Ecuații și inecuații rezolvate grafic

Doi furnizori de internet îți pun pe masă două oferte. Primul cere $60$ de lei abonament și $0, 20$ lei pentru fiecare gigabyte consumat peste pachet. Al doilea cere doar $20$ de lei abonament, dar $0, 60$ lei pe gigabyte. Care e mai bună? Întrebarea nu are un răspuns unic — depinde cât consumi. Dacă desenezi cele două costuri pe același sistem de axe, obții două drepte care se taie într-un punct. La stânga punctului câștigă o ofertă, la dreapta cealaltă, iar exact în punctul de întâlnire prețurile sunt egale. Ai rezolvat, fără să scrii vreo ecuație, atât o ecuație, cât și două inecuații.

Aceasta este ideea lecției: multe întrebări despre ecuații și inecuații se traduc într-o singură întrebare geometrică — unde se află un grafic față de o dreaptă sau față de alt grafic? Metoda grafică nu înlocuiește calculul algebric, dar îi dă sens: îți arată câte soluții există, unde sunt și ce înseamnă ele în situația concretă. Vom lucra aproape numai cu funcții afine, ale căror grafice sunt drepte — le-ai studiat în lecțiile despre funcția afină și semnul funcției afine — pentru că acolo se vede cel mai limpede mecanismul.

Ce vei învăța

Vei ști să citești soluțiile ecuației $f (x) = m$ ca abscise ale punctelor în care graficul taie dreapta orizontală $y = m$ .
Vei ști să identifici zerourile unei funcții ca abscise ale punctelor de intersecție cu axa $O x$ .
Vei ști să rezolvi grafic ecuația $f (x) = g (x)$ , citind abscisa punctului comun celor două grafice.
Vei ști să rezolvi grafic inecuațiile $f (x) > m$ , $f (x) \leq m$ , $f (x) > g (x)$ și $f (x) \leq g (x)$ , privind cine este deasupra.
Vei ști să discuți numărul de soluții după poziția relativă a graficelor: secante, paralele sau suprapuse.
Vei ști să transformi un răspuns grafic într-o concluzie despre o situație reală (oferte, tarife, curse, rezervoare).

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „a rezolva grafic"

Pornim de la o observație simplă. Graficul unei funcții $f : D \to R$ este mulțimea punctelor de coordonate $(x, f (x))$ , cu $x \in D$ . Prin urmare, a spune că punctul $(a, b)$ este pe graficul lui $f$ înseamnă exact a spune că $f (a) = b$ . Egalitatea algebrică și apartenența geometrică sunt același lucru scris în două limbi.

De aici pornește tot. O ecuație de forma „ $f (x) = ceva$ " cere valorile lui $x$ pentru care ordonata punctului de pe grafic devine egală cu acel „ceva". Dacă reușim să reprezentăm „ceva"-ul tot ca un grafic, întrebarea devine: unde se întâlnesc cele două desene? Iar dacă înlocuim semnul $=$ cu $>$ sau $<$ , întrebarea devine: pe ce porțiune un desen se află deasupra celuilalt?

Reține de pe acum regula de aur a metodei: soluțiile se citesc pe axa $O x$ , adică sunt abscise. Ordonata punctului de intersecție îți spune ce valoare ia funcția acolo, nu care e soluția. Confuzia dintre abscisă și ordonată este greșeala numărul unu la acest capitol.

2. Ecuația $f (x) = m$ : tăiem graficul cu o orizontală

Fie $m$ un număr real fixat. Mulțimea punctelor din plan cu ordonata $m$ este dreapta orizontală de ecuație $y = m$ . Atunci:

$f (a) = m ⟺ punctul (a, m) este ș i pe graficul lui f, ș i pe dreapta y = m .$

Metoda. Trasezi graficul lui $f$ , trasezi orizontala $y = m$ , marchezi punctele de intersecție și citești abscisele lor. Acele abscise sunt exact soluțiile ecuației $f (x) = m$ . Numărul soluțiilor este numărul punctelor de intersecție.

Exemplu. $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ , iar $m = 5$ . Graficul este dreapta care trece prin $(0, - 3)$ și $(2, 1)$ . Orizontala $y = 5$ o taie într-un singur punct, de coordonate $(4, 5)$ . Soluția este $x = 4$ — și, într-adevăr, verificarea algebrică dă $2 \cdot 4 - 3 = 5$ . Fiind vorba de o dreaptă oblică, orice orizontală o taie exact o dată: ecuația $f (x) = m$ are soluție unică pentru orice $m$ , ceea ce se potrivește perfect cu ce știi despre monotonia strictă a funcției afine cu $a \neq = 0$ din lecția despre monotonia funcției afine.

