Ecuația de gradul al doilea: deducerea formulelor de rezolvare

Formula $x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ o știi din gimnaziu și ai folosit-o de sute de ori. Dar de unde vine? Cine a decis că trebuie împărțit tocmai la $2 a$ și de ce apare acolo un radical? Într-o clasă de matematică-informatică, întrebarea nu e retorică: o formulă pe care o aplici fără să știi de unde vine e un algoritm pe care nu-l poți verifica, nu-l poți adapta și nu-l poți repara când dă un rezultat ciudat. Programa clasei a IX-a cere explicit deducerea acestor formule — și exact asta facem astăzi, riguros, de la prima linie până la ultima.

Metoda are un nume și o istorie de peste o mie de ani: formarea pătratului perfect (sau „completarea pătratului"). Matematicianul persan al-Khwarizmi, de la al cărui nume vine cuvântul algoritm, o descria în secolul al IX-lea în termeni geometrici: la un pătrat cu latura $x$ se adaugă dreptunghiuri până când figura devine, din nou, un pătrat — iar aria adăugată se poate calcula exact. Ideea e uimitor de simplă și rezolvă dintr-o lovitură toate ecuațiile de gradul al doilea, indiferent de coeficienți. Din ea vor decurge, în lecția aceasta, formula rădăcinilor, discuția după discriminant și descompunerea $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , legătura directă cu graficul studiat la funcția de gradul al doilea.

Ce vei învăța

Vei ști să rezolvi rapid ecuațiile incomplete, fără a apela la formula generală.
Vei ști să aplici metoda formării pătratului perfect pe orice ecuație de gradul al doilea.
Vei ști să deduci, pas cu pas, formula rădăcinilor și să justifici fiecare trecere.
Vei ști să faci discuția completă după semnul discriminantului, cu demonstrație pentru fiecare caz.
Vei ști să folosești formula redusă atunci când coeficientul $b$ este par.
Vei ști să descompui trinomul sub forma $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ și să explici de ce nu e posibil când $Δ < 0$ .

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: ecuațiile incomplete

Definiție. O ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta $x$ este o ecuație de forma

$a x^{2} + b x + c = 0, a, b, c \in R, a \neq = 0.$

Condiția $a \neq = 0$ e esențială: fără ea, ecuația ar fi de gradul întâi (sau chiar fără necunoscută). Numerele $a$ , $b$ , $c$ se numesc coeficienți, iar $a$ este coeficientul dominant.

Când unul dintre coeficienții $b$ și $c$ lipsește, ecuația se numește incompletă și se rezolvă direct, prin factorizare sau prin extragerea rădăcinii pătrate. Merită să tratezi aceste cazuri separat: sunt mai rapide și, în plus, conțin în germene ideea metodei generale.

Cazul $c = 0$ : $a x^{2} + b x = 0 ⟺ x (a x + b) = 0$ . Un produs e nul dacă și numai dacă unul dintre factori e nul, deci $x = 0$ sau $x = - \frac{b}{a}$ . Exemplu: $2 x^{2} - 6 x = 0 ⟺ 2 x (x - 3) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $3$ .

Cazul $b = 0$ : $a x^{2} + c = 0 ⟺ x^{2} = - \frac{c}{a}$ . Aici apare prima discuție a lecției: ecuația $x^{2} = k$ are două soluții, $\pm k$ , dacă $k > 0$ ; o singură soluție, $x = 0$ , dacă $k = 0$ ; și nicio soluție reală dacă $k < 0$ , fiindcă pătratul unui număr real nu poate fi negativ. Exemple: $3 x^{2} - 12 = 0 ⟺ x^{2} = 4$ , cu soluțiile $\pm 2$ ; iar $x^{2} + 9 = 0$ nu are soluții reale.

Reține forma $x^{2} = k$ : întreaga metodă de mai jos are ca scop să aducă orice ecuație de gradul al doilea exact la această formă, cu prețul unei schimbări de necunoscută.

2. Ideea centrală: formarea pătratului perfect

Formulele pe care le știi de la calcul algebric,

$(u + v)^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2}, (u - v)^{2} = u^{2} - 2 uv + v^{2},$

pot fi citite „de la dreapta la stânga". Când vezi $x^{2} + 6 x$ , recunoști începutul dezvoltării lui $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ : îți lipsește doar termenul $9$ . Îl adaugi și îl scazi — o operație care nu schimbă valoarea expresiei:

$x^{2} + 6 x = x^{2} + 6 x + 9 - 9 = (x + 3)^{2} - 9.$

Regula generală: pentru a completa $x^{2} + p x$ până la un pătrat perfect, adaugi $(\frac{p}{2})^{2}$ — pătratul jumătății coeficientului lui $x$ . Într-adevăr, $x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (x + \frac{p}{2})^{2}$ .

