Parabola: vârf, axă de simetrie, ramuri

În lecția despre funcția de gradul al doilea ai observat, în fiecare tabel de valori, același fenomen: numerele se repetă simetric în jurul unui mijloc. Mingea aruncată avea aceeași înălțime la secunda $1$ și la secunda $3$ ; grădina cu gard de $24$ m avea aceeași arie pentru latura de $4$ m și pentru cea de $8$ m; cinematograful avea același venit la $22$ și la $28$ de lei. De fiecare dată exista o „oglindă" — dar am lăsat deschisă întrebarea unde se află ea exact.

Răspunsul e o singură formulă, și odată ce o ai, poți desena orice parabolă în mai puțin de un minut. Curba are un punct special, numit vârf, prin care trece o dreaptă verticală numită axă de simetrie; față de ea, cele două jumătăți ale curbei — ramurile — sunt perfect oglindite. Nu e doar o curiozitate estetică: exact această simetrie face ca o antenă parabolică să concentreze toate semnalele într-un singur punct, ca farul unei mașini să trimită lumina într-un fascicul drept și ca oglinda unui telescop să adune lumina stelelor. Geometria vârfului este, la propriu, geometria care ne aduce semnalul la televizor.

Ce vei învăța

Vei ști să determini coordonatele vârfului unei parabole cu formulele $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ .
Vei ști să scrii ecuația axei de simetrie și să explici de ce este o dreaptă verticală.
Vei ști să decizi sensul ramurilor după semnul lui $a$ și să estimezi deschiderea parabolei după mărimea lui $∣ a ∣$ .
Vei ști să aduci o funcție de gradul al doilea la forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ .
Vei ști să folosești simetria: $f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t)$ , deci puncte simetrice au aceeași valoare.
Vei ști să trasezi rapid graficul, pornind de la vârf și adăugând perechi de puncte simetrice.

Hai să descoperim împreună

1. Cea mai simplă parabolă: $f (x) = a x^{2}$

Începem cu cazul curat, în care $b = 0$ și $c = 0$ . Pentru $f (x) = x^{2}$ tabelul este:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Simetria e izbitoare, și are o explicație de o linie: $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ . Numerele opuse au aceeași imagine, deci graficul este simetric față de axa $O y$ . Punctul cel mai de jos este originea $O (0, 0)$ — acolo se află vârful.

Ce se schimbă dacă modificăm pe $a$ ? Compară valorile în $x = 2$ : pentru $y = x^{2}$ obții $4$ , pentru $y = 3 x^{2}$ obții $12$ , pentru $y = \frac{1}{2} x^{2}$ obții $2$ . Toate trei parabolele au același vârf și aceeași axă, dar cu cât $∣ a ∣$ este mai mare, cu atât curba urcă mai repede și pare mai îngustă; cu cât $∣ a ∣$ e mai mic, cu atât parabola e mai deschisă, mai „turtită".

Iar dacă $a$ este negativ, toate valorile își schimbă semnul: $y = - x^{2}$ are tabelul $- 9, - 4, - 1, 0, - 1, - 4, - 9$ . Curba este oglindirea celei dinainte față de axa $O x$ , iar originea devine punctul cel mai de sus. Aceasta e regula ramurilor, în forma ei cea mai simplă.

2. Ce se întâmplă când mutăm parabola

Să privim acum $g (x) = (x - 2)^{2} + 1$ . Cum $(x - 2)^{2} \geq 0$ , cea mai mică valoare posibilă este $1$ și se obține exact când $x - 2 = 0$ , adică pentru $x = 2$ . Tabelul confirmă:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$

Este exact parabola $y = x^{2}$ , mutată cu $2$ unități la dreapta și cu $1$ unitate în sus: vârful a plecat din $O (0, 0)$ și a ajuns în $(2, 1)$ . În general, graficul funcției

$f (x) = a (x - α)^{2} + β$

este parabola $y = a x^{2}$ translatată astfel încât vârful să ajungă în punctul $(α, β)$ . Forma și sensul ramurilor rămân neschimbate — ele depind doar de $a$ .

