Funcția inversă: condiția de inversabilitate

Un traducător bun lucrează în ambele sensuri: din română în engleză și din engleză în română. Dar asta funcționează impecabil doar dacă dicționarul respectă două reguli — două cuvinte românești diferite nu primesc aceeași traducere, iar niciun cuvânt englezesc nu rămâne fără corespondent. Dacă prima regulă cade, la întoarcere nu mai știi din ce ai plecat. Dacă cade a doua, unele cuvinte englezești nu au ce traducere primi.

Cele două reguli sunt exact injectivitatea și surjectivitatea, studiate în lecția despre funcții injective, surjective, bijective. Iar concluzia acestei lecții este cea mai frumoasă echivalență din capitolul funcțiilor: o funcție poate fi „întoarsă din drum" dacă și numai dacă este bijectivă. Vom defini riguros funcția inversă $f^{-1}$, vom demonstra echivalența dintre inversabilitate și bijectivitate, vom învăța să calculăm inversa și vom descoperi un fapt geometric surprinzător: graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt oglindite unul în celălalt față de dreapta $y=x$.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce numai bijecțiile se pot inversa și să demonstrezi buna definire a inversei.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi condiția necesară și suficientă de inversabilitate: $f$ inversabilă $⟺$ $f$ bijectivă.
• Vei ști să folosești relațiile fundamentale $f^{-1}\circ f=1_A$ și $f\circ f^{-1}=1_B$.
• Vei ști să calculezi inversa unei funcții, după un algoritm în patru pași, inclusiv pentru funcții definite pe ramuri.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești simetria graficelor față de prima bisectoare $y=x$.
• Vei ști proprietățile inversei: ${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$, păstrarea monotoniei și formula $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Hai să descoperim împreună

1. De ce doar bijecțiile se pot întoarce

Fie $f:A\to B$. Vrem să construim „drumul invers": o corespondență care duce fiecare $y\in B$ înapoi în elementul din care a venit. Ca aceasta să fie o funcție $B\to A$, avem nevoie de exact două lucruri:

• fiecare $y\in B$ trebuie să aibă un antecedent — altfel nu am ce asocia lui $y$. Aceasta este surjectivitatea;
• acel antecedent trebuie să fie unic — altfel lui $y$ i-am asocia două valori, iar o funcție nu are voie să facă asta. Aceasta este injectivitatea.

Cele două cerințe împreună înseamnă bijectivitate. Nu e o coincidență, ci exact conținutul definiției funcției, aplicat drumului invers.

2. Definiția funcției inverse și buna ei definire

Definiție. Fie $f:A\to B$ o funcție bijectivă. Funcția inversă a lui $f$ este $f^{-1}:B\to A$, definită prin

$$f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y.$$

Buna definire. Trebuie să verificăm că regula de mai sus chiar definește o funcție, adică: pentru orice $y\in B$ există un $x$ și acesta e unic.

Existența: $f$ fiind surjectivă, pentru $y\in B$ există cel puțin un $x\in A$ cu $f(x)=y$.

Unicitatea: dacă ar exista $x_1,x_2\in A$ cu $f(x_1)=y$ și $f(x_2)=y$, atunci $f(x_1)=f(x_2)$, iar din injectivitate $x_1=x_2$. $■$

Așadar bijectivitatea nu e o condiție inventată: e exact ce trebuie ca definiția să nu se prăbușească. Atenție și la notație: $f^{-1}$ nu înseamnă $\frac{1}{f}$. Simbolul „$-1$" e aici o etichetă pentru „drumul invers", nu un exponent.

3. Relațiile fundamentale

Din definiție decurg imediat cele două egalități pe care se sprijină toată lecția. Reamintim că $1_A(x)=x$ este funcția identică, întâlnită la operații cu funcții și compunerea funcțiilor.

Propoziție. Dacă $f:A\to B$ este bijectivă, atunci

$$f^{-1}\circ f=1_A\text{și}f\circ f^{-1}=1_B.$$

Demonstrație. Fie $x\in A$ și notăm $y=f(x)$. Din definiția inversei, $f^{-1}(y)=x$, deci

$$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x=1_A(x).$$

Fie acum $y\in B$ și notăm $x=f^{-1}(y)$; din definiție, $f(x)=y$, deci $(f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y=1_B(y)$. $■$

În cuvinte: aplici funcția, apoi inversa și te întorci de unde ai plecat. Relația $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ este și cel mai rapid mod de a verifica un calcul de inversă — dacă nu iese $x$, ai greșit undeva.

4. Teorema fundamentală: inversabilă $⟺$ bijectivă

Până acum am pornit de la bijectivitate și am construit inversa. Acum inversăm întrebarea: ce înseamnă, în sine, că o funcție e „inversabilă"?