Aceasta este demonstrația algebrică. Geometric, ea e chiar mai limpede, exact ca la al-Khwarizmi: ai un pătrat de latură $x$ și două dreptunghiuri de dimensiuni $x$ și $\frac{p}{2}$ , lipite pe două laturi vecine. Figura obținută e un pătrat mare de latură $x + \frac{p}{2}$ , din care lipsește colțul: un pătrățel de latură $\frac{p}{2}$ , adică de arie $(\frac{p}{2})^{2}$ . „Completarea pătratului" înseamnă, literalmente, adăugarea acelui colț.

Exemplu complet. Rezolvăm $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ fără formula rădăcinilor. Izolăm termenii cu $x$ : $x^{2} + 6 x = - 5$ . Adunăm $9$ în ambii membri: $x^{2} + 6 x + 9 = 4$ , adică $(x + 3)^{2} = 4$ . De aici $x + 3 = \pm 2$ , deci $x_{1} = - 5$ și $x_{2} = - 1$ . Verificare: $25 - 30 + 5 = 0$ ✓ și $1 - 6 + 5 = 0$ ✓.

3. Când coeficientul dominant nu este $1$

Metoda cere ca termenul de gradul al doilea să fie exact $x^{2}$ . Dacă $a \neq = 1$ , împărțim mai întâi toată ecuația la $a$ — operație permisă tocmai fiindcă $a \neq = 0$ .

Exemplu. $2 x^{2} - 12 x + 10 = 0$ . Împărțim la $2$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ . Izolăm: $x^{2} - 6 x = - 5$ . Jumătatea lui $- 6$ este $- 3$ , iar pătratul ei $9$ ; adunăm $9$ :

$x^{2} - 6 x + 9 = 4 ⟺ (x - 3)^{2} = 4 ⟺ x - 3 = \pm 2,$

deci $x_{1} = 1$ și $x_{2} = 5$ . Verificare în ecuația inițială: $2 - 12 + 10 = 0$ ✓ și $50 - 60 + 10 = 0$ ✓.

Observă că am obținut, ca produs secundar, și forma canonică a trinomului: $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ , din care se citește direct vârful parabolei, $(3, - 4)$ . Aceeași manevră algebrică servește și la rezolvarea ecuației, și la trasarea graficului — nu întâmplător, fiindcă rădăcinile sunt tocmai abscisele punctelor în care parabola taie axa, ca în lecția despre intersecțiile parabolei cu axele.

4. Deducerea formulei generale

Acum repetăm exact aceiași pași, dar cu litere. Rezultatul va fi formula pe care o cunoști.

Teoremă. Fie $a, b, c \in R$ , $a \neq = 0$ , și fie $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ :

nu are soluții reale dacă $Δ < 0$ ;
are o singură soluție (rădăcină dublă) $x = - \frac{b}{2 a}$ , dacă $Δ = 0$ ;
are două soluții reale distincte $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , dacă $Δ > 0$ .

Demonstrație. Împărțim ecuația la $a \neq = 0$ :

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 ⟺ x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .$

Coeficientul lui $x$ este $\frac{b}{a}$ ; jumătatea lui este $\frac{b}{2 a}$ , iar pătratul acesteia $\frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}$ . Adunăm această cantitate în ambii membri:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a} .$

Membrul stâng este acum un pătrat perfect, iar pe cel drept îl aducem la același numitor, $4 a^{2}$ :

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} . (⋆)$

Relația $(⋆)$ este inima demonstrației: am transformat ecuația inițială într-una de forma $t^{2} = k$ , cu $t = x + \frac{b}{2 a}$ și $k = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ . Numitorul $4 a^{2}$ este strict pozitiv (pătratul unui număr nenul), deci semnul membrului drept e dat exclusiv de semnul lui $Δ$ . Discutăm cele trei cazuri.

Cazul $Δ < 0$ . Membrul drept este strict negativ, iar membrul stâng, fiind un pătrat de număr real, este mereu mai mare sau egal cu zero. Egalitatea e imposibilă, deci ecuația nu are soluții reale.

Cazul $Δ = 0$ . Relația devine $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0$ , adică $x + \frac{b}{2 a} = 0$ , cu unica soluție $x = - \frac{b}{2 a}$ . Spunem că ecuația are o rădăcină dublă, notată uneori $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ .

Cazul $Δ > 0$ . Extragem rădăcina pătrată. Atenție la un detaliu pe care mulți îl trec cu vederea: din $t^{2} = k$ cu $k > 0$ rezultă $∣ t ∣ = k$ , adică $t = \pm k$ . Aici

$\frac{Δ}{4 a ^{2}} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} = \frac{Δ}{2∣ a ∣},$

pentru că $4 a^{2} = 2∣ a ∣$ , nu $2 a$ — radicalul unui pătrat este modulul bazei, iar $a$ poate fi negativ. Prin urmare

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{Δ}{2∣ a ∣}, deci x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{Δ}{2∣ a ∣} .$

Rămâne să arătăm că această mulțime de două numere coincide cu ${\frac{- b \pm Δ}{2 a}}$ , indiferent de semnul lui $a$ .