3. Cazul special $f (x) = 0$ : zerourile funcției

Când $m = 0$ , orizontala $y = 0$ este chiar axa $O x$ . Obținem cel mai folosit caz particular:

Soluțiile ecuației $f (x) = 0$ sunt abscisele punctelor în care graficul taie axa $O x$ . Ele se numesc zerourile funcției.

Pentru funcția afină $f (x) = a x + b$ cu $a \neq = 0$ , există un singur zero, $x_{0} = - \frac{b}{a}$ , iar graficul taie axa $O x$ în punctul $(- \frac{b}{a}, 0)$ . La $f (x) = - 3 x + 6$ zeroul este $x_{0} = 2$ , deci dreapta trece prin $(2, 0)$ .

Zeroul e un reper de aur: el împarte axa în două zone în care funcția are semne diferite. Această legătură dintre zerouri și semn e coloana vertebrală a lecției despre semnul funcției afine și o vom folosi din plin la inecuații.

4. Ecuația $f (x) = g (x)$ : unde se întâlnesc două grafice

Acum înlocuim orizontala cu graficul unei a doua funcții. Raționamentul rămâne identic:

$f (a) = g (a) ⟺ punctul (a, f (a)) apar ț ine ambelor grafice.$

Metoda. Trasezi ambele grafice pe același reper, marchezi punctele comune, citești abscisele. Ordonata comună îți spune valoarea pe care o iau, egal, cele două funcții acolo — informație prețioasă în probleme practice (prețul la care ofertele se echivalează, momentul întâlnirii a două mobile).

Exemplu. $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = - x + 3$ . Dreapta lui $f$ urcă, dreapta lui $g$ coboară, deci se taie o singură dată. Punctul comun este $(2, 1)$ : verificăm $f (2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ și $g (2) = - 2 + 3 = 1$ . ✓ Soluția ecuației este $x = 2$ , iar valoarea comună este $1$ .

Observă că același punct rezolvă și sistemul format din ecuațiile celor două drepte — exact ideea din lecția despre intersecția a două drepte. Ecuația $f (x) = g (x)$ și sistemul ${y = f (x) y = g (x)$ sunt două fețe ale aceleiași monede: prima cere abscisa, al doilea cere ambele coordonate.

5. Inecuația $f (x) > m$ : cine e deasupra orizontalei

Trecem de la egal la mai mare. Punctul $(a, f (a))$ se află deasupra dreptei $y = m$ exact atunci când $f (a) > m$ . Deci:

Soluțiile inecuației $f (x) > m$ sunt abscisele punctelor de pe grafic aflate strict deasupra orizontalei $y = m$ .

Practic, procedezi în trei pași: (1) rezolvi întâi ecuația $f (x) = m$ și găsești punctele de intersecție; (2) privești graficul de o parte și de alta a acestor puncte și decizi unde e deasupra; (3) proiectezi pe axa $O x$ porțiunea aleasă și scrii intervalul obținut.

Exemplu. $f (x) = 2 x - 3$ și $m = 5$ . Am văzut că intersecția e în $x = 4$ . Fiind strict crescătoare, dreapta e sub orizontală la stânga lui $4$ și deasupra la dreapta lui $4$ . Deci $f (x) > 5 ⟺ x \in (4, \infty)$ , iar $f (x) \leq 5 ⟺ x \in (- \infty, 4]$ .

Atenție la capete: la $>$ și $<$ punctul de intersecție se exclude (interval deschis), la $\geq$ și $\leq$ se include (interval închis). E singura diferență dintre cele patru variante, dar la corectare cântărește.

Al doilea exemplu, cu funcție descrescătoare. $f (x) = - 3 x + 6$ . Zeroul e $x_{0} = 2$ ; funcția coboară, deci graficul e deasupra axei la stânga lui $2$ : $f (x) \geq 0 ⟺ x \in (- \infty, 2]$ . Pentru $f (x) < - 3$ : rezolvăm întâi $- 3 x + 6 = - 3$ , adică $x = 3$ ; dreapta coboară, deci e sub orizontala $y = - 3$ la dreapta lui $3$ , așadar $x \in (3, \infty)$ .

6. Inecuația $f (x) > g (x)$ : comparăm două grafice

Regula se transferă cuvânt cu cuvânt, doar că „deasupra orizontalei" devine „deasupra celuilalt grafic":

Soluțiile inecuației $f (x) > g (x)$ sunt abscisele punctelor în care graficul lui $f$ se află strict deasupra graficului lui $g$ .

