Ecuații trigonometrice reductibile; a·sin x + b·cos x = c

Într-un parc de distracții, două roți panoramice se învârt cu viteze diferite: una face o tură completă în $6$ minute, cealaltă în $2$ minute. La ce momente cabinele urmărite se află la aceeași înălțime? Scriind înălțimile ca funcții de timp, ajungi la o egalitate de tipul $\sin (at)=\sin (bt)$ — o ecuație care nu seamănă cu niciuna dintre cele patru forme elementare, dar care se reduce la ele într-un singur pas.

Iar dacă suprapui două oscilații de aceeași frecvență — două unde sonore, două componente ale unui curent alternativ — obții o expresie de forma $a\sin x+b\cos x$, care pare imposibil de rezolvat: are două funcții trigonometrice diferite în același loc. Vom vedea însă că se poate rescrie ca o singură sinusoidă, cu altă amplitudine și cu un decalaj de fază. Toată lecția are un singur principiu: orice ecuație trigonometrică se rezolvă aducând-o la formele elementare.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi ecuațiile de tip $\sin f(x)=\sin g(x)$, $\cos f(x)=\cos g(x)$, $\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)$ și $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$, cu demonstrațiile formulelor.
• Vei ști să treci de la sinus la cosinus (și invers) pentru a aduce ecuația la o formă cu o singură funcție.
• Vei ști să rezolvi ecuații de gradul al doilea în $\sin x$, $\cos x$ sau $\mathrm{tg}x$, prin substituție, cu verificarea condiției $t\in [-1,1]$.
• Vei ști să transformi $a\sin x+b\cos x$ în $R\sin (x+\phi )$ prin metoda unghiului auxiliar.
• Vei ști să decizi instantaneu, prin condiția de compatibilitate $a^2+b^2\ge c^2$, dacă ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ are soluții.
• Vei ști să nu pierzi soluțiile „ascunse", care apar când o valoare a substituției este $\pm 1$.

Hai să descoperim împreună

1. Ecuația $\sin f(x)=\sin g(x)$

Teoremă. Pentru orice expresii $f$ și $g$ definite pe $\mathbb{R}$:

$$\sin f(x)=\sin g(x)⟺(f(x)=g(x)+2k\pi \text{sau}f(x)=\pi -g(x)+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}.$$

Demonstrație. Trecem totul într-un membru și folosim transformarea diferenței în produs. Notând, pentru scurtime, $f=f(x)$ și $g=g(x)$:

$$\sin f-\sin g=2\sin \frac{f-g}{2}\cos \frac{f+g}{2}=0.$$

Un produs este nul exact când unul dintre factori e nul, deci:

• $\sin \frac{f-g}{2}=0⟺\frac{f-g}{2}=k\pi ⟺f=g+2k\pi$;
• $\cos \frac{f+g}{2}=0⟺\frac{f+g}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi ⟺f+g=\pi +2k\pi ⟺f=\pi -g+2k\pi$.

Reuniunea celor două familii este exact mulțimea din enunț. $■$

Forma compactă, prin același argument de paritate ca la ecuația elementară, este $f(x)=(-1{)}^{k}g(x)+k\pi$.

Aplicație. Rezolvăm $\sin 3x=\sin x$. Prima familie: $3x=x+2k\pi$, deci $2x=2k\pi$ și $x=k\pi$. A doua: $3x=\pi -x+2k\pi$, deci $4x=\pi +2k\pi$ și $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Așadar

$$S=\left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ ✓; pentru $x=\frac{3\pi }{4}$, $\sin \frac{9\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{3\pi }{4}$ ✓.

2. Ecuația $\cos f(x)=\cos g(x)$

Teoremă. $\cos f(x)=\cos g(x)⟺f(x)=\pm g(x)+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Demonstrație. Analog, prin transformarea diferenței în produs:

$$\cos f-\cos g=-2\sin \frac{f+g}{2}\sin \frac{f-g}{2}=0.$$

Primul factor se anulează pentru $f+g=2k\pi$, adică $f=-g+2k\pi$; al doilea pentru $f-g=2k\pi$, adică $f=g+2k\pi$. Împreună: $f=\pm g+2k\pi$. $■$

Aplicație. Rezolvăm $\cos 2x=\cos x$. Semnul plus: $2x=x+2k\pi$, deci $x=2k\pi$. Semnul minus: $2x=-x+2k\pi$, deci $3x=2k\pi$ și $x=\frac{2k\pi }{3}$.