Dacă $a > 0$ , atunci $∣ a ∣ = a$ și obținem direct $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .

Dacă $a < 0$ , atunci $∣ a ∣ = - a$ , deci $\frac{Δ}{2∣ a ∣} = - \frac{Δ}{2 a}$ . Cele două soluții devin

$- \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2 a} = \frac{- b - Δ}{2 a} ș i - \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2 a} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$

Este aceeași pereche de numere ca în cazul precedent; semnul $\pm$ doar le-a schimbat ordinea între ele. Cum ne interesează mulțimea soluțiilor, nu ordinea lor, formula

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

este valabilă pentru orice $a \neq = 0$ . $■$

Merită să observi ce a produs demonstrația pe lângă formulă: suma celor două rădăcini este $- \frac{b}{a}$ , fiindcă radicalii se anulează reciproc la adunare, iar semisuma lor, $- \frac{b}{2 a}$ , este exact abscisa vârfului. Rădăcinile sunt așezate simetric față de axa de simetrie a parabolei — un fapt geometric care iese direct din algebră.

5. Discriminantul, citit pe grafic

Numărul $Δ = b^{2} - 4 a c$ se numește discriminant tocmai pentru că discriminează, adică deosebește, cele trei situații posibile. Traducerea lui geometrică o cunoști:

Semnul lui $Δ$	Ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$	Parabola și axa $O x$
$Δ > 0$	două soluții reale distincte	o taie în două puncte
$Δ = 0$	o rădăcină dublă	e tangentă la ea
$Δ < 0$	nicio soluție reală	nu o întâlnește

Exemplu de discuție completă. Ecuația $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ are $Δ = 4 - 12 = - 8 < 0$ , deci nu are soluții reale. Confirmare independentă, prin pătrat perfect: $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ pentru orice $x$ real — expresia nu se anulează niciodată.

6. Formula redusă, când $b$ este par

Când coeficientul $b$ este par, scriem $b = 2 b^{'}$ (deci $b^{'} = \frac{b}{2}$ ) și formula se simplifică. Într-adevăr,

$Δ = (2 b^{'})^{2} - 4 a c = 4 (b^{'2} - a c),$

deci, notând $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ (discriminantul redus), avem $Δ = 2 Δ^{'}$ când $Δ^{'} \geq 0$ , iar formula devine

$x_{1, 2} = \frac{- 2 b ^{'} \pm 2 Δ ^{'}}{2 a} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a} .$

Semnul lui $Δ^{'}$ coincide cu semnul lui $Δ$ (diferă printr-un factor $4 > 0$ ), deci discuția rămâne identică.

Exemplu. $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ : aici $b^{'} = - 3$ , $Δ^{'} = 9 - 5 = 4$ , deci $x_{1, 2} = 3 \pm 2$ , adică $1$ și $5$ — aceleași rădăcini obținute în secțiunea 3, cu mult mai puțin calcul. Formula redusă e prețioasă mai ales când numerele sunt mari: pentru $x^{2} - 40 x + 300 = 0$ calculezi $Δ^{'} = 400 - 300 = 100$ în loc de $Δ = 1600 - 1200 = 400$ .

7. Factorizarea trinomului

Formula rădăcinilor are o consecință structurală importantă, pe care o vei folosi la simplificarea fracțiilor algebrice, la studiul semnului și, mai târziu, la polinoame.

Teoremă. Dacă $Δ \geq 0$ , iar $x_{1}$ și $x_{2}$ sunt rădăcinile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ , atunci pentru orice $x$ real

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

Demonstrație. Plecăm de la forma obținută în deducere. Din $(⋆)$ , înmulțind cu $a$ , avem

$a x^{2} + b x + c = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}] .$

Cum $Δ \geq 0$ , putem scrie $\frac{Δ}{4 a ^{2}} = (\frac{Δ}{2∣ a ∣})^{2}$ și aplicăm formula diferenței de pătrate:

$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{Δ}{2∣ a ∣}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{Δ}{2∣ a ∣}) .$

Conform discuției din secțiunea 4, cele două paranteze sunt exact $x - x_{1}$ și $x - x_{2}$ (eventual în ordine schimbată, dacă $a < 0$ ), ceea ce încheie demonstrația. $■$

Exemplu. $2 x^{2} - 7 x + 3$ are $Δ = 49 - 24 = 25$ și rădăcinile $\frac{7 \pm 5}{4}$ , adică $\frac{1}{2}$ și $3$ . Deci

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3) = (2 x - 1) (x - 3) .$

Verificare prin desfacerea parantezelor: $(2 x - 1) (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x - x + 3 = 2 x^{2} - 7 x + 3$ ✓. Observă manevra din final: factorul $2$ a fost „băgat" în paranteza cu fracția, ca să obținem coeficienți întregi — o simplificare aproape întotdeauna de dorit.