Definiție. Funcția $f:A\to B$ se numește inversabilă dacă există o funcție $g:B\to A$ astfel încât

$$g\circ f=1_A\text{și}f\circ g=1_B.$$

Teoremă (condiția necesară și suficientă de inversabilitate). Funcția $f:A\to B$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. În acest caz, funcția $g$ din definiție este unică și este chiar $f^{-1}$.

Demonstrație.

„$\Leftarrow$" (bijectivă $\Rightarrow$ inversabilă). Dacă $f$ e bijectivă, construim $f^{-1}$ ca la punctul 2 — construcția e corectă tocmai datorită bijectivității — iar propoziția de la punctul 3 arată că $f^{-1}$ îndeplinește ambele condiții cerute lui $g$.

„$\Rightarrow$" (inversabilă $\Rightarrow$ bijectivă). Presupunem că există $g$ cu $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$.

Injectivitatea lui $f$: fie $x_1,x_2\in A$ cu $f(x_1)=f(x_2)$. Aplicăm $g$: $g(f(x_1))=g(f(x_2))$, adică $1_A(x_1)=1_A(x_2)$, deci $x_1=x_2$. ✓

Surjectivitatea lui $f$: fie $y\in B$ oarecare. Luăm $x=g(y)\in A$. Atunci $f(x)=f(g(y))=(f\circ g)(y)=1_B(y)=y$. Am găsit un antecedent pentru $y$. ✓

Deci $f$ e bijectivă.

Unicitatea lui $g$. Fie $g_1$ și $g_2$ două funcții cu proprietatea din definiție. Folosind asociativitatea compunerii (demonstrată în lecția precedentă):

$$g_1=g_1\circ 1_B=g_1\circ (f\circ g_2)=(g_1\circ f)\circ g_2=1_A\circ g_2=g_2.■$$

Reține structura: injectivitatea vine din $g\circ f=1_A$, surjectivitatea din $f\circ g=1_B$. Fiecare relație „plătește" exact una dintre cele două proprietăți — de aceea sunt necesare amândouă.

5. Algoritmul de calcul al inversei

Patru pași, mereu aceiași:

1. Demonstrezi bijectivitatea lui $f$ (injectivitate + surjectivitate, sau monotonie strictă + surjectivitate).
2. Scrii ecuația $y=f(x)$.
3. Rezolvi ecuația în raport cu $x$, obținând $x$ exprimat prin $y$.
4. Scrii inversa: $f^{-1}(y)=\dots$, sau, redenumind variabila, $f^{-1}(x)=\dots$

Exemplu. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$.

Pasul 1. Injectivă: din $3x_1-5=3x_2-5$ rezultă $x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y$ real, ecuația $3x-5=y$ are soluția $x=\frac{y+5}{3}\in \mathbb{R}$. Deci $f$ e bijectivă.

Pașii 2–4. $y=3x-5⟺3x=y+5⟺x=\frac{y+5}{3}$, deci

$$f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}.$$

Verificare obligatorie: $(f^{-1}\circ f)(x)=\frac{(3x-5)+5}{3}=\frac{3x}{3}=x$ ✓ și $(f\circ f^{-1})(x)=3\cdot \frac{x+5}{3}-5=x+5-5=x$ ✓.

Observă că pasul 3 este exact calculul făcut la demonstrarea surjectivității. Nu e o coincidență: a rezolva $f(x)=y$ înseamnă a găsi antecedentul lui $y$, adică $f^{-1}(y)$.

6. Simetria față de prima bisectoare

Aici apare rezultatul geometric care face inversa memorabilă.

Teoremă. Graficele funcțiilor $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta de ecuație $y=x$.

Demonstrație. Fie $G_f$ graficul lui $f$ și $G_{f^{-1}}$ graficul inversei. Avem lanțul de echivalențe:

$$(a,b)\in G_f⟺f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a⟺(b,a)\in G_{f^{-1}}.$$

Rămâne de arătat că punctele $P(a,b)$ și $P^{\prime }(b,a)$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$. Verificăm cele două condiții ale simetriei față de o dreaptă:

• mijlocul segmentului $P{P}^{\prime }$ este pe dreaptă: el are coordonatele $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)$, iar abscisa e egală cu ordonata, deci punctul verifică $y=x$ ✓;
• segmentul $P{P}^{\prime }$ este perpendicular pe dreaptă: panta lui este $\frac{a-b}{b-a}=-1$ (pentru $a\ne b$), iar panta bisectoarei este $1$; produsul pantelor este $-1$, deci dreptele sunt perpendiculare ✓.

