Intersecțiile parabolei cu axele

O piatră aruncată de pe o platformă are înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ . Întrebarea firească a oricui privește scena este: după câte secunde ajunge la pământ? În limbaj de grafic, „la pământ" înseamnă înălțime zero, adică punctul în care curba taie axa orizontală. Aceeași întrebare, îmbrăcată altfel, apare la arcada unui pod (unde atinge malul?), la un proiectil (unde cade?), la profitul unei firme (de la ce vânzări începe să iasă pe zero?).

Punctele în care graficul întâlnește axele sunt cele mai vizibile repere ale oricărei curbe și, adesea, chiar răspunsul la problema pusă. La dreaptă povestea era simplă: exact un punct pe fiecare axă, cu excepțiile evidente. La parabolă apare o noutate importantă — cu axa $O y$ lucrurile rămân la fel de simple, dar cu axa $O x$ pot exista două puncte, unul singur sau niciunul. Iar cine decide între cele trei variante este un singur număr, pe care l-ai întâlnit deja în formula vârfului: discriminantul $Δ$ .

Ce vei învăța

Vei ști să determini instantaneu intersecția cu axa $O y$ : punctul $(0, c)$ .
Vei ști să găsești intersecțiile cu axa $O x$ rezolvând ecuația $f (x) = 0$ .
Vei ști să folosești discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ pentru a afla, fără calcule, câte puncte de intersecție cu $O x$ există.
Vei ști să recunoști cazul tangenței ( $Δ = 0$ ), în care parabola atinge axa exact în vârf.
Vei ști să rezolvi rapid cazurile speciale $c = 0$ și $b = 0$ , prin factor comun sau prin izolarea pătratului.
Vei ști să determini parametri dintr-o condiție privind numărul de intersecții cu axa $O x$ .

Hai să descoperim împreună

1. Intersecția cu axa $O y$ : cel mai ieftin punct

Axa $O y$ este mulțimea punctelor de abscisă $0$ . Ca să afli unde o taie graficul, înlocuiești $x = 0$ în formulă:

$f (0) = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c .$

Prin urmare, orice parabolă taie axa $O y$ exact într-un punct, anume $(0, c)$ . Nu există excepții: funcția este definită pe tot $R$ , deci și în zero, iar valoarea acolo este unică. Termenul liber $c$ este deci „înălțimea de start" a graficului.

Exemple imediate: $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ taie $O y$ în $(0, 6)$ ; $g (x) = - 2 x^{2} + 7$ o taie în $(0, 7)$ ; $h (x) = 3 x^{2} - x$ o taie chiar în origine, $(0, 0)$ . Iar dacă funcția e dată factorizat, $p (x) = (x - 1) (x + 4)$ , nu desfaci toată paranteza: calculezi direct $p (0) = (- 1) \cdot 4 = - 4$ , deci punctul este $(0, - 4)$ .

2. Intersecția cu axa $O x$ : ecuația $f (x) = 0$

Axa $O x$ este mulțimea punctelor de ordonată $0$ . Un punct al graficului se află pe ea dacă $f (x) = 0$ , deci trebuie rezolvată ecuația de gradul al doilea

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0.$

Numerele care o verifică se numesc rădăcinile (sau zerourile) funcției, iar punctele corespunzătoare de pe grafic sunt $(x_{1}, 0)$ și $(x_{2}, 0)$ . Instrumentul de lucru îl cunoști din gimnaziu:

$Δ = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} .$

(Deducerea riguroasă a acestei formule, pornind de la forma canonică, se face în lecția dedicată ecuației de gradul al doilea; aici o folosim ca unealtă.)

Formula are sens doar dacă $Δ$ există, adică dacă $Δ \geq 0$ . Aici se ascunde întreaga poveste a lecției.

