot 3=162$). Prin urmare șirul nu este progresie geometrică. Este suficient un singur raport diferit pentru a respinge afirmația.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Când verifici dacă un șir este progresie geometrică, calculează toate rapoartele termenilor consecutivi, nu doar primul.

1. Stabilește care dintre șiruri este progresie geometrică și precizează rația: a) $5,10,20,40$; b) $5,10,15,20$; c) $1,3,9,27$; d) $2,-6,18,-54$.

2. Scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=2$ și $q=5$.

3. Scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=64$ și $q=\frac{1}{2}$.

4. Scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=3$ și $q=-2$.

5. Într-o progresie geometrică primii trei termeni sunt $7,21,63$. Află rația și următorii doi termeni.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul $5,5,5,5,\dots$ este progresie geometrică."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul $0,0,0,0,\dots$ este progresie geometrică cu rația $1$."

8. Determină numerele reale $x$ pentru care $4,x,25$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

9. Într-o progresie geometrică, $b_1=5$ și $b_3=45$. Află rația și scrie primii trei termeni în toate cazurile posibile.

10. Arată că șirul definit prin $b_n=3^n$ este progresie geometrică; precizează $b_1$ și $q$.

11. Arată că șirul definit prin $b_n=7\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ este progresie geometrică și scrie primii patru termeni.

12. (Problemă aplicată.) Prețul unei jachete este $800$ de lei și se înjumătățește la fiecare val de solduri. Scrie prețurile după primele trei valuri, arată că formează o progresie geometrică și precizează rația.

13. (Problemă aplicată.) O foaie de hârtie îndoită în două are $2$ straturi, îndoită din nou are $4$ straturi și așa mai departe. Arată că numărul de straturi formează o progresie geometrică și calculează, prin înmulțiri succesive, câte straturi are foaia după $7$ îndoituri.

14. Se dau șirurile $A:3,6,9,12$ și $B:3,6,12,24$. Precizează, cu justificare, care este progresie aritmetică și care este progresie geometrică, indicând rația fiecăreia.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Fie $(b_n{)}_{n\ge 1}$ o progresie geometrică cu $b_2=12$ și $b_3=36$. a) Determinați rația și primul termen. b) Calculați $b_4$.

16. Arată că șirul $1,2,4,7,11$ nu este nici progresie aritmetică, nici progresie geometrică.

17. Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi se știe că $b_1=192$ și $q=\frac{1}{2}$. Scrie primii șapte termeni și precizează primul termen mai mic decât $10$.

18. (Provocare.) Fie $(c_n{)}_{n\ge 1}$ un șir cu termeni nenuli care este în același timp progresie aritmetică (de rație $r$) și progresie geometrică (de rație $q$). Arată că $q=1$ și $r=0$, adică șirul este constant.

Răspunsuri și explicații

1. a) Rapoartele $2,2,2$: progresie geometrică, $q=2$. b) Rapoartele $2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$: nu este progresie geometrică (este aritmetică, $r=5$). c) Rapoartele $3,3,3$: progresie geometrică, $q=3$. d) Rapoartele $-3,-3,-3$: progresie geometrică, $q=-3$.

2. $2,10,50,250,1250$ (fiecare termen se înmulțește cu $5$).

3. $64,32,16,8,4$ (înmulțire cu $\frac{1}{2}$, adică împărțire la $2$).

4. $3,-6,12,-24,48$ (semnele alternează, valorile absolute se dublează).

5. $q=\frac{21}{7}=3$ (și $\frac{63}{21}=3$ confirmă). Următorii termeni: $63\cdot 3=189$ și $189\cdot 3=567$.

6. Adevărat. Rapoartele termenilor consecutivi sunt toate egale cu $1$, primul termen $5$ este nenul și rația $q=1$ este nenulă, deci definiția e îndeplinită. Șirul este, în același timp, și progresie aritmetică, cu rația $0$.

7. Fals. Definiția cere $b_1\ne 0$, iar aici $b_1=0$. Motivul condiției: dacă toți termenii sunt nuli, raportul $\frac{0}{0}$ nu are sens, deci rația nu ar fi unic determinată — orice număr ar putea fi considerat rație.

8. Din egalitatea rapoartelor $\frac{x}{4}=\frac{25}{x}$ rezultă $x^2=100$, deci $x=10$ sau $x=-10$. Ambele convin: $4,10,25$ (cu $q=\frac{5}{2}$) și $4,-10,25$ (cu $q=-\frac{5}{2}$).

9. Din $b_3=b_1{q}^2$: $5q^2=45$, deci $q^2=9$ și $q=\pm 3$. Pentru $q=3$: $5,15,45$; pentru $q=-3$: $5,-15,45$. Enunțul nu impune semnul, deci ambele variante sunt corecte.

10. $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{n+1}}{3^n}=3$, constant și nenul, iar $b_1=3\ne 0$: progresie geometrică cu $b_1=3$ și $q=3$.