Această scriere se numește forma canonică a funcției de gradul al doilea și este, practic, forma în care funcția își spune singură unde are vârful. Problema e că funcțiile ne sunt date de obicei sub forma generală $a x^{2} + b x + c$ . Trebuie deci un procedeu care să treacă de la una la cealaltă.

3. De la forma generală la forma canonică

Procedeul se numește restrângerea pătratului și se bazează pe formula $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2}$ , citită de la dreapta la stânga. Pornim de la $f (x) = a x^{2} + b x + c$ cu $a \neq = 0$ și dăm factor forțat pe $a$ din primii doi termeni:

$f (x) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c .$

Vrem ca $x^{2} + \frac{b}{a} x$ să devină începutul unui pătrat perfect. Comparăm cu $x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a}$ : al doilea termen se potrivește dacă alegem $v = \frac{b}{2 a}$ . Ne lipsește doar $v^{2} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}$ , pe care îl adunăm și îl scădem imediat:

$f (x) = a (x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a} + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}) + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - a \cdot \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} + c .$

Simplificăm ultimii doi termeni aducându-i la același numitor:

$- \frac{b ^{2}}{4 a} + c = \frac{- b ^{2} + 4 a c}{4 a} = - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} .$

Numărul $b^{2} - 4 a c$ apare atât de des încât primește un nume și o literă proprie: se numește discriminant și se notează cu $Δ$ (delta mare). Cu această notație am obținut identitatea fundamentală a lecției:

$f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}, Δ = b^{2} - 4 a c .$

Deocamdată $Δ$ este pentru noi doar un număr care intră în calculul vârfului. Ce ne spune el în plus — despre punctele în care parabola taie axa $O x$ — vei afla în lecția despre intersecțiile parabolei cu axele.

4. Vârful și axa de simetrie

Comparând identitatea de mai sus cu forma $a (x - α)^{2} + β$ , citim direct coordonatele vârfului:

$x_{V} = - \frac{b}{2 a}, y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} .$

Axa de simetrie este dreapta verticală care trece prin vârf, deci are ecuația

$x = - \frac{b}{2 a} .$

În practică, formula pentru $y_{V}$ se poate ocoli: odată aflat $x_{V}$ , cel mai sigur este să calculezi $y_{V} = f (x_{V})$ , adică să înlocuiești direct în funcție. Rezultatul e același, dar riscul de greșeală la $Δ$ dispare. Folosește formula cu $Δ$ atunci când o cere enunțul și verificarea prin înlocuire ori de câte ori ai un dubiu.

Exemplu. Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ : $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$ , deci $x_{V} = \frac{4}{2} = 2$ . Prin înlocuire, $y_{V} = f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ . Prin formulă: $Δ = 16 - 12 = 4$ și $y_{V} = - \frac{4}{4} = - 1$ — aceeași valoare. Vârful este $V (2, - 1)$ , iar axa de simetrie este dreapta $x = 2$ .

Exemplu. Pentru $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ : $x_{V} = - \frac{4}{- 4} = 1$ și $y_{V} = f (1) = - 2 + 4 + 1 = 3$ . Vârful este $V (1, 3)$ , axa este $x = 1$ . Forma canonică se scrie imediat: $f (x) = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ , iar dacă desfaci obții înapoi $- 2 x^{2} + 4 x - 2 + 3 = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ✓. Această desfacere este cea mai bună verificare a formei canonice.

5. Sensul ramurilor

Din forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ scoatem imediat

$f (x) - y_{V} = a (x - x_{V})^{2} .$

Pătratul din dreapta este mereu mai mare sau egal cu zero, și este zero doar pentru $x = x_{V}$ . Prin urmare:

dacă $a > 0$ , atunci $f (x) - y_{V} \geq 0$ , adică $f (x) \geq y_{V}$ pentru orice $x$ : niciun punct al graficului nu coboară sub vârf. Ramurile sunt orientate în sus, iar parabola are forma unei cupe;
dacă $a < 0$ , atunci $f (x) - y_{V} \leq 0$ , adică $f (x) \leq y_{V}$ : niciun punct nu urcă deasupra vârfului. Ramurile sunt orientate în jos, iar parabola are forma unei bolți.