Atenție acum: prima familie este inclusă în a doua (pentru $k$ multiplu de $3$ se obțin exact multiplii lui $2\pi$). Răspunsul se scrie deci simplu:

$$S=\left\{\frac{2k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Reține obiceiul: după ce obții familiile, verifică dacă una o include pe cealaltă și simplifică răspunsul.

3. Ecuațiile cu tangentă și cotangentă

Teoremă. În domeniul de existență ($\cos f\ne 0$ și $\cos g\ne 0$):

$$\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)⟺f(x)=g(x)+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Demonstrație. Aducem la același numitor:

$$\frac{\sin f}{\cos f}-\frac{\sin g}{\cos g}=\frac{\sin f\cos g-\cos f\sin g}{\cos f\cos g}=\frac{\sin (f-g)}{\cos f\cos g}=0,$$

unde am folosit formula sinusului diferenței. O fracție e nulă când numărătorul e nul (numitorul fiind nenul prin condiția de existență), deci $\sin (f-g)=0$, adică $f-g=k\pi$. $■$

Analog, în domeniul $\sin f\ne 0$ și $\sin g\ne 0$: $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)⟺f(x)=g(x)+k\pi$.

Condițiile de existență sunt aici esențiale, nu un detaliu formal: ele pot elimina soluții obținute din formulă.

Aplicație. Rezolvăm $\mathrm{ctg}3x=\mathrm{ctg}x$. Condiții: $\sin x\ne 0$ (adică $x\ne m\pi$) și $\sin 3x\ne 0$ (adică $x\ne \frac{m\pi }{3}$). Formula dă $3x=x+k\pi$, deci $2x=k\pi$ și $x=\frac{k\pi }{2}$.

Filtrăm: pentru $k$ par, $x=m\pi$ — respins de prima condiție. Pentru $k$ impar, $x=\frac{\pi }{2}+m\pi$ — acceptat, fiindcă nu e multiplu de $\frac{\pi }{3}$. Deci

$$S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Jumătate dintre „soluțiile" formulei au fost eliminate de domeniu. Fără verificarea condițiilor, răspunsul ar fi fost greșit.

4. Trecerea de la o funcție la alta

Ce faci la $\sin x=\cos x$ sau la $\sin 5x=\cos 3x$? Ecuațiile au funcții diferite în cei doi membri, deci nu se aplică direct nicio teoremă de mai sus. Soluția: transformi una în cealaltă, cu formulele legate de $\frac{\pi }{2}$:

$$\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right),\sin t=\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right).$$

Aplicație. Rezolvăm $\sin x=\cos x$. Scriem $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ și aplicăm teorema de la punctul 1:

• $x=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$;
• $x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow 0=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, imposibil.

Deci $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \right\}$. A doua familie a dat o contradicție — se întâmplă des și e perfect normal; înseamnă doar că acea ramură nu produce soluții.

(Alternativ, pentru $\cos x\ne 0$, împărțim la $\cos x$ și obținem $\mathrm{tg}x=1$, cu același rezultat. Verificăm separat că $\cos x=0$ nu dă soluții: acolo $\sin x=\pm 1\ne 0$.)

5. Ecuații de gradul al doilea în $\sin x$, $\cos x$ sau $\mathrm{tg}x$

Când în ecuație apare o singură funcție trigonometrică, dar la puteri diferite, notezi acea funcție cu $t$ și obții o ecuație de gradul al doilea obișnuită.

Rețeta în patru pași:

1. substituția $t=\sin x$ (sau $\cos x$, sau $\mathrm{tg}x$);
2. condiția asupra lui $t$: $t\in [-1,1]$ la sinus și cosinus (la tangentă, $t\in \mathbb{R}$);
3. rezolvi ecuația algebrică și elimini rădăcinile care nu respectă condiția;
4. revii la $x$, rezolvând câte o ecuație elementară pentru fiecare rădăcină rămasă.

Aplicație. Rezolvăm $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$. Cu $t=\cos x\in [-1,1]$:

$$2t^2-3t+1=0,\Delta =9-8=1,t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}\Rightarrow t_1=1,t_2=\frac{1}{2}.$$

Ambele sunt în $[-1,1]$, deci ambele se păstrează. Revenim:

• $\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi$;
• $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$.

$$S=\{2k\pi \}\cup \left\{\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}.$$

Atenție la pasul 3. Dacă ecuația algebrică ar fi dat, de exemplu, $t=2$, acea rădăcină ar fi fost eliminată — nu există $x$ cu $\cos x=2$. Este singurul loc unde substituția poate „produce" soluții false.