11. $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{7\cdot (1/2{)}^n}{7\cdot (1/2{)}^{n-1}}=\frac{1}{2}$, constant, iar $b_1=7\ne 0$: progresie geometrică cu $q=\frac{1}{2}$. Primii patru termeni: $7,\frac{7}{2},\frac{7}{4},\frac{7}{8}$.

12. Prețurile sunt $800,400,200,100$ de lei. Rapoartele sunt toate egale cu $\frac{1}{2}$, deci este progresie geometrică cu $q=\frac{1}{2}$ (o reducere de $50\%$ înseamnă înmulțire cu $\frac{1}{2}$).

13. Numerele de straturi sunt $1,2,4,8,\dots$, fiecare îndoitură dublând numărul precedent: raportul este constant $2$, deci progresie geometrică cu $b_1=1$ și $q=2$. După $7$ îndoituri: $1\to 2\to 4\to 8\to 16\to 32\to 64\to 128$ straturi.

14. $A$ are diferențele $3,3,3$ egale, deci este progresie aritmetică cu $r=3$ (rapoartele $2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$ nu sunt egale). $B$ are rapoartele $2,2,2$ egale, deci este progresie geometrică cu $q=2$ (diferențele $3,6,12$ nu sunt egale).

15. a) $q=\frac{36}{12}=3$, iar din $b_2=b_{1}q$ rezultă $b_1=\frac{12}{3}=4$. b) $b_4=b_3\cdot q=36\cdot 3=108$.

16. Diferențele sunt $1,2,3,4$ — nu sunt egale, deci nu e progresie aritmetică. Rapoartele sunt $2,2,\frac{7}{4}$ — nu sunt toate egale, deci nu e progresie geometrică. (Șirul are totuși o regulă: diferențele cresc cu $1$.)

17. $192,96,48,24,12,6,3$. Primul termen mai mic decât $10$ este $b_6=6$.

18. Fie $c_1=c\ne 0$. Din proprietatea de progresie geometrică, $c_2=cq$ și $c_3=c{q}^2$. Din proprietatea de progresie aritmetică, diferențele consecutive sunt egale: $c_2-c_1=c_3-c_2$, adică $cq-c=c{q}^2-cq$. Împărțim prin $c\ne 0$: $q-1=q^2-q$, deci $q^2-2q+1=0$, adică $(q-1{)}^2=0$ și $q=1$. Atunci toți termenii sunt egali cu $c$, iar rația aritmetică este $r=c-c=0$: șirul este constant. Reciproc, orice șir constant cu termeni nenuli este și progresie aritmetică ($r=0$), și progresie geometrică ($q=1$).

De reținut

• Un șir $(b_n{)}_{n\ge 1}$ este progresie geometrică dacă $b_1\ne 0$, $q\ne 0$ și $b_{n+1}=b_n\cdot q$ pentru orice $n\ge 1$: fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu aceeași rație $q$.
• Rația se calculează ca raport: $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$ — termenul mai nou împărțit la cel dinaintea lui. Pentru a decide dacă un șir este progresie geometrică, verifici că toate rapoartele termenilor consecutivi sunt egale.
• Într-o progresie geometrică toți termenii sunt nenuli, ceea ce face împărțirea mereu posibilă; de aceea se cer condițiile $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$.
• Rația spune totul despre comportament: $|q|>1$ înseamnă valori absolute în creștere, $|q|<1$ valori care se apropie de zero, $q<0$ semne alternante, $q=1$ șir constant.
• Aritmetică versus geometrică: la prima e constantă diferența a doi termeni consecutivi, la a doua e constant raportul lor. Singurele șiruri care sunt și una, și alta sunt cele constante cu termeni nenuli.

Greșeli frecvente

• Verificarea unui singur raport. Din $\frac{b_2}{b_1}=3$ nu rezultă că șirul e progresie geometrică; trebuie ca toate rapoartele consecutive să fie egale. Exemplul $2,6,18,54,160$ arată exact acest lucru.
• Împărțirea în ordine greșită. Rația este $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, nu $\frac{b_n}{b_{n+1}}$. Inversarea ordinii dă rația inversă ($\frac{1}{2}$ în loc de $2$) și strică toate calculele ulterioare.
• Pierderea soluției negative. Din $q^2=9$ rezultă $q=3$ sau $q=-3$; ambele dau progresii valabile, dacă enunțul nu impune semnul termenilor. La fel, din $x^2=36$ rezultă $x=\pm 6$.
• Confuzia dintre rație și adaos. „Se dublează în fiecare an" înseamnă $q=2$, nu $r=2$; „crește cu $2$ în fiecare an" înseamnă $r=2$. Citește cu atenție dacă se adună sau se înmulțește.
• Acceptarea termenului zero. Un șir precum $3,0,0,0$ nu este progresie geometrică, fiindcă ar cere $q=0$, exclus prin definiție; într-o progresie geometrică niciun termen nu poate fi nul.