Exemplu. Cu $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = - x + 3$ , punctul de întâlnire e $(2, 1)$ . La dreapta lui $2$ , dreapta care urcă (a lui $f$ ) trece deasupra celei care coboară. Deci $f (x) > g (x) ⟺ x \in (2, \infty)$ și $f (x) < g (x) ⟺ x \in (- \infty, 2)$ .

Verificare rapidă, obligatorie la fiecare exercițiu: alegem un martor în fiecare interval. Pentru $x = 3$ : $f (3) = 3$ , $g (3) = 0$ , deci într-adevăr $f > g$ . ✓ Pentru $x = 0$ : $f (0) = - 3$ , $g (0) = 3$ , deci $f < g$ . ✓ Un martor în fiecare zonă costă zece secunde și te scapă de răspunsuri inversate.

Există și o punte utilă spre metoda algebrică: $f (x) > g (x) ⟺ f (x) - g (x) > 0$ , adică inecuația se reduce la studiul semnului funcției diferență $h = f - g$ . În exemplul nostru, $h (x) = (2 x - 3) - (- x + 3) = 3 x - 6$ , cu zeroul $2$ și semnul plus la dreapta lui $2$ — exact ce citisem pe desen.

7. Câte soluții? Discuția după poziția graficelor

Pentru două drepte, poziția relativă decide totul. Fie $f (x) = a_{1} x + b_{1}$ și $g (x) = a_{2} x + b_{2}$ :

Poziția graficelor	Condiție	$f (x) = g (x)$	$f (x) > g (x)$
secante	$a_{1} \neq = a_{2}$	o soluție unică	o semidreaptă (interval nemărginit la un capăt)
paralele distincte	$a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} \neq = b_{2}$	nicio soluție	fie $\emptyset$ , fie tot $R$
suprapuse	$a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} = b_{2}$	orice $x$ real	$\emptyset$ (sunt egale peste tot)

Exemplu pe paralele. $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = 2 x - 4$ . Pantele sunt egale, ordonatele la origine diferite: graficele nu se ating niciodată, deci $f (x) = g (x)$ nu are soluții. Cum $f (x) - g (x) = 5 > 0$ pentru orice $x$ , dreapta lui $f$ e mereu deasupra: $f (x) > g (x)$ are ca mulțime a soluțiilor tot $R$ .

Aceeași discuție, purtată pentru ecuația $f (x) = m$ cu $f$ afină: dacă $a \neq = 0$ , orice orizontală taie graficul o singură dată, deci ecuația are întotdeauna exact o soluție. Dacă însă $a = 0$ , graficul este el însuși orizontal, $y = b$ : ecuația $f (x) = m$ nu are nicio soluție când $m \neq = b$ și are o infinitate (toți $x$ reali) când $m = b$ . Constantele sunt cazul-capcană al capitolului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație și zerou pe aceeași dreaptă

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Rezolvați grafic ecuațiile $f (x) = 5$ și $f (x) = 0$ .

Rezolvare. Reprezentăm dreapta prin două puncte convenabile: $(0, - 3)$ și $(2, 1)$ .

Pentru $f (x) = 5$ trasăm orizontala $y = 5$ ; ea taie dreapta în punctul $(4, 5)$ , deci soluția este $x = 4$ . Control algebric: $2 \cdot 4 - 3 = 5$ . ✓

Pentru $f (x) = 0$ folosim chiar axa $O x$ ; intersecția este în $(\frac{3}{2}, 0)$ , deci zeroul funcției este $x = \frac{3}{2}$ . Control: $2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 0$ . ✓

Observă că, dreapta fiind oblică, fiecare orizontală dă exact un punct — de aceea fiecare dintre aceste ecuații are soluție unică.

Exemplul 2 — O inecuație cu funcție descrescătoare

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 7$ . Rezolvați grafic inecuația $f (x) \leq 1$ .

Rezolvare. Rezolvăm mai întâi ecuația asociată: $- 2 x + 7 = 1 \Rightarrow - 2 x = - 6 \Rightarrow x = 3$ . Punctul de intersecție cu orizontala $y = 1$ este $(3, 1)$ .

Panta este $- 2 < 0$ , deci funcția este strict descrescătoare: graficul coboară de la stânga la dreapta. Prin urmare, la dreapta lui $3$ dreapta se află sub orizontală. Cum inegalitatea e nestrictă, includem capătul:

$f (x) \leq 1 ⟺ x \in [3, \infty) .$

Martor: $x = 4$ dă $f (4) = - 1 \leq 1$ ✓; $x = 0$ dă $f (0) = 7 > 1$ , deci $0$ nu e soluție ✓.