3. Discriminantul decide numărul de puncte

Să vedem de ce, folosind forma canonică deprinsă la parabolă: vârf, axă de simetrie, ramuri. Ecuația $f (x) = 0$ se scrie

$a (x - x_{V})^{2} + y_{V} = 0 ⟺ (x - x_{V})^{2} = - \frac{y _{V}}{a} .$

Cum $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ , membrul drept devine

$- \frac{y _{V}}{a} = \frac{Δ}{4 a ^{2}} .$

Numitorul $4 a^{2}$ este strict pozitiv (căci $a \neq = 0$ ), deci fracția are exact semnul lui $Δ$ . În stânga avem un pătrat, care nu poate fi negativ. Rezultă trei situații, și numai trei:

$Δ > 0$ : membrul drept e strict pozitiv, deci ecuația $(x - x_{V})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ are două soluții distincte, simetrice față de $x_{V}$ . Parabola taie axa $O x$ în două puncte.
$Δ = 0$ : membrul drept e zero, deci $(x - x_{V})^{2} = 0$ și singura soluție este $x = x_{V}$ . Parabola atinge axa $O x$ într-un singur punct, chiar vârful — spunem că este tangentă la axă.
$Δ < 0$ : membrul drept e strict negativ, iar un pătrat nu poate fi negativ. Ecuația nu are soluții reale, deci parabola nu atinge deloc axa $O x$ ; ea rămâne în întregime de o parte a axei. Care parte anume, vei stabili în lecția despre semnul funcției de gradul al doilea.

Reține și citirea inversă, foarte utilă la lecturi grafice: numărul de intersecții cu $O x$ se vede din poziția vârfului față de axă. Cu ramuri în sus, un vârf coborât sub axă forțează două traversări, un vârf chiar pe axă dă tangență, iar un vârf deasupra axei face intersecția imposibilă. Legătura cu $Δ$ e chiar formula $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ .

4. Cazuri speciale, rezolvate fără discriminant

Nu orice ecuație merită formula completă. Două situații se rezolvă mai repede prin metode elementare.

Cazul $c = 0$ : factor comun. Pentru $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x$ scriem

$- 3 x^{2} + 12 x = 0 ⟺ 3 x (- x + 4) = 0 ⟺ x = 0 sau x = 4.$

Intersecțiile cu $O x$ sunt $(0, 0)$ și $(4, 0)$ . Observă că, atunci când $c = 0$ , una dintre rădăcini este întotdeauna $0$ — de altfel parabola trece prin origine, pentru că și intersecția cu $O y$ este tot $(0, 0)$ .

Cazul $b = 0$ : izolarea pătratului. Pentru $f (x) = - x^{2} + 4$ :

$- x^{2} + 4 = 0 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = \pm 2.$

Intersecțiile sunt $(- 2, 0)$ și $(2, 0)$ . Pentru $f (x) = x^{2} - 3$ obținem $x^{2} = 3$ , deci $x = \pm 3$ — rădăcini iraționale, perfect acceptabile ca răspuns. Iar pentru $f (x) = x^{2} + 5$ ajungem la $x^{2} = - 5$ , imposibil: nicio intersecție cu $O x$ .

5. Vârful stă la mijlocul rădăcinilor

Când $Δ > 0$ , cele două rădăcini sunt

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a} .$

Media lor aritmetică se calculează într-un rând: numărătorii se adună, radicalii se anulează reciproc și rămâne

$\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{2 a} = x_{V} .$

Așadar abscisa vârfului este exact media aritmetică a rădăcinilor. Este confirmarea numerică a simetriei: cele două puncte de intersecție cu $O x$ sunt egal depărtate de axa de simetrie, așa cum trebuie să fie orice pereche de puncte oglindite.

Consecință practică de mare valoare la teze: dacă știi rădăcinile, nu mai calculezi $- \frac{b}{2 a}$ — faci media. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ , rădăcinile sunt $- 1$ și $5$ , deci $x_{V} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ , iar $y_{V} = f (2) = 4 - 8 - 5 = - 9$ .

Tot de aici iese și distanța dintre punctele de intersecție:

$x_{2} - x_{1} = \frac{2 Δ}{2 a} ⟹ ∣ x_{2} - x_{1} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣} .$

Cu cât $Δ$ e mai mare, cu atât parabola „decupează" un segment mai lung din axa $O x$ .