6. Reducerea la o singură funcție

Uneori ecuația conține două funcții, dar una se poate exprima prin cealaltă. Instrumentele sunt formula fundamentală a trigonometriei, ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, și formulele unghiului dublu.

Aplicație. Rezolvăm $2{\sin }^{2}x+3\cos x-3=0$. Înlocuim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$$2(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x-3=0⟺-2{\cos }^{2}x+3\cos x-1=0⟺2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0,$$

adică exact ecuația din exemplul precedent, cu aceleași soluții. Regula de aur: dacă apar ${\sin }^{2}x$ și $\cos x$, elimini ${\sin }^{2}x$; dacă apar ${\cos }^{2}x$ și $\sin x$, elimini ${\cos }^{2}x$. Alegi să elimini pătratul, ca să rămâi cu o singură funcție. La fel procedezi când apare $\cos 2x$ sau $\sin 2x$: le desfaci cu formulele unghiului dublu, alegând varianta care lasă o singură funcție.

7. Metoda unghiului auxiliar: $a\sin x+b\cos x=c$

Aceasta este ecuația cerută explicit de programă, cu $a$, $b$, $c$ numere reale nenule. Ideea: transformăm suma celor două funcții într-o singură sinusoidă.

Teoremă (transformarea). Pentru $a,b\in \mathbb{R}$ nenule, notând $R=\sqrt{a^2+b^2}>0$, există un număr $\phi$ (numit unghi auxiliar) astfel încât

$$a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi ),\text{unde}\cos \phi =\frac{a}{R},\sin \phi =\frac{b}{R}.$$

Demonstrație. Dăm factor comun forțat pe $R$:

$$a\sin x+b\cos x=R\left(\frac{a}{R}\sin x+\frac{b}{R}\cos x\right).$$

Numerele $\frac{a}{R}$ și $\frac{b}{R}$ verifică

$${\left(\frac{a}{R}\right)}^2+{\left(\frac{b}{R}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{R^2}=1,$$

deci punctul de coordonate $\left(\frac{a}{R},\frac{b}{R}\right)$ se află pe cercul trigonometric. Prin urmare există un număr $\phi$ asociat acestui punct, adică având $\cos \phi =\frac{a}{R}$ și $\sin \phi =\frac{b}{R}$; el este unic până la un multiplu de $2\pi$, așa că îl alegem în $[0,2\pi )$ sau în $(-\pi ,\pi ]$, după cum e mai comod (în exemplele de mai jos vom folosi a doua variantă, ca să scriem $-\frac{\pi }{6}$ în loc de $\frac{11\pi }{6}$). Înlocuim și recunoaștem formula sinusului sumei:

$$a\sin x+b\cos x=R(\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x)=R\sin (x+\phi ).■$$

Numărul $R=\sqrt{a^2+b^2}$ se numește amplitudine și are un sens fizic direct: este valoarea maximă pe care o poate lua expresia $a\sin x+b\cos x$, atinsă când $\sin (x+\phi )=1$.

Consecință (condiția de compatibilitate). Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ are soluții dacă și numai dacă

$$a^2+b^2\ge c^2.$$

Justificare: ecuația devine $R\sin (x+\phi )=c$, adică $\sin (x+\phi )=\frac{c}{R}$, care are soluții exact când $\left|\frac{c}{R}\right|\le 1$, adică $|c|\le R$, adică $c^2\le a^2+b^2$. $■$

Verifică întotdeauna această condiție înainte de a calcula ceva: dacă nu e îndeplinită, răspunsul este $S=\varnothing$ și ai terminat în două rânduri.

Aplicație completă. Rezolvăm $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$.

Pasul 1 — compatibilitatea. $a=1$, $b=\sqrt{3}$, $c=1$; avem $a^2+b^2=1+3=4\ge 1=c^2$ ✓, deci ecuația are soluții.

Pasul 2 — amplitudinea. $R=\sqrt{4}=2$.

Pasul 3 — unghiul auxiliar. $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$.

Pasul 4 — ecuația elementară. $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1$, adică $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, de unde

$$x+\frac{\pi }{3}=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Verificare: $k=0$ dă $x=-\frac{\pi }{6}$, iar $-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$ ✓; $k=1$ dă $x=\frac{\pi }{2}$, iar $1+\sqrt{3}\cdot 0=1$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație de tip $\sin f=\sin g$

Rezolvați în $\mathbb{R}$: $\sin 2x=\sin x$.