Aplică acasă

1. Foaia și dublarea. Îndoaie o foaie A4 de câte ori poți (practic reușești $6$–$7$ îndoituri) și numără straturile după fiecare îndoitură. Notează șirul obținut, verifică prin rapoarte că este progresie geometrică și calculează, prin înmulțiri succesive, câte straturi ar avea foaia după $10$ îndoituri.

2. Vânătoarea de progresii. Caută în casă sau într-un magazin online trei serii de numere: prețuri la reduceri succesive, capacități de memorie ($8$, $16$, $32$, $64$ GB), doze sau ambalaje. Pentru fiecare serie, calculează diferențele și rapoartele și clasific-o: progresie aritmetică, progresie geometrică sau niciuna.

3. Octavele. Frecvența notei la $220$ hertzi se dublează la fiecare octavă superioară. Scrie primele cinci frecvențe ale acestei progresii geometrice, apoi scrie și cinci frecvențe în jos (octave inferioare), împărțind la $2$. Ce rație are șirul citit de la dreapta la stânga?

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua mare familie de șiruri din programa clasei a IX-a. Ideea centrală este trecerea de la mecanismul aditiv (progresie aritmetică) la cel multiplicativ (progresie geometrică) și, o dată cu ea, deprinderea de a testa un șir prin rapoarte, nu prin diferențe. Condițiile $b_1\ne 0$ și $q\ne 0$ nu sunt formalism: ele garantează că rația este unic determinată și că împărțirea este mereu posibilă — merită discutate, pentru că apar în definiția din manual și în multe subiecte de examen.

Ce verificați în caietul elevului: (1) calculează toate rapoartele înainte de a decide, nu doar primul; (2) împarte termenul mai nou la cel mai vechi; (3) la ecuațiile de tipul $q^2=9$ păstrează ambele soluții, dacă enunțul nu restrânge semnul; (4) știe să scrie termenii pentru rații negative sau subunitare; (5) deosebește „crește cu $3$" de „se triplează". Întrebări bune de control: „De ce nu poate un termen al unei progresii geometrice să fie zero?", „Cum arată progresia dacă rația e negativă?", „Ce este constant la o progresie geometrică și ce este constant la una aritmetică?".

La teze și la Bacalaureat, aceste noțiuni apar în general la subiectele scurte: se dă un termen și rația, se cere alt termen; sau se dau trei numere și se cere parametrul care le face termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Semne că elevul a înțeles: poate construi singur exemple cu rație negativă și subunitară, explică de ce șirul constant nenul este de ambele feluri și nu confundă niciodată adaosul cu factorul de înmulțire.

Întrebări frecvente

Ce este o progresie geometrică? Este un șir de numere în care fiecare termen se obține din cel dinaintea lui prin înmulțire cu același număr nenul, numit rație. Formal: $b_1\ne 0$, $q\ne 0$ și $b_{n+1}=b_n\cdot q$ pentru orice $n\ge 1$. Exemplu: $3,6,12,24$, cu rația $2$.

Cum aflu rația unei progresii geometrice? Împarți orice termen la cel dinaintea lui: $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$. Dacă șirul e dat prin mai mulți termeni, calculează toate rapoartele consecutive; ele trebuie să fie egale, altfel șirul nu este progresie geometrică.

Care este diferența dintre progresia aritmetică și cea geometrică? La progresia aritmetică este constantă diferența a doi termeni consecutivi (se adună mereu aceeași valoare), iar la cea geometrică este constant raportul lor (se înmulțește mereu cu aceeași valoare). Practic: calculezi întâi diferențele, apoi, dacă nu sunt egale, rapoartele.

Poate rația unei progresii geometrice să fie negativă? Da. Dacă rația este negativă, semnele termenilor alternează: de exemplu $3,-6,12,-24$ are rația $-2$. Singura valoare interzisă pentru rație este $0$, deoarece atunci toți termenii de după primul ar fi nuli și rația nu s-ar mai putea recupera prin împărțire.

De ce nu poate primul termen să fie zero? Pentru că atunci toți termenii ar fi zero, iar rația nu ar mai fi unic determinată: raportul $\frac{0}{0}$ nu are sens, deci orice număr ar putea fi „rație". Condiția $b_1\ne 0$ face ca toți termenii să fie nenuli și rația bine definită.

Cum verific dacă un șir dat printr-o formulă este progresie geometrică? Calculezi raportul $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ și îl simplifici. Dacă rezultatul este un număr care nu depinde de $n$ (și primul termen e nenul), șirul este progresie geometrică, iar acel număr este rația. De exemplu, pentru $b_n=3^n$ raportul este mereu $3$.

Un șir poate fi și progresie aritmetică, și progresie geometrică? Da, dar numai dacă este constant și cu termeni nenuli, de exemplu $5,5,5,5$: are rația aritmetică $0$ și rația geometrică $1$. Demonstrația pornește din egalitatea diferențelor și conduce la $(q-1{)}^2=0$, deci $q=1$.