Prin urmare $G_{f^{-1}}$ se obține din $G_f$ prin oglindire față de $y=x$. $■$

Exemplu vizual. Pentru $f(x)=2x-4$ avem $f^{-1}(x)=\frac{x+4}{2}$. Punctele $(0,-4)$, $(2,0)$, $(3,2)$ sunt pe graficul lui $f$; punctele $(-4,0)$, $(0,2)$, $(2,3)$ sunt pe graficul inversei — perechi de puncte cu coordonatele schimbate între ele.

O consecință practică frumoasă: punctele fixe ale lui $f$, adică soluțiile ecuației $f(x)=x$, se află chiar pe bisectoare și sunt puncte comune ale celor două grafice. De aceea ecuația $f(x)=f^{-1}(x)$ se rezolvă adesea căutând întâi $f(x)=x$.

7. Proprietățile inversei

a) Inversa inversei. Dacă $f:A\to B$ e bijectivă, atunci $f^{-1}$ e bijectivă și ${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$.

Într-adevăr, relațiile $f\circ f^{-1}=1_B$ și $f^{-1}\circ f=1_A$ spun, citite din perspectiva lui $f^{-1}$, exact că $f$ este inversa lui $f^{-1}$; unicitatea inversei încheie demonstrația.

b) Monotonia se păstrează. Dacă $f$ e bijectivă și strict crescătoare, atunci $f^{-1}$ e strict crescătoare.

Demonstrație. Fie $y_1<y_2$ în $B$ și notăm $x_1=f^{-1}(y_1)$, $x_2=f^{-1}(y_2)$. Presupunem prin absurd că $x_1\ge x_2$. Dacă $x_1=x_2$, atunci $y_1=f(x_1)=f(x_2)=y_2$, contradicție. Dacă $x_1>x_2$, din stricta creștere a lui $f$ obținem $y_1=f(x_1)>f(x_2)=y_2$, iar contradicție. Deci $x_1<x_2$. $■$

Geometric era de așteptat: oglindirea față de $y=x$ nu răstoarnă sensul de urcare.

c) Inversa compunerii. Dacă $f:A\to B$ și $g:B\to C$ sunt bijective, atunci $g\circ f$ e bijectivă și

$$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$$

Demonstrație. Verificăm definiția inversabilității, folosind asociativitatea:

$$(f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f)=f^{-1}\circ (g^{-1}\circ g)\circ f=f^{-1}\circ 1_B\circ f=f^{-1}\circ f=1_A,$$

și, analog, $(g\circ f)\circ (f^{-1}\circ g^{-1})=1_C$. Prin unicitatea inversei, $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. $■$

Ordinea se inversează — exact ca la îmbrăcat: pui întâi șoseta, apoi pantoful; ca să te descalți, scoți întâi pantoful.

8. Inversa unei funcții definite pe ramuri

Reluăm funcția din lecția precedentă: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-|x|$, despre care am demonstrat acolo că este bijectivă. Explicitată pe ramuri, folosind funcția modul:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x\ge 0\\ 4x,& x<0\end{array}$$

Regula: inversezi fiecare ramură separat și traduci condiția din $x$ în condiție pe $y$.

• Pentru $x\ge 0$: $y=2x$, deci $x=\frac{y}{2}$. Condiția $x\ge 0$ devine $y\ge 0$ (fiindcă valorile acestei ramuri sunt exact $y\ge 0$).
• Pentru $x<0$: $y=4x$, deci $x=\frac{y}{4}$. Condiția $x<0$ devine $y<0$.

Cele două seturi de valori, $[0,\infty )$ și $(-\infty ,0)$, nu se suprapun și acoperă tot $\mathbb{R}$ — de aceea inversa e bine definită:

$$f^{-1}(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{y}{2},& y\ge 0\\ \frac{y}{4},& y<0\end{array}$$

Verificare pe trei valori: $f(5)=10$ și $f^{-1}(10)=5$ ✓; $f(-3)=-12$ și $f^{-1}(-12)=-3$ ✓; $f(0)=0$ și $f^{-1}(0)=0$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inversa unei funcții afine, complet

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-3$ este bijectivă și determinați $f^{-1}$.

Rezolvare. Bijectivitatea. Injectivă: $4x_1-3=4x_2-3\Rightarrow x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y\in \mathbb{R}$, ecuația $4x-3=y$ are soluția $x=\frac{y+3}{4}\in \mathbb{R}$.

Inversa. Din $y=4x-3$ obținem $x=\frac{y+3}{4}$, deci

$$f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f^{-1}(x)=\frac{x+3}{4}.$$

Verificare. $(f^{-1}\circ f)(x)=\frac{4x-3+3}{4}=x$ ✓ și $(f\circ f^{-1})(x)=4\cdot \frac{x+3}{4}-3=x$ ✓. $■$

Reține regula generală: orice funcție afină $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$ și are inversa $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$ — tot o funcție afină, cu panta $\frac{1}{a}$, ceea ce se vede și pe grafic, prin oglindirea în bisectoare (revezi monotonia funcției afine).