Când $Δ < 0$ , o astfel de descompunere nu există peste $R$ . Argumentul e scurt și merită reținut: dacă am avea $a x^{2} + b x + c = a (x - u) (x - v)$ cu $u, v$ reale, atunci valorile $u$ și $v$ ar anula membrul drept, deci ar fi rădăcini reale ale ecuației — contradicție cu $Δ < 0$ . Spunem că trinomul este ireductibil peste $R$ ; de exemplu $x^{2} + x + 1$ nu se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali.

8. Ce urmează

Din factorizarea $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , desfăcând parantezele și identificând coeficienții, se obțin două relații remarcabile între rădăcini și coeficienți: suma $x_{1} + x_{2}$ și produsul $x_{1} x_{2}$ se exprimă direct prin $a$ , $b$ , $c$ , fără a calcula rădăcinile. Sunt relațiile lui Viète, cu tot arsenalul lor de aplicații — expresii simetrice, formarea ecuației când știi rădăcinile, probleme cu parametru. Le vei studia sistematic în lecția dedicată, relațiile lui Viète.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuații incomplete

Rezolvați în $R$ : a) $5 x^{2} - 20 = 0$ ; b) $3 x^{2} + 7 x = 0$ ; c) $2 x^{2} + 8 = 0$ .

Rezolvare. a) $5 x^{2} = 20 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = \pm 2$ . Soluții: ${- 2, 2}$ .

b) $x (3 x + 7) = 0$ , deci $x = 0$ sau $3 x + 7 = 0$ , adică $x = - \frac{7}{3}$ . Soluții: ${- \frac{7}{3}, 0}$ .

c) $2 x^{2} = - 8 ⟺ x^{2} = - 4$ , imposibil pentru $x$ real, fiindcă $x^{2} \geq 0$ . Ecuația nu are soluții reale. $■$

Exemplul 2 — Rezolvare prin formarea pătratului perfect

Rezolvați ecuația $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ fără a folosi formula rădăcinilor.

Rezolvare. Izolăm termenii cu necunoscută: $x^{2} - 8 x = - 7$ . Jumătatea coeficientului lui $x$ este $- 4$ , iar pătratul ei $16$ . Adunăm $16$ în ambii membri:

$x^{2} - 8 x + 16 = 9 ⟺ (x - 4)^{2} = 9 ⟺ x - 4 = \pm 3.$

Obținem $x_{1} = 1$ și $x_{2} = 7$ . Verificare: $1 - 8 + 7 = 0$ ✓ și $49 - 56 + 7 = 0$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Coeficient dominant diferit de 1

Rezolvați ecuația $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , o dată prin formarea pătratului perfect și o dată cu formula rădăcinilor.

Rezolvare. Prin pătrat perfect. Împărțim la $3$ : $x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3} = 0$ , deci $x^{2} - \frac{5}{3} x = - \frac{2}{3}$ . Jumătatea lui $- \frac{5}{3}$ este $- \frac{5}{6}$ , cu pătratul $\frac{25}{36}$ :

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{25}{36} = - \frac{2}{3} + \frac{25}{36} = \frac{- 24 + 25}{36} = \frac{1}{36},$

adică $(x - \frac{5}{6})^{2} = \frac{1}{36}$ , deci $x - \frac{5}{6} = \pm \frac{1}{6}$ . Rezultă $x_{1} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$ și $x_{2} = \frac{5 + 1}{6} = 1$ .

Cu formula. $Δ = 25 - 24 = 1$ , deci $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{6}$ , adică $\frac{2}{3}$ și $1$ — același rezultat ✓. Verificare: $3 - 5 + 2 = 0$ ✓ și $3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{10}{3} + 2 = \frac{4}{3} - \frac{10}{3} + \frac{6}{3} = 0$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Soluții iraționale și formula redusă

Rezolvați ecuația $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

Rezolvare. Coeficientul $b = - 4$ este par, deci folosim formula redusă cu $b^{'} = - 2$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c = 4 - 1 = 3 > 0$ , iar

$x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a} = 2 \pm 3 .$

Verificare cu pătratul perfect: $x^{2} - 4 x + 1 = 0 ⟺ (x - 2)^{2} = 3 ⟺ x - 2 = \pm 3$ ✓. Soluțiile iraționale se lasă în formă exactă; aproximările zecimale se folosesc doar dacă enunțul le cere. $■$

Exemplul 5 — Descompunere în factori

Descompuneți în factori de gradul întâi expresia $E (x) = 6 x^{2} - 7 x + 2$ și determinați apoi valorile lui $x$ pentru care $E (x) = 0$ .

Rezolvare. $Δ = 49 - 48 = 1 > 0$ , deci rădăcinile sunt $x_{1, 2} = \frac{7 \pm 1}{12}$ , adică $x_{1} = \frac{1}{2}$ și $x_{2} = \frac{2}{3}$ .