6. Schița completă a graficului

Cu ce ai acum, poți desena o parabolă folosind exclusiv puncte remarcabile, fără tabel:

sensul ramurilor, din semnul lui $a$ ;
punctul $(0, c)$ , gratuit;
calculezi $Δ$ și afli câte intersecții cu $O x$ ai; dacă există, le determini;
vârful — fie cu $- \frac{b}{2 a}$ , fie ca medie a rădăcinilor, dacă ele există;
dacă e nevoie de încă un punct, folosești simetricul lui $(0, c)$ față de axă, adică punctul $(2 x_{V}, c)$ .

Aplicație. Pentru $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ : $a = 1 > 0$ , ramuri în sus; $(0, 6)$ pe $O y$ ; $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ , deci $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ , adică $x_{1} = 2$ și $x_{2} = 3$ ; vârful are $x_{V} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5$ și $y_{V} = f (2, 5) = 6, 25 - 12, 5 + 6 = - 0, 25$ ; simetricul lui $(0, 6)$ este $(5, 6)$ . Cinci puncte, desen gata.

7. Probleme cu parametru

Multe cerințe nu îți dau funcția întreagă, ci o condiție despre intersecții. Traducerea este mereu aceeași, prin semnul lui $Δ$ :

Cerință	Condiție
taie axa $O x$ în două puncte distincte	$Δ > 0$
este tangentă axei $O x$	$Δ = 0$
nu intersectează axa $O x$	$Δ < 0$
are cel puțin un punct comun cu $O x$	$Δ \geq 0$

Exemplu. Determinăm $m$ astfel încât $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ să taie axa $O x$ în două puncte distincte. Aici $Δ = 16 - 4 m$ , iar condiția $Δ > 0$ dă $16 - 4 m > 0$ , deci $m < 4$ .

Atenție la un detaliu de rigoare: dacă parametrul apare în fața lui $x^{2}$ , trebuie mai întâi impusă condiția ca funcția să fie de gradul al doilea. Pentru $f (x) = (m - 1) x^{2} + 2 x + 3$ scrii întâi $m \neq = 1$ , abia apoi lucrezi cu $Δ$ .

8. Ce citim din intersecții în probleme reale

Revenim la piatra de la început: $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ . Momentul atingerii solului rezolvă $h (t) = 0$ . Împărțim ecuația la $- 5$ pentru numere mai mici: $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ , deci $t = \frac{3 \pm 5}{2}$ , adică $t = 4$ sau $t = - 1$ .

Matematic sunt două soluții; fizic rămâne una singură, pentru că timpul negativ nu are sens în problemă. Piatra atinge solul după $4$ secunde. Reține pasul acesta: la problemele aplicate, după rezolvarea ecuației urmează întotdeauna filtrarea soluțiilor după condițiile de sens. Este locul unde se pierd cel mai des puncte la evaluări.

Iar intersecția cu $O y$ are și ea o citire: $h (0) = 20$ este chiar înălțimea platformei de la care a fost aruncată piatra.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ambele axe, caz standard

Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ cu axele de coordonate.

Rezolvare. Cu $O y$ : $f (0) = - 8$ , deci punctul $(0, - 8)$ .

Cu $O x$ : rezolvăm $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ . Avem $Δ = 4 + 32 = 36 > 0$ și $Δ = 6$ , deci

$x_{1, 2} = \frac{2 \pm 6}{2} ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 4.$

Punctele sunt $(- 2, 0)$ și $(4, 0)$ . Verificare rapidă: $f (- 2) = 4 + 4 - 8 = 0$ ✓ și $f (4) = 16 - 8 - 8 = 0$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Tangența la axa $O x$

Arătați că graficul funcției $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ este tangent axei $O x$ și precizați punctul de tangență.

Rezolvare. Calculăm $Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$ . Discriminantul fiind nul, există un singur punct comun cu axa $O x$ , iar acesta coincide cu vârful:

$x_{V} = - \frac{- 12}{8} = \frac{3}{2}, f (\frac{3}{2}) = 4 \cdot \frac{9}{4} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0.$

Punctul de tangență este $(\frac{3}{2}, 0)$ . Se vede și direct: $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ , iar un pătrat se anulează o singură dată. $■$

Exemplul 3 — Fără intersecție cu $O x$

Stabiliți dacă graficul funcției $f (x) = x^{2} + 4 x + 7$ intersectează axa $O x$ . Determinați intersecția cu $O y$ și vârful.