Exemplul 3 — Două grafice comparate

Fie $f (x) = x + 3$ și $g (x) = 2 x - 1$ , definite pe $R$ . a) Rezolvați grafic $f (x) = g (x)$ . b) Rezolvați $f (x) > g (x)$ .

Rezolvare. a) Pantele sunt $1$ și $2$ , diferite, deci dreptele sunt secante și avem exact un punct comun. Din $x + 3 = 2 x - 1$ obținem $x = 4$ , iar valoarea comună este $f (4) = 7 = g (4)$ . Punctul de intersecție este $(4, 7)$ .

b) La dreapta lui $4$ , dreapta cu panta mai mare (a lui $g$ ) urcă mai repede și trece deasupra; la stânga lui $4$ este dedesubt. Deci graficul lui $f$ este deasupra pe $(- \infty, 4)$ :

$f (x) > g (x) ⟺ x \in (- \infty, 4) .$

Verificare cu martor: $x = 0$ dă $f (0) = 3 > - 1 = g (0)$ ✓; $x = 5$ dă $f (5) = 8 < 9 = g (5)$ ✓.

Exemplul 4 — Citire dintr-un grafic dat

Pe un grafic sunt trasate dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ . Se știe că $d_{1}$ trece prin $(0, 5)$ și $(5, 0)$ , iar $d_{2}$ trece prin $(0, - 1)$ și $(2, 1)$ . Ele se intersectează în punctul $(3, 2)$ . Citiți: a) soluția ecuației $f (x) = g (x)$ ; b) mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) < g (x)$ , unde $f$ are graficul $d_{1}$ și $g$ are graficul $d_{2}$ .

Rezolvare. a) Abscisa punctului comun este $3$ , deci ecuația are soluția unică $x = 3$ . (Ordonata $2$ nu e soluția, ci valoarea comună a celor două funcții în $3$ .)

b) $d_{1}$ coboară (de la $(0, 5)$ la $(5, 0)$ ), $d_{2}$ urcă (de la $(0, - 1)$ la $(2, 1)$ ). Deci, după punctul de întâlnire, $d_{2}$ rămâne deasupra: $f (x) < g (x) ⟺ x \in (3, \infty)$ .

Control: din datele grafice deducem $f (x) = - x + 5$ și $g (x) = x - 1$ ; într-adevăr $f (3) = g (3) = 2$ ✓, iar la $x = 4$ avem $f (4) = 1 < 3 = g (4)$ ✓.

Exemplul 5 — Discuție după parametru

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 3$ (funcție constantă). Discutați, după $m \in R$ , numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ și rezolvați inecuația $f (x) > m$ .

Rezolvare. Graficul lui $f$ este dreapta orizontală $y = 3$ . Comparăm cu orizontala $y = m$ :

dacă $m \neq = 3$ , cele două orizontale sunt paralele distincte, deci nicio soluție;
dacă $m = 3$ , ele coincid, deci orice număr real este soluție.

Pentru inecuație: dacă $m < 3$ , graficul lui $f$ e mereu deasupra, deci mulțimea soluțiilor este $R$ ; dacă $m \geq 3$ , nu e niciodată strict deasupra, deci mulțimea soluțiilor este $\emptyset$ .

Cazul acesta arată de ce condiția $a \neq = 0$ apare mereu în enunțurile despre funcția afină: fără ea, „soluție unică" nu mai este garantată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = - x + 3$ . a) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor. b) Rezolvați inecuația $f (x) \geq g (x)$ . c) Determinați valorile lui $x$ pentru care graficul lui $f$ se află sub axa $O x$ , iar graficul lui $g$ deasupra ei.

Rezolvare. a) Din $2 x - 3 = - x + 3$ rezultă $3 x = 6$ , deci $x = 2$ și valoarea comună $f (2) = 1$ . Punctul este $A (2, 1)$ .

b) Diferența $h (x) = f (x) - g (x) = 3 x - 6$ are zeroul $2$ și panta pozitivă, deci $h (x) \geq 0 ⟺ x \geq 2$ . Așadar $f (x) \geq g (x) ⟺ x \in [2, \infty)$ , ceea ce se citește pe desen ca „dreapta lui $f$ este deasupra începând din punctul $A$ ".

c) „Graficul lui $f$ sub $O x$ " înseamnă $f (x) < 0$ , adică $2 x - 3 < 0$ , deci $x < \frac{3}{2}$ . „Graficul lui $g$ deasupra $O x$ " înseamnă $g (x) > 0$ , adică $- x + 3 > 0$ , deci $x < 3$ . Ambele condiții simultan dau intersecția intervalelor:

$x \in (- \infty, \frac{3}{2}) \cap (- \infty, 3) = (- \infty, \frac{3}{2}) .$

Martor: $x = 1$ dă $f (1) = - 1 < 0$ ✓ și $g (1) = 2 > 0$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula casei: la fiecare inecuație faci întâi desenul (sau schița lui), apoi scrii intervalul și, la final, verifici cu un martor din interior.

1. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x - 4$ . Reprezintă grafic funcția și citește soluția ecuației $f (x) = 0$ . Verifică algebric.

2. Pentru $f (x) = 3 x + 1$ , rezolvă grafic ecuația $f (x) = 7$ . Care sunt coordonatele punctului de intersecție cu orizontala $y = 7$ ?

3. Fie $f (x) = - x + 5$ . Rezolvă grafic ecuația $f (x) = 2$ și inecuația $f (x) > 2$ .

4. Fie $f (x) = 2 x - 6$ . Determină grafic mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) \geq 0$ și scrie-o ca interval.

5. Fie $f (x) = - 2 x + 4$ . Rezolvă inecuația $f (x) < 0$ și interpretează geometric rezultatul (unde se află graficul față de axa $O x$ ).

6. Fie $f (x) = x + 2$ și $g (x) = - 2 x + 8$ . Determină punctul de intersecție a graficelor și rezolvă $f (x) = g (x)$ .

7. Cu funcțiile de la exercițiul 6, rezolvă inecuația $f (x) \leq g (x)$ și verifică rezultatul cu un martor.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Soluția ecuației $f (x) = m$ este ordonata punctului în care graficul lui $f$ taie dreapta $y = m$ ."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă graficele a două funcții afine nu se intersectează, atunci ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluții."

10. Fie $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = 2 x - 4$ . Câte soluții are ecuația $f (x) = g (x)$ ? Dar inecuația $f (x) > g (x)$ — care este mulțimea soluțiilor ei?

11. Graficul unei funcții afine $f$ trece prin punctele $(0, - 2)$ și $(4, 6)$ . Determină expresia lui $f$ și apoi rezolvă grafic $f (x) = 4$ .

12. Fie $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ . Rezolvă inecuația $- 1 \leq f (x) \leq 2$ , citind pe desen porțiunea de dreaptă cuprinsă între cele două orizontale.

13. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $500$ de litri și se golește cu $20$ de litri pe minut, deci volumul după $t$ minute este $V (t) = 500 - 20 t$ . a) După câte minute se golește complet? b) Pentru ce valori ale lui $t$ mai sunt în rezervor cel puțin $100$ de litri?

14. (Problemă aplicată.) Doi furnizori de internet: $A (x) = 60 + 0, 2 x$ lei și $B (x) = 20 + 0, 6 x$ lei, unde $x$ este numărul de gigabytes suplimentari. a) La ce consum costă la fel? b) Pentru ce consum este mai ieftin furnizorul $B$ ?

15. Fie $f (x) = 4$ (funcție constantă) și $g (x) = x - 1$ . Rezolvă grafic ecuația $f (x) = g (x)$ și inecuația $f (x) > g (x)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 5$ și $g (x) = x + 1$ . a) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor. b) Rezolvați inecuația $f (x) < g (x)$ . c) Determinați valorile lui $x$ pentru care ambele funcții iau valori strict negative.

17. (Raționament.) Explică de ce, pentru $f$ afină cu $a \neq = 0$ , ecuația $f (x) = m$ are soluție unică oricare ar fi $m$ , folosind poziția orizontalei $y = m$ față de o dreaptă oblică.

18. (Provocare.) Se consideră $f (x) = m x + 1$ și $g (x) = 2 x + 3$ , cu $m \in R$ parametru. Discută, după valorile lui $m$ , numărul de soluții ale ecuației $f (x) = g (x)$ și, pentru cazul cu soluție unică, precizează abscisa punctului de intersecție.

Răspunsuri și explicații

1. Dreapta trece prin $(0, - 4)$ și $(4, 0)$ ; taie axa $O x$ în $(4, 0)$ , deci $x = 4$ . Algebric: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$ . ✓

2. Orizontala $y = 7$ taie dreapta în punctul $(2, 7)$ , deci $x = 2$ . Verificare: $3 \cdot 2 + 1 = 7$ . ✓ Soluția e abscisa $2$ , nu $7$ .