Exemplul 2 — Inversa unei funcții „reparate" prin restrângere

Se consideră $g:[2,\infty )\to [3,\infty )$, $g(x)=(x-2{)}^2+3$, despre care s-a demonstrat că este bijectivă. Determinați $g^{-1}$.

Rezolvare. Punem $y=(x-2{)}^2+3$, cu $x\ge 2$ și $y\ge 3$. Atunci $(x-2{)}^2=y-3\ge 0$, de unde $|x-2|=\sqrt{y-3}$. Cum $x\ge 2$, avem $x-2\ge 0$, deci $|x-2|=x-2$ și

$$x=2+\sqrt{y-3}.$$

Prin urmare $g^{-1}:[3,\infty )\to [2,\infty )$, $g^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}$.

Verificare numerică: $g(4)=4+3=7$ și $g^{-1}(7)=2+\sqrt{4}=4$ ✓; $g(5)=9+3=12$ și $g^{-1}(12)=2+\sqrt{9}=5$ ✓; $g(2)=3$ și $g^{-1}(3)=2+0=2$ ✓. $■$

Momentul cheie e alegerea semnului: din $|x-2|=\sqrt{y-3}$ ar rezulta formal două variante, dar condiția $x\ge 2$ o selectează pe cea cu plus. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen.

Exemplul 3 — Citirea inversei de pe grafic

Funcția bijectivă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are graficul care trece prin punctele $A(-1,2)$, $B(0,5)$ și $C(3,11)$. a) Calculați $f^{-1}(5)$ și $f^{-1}(11)$. b) Precizați trei puncte de pe graficul lui $f^{-1}$. c) Rezolvați ecuația $f^{-1}(x)=-1$.

Rezolvare. a) $f(0)=5$, deci $f^{-1}(5)=0$. $f(3)=11$, deci $f^{-1}(11)=3$.

b) Prin simetria față de bisectoare, se schimbă coordonatele între ele: $(2,-1)$, $(5,0)$ și $(11,3)$ aparțin graficului lui $f^{-1}$.

c) $f^{-1}(x)=-1⟺f(-1)=x$, deci $x=2$. $■$

Această echivalență, $f^{-1}(x)=a⟺f(a)=x$, transformă orice întrebare despre inversă într-una despre funcția inițială. E cel mai util reflex din lecție.

Exemplul 4 — Inversa unei funcții pe ramuri

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x,& x\ge 0\\ x,& x<0\end{array}$ Arătați că $f$ este bijectivă și determinați $f^{-1}$.

Rezolvare. Bijectivitatea. Pe $[0,\infty )$, $f$ e strict crescătoare cu valori exact în $[0,\infty )$; pe $(-\infty ,0)$ e strict crescătoare cu valori exact în $(-\infty ,0)$. Cele două mulțimi de valori sunt disjuncte și reunite dau $\mathbb{R}$, deci $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (injectivă) și acoperă tot codomeniul (surjectivă).

Inversa. Pe prima ramură: $y=3x$ cu $x\ge 0$ dă $x=\frac{y}{3}$, iar condiția devine $y\ge 0$. Pe a doua: $y=x$ cu $x<0$ dă $x=y$, cu condiția $y<0$. Deci

$$f^{-1}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{3},& x\ge 0\\ x,& x<0\end{array}$$

Verificare: $f(2)=6$ și $f^{-1}(6)=2$ ✓; $f(-4)=-4$ și $f^{-1}(-4)=-4$ ✓; $f(0)=0=f^{-1}(0)$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Inversa unei compuneri

Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x$. Calculați $(g\circ f{)}^{-1}$ pe două căi: direct și cu formula $f^{-1}\circ g^{-1}$.

Rezolvare. Calea directă. $(g\circ f)(x)=g(2x+1)=6x+3$. Din $y=6x+3$ obținem $x=\frac{y-3}{6}$, deci $(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{x-3}{6}$.

Calea cu formula. $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ și $g^{-1}(x)=\frac{x}{3}$. Atunci

$$(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=f^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{\frac{x}{3}-1}{2}=\frac{x-3}{6}.$$

Aceleași rezultate ✓. Verificare numerică în $x=9$: $(g\circ f{)}^{-1}(9)=1$, iar într-adevăr $(g\circ f)(1)=9$. $■$

Observă că ordinea inversată e obligatorie: $g^{-1}\circ f^{-1}$ ar da $\frac{x-1}{6}$, ceea ce e greșit.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+7$. a) Arătați că $f$ este bijectivă. b) Determinați $f^{-1}$. c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $f^{-1}(x)=f(x)$.