Rezolvare. $Δ = 16 - 28 = - 12 < 0$ , deci ecuația $f (x) = 0$ nu are soluții reale: graficul nu intersectează axa $O x$ .

Cu $O y$ : $f (0) = 7$ , deci punctul $(0, 7)$ . Vârful: $x_{V} = - \frac{4}{2} = - 2$ și $y_{V} = f (- 2) = 4 - 8 + 7 = 3$ , deci $V (- 2, 3)$ .

Coerență: ramurile sunt în sus ( $a = 1 > 0$ ), iar vârful, cel mai de jos punct al curbei, se află la înălțimea $3$ , deasupra axei $O x$ — nu are cum să o atingă. $■$

Exemplul 4 — Caz special, rezolvat prin factor comun

Determinați intersecțiile cu axele pentru $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x$ , fără a folosi formula discriminantului.

Rezolvare. Cum $c = 0$ , avem $f (0) = 0$ : graficul trece prin origine, deci $(0, 0)$ este intersecția cu $O y$ .

Pentru $O x$ : $- 3 x^{2} + 12 x = 0 \Leftrightarrow - 3 x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ sau $x = 4$ . Punctele sunt $(0, 0)$ și $(4, 0)$ .

Bonus: media rădăcinilor este $\frac{0 + 4}{2} = 2$ , deci $x_{V} = 2$ și $y_{V} = f (2) = - 12 + 24 = 12$ . Ramurile fiind în jos, curba urcă din origine până la $(2, 12)$ și coboară înapoi la $(4, 0)$ . $■$

Exemplul 5 — Reconstruirea funcției din intersecții

O parabolă taie axa $O x$ în punctele de abscise $- 3$ și $1$ , iar axa $O y$ în punctul $(0, - 6)$ . Determinați funcția de gradul al doilea corespunzătoare.

Rezolvare. O funcție care se anulează în $- 3$ și în $1$ se poate scrie sub forma factorizată

$f (x) = a (x + 3) (x - 1),$

unde $a \neq = 0$ rămâne de determinat. Impunem condiția de pe $O y$ : $f (0) = a \cdot 3 \cdot (- 1) = - 3 a = - 6$ , deci $a = 2$ .

Prin urmare $f (x) = 2 (x + 3) (x - 1) = 2 (x^{2} + 2 x - 3) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ .

Verificare: $c = - 6$ ✓; $Δ = 16 + 48 = 64$ , $Δ = 8$ , $x_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8}{4}$ , adică $1$ și $- 3$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 6$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 1$ , determinați intersecția graficului cu axa $O y$ . b) Determinați valorile lui $m$ pentru care graficul este tangent axei $O x$ . c) Pentru fiecare valoare găsită, precizați punctul de tangență.

Rezolvare. a) Pentru $m = 1$ : $f (x) = x^{2} - 2 x + 7$ , deci $f (0) = 7$ și punctul este $(0, 7)$ .

b) Tangența înseamnă $Δ = 0$ . Calculăm:

$Δ = (- 2 m)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (m + 6) = 4 m^{2} - 4 m - 24.$

Condiția $4 m^{2} - 4 m - 24 = 0$ se împarte la $4$ : $m^{2} - m - 6 = 0$ , cu discriminantul $1 + 24 = 25$ , deci $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , adică $m = 3$ sau $m = - 2$ .

c) Punctul de tangență este vârful, cu $x_{V} = - \frac{- 2 m}{2} = m$ .

Pentru $m = 3$ : $f (x) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , tangentă în $(3, 0)$ . Pentru $m = - 2$ : $f (x) = x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ , tangentă în $(- 2, 0)$ .

Ambele verificări confirmă rezultatul. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula de lucru: calculezi întâi $Δ$ , decizi câte puncte există, abia apoi te apuci de rădăcini.

1. Determină intersecția cu axa $O y$ pentru: a) $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ ; b) $f (x) = - 2 x^{2} + 7$ ; c) $f (x) = 3 x^{2} - x$ ; d) $f (x) = (x - 1) (x + 4)$ .