3. Din $- x + 5 = 2$ rezultă $x = 3$ , punct de intersecție $(3, 2)$ . Funcția e strict descrescătoare (panta $- 1$ ), deci e deasupra orizontalei $y = 2$ la stânga: $f (x) > 2 ⟺ x \in (- \infty, 3)$ . Martor: $f (0) = 5 > 2$ ✓.

4. Zeroul: $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Panta $2 > 0$ , deci graficul e deasupra axei $O x$ la dreapta lui $3$ ; inegalitatea fiind nestrictă, includem capătul: $x \in [3, \infty)$ .

5. Zeroul: $- 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Panta $- 2 < 0$ , graficul coboară, deci e sub axa $O x$ la dreapta lui $2$ : $x \in (2, \infty)$ . Geometric: porțiunea de dreaptă din cadranul de sub axă corespunde abscizelor mai mari decât $2$ .

6. Din $x + 2 = - 2 x + 8$ obținem $3 x = 6$ , deci $x = 2$ ; valoarea comună este $f (2) = 4$ . Punctul de intersecție este $(2, 4)$ , iar soluția ecuației este $x = 2$ .

7. Diferența: $f (x) - g (x) = 3 x - 6$ , negativă pentru $x < 2$ . Deci $f (x) \leq g (x) ⟺ x \in (- \infty, 2]$ . Martor: la $x = 0$ , $f (0) = 2 \leq 8 = g (0)$ ✓; la $x = 3$ , $f (3) = 5 > 2 = g (3)$ , deci $3$ nu e soluție ✓.

8. Fals. Soluția este abscisa punctului de intersecție. Ordonata lui este chiar $m$ — aceeași pentru toate punctele orizontalei —, deci nu poate identifica soluția. Contraexemplu: la $f (x) = 2 x - 3$ și $m = 5$ , punctul e $(4, 5)$ , iar soluția este $4$ , nu $5$ .

9. Adevărat. O soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ ar da un punct $(x_{0}, f (x_{0}))$ aflat pe ambele grafice, adică un punct comun. Dacă graficele nu au puncte comune, o astfel de soluție nu poate exista. (La funcții afine, situația apare când pantele sunt egale, iar ordonatele la origine diferite.)

10. Pantele sunt egale ( $2 = 2$ ), ordonatele la origine diferite ( $1 \neq = - 4$ ): dreptele sunt paralele distincte, deci ecuația nu are nicio soluție. Cum $f (x) - g (x) = 5 > 0$ pentru orice $x$ , dreapta lui $f$ e mereu deasupra: mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) > g (x)$ este $R$ .

11. Panta: $a = \frac{6 - ( - 2 )}{4 - 0} = 2$ ; ordonata la origine $b = - 2$ , deci $f (x) = 2 x - 2$ . Din $2 x - 2 = 4$ rezultă $x = 3$ , punct de intersecție $(3, 4)$ .

12. Rezolvăm cele două ecuații de frontieră: $\frac{1}{2} x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0$ și $\frac{1}{2} x - 1 = 2 \Rightarrow x = 6$ . Panta e pozitivă, deci funcția crește, iar valorile rămân între $- 1$ și $2$ exact pentru $x \in [0, 6]$ . Martor: $f (2) = 0 \in [- 1, 2]$ ✓.

13. a) $500 - 20 t = 0 \Rightarrow t = 25$ minute — abscisa punctului în care graficul taie axa timpului. b) $500 - 20 t \geq 100 \Rightarrow - 20 t \geq - 400 \Rightarrow t \leq 20$ . Cum timpul e nenegativ, răspunsul realist este $t \in [0, 20]$ minute: graficul (descrescător) se află deasupra orizontalei $y = 100$ până la momentul $20$ .

14. a) $60 + 0, 2 x = 20 + 0, 6 x \Rightarrow 40 = 0, 4 x \Rightarrow x = 100$ GB, iar costul comun este $80$ de lei. b) $B$ e mai ieftin când graficul lui $B$ e sub cel al lui $A$ , adică pentru $x < 100$ (de exemplu, la $50$ GB: $B = 50$ lei față de $A = 70$ lei ✓). Peste $100$ GB devine mai ieftin $A$ (la $200$ GB: $A = 100$ lei față de $B = 140$ lei ✓).

15. Din $4 = x - 1$ rezultă $x = 5$ ; punct de intersecție $(5, 4)$ . Orizontala $y = 4$ e deasupra dreptei crescătoare la stânga punctului: $f (x) > g (x) ⟺ x \in (- \infty, 5)$ . Martor: la $x = 0$ , $4 > - 1$ ✓.