$E (x) = 6 (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{2}{3}) = [2 (x - \frac{1}{2})] [3 (x - \frac{2}{3})] = (2 x - 1) (3 x - 2) .$

Am distribuit factorul $6 = 2 \cdot 3$ în cele două paranteze, ca să obținem coeficienți întregi. Verificare: $(2 x - 1) (3 x - 2) = 6 x^{2} - 4 x - 3 x + 2 = 6 x^{2} - 7 x + 2$ ✓.

Din forma factorizată, $E (x) = 0$ exact pentru $x \in {\frac{1}{2}, \frac{2}{3}}$ — regăsim rădăcinile, cum era de așteptat. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră ecuația $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ , cu $m$ parametru real. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația are două soluții reale distincte. b) Determinați $m$ astfel încât ecuația să aibă o rădăcină dublă și calculați acea rădăcină.

Rezolvare. Coeficientul $b = - 2 m$ este par, deci lucrăm cu discriminantul redus, cu $b^{'} = - m$ :

$Δ^{'} = b^{'2} - a c = m^{2} - (m + 2) = m^{2} - m - 2.$

a) Condiția e $Δ^{'} > 0$ , adică $m^{2} - m - 2 > 0$ . Această inecuație de gradul al doilea în $m$ are discriminantul $1 + 8 = 9$ și rădăcinile $\frac{1 \pm 3}{2}$ , adică $- 1$ și $2$ ; coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia e pozitivă în afara rădăcinilor:

$m \in (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty) .$

b) Rădăcină dublă înseamnă $Δ^{'} = 0$ , adică $m^{2} - m - 2 = 0$ , cu soluțiile $m = - 1$ și $m = 2$ . Rădăcina dublă este $x = - \frac{b}{2 a} = m$ .

Pentru $m = - 1$ : ecuația devine $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ , adică $(x + 1)^{2} = 0$ , cu rădăcina dublă $x = - 1$ ✓. Pentru $m = 2$ : ecuația devine $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , adică $(x - 2)^{2} = 0$ , cu rădăcina dublă $x = 2$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. La exercițiile de deducere, scrie fiecare pas al transformării — nu doar rezultatul.

1. Rezolvă în $R$ : $4 x^{2} - 36 = 0$ .

2. Rezolvă în $R$ : $5 x^{2} + 3 x = 0$ .

3. Rezolvă în $R$ : $x^{2} + 16 = 0$ . Justifică răspunsul.

4. Rezolvă ecuația $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ prin formarea pătratului perfect, fără formula rădăcinilor.

5. Rezolvă ecuația $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ prin formarea pătratului perfect, apoi verifică rezultatul cu formula rădăcinilor.

6. Rezolvă ecuația $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ cu formula rădăcinilor.

7. Rezolvă ecuația $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

8. Rezolvă ecuația $9 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ și explică ce particularitate are.

9. Rezolvă ecuația $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ , folosind formula redusă.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $Δ = 0$ , ecuația de gradul al doilea nu are soluții reale."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice expresie de forma $a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ , se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali."

12. Scrie expresia $x^{2} - 12 x + 40$ sub forma $(x - u)^{2} + v$ și deduce de aici că ea nu se anulează pentru niciun $x$ real.

13. Descompune în factori de gradul întâi: a) $x^{2} - 5 x + 6$ ; b) $4 x^{2} - 12 x + 9$ ; c) $2 x^{2} + 3 x - 2$ .

14. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^{2} - 6 x + m = 0$ are două soluții reale distincte.

15. (Problemă aplicată.) O grădină dreptunghiulară are lungimea cu $3$ metri mai mare decât lățimea, iar aria de $70$ de metri pătrați. Scrie ecuația de gradul al doilea care modelează situația și află dimensiunile grădinii. Ce faci cu soluția negativă?

16. Arată că ecuația $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ are rădăcina $x = 1$ pentru orice valoare reală a lui $m$ , apoi determină cealaltă rădăcină prin factorizare.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră ecuația $x^{2} + x - 1 = 0$ . a) Arătați că ecuația are două soluții reale distincte. b) Determinați soluțiile ecuației.

18. (Provocare.) Demonstrează că, dacă $a + b + c = 0$ , atunci ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ (cu $a \neq = 0$ ) are întotdeauna soluții reale, una dintre ele fiind $x = 1$ , iar cealaltă $\frac{c}{a}$ . (Indicație: verifică direct $x = 1$ , apoi folosește factorizarea din secțiunea 7.)

Răspunsuri și explicații

1. $4 x^{2} = 36 ⟺ x^{2} = 9 ⟺ x = \pm 3$ . Soluții: ${- 3, 3}$ .

2. $x (5 x + 3) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = - \frac{3}{5}$ . Soluții: ${- \frac{3}{5}, 0}$ .