2. Calculează $Δ$ și precizează numărul punctelor de intersecție cu axa $O x$ : a) $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ ; b) $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ ; c) $f (x) = x^{2} + x + 1$ ; d) $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

3. Determină coordonatele tuturor punctelor de intersecție cu axele pentru $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ .

4. Determină intersecțiile cu axele pentru $f (x) = - x^{2} + 4$ , fără a folosi discriminantul.

5. Determină intersecțiile cu axele pentru $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice parabolă intersectează axa $O y$ în exact un punct."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $Δ < 0$ , parabola intersectează axa $O x$ într-un singur punct."

8. Arată că graficul funcției $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ este tangent axei $O x$ și precizează punctul de tangență. Ce observi despre legătura dintre acest punct și vârf?

9. Determină intersecțiile cu axele pentru $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x$ , folosind factorul comun.

10. Determină intersecțiile cu axa $O x$ pentru $f (x) = x^{2} - 3$ și precizează intersecția cu $O y$ .

11. (Problemă aplicată.) Înălțimea unei pietre este $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ (metri, $t$ în secunde). a) De la ce înălțime a fost aruncată? b) După câte secunde atinge solul? c) De ce una dintre soluțiile ecuației se elimină?

12. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ taie axa $O x$ în două puncte distincte.

13. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției $f (x) = x^{2} + 2 x + m$ nu intersectează axa $O x$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ . a) Determină intersecția graficului cu axa $O y$ . b) Determină coordonatele punctelor de intersecție cu axa $O x$ . c) Arată că abscisa vârfului este media aritmetică a abscisele găsite la punctul b).

15. O parabolă taie axa $O x$ în punctele de abscise $- 3$ și $1$ , iar axa $O y$ în $(0, - 6)$ . Determină funcția, scrisă sub forma $a x^{2} + b x + c$ .

16. (Problemă aplicată.) Arcada unui pod este descrisă de $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ , unde $x$ și $f (x)$ sunt în metri, iar $x$ se măsoară de la baza stângă. a) Unde atinge arcada solul? b) Care este deschiderea podului? c) Ce înălțime are arcada la $2$ m de bază?

17. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 6$ este tangent axei $O x$ .

18. (Provocare.) a) Arată că, dacă $Δ > 0$ , abscisele punctelor de intersecție cu axa $O x$ se scriu $x_{1, 2} = x_{V} \pm \frac{Δ}{2∣ a ∣}$ și deduce că distanța dintre cele două puncte este $\frac{Δ}{∣ a ∣}$ . b) Verifică formula pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6$ . c) Determină $m > 0$ astfel încât parabola $f (x) = x^{2} - m x$ să decupeze pe axa $O x$ un segment de lungime $6$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $(0, 5)$ ; b) $(0, 7)$ ; c) $(0, 0)$ ; d) $f (0) = (- 1) \cdot 4 = - 4$ , deci $(0, - 4)$ . În toate cazurile punctul este $(0, c)$ , unde $c$ este termenul liber.

2. a) $Δ = 25 - 24 = 1 > 0$ : două puncte. b) $Δ = 36 - 36 = 0$ : un punct (tangență). c) $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ : niciun punct. d) $Δ = 49 - 24 = 25 > 0$ : două puncte.

3. Cu $O y$ : $(0, - 8)$ . Cu $O x$ : $Δ = 4 + 32 = 36$ , $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 6}{2}$ , deci $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 4$ ; punctele $(- 2, 0)$ și $(4, 0)$ .

4. $f (0) = 4$ , deci $(0, 4)$ . Ecuația $- x^{2} + 4 = 0$ dă $x^{2} = 4$ , deci $x = \pm 2$ ; punctele $(- 2, 0)$ și $(2, 0)$ .

5. Cu $O y$ : $(0, 3)$ . Cu $O x$ : $Δ = 49 - 24 = 25$ , $Δ = 5$ , $x_{1, 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$ , deci $x_{1} = \frac{1}{2}$ și $x_{2} = 3$ ; punctele $(\frac{1}{2}, 0)$ și $(3, 0)$ .

6. Adevărat. Funcția este definită pe tot $R$ , deci și în $x = 0$ , iar valoarea $f (0) = c$ este unică. Prin urmare, graficul are exact un punct de abscisă $0$ , anume $(0, c)$ .