Rezolvare. Aplicăm teorema. Prima familie: $2x=x+2k\pi$, deci $x=2k\pi$. A doua: $2x=\pi -x+2k\pi$, deci $3x=\pi +2k\pi$ și $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$.

$$S=\{2k\pi \}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}\right\},k\in \mathbb{Z}.$$

Verificare: $x=\frac{\pi }{3}$ dă $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ ✓; $x=\pi$ (din a doua familie, $k=1$) dă $\sin 2\pi =0=\sin \pi$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Ecuație cu tangentă și filtrarea domeniului

Rezolvați în $\mathbb{R}$: $\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Condiții de existență: $\cos x\ne 0$, adică $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$, și $\cos 2x\ne 0$, adică $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$.

Formula dă $2x=x+k\pi$, deci $x=k\pi$. Verificăm compatibilitatea cu domeniul: $k\pi$ nu este niciodată de forma $\frac{\pi }{2}+m\pi$ și nici $\frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$ ✓. Deci

$$S=\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}.$$

Verificare: $x=\pi$ dă $\mathrm{tg}2\pi =0=\mathrm{tg}\pi$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Gradul al doilea în $\sin x$

Rezolvați în $\mathbb{R}$: $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$.

Rezolvare. Substituim $t=\sin x$, cu $t\in [-1,1]$:

$$2t^2-t-1=0,\Delta =1+8=9\Rightarrow t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}\Rightarrow t_1=1,t_2=-\frac{1}{2}.$$

Ambele respectă condiția. Revenim:

• $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ (caz particular, o singură familie);
• $\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi$, fiindcă $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$.

$$S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}.■$$

Exemplul 4 — Reducere cu formula fundamentală

Rezolvați în $\mathbb{R}$: $2{\cos }^{2}x+\sin x-1=0$.

Rezolvare. Apar ${\cos }^{2}x$ și $\sin x$, deci eliminăm pătratul: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.

$$2(1-{\sin }^{2}x)+\sin x-1=0⟺-2{\sin }^{2}x+\sin x+1=0⟺2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0.$$

Am obținut exact ecuația din Exemplul 3, deci mulțimea soluțiilor este aceeași:

$$S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}.$$

Verificare: $x=\frac{\pi }{2}$ dă $2\cdot 0+1-1=0$ ✓; $x=-\frac{\pi }{6}$ dă $2\cdot \frac{3}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Unghiul auxiliar, cu selecție pe interval

Rezolvați ecuația $\sqrt{3}\sin x-\cos x=1$, unde $x\in [0,2\pi ]$.

Rezolvare. Compatibilitatea: $a=\sqrt{3}$, $b=-1$, $c=1$; $a^2+b^2=3+1=4\ge 1$ ✓.

Amplitudinea: $R=2$. Unghiul auxiliar: $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{6}$ (cadranul al patrulea, unde cosinusul e pozitiv și sinusul negativ).

Ecuația devine $2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1$, adică $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$, de unde

$$x-\frac{\pi }{6}=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+k\pi .$$

Selecția pe $[0,2\pi ]$: $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}$ ✓; $k=1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+\pi =\pi$ ✓; $k=2\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+2\pi >2\pi$ ✗; $k=-1\Rightarrow x=-\pi <0$ ✗.

$$S=\left\{\frac{\pi }{3},\pi \right\}.$$

Verificare: $\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ✓; $\sqrt{3}\sin \pi -\cos \pi =0+1=1$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x+3\sin x-2=0$.

Rezolvare. Ecuația conține $\cos 2x$ și $\sin x$. Din formula unghiului dublu alegem varianta exprimată prin sinus, ca să rămânem cu o singură funcție: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.

$$1-2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0⟺-2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0⟺2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Cu $t=\sin x\in [-1,1]$: $\Delta =9-8=1$, deci $t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$, adică $t_1=1$ și $t_2=\frac{1}{2}$. Ambele sunt admisibile.

• $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$;
• $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$.

$$S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}.$$

Verificare: $x=\frac{\pi }{2}$ dă $\cos \pi +3-2=-1+1=0$ ✓; $x=\frac{\pi }{6}$ dă $\cos \frac{\pi }{3}+\frac{3}{2}-2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ✓; $x=\frac{5\pi }{6}$ dă $\cos \frac{5\pi }{3}+\frac{3}{2}-2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ ✓.