În ambele cazuri, egalitatea are loc numai pentru $x = x_{V}$ — deci vârful este atins o singură dată. Studiul complet al acestei proprietăți, cu tabel de variație și limbajul de maxim și minim, îl vei face în lecția despre monotonia și valoarea extremă. Aici ne interesează doar desenul: semnul lui $a$ îți spune încotro se deschide curba, iar $∣ a ∣$ cât de repede.

6. Simetria, scrisă în cifre

Forma canonică demonstrează simetria în două rânduri. Fie $t$ un număr real oarecare. Atunci:

$f (x_{V} + t) = a (x_{V} + t - x_{V})^{2} + y_{V} = a t^{2} + y_{V},$ $f (x_{V} - t) = a (x_{V} - t - x_{V})^{2} + y_{V} = a (- t)^{2} + y_{V} = a t^{2} + y_{V} .$

Cele două rezultate coincid, deci

$f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t) pentru orice t \in R .$

Aceasta este oglinda pe care o observai în tabele. Consecința practică e și mai utilă, citită invers: dacă $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , atunci $x_{V} = \frac{p + q}{2}$ . Într-adevăr, cele două abscise sunt egal depărtate de axă, deci axa trece prin mijlocul lor. Verifică pe $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ : $f (1) = 1 - 6 + 11 = 6$ și $f (5) = 25 - 30 + 11 = 6$ ; mijlocul lui $1$ și $5$ este $3$ , exact abscisa vârfului, căci $x_{V} = \frac{6}{2} = 3$ .

7. Rețeta de trasare rapidă

Pune cap la cap tot ce ai aflat și obții un algoritm în cinci pași, valabil pentru orice funcție de gradul al doilea:

Citește $a$ și decide sensul ramurilor (în sus dacă $a > 0$ , în jos dacă $a < 0$ ).
Calculează $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și trasează cu linie punctată axa de simetrie $x = x_{V}$ .
Calculează $y_{V} = f (x_{V})$ și marchează vârful $V (x_{V}, y_{V})$ .
Alege două-trei valori la dreapta vârfului (de exemplu $x_{V} + 1$ , $x_{V} + 2$ ) și calculează-le imaginile. Punctele simetrice, de la $x_{V} - 1$ și $x_{V} - 2$ , au exact aceleași valori — nu le mai calculezi, le copiezi.
Unește punctele cu o curbă netedă, care trece rotunjit prin vârf. Parabola nu are colț în vârf.

Aplicație. Pentru $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ : $a = - 1 < 0$ , ramuri în jos; $x_{V} = - \frac{6}{- 2} = 3$ ; $y_{V} = f (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ , deci $V (3, 4)$ ; $f (4) = - 16 + 24 - 5 = 3$ și $f (5) = - 25 + 30 - 5 = 0$ . Prin simetrie, $f (2) = 3$ și $f (1) = 0$ . Cinci puncte, dintre care doar trei calculate. Le unești și ai graficul, așa cum ai deprins la lectura grafică a funcțiilor.

8. Vârful ca informație despre realitate

În modelele din lecția precedentă, vârful nu era un detaliu de desen, ci răspunsul la întrebarea problemei. Mingea aruncată cu $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ are $x_{V} = - \frac{20}{- 10} = 2$ și $y_{V} = h (2) = - 20 + 40 = 20$ : punctul cel mai înalt al traiectoriei e la $20$ de metri, atins după $2$ secunde. Grădina cu $A (x) = - x^{2} + 12 x$ are $x_{V} = 6$ și $A (6) = 36$ : parcela cea mai întinsă e pătratul de latură $6$ m. Cinematograful cu $V (p) = - 10 p^{2} + 500 p$ are $p_{V} = - \frac{500}{- 20} = 25$ și $V (25) = 6250$ : prețul cel mai bun al biletului e $25$ de lei.

De fiecare dată, o formulă de trei simboluri, $- \frac{b}{2 a}$ , a înlocuit un tabel întreg de încercări. Aceasta e puterea reală a lecției.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Vârf, axă, ramuri

Pentru $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , determinați sensul ramurilor, coordonatele vârfului și ecuația axei de simetrie.

Rezolvare. Coeficienții sunt $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 3$ . Cum $a = 1 > 0$ , ramurile sunt orientate în sus.