7. Fals. Dacă $Δ < 0$ , ecuația $f (x) = 0$ nu are soluții reale, deci parabola nu are niciun punct comun cu axa $O x$ . Un singur punct comun corespunde cazului $Δ = 0$ . Contraexemplu: $f (x) = x^{2} + 1$ , cu $Δ = - 4$ , are toate valorile cel puțin $1$ .

8. $Δ = 36 - 36 = 0$ , deci un singur punct comun. Cum $f (x) = (x - 3)^{2}$ , acesta este $(3, 0)$ . Este chiar vârful: $x_{V} = \frac{6}{2} = 3$ și $y_{V} = f (3) = 0$ . Când $Δ = 0$ , punctul de tangență și vârful coincid întotdeauna.

9. $f (0) = 0$ , deci graficul trece prin origine. $- 3 x^{2} + 12 x = - 3 x (x - 4) = 0$ dă $x = 0$ sau $x = 4$ ; punctele sunt $(0, 0)$ și $(4, 0)$ .

10. $x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$ ; punctele $(- 3, 0)$ și $(3, 0)$ . Cu $O y$ : $(0, - 3)$ . Rădăcinile iraționale sunt răspunsuri perfect valide — nu se rotunjesc.

11. a) $h (0) = 20$ m. b) $- 5 t^{2} + 15 t + 20 = 0$ , împărțim la $- 5$ : $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ , deci $t = \frac{3 \pm 5}{2}$ , adică $t = 4$ sau $t = - 1$ . Piatra atinge solul după $4$ secunde. c) Soluția $t = - 1$ se elimină pentru că timpul nu poate fi negativ: modelul are sens doar pentru $t \geq 0$ .

12. $Δ = 16 - 4 m > 0 \Leftrightarrow 4 m < 16 \Leftrightarrow m < 4$ . Deci $m \in (- \infty, 4)$ .

13. $Δ = 4 - 4 m < 0 \Leftrightarrow 4 m > 4 \Leftrightarrow m > 1$ . Deci $m \in (1, \infty)$ .

14. a) $f (0) = - 5$ , deci $(0, - 5)$ . b) $Δ = 16 + 20 = 36$ , $x_{1, 2} = \frac{4 \pm 6}{2}$ , deci $x_{1} = - 1$ și $x_{2} = 5$ ; punctele $(- 1, 0)$ și $(5, 0)$ . c) Media aritmetică: $\frac{- 1 + 5}{2} = 2$ , iar $x_{V} = - \frac{- 4}{2} = 2$ ✓ — aceeași valoare, cum era de așteptat din simetria parabolei.

15. $f (x) = a (x + 3) (x - 1)$ ; din $f (0) = - 3 a = - 6$ rezultă $a = 2$ , deci $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 6$ . Verificare: $f (- 3) = 18 - 12 - 6 = 0$ ✓, $f (1) = 2 + 4 - 6 = 0$ ✓, $f (0) = - 6$ ✓.

16. a) $- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x (- \frac{1}{2} x + 4) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 8$ : arcada atinge solul la baze, în $(0, 0)$ și $(8, 0)$ . b) Deschiderea este distanța dintre cele două puncte, adică $8$ m. c) $f (2) = - 2 + 8 = 6$ m. (Pentru control: vârful e la $x_{V} = 4$ , cu $f (4) = - 8 + 16 = 8$ m — înălțimea maximă a arcadei.)

17. $Δ = 4 m^{2} - 4 (m + 6) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 6 = 0$ . Discriminantul acestei ecuații este $1 + 24 = 25$ , deci $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ , adică $m = 3$ sau $m = - 2$ . Verificare: pentru $m = 3$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ; pentru $m = - 2$ , $f (x) = x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ — ambele pătrate perfecte, deci tangente axei $O x$ .