Observație importantă. Rădăcina $t_1=1$ este cea mai des uitată la examen, pentru că valoarea $\sin x=1$ „nu arată" ca o soluție obișnuită — graficul funcției din stânga doar atinge axa acolo, fără s-o traverseze. Verifică întotdeauna toate rădăcinile ecuației de gradul al doilea, chiar și cele egale cu $\pm 1$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La ecuațiile cu tangentă și cotangentă scrie întâi condițiile de existență; la cele de forma $a\sin x+b\cos x=c$ verifică întâi compatibilitatea.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin 3x=\sin x$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\cos 2x=\cos x$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}x$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin 2x=\sin x$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\cos 3x=\cos x$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin x=\cos x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $3\sin x+4\cos x=6$ are o infinitate de soluții."

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2{\sin }^{2}x+3\cos x-3=0$.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$: ${\mathrm{tg}}^{2}x-4\mathrm{tg}x+3=0$.

12. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\cos 2x+\cos x=0$.

13. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin x+\cos x=1$.

14. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{2}$.

15. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\sin x-\cos x=\sqrt{2}$.

16. (Problemă aplicată.) Tensiunea într-un circuit este $u(t)=3\sin t+4\cos t$ (în volți). Arată că valoarea maximă a tensiunii este de $5$ V și determină momentele la care se atinge.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvați ecuația $\mathrm{ctg}3x=\mathrm{ctg}x$, precizând condițiile de existență.

18. (Provocare.) Rezolvați ecuația $\sin 5x=\cos 3x$ și determinați soluțiile din intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

Răspunsuri și explicații

1. Prima familie: $3x=x+2k\pi \Rightarrow x=k\pi$. A doua: $3x=\pi -x+2k\pi \Rightarrow 4x=\pi +2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Deci $S=\{k\pi \}\cup \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right\}$. Verificare, $x=\frac{\pi }{4}$: $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}$ ✓.

2. $2x=x+2k\pi \Rightarrow x=2k\pi$; $2x=-x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi }{3}$. Prima familie e inclusă în a doua (pentru $k$ multiplu de $3$), deci răspunsul se scrie simplu $S=\left\{\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3. Condiții: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$ și $2x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$, adică $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$. Formula: $2x=x+k\pi \Rightarrow x=k\pi$, valori care respectă ambele condiții. $S=\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

4. $2x=x+2k\pi \Rightarrow x=2k\pi$; $2x=\pi -x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$. Aici prima familie nu e inclusă în a doua (multiplii lui $2\pi$ nu sunt de forma $\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$), deci $S=\{2k\pi \}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}\right\}$.

5. $3x=x+2k\pi \Rightarrow x=k\pi$; $3x=-x+2k\pi \Rightarrow 4x=2k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}$. Prima familie e inclusă în a doua ($k$ par), deci $S=\left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

6. Scriem $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. Prima ramură: $x=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. A doua: $x=\pi -\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow 0=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, imposibil. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \right\}$. (Echivalent: împărțim la $\cos x\ne 0$ și obținem $\mathrm{tg}x=1$.)

7. Fals. Condiția de compatibilitate cere $a^2+b^2\ge c^2$, adică $9+16=25\ge 36$ — fals. Interpretare: expresia $3\sin x+4\cos x$ se scrie $5\sin (x+\phi )$, deci ia valori doar în $[-5,5]$; nu poate atinge niciodată $6$. Mulțimea soluțiilor este $\varnothing$.

8. Cu $t=\cos x\in [-1,1]$: $2t^2-3t+1=0$, $\Delta =1$, $t_1=1$, $t_2=\frac{1}{2}$, ambele admisibile. Revenire: $\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi$; $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$. Deci $S=\{2k\pi \}\cup \left\{\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}$.

9. Cu $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0$, $\Delta =9$, $t_1=1$, $t_2=-\frac{1}{2}$. Revenire: $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$; $\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi \right\}$.

10. Înlocuim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2-2{\cos }^{2}x+3\cos x-3=0⟺2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$ — identică cu exercițiul 8. Deci $S=\{2k\pi \}\cup \left\{\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}$. Verificare, $x=\frac{\pi }{3}$: $2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{1}{2}-3=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3=0$ ✓.

11. Condiție: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$. Cu $t=\mathrm{tg}x\in \mathbb{R}$ (fără restricție!): $t^2-4t+3=0$, $\Delta =4$, $t_1=1$, $t_2=3$. Revenire: $\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; $\mathrm{tg}x=3\Rightarrow x=\mathrm{arctg}3+k\pi$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \right\}\cup \left\{\mathrm{arctg}3+k\pi \right\}$. A doua valoare rămâne scrisă cu arctangentă — nu e o valoare remarcabilă.