Rezolvare. a) Injectivă: $2x_1+7=2x_2+7\Rightarrow x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y\in \mathbb{R}$, $x=\frac{y-7}{2}\in \mathbb{R}$ verifică $f(x)=y$. Deci $f$ e bijectivă.

b) Din $y=2x+7$ obținem $x=\frac{y-7}{2}$, deci $f^{-1}(x)=\frac{x-7}{2}$.

c) Ecuația devine $\frac{x-7}{2}=2x+7$. Înmulțim cu $2$: $x-7=4x+14$, de unde $-21=3x$ și $x=-7$.

Verificare: $f(-7)=-14+7=-7$ și $f^{-1}(-7)=\frac{-14}{2}=-7$ ✓. Soluția este chiar un punct fix al lui $f$ și se află pe prima bisectoare: punctul $(-7,-7)$ e comun celor două grafice, exact cum anticipa observația de la punctul 6. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare calcul de inversă, verifică rezultatul cu relația $(f^{-1}\circ f)(x)=x$.

1. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-3$ este bijectivă și determină $f^{-1}$.

2. Determină inversa funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+5$, apoi verifică $(f\circ f^{-1})(x)=x$.

3. Pentru $f(x)=4x-3$ de la exercițiul 1, calculează $(f^{-1}\circ f)(7)$ și $(f\circ f^{-1})(7)$ fără să folosești formulele — doar pe baza relațiilor fundamentale.

4. Funcția bijectivă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are pe grafic punctul $(2,7)$. Ce punct aparține în mod sigur graficului lui $f^{-1}$? Cât este $f^{-1}(7)$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are inversă."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Notația $f^{-1}$ înseamnă $\frac{1}{f}$."

7. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ nu este inversabilă. Alege apoi un domeniu și un codomeniu pe care devine inversabilă și scrie inversa.

8. Determină inversa funcției $f:[1,\infty )\to [2,\infty )$, $f(x)=(x-1{)}^2+2$, și verific-o în două puncte.

9. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. Scrie trei puncte de pe graficul lui $f$ și punctele lor simetrice față de dreapta $y=x$; arată că acestea din urmă aparțin graficului lui $f^{-1}$.

10. Reia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-|x|$ din lecția despre funcții injective, surjective, bijective și determină $f^{-1}$, scrisă pe ramuri.

11. Demonstrează că, pentru orice funcție bijectivă $f:A\to B$, are loc ${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$.

12. (Problemă aplicată.) Temperatura în grade Fahrenheit se obține din cea în grade Celsius prin $F(c)=1,8c+32$. a) Calculează $F(100)$ și $F(37)$. b) Determină funcția inversă, care transformă Fahrenheit în Celsius. c) Câte grade Celsius înseamnă $212^{\circ }$F? Dar $32^{\circ }$F?

13. Demonstrează că, dacă $f$ este bijectivă și strict crescătoare, atunci $f^{-1}$ este strict crescătoare.

14. Rezolvă ecuația $f(x)=f^{-1}(x)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$, și explică geometric ce reprezintă soluția.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-3$. a) Arătați că $f$ este bijectivă. b) Determinați $f^{-1}$. c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $(f^{-1}\circ f)(x)+f(x)=9$.

16. Fie $f:A\to B$ și $g:B\to C$ bijective. Demonstrează că $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$, folosind asociativitatea compunerii din lecția despre operații cu funcții și compunerea funcțiilor.

17. Pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x$, definite pe $\mathbb{R}$, calculează $(g\circ f{)}^{-1}$ direct și apoi cu formula de la exercițiul 16. Arată, printr-un calcul, că $g^{-1}\circ f^{-1}$ dă un rezultat diferit.

18. (Provocare.) Determină toate funcțiile afine $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$, care coincid cu propria inversă, adică $f^{-1}=f$. Ce proprietate geometrică au graficele lor?

Răspunsuri și explicații

1. Injectivă: $4x_1-3=4x_2-3\Rightarrow x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y$ real, $x=\frac{y+3}{4}\in \mathbb{R}$. Deci $f$ e bijectivă, iar din $y=4x-3$ rezultă $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{4}$. Verificare: $(f^{-1}\circ f)(x)=\frac{4x-3+3}{4}=x$ ✓.

2. Din $y=-2x+5$ obținem $2x=5-y$, deci $f^{-1}(x)=\frac{5-x}{2}$. Verificare: $(f\circ f^{-1})(x)=-2\cdot \frac{5-x}{2}+5=-(5-x)+5=x$ ✓.

3. Din relațiile fundamentale, $f^{-1}\circ f=1_{\mathbb{R}}$ și $f\circ f^{-1}=1_{\mathbb{R}}$, deci ambele valori sunt $7$ — indiferent de formula lui $f$. Asta e toată puterea acestor identități.