18. a) Din $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{Δ}{2 a}$ și $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ rezultă $x_{1, 2} = x_{V} \pm \frac{Δ}{2 a}$ ; luând modulul termenului al doilea (ordinea rădăcinilor nu contează), scriem $x_{1, 2} = x_{V} \pm \frac{Δ}{2∣ a ∣}$ . Distanța dintre puncte este dublul acestui termen, adică $\frac{Δ}{∣ a ∣}$ .

b) Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6$ : $Δ = 64 - 48 = 16$ , $Δ = 4$ , deci distanța prezisă este $\frac{4}{2} = 2$ . Verificare directă: $x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4}{4}$ , adică $1$ și $3$ , iar $3 - 1 = 2$ ✓ (și într-adevăr $x_{V} = 2 = \frac{1 + 3}{2}$ ).

c) Pentru $f (x) = x^{2} - m x$ avem $a = 1$ și $Δ = m^{2}$ , deci lungimea segmentului este $\frac{m ^{2}}{1} = ∣ m ∣$ . Condiția $∣ m ∣ = 6$ cu $m > 0$ dă $m = 6$ . Verificare: $x^{2} - 6 x = x (x - 6) = 0$ are rădăcinile $0$ și $6$ , la distanță $6$ ✓.

De reținut

Cu axa $O y$ : întotdeauna exact un punct, $(0, c)$ — se citește direct din termenul liber, fără niciun calcul.
Cu axa $O x$ : se rezolvă ecuația $f (x) = 0$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Numărul de intersecții cu $O x$ îl decide semnul lui $Δ$ : două puncte dacă $Δ > 0$ , un punct (tangență în vârf) dacă $Δ = 0$ , niciun punct dacă $Δ < 0$ .
Cazurile speciale se rezolvă mai repede: $c = 0$ prin factor comun (o rădăcină e $0$ ), $b = 0$ prin izolarea pătratului.
Vârful stă la mijloc: $x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ când rădăcinile există, iar distanța dintre punctele de pe $O x$ este $\frac{Δ}{∣ a ∣}$ .

Greșeli frecvente

Confuzi cele două axe. Pentru $O y$ pui $x = 0$ și afli $y$ ; pentru $O x$ pui $y = 0$ și rezolvi o ecuație în $x$ . Inversarea lor este cea mai frecventă eroare de la această lecție.
Greșești semnul în $Δ = b^{2} - 4 a c$ . La $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ ai $Δ = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36$ . Pune coeficienții în paranteze înainte de a calcula, mai ales când sunt negativi.
Spui că „ $Δ = 0$ înseamnă că nu există soluții". $Δ = 0$ dă exact o soluție, iar punctul corespunzător este chiar vârful, care atinge axa. Nicio soluție înseamnă $Δ < 0$ .
Uiți filtrarea soluțiilor în problemele aplicate. Timpul, lungimea sau numărul de produse nu pot fi negative; o soluție matematic corectă poate fi inacceptabilă fizic și trebuie eliminată explicit, cu justificare.
Lucrezi cu $Δ$ fără să verifici că funcția e de gradul al doilea. Când parametrul stă în fața lui $x^{2}$ , prima condiție scrisă trebuie să fie $a \neq = 0$ ; altfel „rezolvi" o ecuație de alt grad cu formule care nu i se aplică.

Aplică acasă

Podul din oraș. Fotografiază o arcadă (pod, poartă, intrare boltită) și estimează, cu pași sau cu o riglă, deschiderea la bază și înălțimea maximă. Construiește o funcție de forma $f (x) = a x (x - d)$ , unde $d$ este deschiderea, alegând $a$ astfel încât înălțimea în mijloc să iasă cât ai măsurat. Verifică apoi înălțimea prezisă la un sfert din deschidere și compar-o cu fotografia.
Trei cazuri, o singură familie. Ia funcțiile $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ pentru $m = 3$ , $m = 4$ și $m = 5$ . Calculează pentru fiecare $Δ$ , intersecțiile cu $O x$ și vârful, apoi desenează-le toate trei în același reper. Scrie sub desen cum se mișcă parabola când $m$ crește și în ce moment exact pierde contactul cu axa.
Aruncarea măsurată. Aruncă o minge în sus de pe o treaptă, cronometrează cât durează până atinge solul și măsoară înălțimea treptei. Presupunând modelul $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ , cu $h_{0}$ măsurat, determină $v_{0}$ din condiția ca $h$ să se anuleze exact la timpul cronometrat. Compară rezultatul cu o a doua aruncare.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă algebra ecuației de gradul al doilea de citirea graficului. Elevul trebuie să plece de aici cu trei automatisme: intersecția cu $O y$ se citește instantaneu ca $(0, c)$ ; intersecțiile cu $O x$ cer rezolvarea ecuației $f (x) = 0$ ; numărul lor este decis exclusiv de semnul discriminantului. Formula rădăcinilor este reluată din gimnaziu ca instrument de lucru — deducerea ei riguroasă face obiectul unei lecții separate din același capitol.