12. Cu $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$: $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$, $\Delta =9$, $t_1=\frac{1}{2}$, $t_2=-1$. Revenire: $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$; $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi +2k\pi$. Deci $S=\left\{\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}\cup \{\pi +2k\pi \}$.

13. Compatibilitate: $1+1=2\ge 1$ ✓. $R=\sqrt{2}$; $\cos \phi =\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$. Ecuația devine $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$, adică $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, de unde $x+\frac{\pi }{4}=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+k\pi$ și

$$x=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+k\pi .$$

Desfăcut pe parități: pentru $k$ par, $x=2m\pi$; pentru $k$ impar, $x=\frac{\pi }{2}+2m\pi$. Deci $S=\{2k\pi \}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}$ — exact punctele în care una dintre funcții e $1$ și cealaltă $0$.

14. Compatibilitate: $3+1=4\ge 2$ ✓. $R=2$; $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{6}$. Ecuația: $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{2}$, adică $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, de unde $x+\frac{\pi }{6}=(-1{)}^k\frac{\pi }{4}+k\pi$ și

$$S=\left\{(-1{)}^k\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare, $k=0$: $x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$, iar $2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$ ✓.

15. Compatibilitate: $1+1=2\ge 2$ ✓ — egalitate, caz-limită. $R=\sqrt{2}$; $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{4}$. Ecuația devine $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$, adică $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$ — caz particular, cu o singură familie:

$$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow S=\left\{\frac{3\pi }{4}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Când compatibilitatea este cu egalitate, ecuația are întotdeauna o singură familie de soluții: se atinge exact maximul (sau minimul) expresiei. Verificare: $\sin \frac{3\pi }{4}-\cos \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ ✓.

16. Scriem $u(t)=R\sin (t+\phi )$ cu $R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Cum $\sin (t+\phi )\in [-1,1]$, rezultă $u(t)\in [-5,5]$, deci valoarea maximă este $5$ V și se atinge exact când $\sin (t+\phi )=1$.

Unghiul auxiliar: $\cos \phi =\frac{3}{5}$ și $\sin \phi =\frac{4}{5}$ (ambele pozitive, deci $\phi$ e în primul cadran), adică $\phi =\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$. Din $t+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ obținem

$$t=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{4}{3}+2k\pi =\mathrm{arctg}\frac{3}{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z},$$

unde am folosit identitatea $\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}a=\mathrm{arctg}\frac{1}{a}$ pentru $a>0$, demonstrată în lecția despre funcțiile arctangentă și arccotangentă. Numeric, $t\approx 0,6435+2k\pi$ secunde.

17. Condiții de existență: $\sin x\ne 0$ și $\sin 3x\ne 0$, adică $x\ne \frac{m\pi }{3}$ (condiție care o include pe prima).

Formula dă $3x=x+k\pi$, deci $x=\frac{k\pi }{2}$. Filtrăm: pentru $k$ par obținem $x=m\pi$ — respins, încalcă domeniul. Pentru $k$ impar obținem $x=\frac{\pi }{2}+m\pi$ — acceptat, fiindcă $\frac{\pi }{2}+m\pi$ nu e multiplu de $\frac{\pi }{3}$ (altfel $3+6m=2n$, imposibil: stânga impară, dreapta pară).

$$S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare: $\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{2}=0=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{2}$ ✓. Jumătate dintre valorile formulei au fost eliminate de domeniu — motivul pentru care baremul îl punctează separat.

18. Transformăm cosinusul în sinus: $\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$. Aplicăm teorema pentru $\sin f=\sin g$:

• $5x=\frac{\pi }{2}-3x+2k\pi \Rightarrow 8x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$;
• $5x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)+2k\pi \Rightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+3x+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

$$S=\left\{\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}.$$

Selecția pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Prima familie: $k=0$ dă $\frac{\pi }{16}$ ✓, $k=1$ dă $\frac{5\pi }{16}$ ✓, $k=2$ dă $\frac{9\pi }{16}>\frac{\pi }{2}$ ✗, $k=-1$ dă negativ ✗. A doua familie: doar $k=0$, adică $\frac{\pi }{4}$ ✓.

$$S\cap \left[0,\frac{\pi }{2}\right]=\left\{\frac{\pi }{16},\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{16}\right\}.$$