3. $x^{2} = - 16$ este imposibil pentru $x$ real, fiindcă pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero. Ecuația nu are soluții reale. (Confirmare cu discriminantul: $Δ = 0 - 64 = - 64 < 0$ .)

4. $x^{2} - 10 x = - 21$ . Jumătatea lui $- 10$ este $- 5$ , cu pătratul $25$ : $x^{2} - 10 x + 25 = 4$ , adică $(x - 5)^{2} = 4$ , deci $x - 5 = \pm 2$ și $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 7$ . Verificare: $9 - 30 + 21 = 0$ ✓, $49 - 70 + 21 = 0$ ✓.

5. $x^{2} - 2 x = 15$ ; adunăm $1$ : $(x - 1)^{2} = 16$ , deci $x - 1 = \pm 4$ și $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = 5$ . Cu formula: $Δ = 4 + 60 = 64$ , $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 8}{2}$ , adică $- 3$ și $5$ ✓.

6. $Δ = 9 + 16 = 25 > 0$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{4}$ , adică $x_{1} = - 2$ și $x_{2} = \frac{1}{2}$ . Verificare: $8 - 6 - 2 = 0$ ✓ și $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$ ✓.

7. $Δ = 4 + 60 = 64 > 0$ , deci $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 8}{10}$ , adică $x_{1} = - \frac{3}{5}$ și $x_{2} = 1$ . Verificare pentru $x = 1$ : $5 - 2 - 3 = 0$ ✓.

8. $Δ = 36 - 36 = 0$ , deci ecuația are rădăcină dublă: $x = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . Particularitatea: expresia e un pătrat perfect, $9 x^{2} - 6 x + 1 = (3 x - 1)^{2}$ , iar parabola asociată este tangentă la axa $O x$ în punctul $(\frac{1}{3}, 0)$ .

9. $b = - 6$ e par, deci $b^{'} = - 3$ și $Δ^{'} = 9 - 7 = 2 > 0$ . Atunci $x_{1, 2} = \frac{3 \pm 2}{1} = 3 \pm 2$ . Verificare prin pătrat perfect: $(x - 3)^{2} = 2$ ✓.

10. Fals. Dacă $Δ = 0$ , ecuația are exact o soluție reală, rădăcina dublă $x = - \frac{b}{2 a}$ . Lipsa soluțiilor reale corespunde cazului $Δ < 0$ . Contraexemplu: $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ are $Δ = 0$ și soluția $x = 2$ .

11. Fals. Descompunerea există doar dacă $Δ \geq 0$ . Contraexemplu: $x^{2} + x + 1$ are $Δ = - 3 < 0$ ; dacă am avea $x^{2} + x + 1 = (x - u) (x - v)$ cu $u, v$ reale, atunci $u$ ar fi rădăcină reală a ecuației, ceea ce contrazice $Δ < 0$ .

12. Jumătatea lui $- 12$ este $- 6$ , cu pătratul $36$ : $x^{2} - 12 x + 40 = (x^{2} - 12 x + 36) + 4 = (x - 6)^{2} + 4$ . Cum $(x - 6)^{2} \geq 0$ , avem $x^{2} - 12 x + 40 \geq 4 > 0$ pentru orice $x$ real, deci expresia nu se anulează niciodată. (Confirmare: $Δ = 144 - 160 = - 16 < 0$ .)

13. a) Rădăcinile sunt $2$ și $3$ (din $Δ = 25 - 24 = 1$ ), deci $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . b) $Δ = 144 - 144 = 0$ , rădăcină dublă $\frac{3}{2}$ , deci $4 x^{2} - 12 x + 9 = 4 (x - \frac{3}{2})^{2} = (2 x - 3)^{2}$ . c) Din exercițiul 6, rădăcinile sunt $- 2$ și $\frac{1}{2}$ , deci $2 x^{2} + 3 x - 2 = 2 (x + 2) (x - \frac{1}{2}) = (x + 2) (2 x - 1)$ . Verificare: $(x + 2) (2 x - 1) = 2 x^{2} - x + 4 x - 2 = 2 x^{2} + 3 x - 2$ ✓.

14. Condiția este $Δ > 0$ : $36 - 4 m > 0 ⟺ m < 9$ . Răspuns: $m \in (- \infty, 9)$ . Control pentru $m = 9$ : $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ are rădăcină dublă, deci capătul e corect exclus; pentru $m = 8$ : $Δ = 4 > 0$ , cu rădăcinile $2$ și $4$ ✓.

15. Fie $x$ lățimea, în metri; lungimea este $x + 3$ , iar aria $x (x + 3) = 70$ , adică $x^{2} + 3 x - 70 = 0$ . Discriminantul: $9 + 280 = 289 = 1 7^{2}$ , deci $x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 17}{2}$ , adică $- 10$ și $7$ . Soluția $- 10$ se elimină, fiindcă o lățime nu poate fi negativă — modelul matematic o produce, dar contextul o respinge. Răspuns: lățimea de $7$ metri, lungimea de $10$ metri. Verificare: $7 \cdot 10 = 70$ ✓.