$x_{V} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2} = - 1, y_{V} = f (- 1) = 1 - 2 - 3 = - 4.$

Vârful este $V (- 1, - 4)$ , iar axa de simetrie este dreapta $x = - 1$ .

Verificare cu formula discriminantului: $Δ = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$ și $y_{V} = - \frac{16}{4} = - 4$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Forma canonică

Scrieți sub formă canonică funcția $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ și precizați vârful.

Rezolvare. Metoda directă: $x_{V} = - \frac{- 8}{4} = 2$ și $y_{V} = f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3$ , deci

$f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3.$

Verificăm desfăcând: $2 (x^{2} - 4 x + 4) - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$ ✓. Vârful este $V (2, - 3)$ , ramurile sunt în sus, iar parabola este de două ori mai „îngustă" decât $y = x^{2}$ . $■$

Exemplul 3 — Simetria pusă la treabă

Fie $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ . a) Determinați axa de simetrie. b) Arătați că $f (0) = f (2)$ . c) Găsiți punctul de pe grafic simetric față de axă cu punctul $A (- 1, 8)$ .

Rezolvare. a) $x_{V} = - \frac{- 6}{6} = 1$ , deci axa este $x = 1$ .

b) $f (0) = - 1$ și $f (2) = 12 - 12 - 1 = - 1$ : valorile coincid, așa cum era de așteptat, pentru că $0$ și $2$ sunt simetrice față de $1$ (mijlocul lor este $\frac{0 + 2}{2} = 1$ ).

c) Verificăm întâi că $A$ e pe grafic: $f (- 1) = 3 + 6 - 1 = 8$ ✓. Simetricul lui $x = - 1$ față de $x = 1$ este $x^{'} = 2 \cdot 1 - (- 1) = 3$ . Cum $f (3) = 27 - 18 - 1 = 8$ , punctul căutat este $A^{'} (3, 8)$ . $■$

Exemplul 4 — Vârf impus, coeficienți necunoscuți

Determinați numerele reale $b$ și $c$ știind că parabola $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ are vârful $V (1, - 3)$ .

Rezolvare. Din condiția asupra abscisei: $x_{V} = - \frac{b}{4} = 1$ , deci $b = - 4$ .

Din condiția asupra ordonatei: $f (1) = - 3$ , adică $2 - 4 + c = - 3$ , de unde $c = - 1$ .

Funcția este $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$ . Verificare cu discriminantul: $Δ = 16 + 8 = 24$ și $y_{V} = - \frac{24}{8} = - 3$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Un jet de apă

Jetul unei fântâni arteziene urmează curba $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ , unde $x$ și $f (x)$ sunt exprimate în metri. Determinați punctul cel mai înalt al jetului și verificați simetria față de el.

Rezolvare. Coeficienții sunt $a = - \frac{1}{4}$ , $b = 3$ , $c = 0$ ; cum $a < 0$ , ramurile sunt în jos, deci vârful este punctul cel mai de sus al curbei.

$x_{V} = - \frac{3}{2 \cdot ( - \frac{1}{4} )} = - \frac{3}{- \frac{1}{2}} = 6, y_{V} = f (6) = - \frac{36}{4} + 18 = - 9 + 18 = 9.$

Jetul atinge înălțimea maximă de $9$ m la $6$ m de duză. Verificăm simetria pe o pereche de puncte: $f (2) = - 1 + 6 = 5$ și $f (10) = - 25 + 30 = 5$ ✓ — abscisele $2$ și $10$ au mijlocul $6$ , exact axa de simetrie. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ . a) Scrieți $f$ sub formă canonică. b) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate. c) Determinați coordonatele punctului de pe grafic simetric, față de axa de simetrie, cu punctul $A (2, 3)$ .

Rezolvare. a) Restrângem pătratul: $x^{2} - 6 x + 11 = (x^{2} - 6 x + 9) + 2 = (x - 3)^{2} + 2$ .

b) Din forma canonică se citește direct $V (3, 2)$ . Verificare: $x_{V} = \frac{6}{2} = 3$ și $f (3) = 9 - 18 + 11 = 2$ ✓.

c) Axa de simetrie este $x = 3$ . Punctul $A (2, 3)$ este pe grafic, căci $f (2) = 4 - 12 + 11 = 3$ . Simetricul abscisei este $x^{'} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ , iar $f (4) = 16 - 24 + 11 = 3$ . Punctul căutat este $A^{'} (4, 3)$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare vârf calculat, verifică ordonata prin înlocuire directă — este cea mai rapidă autocorectare.