4. Din $f(2)=7$ rezultă $f^{-1}(7)=2$, deci punctul $(7,2)$ aparține graficului inversei: coordonatele se schimbă între ele, prin simetria față de prima bisectoare.

5. Fals. Doar funcțiile bijective sunt inversabile. Contraexemplu: $f(x)=x^2$ nu e injectivă ($f(-2)=f(2)=4$), deci la „întoarcere" nu s-ar ști dacă $4$ vine din $-2$ sau din $2$ — corespondența inversă nu ar fi funcție.

6. Fals. $f^{-1}$ este funcția inversă la compunere, definită prin $f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y$, nu inversul aritmetic. Pentru $f(x)=3x-5$: $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$, în timp ce $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{3x-5}$ — funcții complet diferite (a doua nici măcar nu e definită în $x=\frac{5}{3}$).

7. Nu e inversabilă: nu e injectivă, căci $f(-3)=f(3)=9$, și nici surjectivă, căci $y=-1$ nu e atins. Repararea: $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f(x)=x^2$, este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$. (La fel de corectă e varianta $(-\infty ,0]\to [0,\infty )$, cu inversa $-\sqrt{x}$.)

8. Din $y=(x-1{)}^2+2$ cu $x\ge 1$: $(x-1{)}^2=y-2$, deci $|x-1|=\sqrt{y-2}$, iar cum $x\ge 1$ avem $x=1+\sqrt{y-2}$. Deci $f^{-1}:[2,\infty )\to [1,\infty )$, $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2}$. Verificare: $f(3)=4+2=6$ și $f^{-1}(6)=1+2=3$ ✓; $f(5)=16+2=18$ și $f^{-1}(18)=1+4=5$ ✓.

9. $f(0)=-4$, $f(2)=0$, $f(3)=2$, deci $(0,-4)$, $(2,0)$, $(3,2)\in G_f$. Simetricele lor față de $y=x$ sunt $(-4,0)$, $(0,2)$, $(2,3)$. Cum $f^{-1}(x)=\frac{x+4}{2}$, verificăm: $f^{-1}(-4)=0$ ✓, $f^{-1}(0)=2$ ✓, $f^{-1}(2)=3$ ✓.

10. Pe ramuri, $f(x)=2x$ pentru $x\ge 0$ și $f(x)=4x$ pentru $x<0$. Prima ramură ia exact valorile $y\ge 0$ și se inversează prin $x=\frac{y}{2}$; a doua ia exact valorile $y<0$ și se inversează prin $x=\frac{y}{4}$. Deci $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ pentru $x\ge 0$ și $f^{-1}(x)=\frac{x}{4}$ pentru $x<0$. Verificare: $f(5)=10\to f^{-1}(10)=5$ ✓; $f(-3)=-12\to f^{-1}(-12)=-3$ ✓.

11. Din definiția inversabilității, $f^{-1}$ satisface $f^{-1}\circ f=1_A$ și $f\circ f^{-1}=1_B$. Citite pentru funcția $f^{-1}:B\to A$, aceste două relații spun exact că $f$ joacă rolul unei inverse pentru $f^{-1}$. Cum inversa este unică (teorema de la punctul 4), rezultă ${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$. $■$

12. a) $F(100)=180+32=212$ și $F(37)=66,6+32=98,6$ — temperatura corpului uman. b) Din $y=1,8c+32$ obținem $c=\frac{y-32}{1,8}=\frac{5(y-32)}{9}$, deci $F^{-1}(x)=\frac{5(x-32)}{9}$. c) $F^{-1}(212)=\frac{5\cdot 180}{9}=100^{\circ }$C (fierberea apei) și $F^{-1}(32)=0^{\circ }$C (înghețul) ✓ — exact valorile de la punctul a), citite invers.

13. Fie $y_1<y_2$ în codomeniu și $x_1=f^{-1}(y_1)$, $x_2=f^{-1}(y_2)$. Presupunem prin absurd $x_1\ge x_2$. Dacă $x_1=x_2$, aplicând $f$ obținem $y_1=y_2$ — contradicție. Dacă $x_1>x_2$, din stricta creștere a lui $f$ rezultă $y_1>y_2$ — iar contradicție. Deci $x_1<x_2$, adică $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$: inversa e strict crescătoare. $■$

14. $f^{-1}(x)=\frac{x+4}{3}$. Ecuația $3x-4=\frac{x+4}{3}$ devine $9x-12=x+4$, deci $8x=16$ și $x=2$. Verificare: $f(2)=2$ ✓ și $f^{-1}(2)=2$ ✓. Geometric: $(2,2)$ este punctul comun al celor două grafice, situat pe prima bisectoare — un punct fix al funcției.