Întrebări bune de control: „Unde taie axa $O y$ parabola $y = 3 x^{2} - x + 5$ ?" (în $(0, 5)$ ); „Câte puncte comune are cu $O x$ o parabolă cu $Δ = 0$ ?" (unul, chiar vârful); „Dacă rădăcinile sunt $- 1$ și $5$ , unde e axa de simetrie?" (la $x = 2$ ); „De ce se elimină soluția $t = - 1$ la problema cu piatra?" (timpul nu poate fi negativ). Semne că a înțeles: calculează $Δ$ înainte de a se apuca de rădăcini, recunoaște singur cazurile $b = 0$ și $c = 0$ ca fiind mai rapide și verifică rădăcinile prin înlocuire.

La teze și la examenul de Bacalaureat, aceste cerințe apar constant: „determinați punctele de intersecție cu axele", „determinați $m$ astfel încât graficul să fie tangent axei $O x$ ", „arătați că parabola nu intersectează axa $O x$ ". Toate se reduc la calculul corect al discriminantului, motiv pentru care merită insistat pe scrierea coeficienților negativi între paranteze.

Întrebări frecvente

Unde taie parabola axa $O y$ ? Întotdeauna în punctul $(0, c)$ , unde $c$ este termenul liber al funcției. Nu e nevoie de niciun calcul: înlocuind $x = 0$ , primii doi termeni se anulează și rămâne exact $c$ .

Cum aflu unde taie parabola axa $O x$ ? Rezolvi ecuația $f (x) = 0$ , adică $a x^{2} + b x + c = 0$ . Soluțiile ei, dacă există, sunt abscisele punctelor de intersecție, iar punctele se scriu $(x_{1}, 0)$ și $(x_{2}, 0)$ .

Ce înseamnă discriminantul pozitiv, nul sau negativ? $Δ > 0$ înseamnă două puncte de intersecție cu axa $O x$ ; $Δ = 0$ înseamnă unul singur, iar parabola este tangentă axei chiar în vârf; $Δ < 0$ înseamnă că nu există niciun punct comun cu axa $O x$ .

Poate o parabolă să nu taie deloc axele? Axa $O y$ o taie întotdeauna, în $(0, c)$ — asta nu se poate evita. Axa $O x$ însă poate fi ratată complet, exact în cazul $Δ < 0$ ; de exemplu, $f (x) = x^{2} + 1$ nu are niciun punct comun cu ea.

Ce înseamnă că parabola este tangentă la axa $O x$ ? Că o atinge într-un singur punct, fără să o traverseze. Acest lucru se întâmplă exact când $Δ = 0$ , iar punctul de contact este chiar vârful parabolei.

Cum determin un parametru dintr-o condiție despre intersecții? Scrii $Δ$ în funcție de parametru și traduci cerința într-o inecuație sau ecuație: două puncte înseamnă $Δ > 0$ , tangență înseamnă $Δ = 0$ , nicio intersecție înseamnă $Δ < 0$ . Dacă parametrul apare și în fața lui $x^{2}$ , impui în prealabil $a \neq = 0$ .

De ce se elimină uneori una dintre soluții în problemele practice? Pentru că modelul matematic acceptă valori pe care realitatea nu le acceptă: timp negativ, lungime negativă, număr fracționar de obiecte. După rezolvarea ecuației urmează întotdeauna verificarea condițiilor de sens ale problemei.

Cum verific rapid dacă rădăcinile găsite sunt corecte? Le înlocuiești în funcție și trebuie să obții zero. O a doua verificare, foarte rapidă: media lor aritmetică trebuie să fie egală cu abscisa vârfului, $- \frac{b}{2 a}$ .