16. a) $3 x - 5 = x + 1 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ , valoarea comună $g (3) = 4$ ; punctul este $(3, 4)$ . b) $f (x) - g (x) = 2 x - 6 < 0 ⟺ x < 3$ , deci $x \in (- \infty, 3)$ — graficul lui $f$ e sub cel al lui $g$ la stânga punctului de intersecție. c) $f (x) < 0 ⟺ x < \frac{5}{3}$ și $g (x) < 0 ⟺ x < - 1$ ; ambele simultan pentru $x \in (- \infty, - 1)$ , pentru că $- 1 < \frac{5}{3}$ . Martor: $x = - 2$ dă $f (- 2) = - 11 < 0$ și $g (- 2) = - 1 < 0$ ✓.

17. Graficul unei funcții afine cu $a \neq = 0$ este o dreaptă oblică, deci nu e paralelă cu nicio orizontală și nici nu coincide cu vreuna. Două drepte neparalele și necoincidente au exact un punct comun, deci orizontala $y = m$ taie graficul o singură dată, oricare ar fi $m$ : ecuația are soluție unică. (Concluzia se leagă de monotonia strictă: o funcție strict monotonă nu poate lua aceeași valoare de două ori.)

18. Ecuația $m x + 1 = 2 x + 3$ se scrie $(m - 2) x = 2$ .

Dacă $m \neq = 2$ : coeficientul lui $x$ e nenul, deci o soluție unică, $x = \frac{2}{m - 2}$ ; geometric, dreptele au pante diferite și se taie o dată. Ordonata punctului este $g (\frac{2}{m - 2}) = \frac{4}{m - 2} + 3$ .
Dacă $m = 2$ : ecuația devine $0 \cdot x = 2$ , imposibilă, deci nicio soluție; geometric, dreptele $y = 2 x + 1$ și $y = 2 x + 3$ sunt paralele distincte.

Cazul „drepte suprapuse" nu apare aici, pentru că ordonatele la origine sunt mereu diferite ( $1 \neq = 3$ ).

De reținut

Soluțiile se citesc pe axa $O x$ : sunt abscisele punctelor de intersecție. Ordonata spune ce valoare ia funcția, nu care e soluția.
$f (x) = m$ se rezolvă tăind graficul cu orizontala $y = m$ ; cazul $m = 0$ dă zerourile, adică intersecțiile cu axa $O x$ .
$f (x) = g (x)$ se rezolvă la intersecția celor două grafice; punctul comun rezolvă simultan și sistemul format din ecuațiile lor.
La inecuații, „mai mare" înseamnă „deasupra": rezolvi întâi ecuația, apoi decizi de ce parte graficul e deasupra și proiectezi pe $O x$ . Strict $\Rightarrow$ interval deschis, nestrict $\Rightarrow$ interval închis.
Pentru două drepte, poziția relativă decide numărul soluțiilor: secante — una, paralele distincte — niciuna, suprapuse — o infinitate.

Greșeli frecvente

Dai ca răspuns ordonata în loc de abscisă. La intersecția $(4, 5)$ soluția este $4$ . Un truc mnemotehnic: soluția e „umbra" punctului pe axa $O x$ .
Uiți să tratezi cazul $a = 0$ . O funcție afină cu panta zero are grafic orizontal: ecuația $f (x) = m$ poate avea zero soluții sau o infinitate. Enunțurile care spun „ $a \neq = 0$ " fac asta tocmai ca să elimine capcana.
Confunzi sensul inegalității cu poziția stânga/dreapta. Nu „mai mare" înseamnă „la dreapta", ci depinde de monotonie: la funcție descrescătoare valorile mari sunt la stânga. Verifică mereu semnul pantei.
Greșești capetele intervalului. La $>$ și $<$ punctul de intersecție se exclude; la $\geq$ și $\leq$ se include. Notează cu paranteză rotundă, respectiv dreaptă.
Faci desenul „din ochi", fără repere. O dreaptă se trasează prin două puncte calculate (de obicei intersecțiile cu axele). Un desen aproximativ îți poate inversa complet răspunsul la inecuație.