15. a) Injectivă: $5x_1-3=5x_2-3\Rightarrow x_1=x_2$. Surjectivă: pentru $y$ real, $x=\frac{y+3}{5}\in \mathbb{R}$. b) $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{5}$. c) Cum $(f^{-1}\circ f)(x)=x$, ecuația devine $x+(5x-3)=9$, adică $6x=12$ și $x=2$. Verificare: $(f^{-1}\circ f)(2)=2$, $f(2)=7$, iar $2+7=9$ ✓.

16. Notăm $h=f^{-1}\circ g^{-1}$. Folosind asociativitatea: $$h\circ (g\circ f)=f^{-1}\circ (g^{-1}\circ g)\circ f=f^{-1}\circ 1_B\circ f=f^{-1}\circ f=1_A,$$ $$(g\circ f)\circ h=g\circ (f\circ f^{-1})\circ g^{-1}=g\circ 1_B\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=1_C.$$ Deci $h$ verifică definiția inversei lui $g\circ f$, iar prin unicitatea inversei $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. $■$

17. $(g\circ f)(x)=3(2x+1)=6x+3$, deci din $y=6x+3$ rezultă $(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{x-3}{6}$. Cu formula: $g^{-1}(x)=\frac{x}{3}$, $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$, deci $(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=\frac{\frac{x}{3}-1}{2}=\frac{x-3}{6}$ ✓. În schimb $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\frac{\frac{x-1}{2}}{3}=\frac{x-1}{6}$ — diferit (în $x=9$ dă $\frac{8}{6}$ în loc de $1$). Ordinea trebuie inversată.

18. $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$. Egalitatea $f^{-1}=f$ pentru orice $x$ cere identificarea coeficienților: $\frac{1}{a}=a$ și $-\frac{b}{a}=b$. Prima dă $a^2=1$, deci $a\in \{-1,1\}$. Dacă $a=1$: a doua devine $-b=b$, deci $b=0$ și $f(x)=x$. Dacă $a=-1$: a doua devine $b=b$, adevărată pentru orice $b$, deci $f(x)=-x+b$. Soluții: funcția identică și toate funcțiile $f(x)=-x+b$, $b\in \mathbb{R}$. Verificare pentru $b=5$: $f(f(x))=-(-x+5)+5=x$ ✓. Geometric: graficele lor sunt propriile simetrice față de prima bisectoare — fie chiar bisectoarea însăși ($y=x$), fie drepte perpendiculare pe ea (panta $-1$). $■$

De reținut

• $f:A\to B$ este inversabilă $⟺$ $f$ este bijectivă — condiția necesară și suficientă. Inversa, când există, este unică.
• $f^{-1}:B\to A$ se definește prin $f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y$; existența antecedentului vine din surjectivitate, unicitatea lui din injectivitate.
• Relațiile fundamentale: $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ pentru orice $x\in A$ și $(f\circ f^{-1})(y)=y$ pentru orice $y\in B$. Ele sunt și metoda de verificare a oricărui calcul de inversă.
• Algoritmul: demonstrezi bijectivitatea, scrii $y=f(x)$, rezolvi în raport cu $x$, redenumești variabila. La funcțiile pe ramuri, inversezi fiecare ramură și traduci condiția din $x$ în condiție pe $y$.
• Graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$; punctele fixe ale lui $f$ sunt puncte comune ale celor două grafice. În plus, ${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$, monotonia se păstrează și $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia $f^{-1}$ cu $\frac{1}{f}$. Simbolul „$-1$" nu e exponent: pentru $f(x)=3x-5$, inversa este $\frac{x+5}{3}$, nu $\frac{1}{3x-5}$.
• Calculezi inversa fără să verifici bijectivitatea. Dacă funcția nu e bijectivă, „inversa" obținută formal nu e funcție. Verifică întâi, calculează după — sau restrânge domeniul și codomeniul, ca la $x^2$.
• Uiți să schimbi și domeniul cu codomeniul. Dacă $f:[2,\infty )\to [3,\infty )$, atunci $f^{-1}:[3,\infty )\to [2,\infty )$. Domeniul inversei este codomeniul funcției inițiale.
• La radical, alegi greșit semnul. Din $|x-2|=\sqrt{y-3}$ trebuie folosită condiția din domeniu ($x\ge 2$) ca să decizi între $2+\sqrt{y-3}$ și $2-\sqrt{y-3}$.
• Inversezi compunerea fără să schimbi ordinea. Corect este $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$, nu $g^{-1}\circ f^{-1}$ — ca la descălțat: întâi pantoful, apoi șoseta.

Aplică acasă

1. Dicționarul invers. Alege zece cuvinte și traducerile lor în engleză. Verifică dacă lista ta e injectivă (nicio traducere repetată) și construiește dicționarul invers. Găsește apoi un exemplu real de cuvânt care strică injectivitatea și explică ce problemă creează la traducerea inversă.