Verificare pentru $x=\frac{\pi }{4}$: $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

De reținut

• Cele patru echivalențe fundamentale: $\sin f=\sin g⟺f=g+2k\pi$ sau $f=\pi -g+2k\pi$; $\cos f=\cos g⟺f=\pm g+2k\pi$; $\mathrm{tg}f=\mathrm{tg}g⟺f=g+k\pi$; $\mathrm{ctg}f=\mathrm{ctg}g⟺f=g+k\pi$ — ultimele două numai în domeniul de existență.
• Când funcțiile din cei doi membri sunt diferite, treci de la una la alta cu $\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$.
• La ecuațiile de gradul al doilea în $\sin x$ sau $\cos x$, substituția $t$ cere condiția $t\in [-1,1]$: rădăcinile din afara acestui interval se elimină. La $\mathrm{tg}x$ nu există o astfel de restricție.
• Unghiul auxiliar: $a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi )$, cu $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \phi =\frac{a}{R}$, $\sin \phi =\frac{b}{R}$. Numărul $R$ este amplitudinea, adică valoarea maximă a expresiei.
• Condiția de compatibilitate: ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ are soluții dacă și numai dacă $a^2+b^2\ge c^2$. Verific-o înainte de orice calcul; la egalitate rămâne o singură familie de soluții.

Greșeli frecvente

• Simplificarea prin funcția trigonometrică. Din $\sin 2x=\sin x$ se „simplifică" $\sin$ și se scrie $2x=x$. Absurd: $\sin$ nu e un factor, ci o funcție, iar ea nu e injectivă. Se aplică teorema, cu ambele familii.
• Ignorarea condițiilor de existență la tangentă și cotangentă. La $\mathrm{ctg}3x=\mathrm{ctg}x$, formula dă $x=\frac{k\pi }{2}$, dar jumătate dintre aceste valori sunt în afara domeniului. Fără filtrare, răspunsul e greșit — și baremul o punctează separat.
• Pierderea rădăcinii $t=\pm 1$. La $\cos 2x+3\sin x-2=0$ se scrie doar $\sin x=\frac{1}{2}$ și se uită $\sin x=1$. Rezolvă ecuația de gradul al doilea complet și tratează fiecare rădăcină admisibilă.
• Păstrarea unei rădăcini imposibile. Dacă substituția dă $t=\frac{3}{2}$ pentru $t=\cos x$, acea valoare se elimină: nu există $x$ cu $\cos x=\frac{3}{2}$. Verifică apartenența la $[-1,1]$ înainte de a reveni la $x$.
• Amplitudinea greșită. Se scrie $R=a+b$ în loc de $R=\sqrt{a^2+b^2}$. La $3\sin x+4\cos x$, amplitudinea e $5$, nu $7$; expresia nu poate depăși $5$, oricât de mari ar fi coeficienții luați separat.

Aplică acasă

1. Amplitudinea, cu foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, pune în prima coloană valori ale lui $x$ din $0$ în $0,1$ până la $2\pi$, iar în următoarele trei coloane $\sin x$, $\sqrt{3}\cos x$ și suma lor. Trasează graficul celor trei: suma e tot o sinusoidă, cu amplitudinea $2$ și deplasată — exact ce spune teorema unghiului auxiliar. Citește maximul de pe grafic și compară-l cu $\sqrt{a^2+b^2}$.

2. Cele două roți panoramice. Prima roată face o tură în $6$ minute, a doua în $2$ minute; ambele pornesc de la sol, iar înălțimile relative ale cabinelor sunt proporționale cu $\sin \frac{\pi t}{3}$ și $\sin \pi t$. Rezolvă $\sin \frac{\pi t}{3}=\sin \pi t$ și află primele trei momente în care cabinele sunt la aceeași înălțime.

3. Colecția de capcane. Notează trei ecuații pe care le-ai greșit din lecția aceasta și, lângă fiecare, exact de ce: familie uitată, condiție de existență ignorată, rădăcină $t=\pm 1$ pierdută sau amplitudine greșită. Recitește lista înainte de fiecare test — la trigonometrie, greșelile sunt remarcabil de repetitive.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea de trigonometrie a programei de matematică-informatică și acoperă exact tipurile de ecuații prevăzute după cele elementare: cele patru forme $\sin f(x)=\sin g(x)$, $\cos f(x)=\cos g(x)$, $\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)$, $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$, ecuația liniară $a\sin x+b\cos x=c$ cu coeficienți nenuli și ecuațiile reductibile la acestea. Mesajul metodologic e unul singur: nu există „ecuații trigonometrice grele", ci doar ecuații care nu au fost încă reduse la formele elementare. Elevul trebuie să învețe un algoritm de decizie — câte funcții apar, la ce puteri, cu ce argumente — nu o colecție de rețete izolate.