Aplică acasă

Duelul ofertelor. Alege două abonamente reale (telefonie, transport, sală de sport) cu o parte fixă și una variabilă. Scrie funcțiile de cost, desenează-le pe hârtie milimetrică și găsește punctul de indiferență. Notează în ce interval de consum e mai avantajoasă fiecare ofertă și verifică prin două calcule directe.
Graficul din aplicație. Deschide GeoGebra sau Desmos, trasează $f (x) = 2 x - 3$ și o orizontală $y = m$ cu un cursor pentru $m$ . Plimbă cursorul și urmărește cum se mișcă punctul de intersecție. Scrie ce observi despre numărul de soluții — și repetă experimentul cu $f (x) = 3$ , unde totul se schimbă.
Rezervorul din bucătărie. Umple o sticlă gradată și golește-o cu un ritm cât mai constant, măsurând volumul din $30$ în $30$ de secunde. Trece datele pe grafic, trasează dreapta care le aproximează și citește de pe ea momentul în care sticla ajunge la jumătate. Compară rezultatul citit cu cel obținut rezolvând ecuația.

Pentru părinți și profesori

Lecția convertește rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor într-o citire de grafic, competență cerută explicit de programa clasei a IX-a (interpretarea geometrică a soluțiilor ecuațiilor $f (x) = m$ și $f (x) = g (x)$ și a inecuațiilor asociate). Ea nu înlocuiește metodele algebrice învățate în gimnaziu, ci le dă suport vizual: elevul vede de ce o ecuație are exact o soluție, de ce alta nu are niciuna și ce înseamnă concret mulțimea soluțiilor unei inecuații.

Întrebări bune de control: „Ce reprezintă abscisa punctului de intersecție? Dar ordonata lui?"; „Cum se schimbă răspunsul la $f (x) > m$ dacă funcția este descrescătoare în loc de crescătoare?"; „Când are ecuația $f (x) = g (x)$ o infinitate de soluții?". Semne că a înțeles: desenează dreapta prin două puncte calculate (nu aproximativ), scrie mulțimea soluțiilor ca interval cu capetele corecte și verifică rezultatul cu un martor din interiorul intervalului.

La examen, tipul acesta de sarcină apare aproape la fiecare variantă, în formularea „determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor" sau „rezolvați inecuația $f (x) \leq g (x)$ ". Cine stăpânește citirea graficului rezolvă rapid și, mai important, își poate verifica singur răspunsul algebric — desenul devine un instrument de autocontrol. Capitolul pregătește direct modelarea cu funcția afină în probleme practice, unde aceleași citiri capătă sens economic.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să rezolvi grafic o ecuație? Înseamnă să transformi ecuația într-o întrebare despre desene: reprezinți fiecare membru ca grafic de funcție și cauți punctele lor comune. Abscisele acestor puncte sunt soluțiile ecuației.

Cum citesc soluțiile ecuației f(x) = m de pe grafic? Trasezi dreapta orizontală $y = m$ , marchezi punctele în care ea taie graficul funcției și citești abscisele lor pe axa $O x$ . Numărul punctelor de intersecție îți dă numărul de soluții.

De ce soluția este abscisa și nu ordonata punctului de intersecție? Pentru că soluția unei ecuații este valoarea necunoscutei $x$ , iar $x$ se citește pe axa orizontală. Ordonata punctului este valoarea comună a funcțiilor în acel punct — o informație utilă, dar diferită de soluție.

Cum rezolv grafic o inecuație de forma f(x) > g(x)? Trasezi ambele grafice, găsești punctele de intersecție și apoi identifici porțiunile pe care graficul lui $f$ se află deasupra graficului lui $g$ . Proiectezi acele porțiuni pe axa $O x$ și obții mulțimea soluțiilor, scrisă ca reuniune de intervale.

Când o ecuație f(x) = g(x) nu are nicio soluție? Când graficele nu au niciun punct comun. La funcții afine, asta se întâmplă exact când dreptele sunt paralele distincte, adică au aceeași pantă, dar ordonate la origine diferite.

Ce sunt zerourile unei funcții și cum le văd pe grafic? Zerourile sunt soluțiile ecuației $f (x) = 0$ , adică abscisele punctelor în care graficul taie axa $O x$ . Pentru o funcție afină $f (x) = a x + b$ cu $a \neq = 0$ există un singur zero, $x_{0} = - \frac{b}{a}$ .

De ce trebuie să verific rezultatul cu un „martor"? Pentru că la inecuații e ușor să inversezi sensul, mai ales când funcția este descrescătoare. Alegi un număr din intervalul pe care l-ai obținut, îl înlocuiești în inegalitatea inițială și vezi dacă aceasta se verifică — o secundă de calcul care salvează întregul punctaj.

Metoda grafică e la fel de riguroasă ca cea algebrică? Ea arată corect structura răspunsului: câte soluții sunt și unde se află. Valorile exacte se obțin însă prin calcul, mai ales când soluțiile nu sunt numere „rotunde". Cel mai bine funcționează împreună: desenul te orientează, algebra confirmă.