16. Înlocuim $x = 1$ : $1 - (m + 1) + m = 1 - m - 1 + m = 0$ ✓, pentru orice $m$ real. Cum $x_{1} = 1$ este rădăcină, trinomul se descompune ca $(x - 1) (x - x_{2})$ ; desfăcând, obținem $x^{2} - (1 + x_{2}) x + x_{2}$ , iar identificarea termenului liber dă $x_{2} = m$ . Verificare directă: $(x - 1) (x - m) = x^{2} - (m + 1) x + m$ ✓. Deci rădăcinile sunt $1$ și $m$ ; pentru $m = 1$ ele coincid, iar rădăcina este dublă.

17. a) $Δ = 1 + 4 = 5 > 0$ , deci ecuația are două soluții reale distincte. b) $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ . (Soluția pozitivă, $\frac{- 1 + 5}{2} \approx 0, 618$ , este inversul numărului de aur — aceeași ecuație apare în proporția de aur, în șirul lui Fibonacci și în multe probleme de informatică.)

18. Verificăm direct $x = 1$ : $a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = a + b + c = 0$ ✓, deci $1$ este rădăcină, iar ecuația are soluții reale (existența unei rădăcini reale forțează $Δ \geq 0$ ). Pentru a doua rădăcină, folosim factorizarea din secțiunea 7: $a x^{2} + b x + c = a (x - 1) (x - x_{2})$ . Desfacem membrul drept: $a [x^{2} - (1 + x_{2}) x + x_{2}] = a x^{2} - a (1 + x_{2}) x + a x_{2}$ . Identificând termenii liberi, $a x_{2} = c$ , deci $x_{2} = \frac{c}{a}$ . Exemplu de control: $2 x^{2} + 5 x - 7 = 0$ are $a + b + c = 0$ , deci rădăcinile $1$ și $- \frac{7}{2}$ ; verificare: $2 \cdot \frac{49}{4} - \frac{35}{2} - 7 = \frac{49}{2} - \frac{35}{2} - 7 = 0$ ✓. $■$

De reținut

Ideea unică a lecției: prin formarea pătratului perfect, orice ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ se aduce la forma $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Numitorul $4 a^{2}$ e strict pozitiv, deci semnul lui $Δ$ decide totul: $Δ < 0$ — nicio soluție reală; $Δ = 0$ — rădăcină dublă $- \frac{b}{2 a}$ ; $Δ > 0$ — două soluții $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
La extragerea radicalului, $4 a^{2} = 2∣ a ∣$ , nu $2 a$ ; pentru $a < 0$ cele două semne doar își schimbă rolurile, iar formula finală rămâne valabilă pentru orice $a \neq = 0$ .
Formula redusă: dacă $b = 2 b^{'}$ , atunci $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ — mult mai comodă la numere mari.
Când $Δ \geq 0$ , avem factorizarea $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ; când $Δ < 0$ , trinomul este ireductibil peste $R$ .

Greșeli frecvente

Aplici formula fără să verifici $a \neq = 0$ . La ecuațiile cu parametru, valoarea care anulează coeficientul dominant trebuie discutată separat: acolo ecuația devine de gradul întâi și are (cel mult) o soluție.
Scrii $4 a^{2} = 2 a$ . Este corect doar pentru $a > 0$ ; în general $4 a^{2} = 2∣ a ∣$ . În demonstrația formulei, tocmai acest detaliu cere argumentul suplimentar despre cele două semne.
Uiți să adaugi termenul în ambii membri. La completarea pătratului, $(\frac{p}{2})^{2}$ se adună de ambele părți ale egalității (sau se adună și se scade în aceeași expresie). Adăugat într-un singur membru, schimbă ecuația.
Confunzi $Δ = 0$ cu $Δ < 0$ . Primul caz dă o soluție (dublă), al doilea niciuna. La discuțiile cu parametru, diferența decide între „ $\geq$ " și „ $>$ " în răspunsul final.
Păstrezi soluțiile fără sens în problemele aplicate. Rezolvarea algebrică dă toate rădăcinile; contextul (lungime, timp, număr de obiecte) poate elimina una dintre ele. Eliminarea trebuie scrisă și justificată, nu subînțeleasă.