Întrebări bune de control: „De ce nu poți simplifica prin $\sin$ în ecuația $\sin 2x=\sin x$?"; „Ce condiție se pune asupra lui $t$ când notezi $t=\cos x$?"; „Cum decizi în două rânduri dacă $5\sin x+12\cos x=15$ are soluții?" (compari $169$ cu $225$); „De ce la $\mathrm{ctg}3x=\mathrm{ctg}x$ jumătate dintre valorile formulei se aruncă?". Semne că a înțeles: verifică sistematic condițiile de existență și de compatibilitate înainte de calcul, nu pierde rădăcina $t=1$ și își controlează soluțiile prin înlocuire.

La Bacalaureatul M1, aceste ecuații apar constant, în două formulări tipice: ecuația de gradul al doilea deghizată (ca în Exemplul 6, cu $\cos 2x$ desfăcut prin formula unghiului dublu) și ecuația liniară $a\sin x+b\cos x=c$ cu coeficienți remarcabili, unde $R$ iese număr întreg. Ambele se punctează pe pași: transformarea, rezolvarea, revenirea la $x$ și — unde se cere — selecția pe interval. Materialul se sprijină pe ecuațiile trigonometrice elementare și pe funcțiile inverse din lecțiile 104 și 105.

Întrebări frecvente

Cum rezolv ecuația sin f(x) = sin g(x)? Scrii cele două familii: $f(x)=g(x)+2k\pi$ sau $f(x)=\pi -g(x)+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, apoi rezolvi fiecare ecuație în $x$. Nu ai voie să „simplifici prin sinus" — funcția nu este injectivă, deci egalitatea sinusurilor nu implică egalitatea argumentelor.

Care e diferența dintre rezolvarea lui sin f = sin g și cos f = cos g? La sinus, a doua familie este $f=\pi -g+2k\pi$; la cosinus, este $f=-g+2k\pi$. Diferența vine din simetria punctelor pe cercul trigonometric: față de axa verticală la sinus, față de cea orizontală la cosinus. Confuzia lor este cea mai costisitoare greșeală din capitol.

Cum rezolv ecuația a sin x + b cos x = c? În patru pași. Verifici compatibilitatea $a^2+b^2\ge c^2$; calculezi amplitudinea $R=\sqrt{a^2+b^2}$; găsești unghiul auxiliar $\phi$ din $\cos \phi =\frac{a}{R}$ și $\sin \phi =\frac{b}{R}$; rezolvi ecuația elementară $\sin (x+\phi )=\frac{c}{R}$ și revii la $x$.

Când nu are soluții ecuația a sin x plus b cos x egal c? Când $a^2+b^2<c^2$. Motivul: expresia se scrie $R\sin (x+\phi )$, deci ia valori doar în intervalul $[-R,R]$, unde $R=\sqrt{a^2+b^2}$. Dacă $|c|>R$, valoarea cerută este pur și simplu în afara intervalului posibil.

Ce condiție pun la substituția t egal sin x? Obligatoriu $t\in [-1,1]$, pentru că aceasta este imaginea funcției sinus. Rădăcinile ecuației algebrice care ies din acest interval se elimină. La substituția $t=\mathrm{tg}x$ nu există o astfel de condiție, fiindcă tangenta ia toate valorile reale.

De ce trebuie verificate condițiile de existență la ecuațiile cu cotangentă? Pentru că formula $f=g+k\pi$ poate produce valori în care cotangenta nu e definită. La $\mathrm{ctg}3x=\mathrm{ctg}x$, formula dă $x=\frac{k\pi }{2}$, dar valorile cu $k$ par sunt multipli de $\pi$, unde $\sin x=0$; ele se elimină, rămânând doar $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.

Cum aflu valoarea maximă a expresiei a sin x + b cos x? Este $R=\sqrt{a^2+b^2}$, amplitudinea. De exemplu, $3\sin x+4\cos x$ are maximul $5$ (nu $7$!), atins când $\sin (x+\phi )=1$. Este rezultatul cel mai des folosit în aplicații: amplitudinea unei oscilații obținute prin suprapunerea a două oscilații de aceeași frecvență.