2. Convertorul de temperatură. Scrie funcția $F(c)=1,8c+32$ și inversa ei, apoi construiește un tabel cu cinci valori în ambele sensuri (temperatura din camera ta, temperatura de afară, febra, fierberea apei, înghețul). Verifică fiecare pereche aplicând funcția și apoi inversa.

3. Oglinda din bisectoare. În GeoGebra sau Desmos, trasează $y=2x-4$, apoi $y=\frac{x+4}{2}$ și dreapta $y=x$. Marchează un punct mobil pe primul grafic și simetricul lui față de bisectoare; plimbă-l și observă că simetricul rămâne mereu pe graficul inversei. Găsesc cele două grafice un punct comun? Unde?

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea despre proprietățile funcțiilor și acoperă conținutul „Funcții injective, surjective, bijective, inversabile: definiție, interpretare geometrică pentru funcții numerice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă; lecturi grafice" din programa de matematică-informatică. Este singura lecție a capitolului în care apare o echivalență demonstrată în ambele sensuri, iar demonstrația trebuie făcută integral la nivel CS: injectivitatea rezultă din $g\circ f=1_A$, surjectivitatea din $f\circ g=1_B$. Elevul trebuie să plece cu trei automatisme: verifică bijectivitatea înainte de a calcula inversa, schimbă domeniul cu codomeniul și verifică rezultatul prin $(f^{-1}\circ f)(x)=x$.

Întrebări bune de control: „Când are o funcție inversă?" (exact când e bijectivă); „Ce înseamnă $f^{-1}(5)=2$?" (că $f(2)=5$); „Cum arată graficul inversei față de al funcției?" (simetric față de dreapta $y=x$); „De ce $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ și nu invers?". Semne că a înțeles: nu confundă $f^{-1}$ cu $\frac{1}{f}$, alege corect semnul la inversarea unei funcții pătratice restrânse și traduce singur condițiile de ramură din $x$ în $y$.

La Bacalaureatul M1, funcția inversă apare atât direct (demonstrarea bijectivității și calculul lui $f^{-1}$ pentru funcții afine sau pe ramuri), cât și ca instrument în ecuații de tipul $f(x)=f^{-1}(x)$ sau $(f^{-1}\circ f)(x)+f(x)=k$. În clasa a X-a, întregul aparat se reia la funcțiile exponențială și logaritmică, care sunt una inversa celeilalte, și la funcțiile trigonometrice inverse — de aceea echivalența „bijectivă $⟺$ inversabilă" merită învățată temeinic acum.

Întrebări frecvente

Când are o funcție inversă? Exact atunci când este bijectivă, adică simultan injectivă și surjectivă. Injectivitatea garantează că antecedentul e unic, surjectivitatea că el există pentru orice element al codomeniului.

Ce înseamnă notația $f^{-1}$? Este funcția inversă la compunere, definită prin $f^{-1}(y)=x⟺f(x)=y$. Nu înseamnă $\frac{1}{f}$: simbolul „$-1$" e o etichetă, nu un exponent.

Cum calculez inversa unei funcții? În patru pași: demonstrezi bijectivitatea, scrii $y=f(x)$, rezolvi ecuația în raport cu $x$ și redenumești variabila. Pentru $f(x)=3x-5$ obții $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$.

Cum verific dacă am calculat corect inversa? Compui în ambele sensuri: trebuie să obții $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ și $(f\circ f^{-1})(x)=x$. Dacă rezultatul nu e chiar $x$, undeva e o greșeală de calcul.

De ce sunt graficele lui $f$ și $f^{-1}$ simetrice față de dreapta $y=x$? Pentru că $(a,b)$ aparține graficului lui $f$ exact când $(b,a)$ aparține graficului inversei, iar două puncte cu coordonatele schimbate între ele sunt simetrice față de prima bisectoare: mijlocul segmentului lor e pe dreaptă, iar segmentul e perpendicular pe ea.

Care este inversa unei funcții afine? Pentru $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$, inversa este $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$ — tot o funcție afină, cu panta $\frac{1}{a}$. Dacă $a=0$, funcția e constantă, deci nici injectivă, nici surjectivă, și nu are inversă.

Cum inversez o funcție definită pe ramuri? Inversezi fiecare ramură separat și traduci condiția scrisă pentru $x$ într-o condiție pentru $y$, folosind mulțimea de valori a ramurii respective. Ramurile trebuie să aibă valori disjuncte care acoperă tot codomeniul.

Ce legătură are inversa cu compunerea? Una foarte strânsă: inversabilitatea se definește prin compunere ($g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$), unicitatea inversei se demonstrează folosind asociativitatea, iar inversa unei compuneri este $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$, cu ordinea schimbată.