Aplică acasă

Deducerea din memorie. Ia o foaie goală și reconstituie demonstrația formulei rădăcinilor, fără să te uiți în lecție: împărțire la $a$ , izolarea termenilor, completarea pătratului, cele trei cazuri. Compară apoi cu textul și notează exact la ce pas te-ai blocat — acela e pasul de reluat.
Algoritmul scris în pseudocod. Scrie, în pseudocod sau în limbajul de programare pe care îl studiezi, un algoritm care citește $a$ , $b$ , $c$ și afișează soluțiile ecuației. Tratează explicit toate ramurile: $a = 0$ (ecuație de gradul întâi, cu subcazul $b = 0$ ), apoi $Δ$ pozitiv, nul sau negativ. Vei vedea că un program corect are exact structura discuției matematice.
Al-Khwarizmi cu hârtie și foarfecă. Decupează un pătrat de latură $x$ (alege $x = 5$ centimetri) și două dreptunghiuri de $5$ pe $3$ centimetri. Așază-le ca în figura din lecție și măsoară ce pătrățel lipsește pentru a completa pătratul mare. Verifică apoi prin calcul că aria lui este $(\frac{6}{2})^{2} = 9$ centimetri pătrați.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde unei cerințe explicite a programei de matematică-informatică: formulele de rezolvare a ecuației de gradul al doilea se deduc, nu se enunță. Elevul trebuie să poată reface demonstrația, nu doar să aplice rezultatul. Verificați trei lucruri: că știe de ce se împarte întâi la $a$ , că adaugă $(\frac{b}{2 a})^{2}$ în ambii membri și că tratează separat cele trei cazuri ale discriminantului, cu justificarea fiecăruia (pătratul unui număr real nu poate fi negativ, un pătrat nul forțează baza nulă).

Întrebări bune de control: „De ce condiția $a \neq = 0$ e obligatorie?"; „De ce $4 a^{2}$ nu este $2 a$ ?"; „Ce înseamnă geometric $Δ = 0$ ?" (parabola e tangentă la axa $O x$ ); „Se poate descompune $x^{2} + x + 1$ în factori de gradul întâi cu coeficienți reali?" (nu, fiindcă $Δ < 0$ ). Semne că a înțeles: rezolvă o ecuație prin completarea pătratului fără să recurgă la formulă, folosește formula redusă când $b$ e par și justifică eliminarea soluțiilor fără sens în problemele aplicate.

La Bacalaureatul M1, ecuația de gradul al doilea apare în aproape fiecare variantă, cel mai adesea în combinație cu relațiile lui Viète, cu studiul semnului sau cu discuții după un parametru. Deducerea propriu-zisă poate fi cerută ca punct de teorie, iar tehnica formării pătratului perfect revine mai târziu la forma canonică a conicelor, la inegalități și la integrale de forma $\int \frac{d x}{a x ^{2} + b x + c}$ , în clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De ce se numește discriminant expresia $b^{2} - 4 a c$ ? Pentru că discriminează, adică deosebește între cele trei situații posibile: două soluții reale, o rădăcină dublă sau nicio soluție reală. Semnul lui, și nu valoarea lui, e cel care decide.

Cum se deduce formula ecuației de gradul al doilea? Se împarte ecuația la $a$ , se izolează termenii cu necunoscută, apoi se completează pătratul adunând $(\frac{b}{2 a})^{2}$ în ambii membri. Se ajunge la $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ , de unde, prin extragerea radicalului, se obține $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .

Ce înseamnă formarea pătratului perfect? Este transformarea unei expresii de forma $x^{2} + p x$ într-un pătrat, prin adăugarea termenului $(\frac{p}{2})^{2}$ : $x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (x + \frac{p}{2})^{2}$ . Ca să nu schimbi valoarea expresiei, termenul adăugat se și scade, sau se adaugă în ambii membri ai ecuației.

Când are ecuația de gradul al doilea soluții reale? Exact atunci când $Δ \geq 0$ : două soluții distincte pentru $Δ > 0$ și una singură, dublă, pentru $Δ = 0$ . Pentru $Δ < 0$ nu există soluții reale, fiindcă un pătrat de număr real nu poate fi egal cu un număr negativ.

Ce este formula redusă și când o folosesc? Când $b$ este par, scrii $b = 2 b^{'}$ , calculezi $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ și obții $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ . Este utilă mai ales la numere mari, fiindcă evită înmulțirile cu $4$ .

Cum descompun în factori o expresie de gradul al doilea? Rezolvi ecuația asociată; dacă $Δ \geq 0$ și rădăcinile sunt $x_{1}$ și $x_{2}$ , atunci $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Apoi, dacă rădăcinile sunt fracționare, distribui factorul $a$ în paranteze pentru a obține coeficienți întregi.

De ce unele expresii de gradul al doilea nu se pot descompune? Pentru că nu au rădăcini reale, adică $Δ < 0$ . Dacă ar exista o descompunere $a (x - u) (x - v)$ cu $u, v$ reale, atunci $u$ și $v$ ar fi rădăcini reale ale ecuației — contradicție. Un astfel de trinom se numește ireductibil peste $R$ .

Ce legătură există între rădăcini și vârful parabolei? Media aritmetică a rădăcinilor este $- \frac{b}{2 a}$ , adică abscisa vârfului: rădăcinile sunt simetrice față de axa de simetrie a parabolei.