1. Precizează sensul ramurilor pentru: a) $f (x) = 3 x^{2} - x + 1$ ; b) $f (x) = - 2 x^{2} + 5$ ; c) $f (x) = x^{2}$ ; d) $f (x) = - x^{2} + 4 x$ ; e) $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ .

2. Determină coordonatele vârfului pentru: a) $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ; b) $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ; c) $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ ; d) $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ .

3. Scrie ecuația axei de simetrie pentru: a) $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ ; b) $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ; c) $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ ; d) $f (x) = x^{2} + 5$ .

4. Scrie sub formă canonică: a) $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ; b) $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ; c) $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ ; d) $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ . Verifică fiecare rezultat prin desfacerea parantezelor.

5. Fie $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ . Verifică prin calcul că $f (1) = f (5)$ și că $f (2) = f (4)$ , apoi explică rezultatul folosind axa de simetrie.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Vârful parabolei asociate funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ are întotdeauna abscisa $- \frac{b}{2 a}$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a < 0$ , ramurile parabolei sunt orientate în sus."

8. Determină numărul real $m$ astfel încât axa de simetrie a parabolei $f (x) = x^{2} - (m + 1) x + 3$ să fie dreapta $x = 2$ .

9. Fie $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ . a) Determină vârful și axa de simetrie. b) Completează tabelul de valori pentru $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3}$ . c) Verifică simetria valorilor obținute.

10. (Problemă aplicată.) Jetul unei fântâni are ecuația $f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x$ (metri). a) Găsește punctul cel mai înalt. b) Scrie axa de simetrie. c) Verifică prin calcul că $f (2) = f (10)$ și explică.

11. O parabolă are vârful $V (- 1, - 4)$ și trece prin punctul $B (1, 0)$ . Determină funcția de gradul al doilea corespunzătoare, sub forma $a x^{2} + b x + c$ .

12. Care dintre parabolele $y = 3 x^{2}$ și $y = \frac{1}{2} x^{2}$ este mai „îngustă"? Justifică prin calculul valorilor în $x = 1$ și $x = 2$ .

13. Determină numărul real $b$ astfel încât vârful parabolei $f (x) = x^{2} + b x + 7$ să se afle pe axa $O y$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} - 4 x + 1$ . a) Determină coordonatele vârfului. b) Scrie $f$ sub formă canonică. c) Determină punctul de pe grafic simetric cu $C (0, 1)$ față de axa de simetrie.

15. Determină numerele reale $b$ și $c$ știind că parabola $f (x) = 3 x^{2} + b x + c$ are vârful $V (1, - 4)$ .

16. (Problemă aplicată.) O minge este lovită de la înălțimea de $1$ m, iar traiectoria ei este $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ ( $t$ în secunde, $h$ în metri). a) După câte secunde atinge punctul cel mai înalt și la ce înălțime? b) Verifică prin calcul că $h (1) = h (3)$ .

17. Determină numărul real $m$ astfel încât vârful parabolei $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ să se afle pe axa $O x$ . Scrie apoi funcția obținută sub formă canonică.

18. (Provocare.) a) Demonstrează, pornind de la forma canonică, că $f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t)$ pentru orice $t$ real. b) Deduce că, dacă $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , atunci $x_{V} = \frac{p + q}{2}$ . c) Aplicație: determină funcția de gradul al doilea $f$ pentru care $a = 1$ , $f (- 1) = f (7)$ și $f (3) = - 4$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $a = 3 > 0$ , ramuri în sus. b) $a = - 2 < 0$ , ramuri în jos. c) $a = 1 > 0$ , în sus. d) $a = - 1 < 0$ , în jos. e) $a = \frac{1}{2} > 0$ , în sus. Contează exclusiv semnul lui $a$ , nu ceilalți coeficienți.

2. a) $x_{V} = 2$ , $y_{V} = 4 - 8 + 3 = - 1$ , deci $V (2, - 1)$ . b) $x_{V} = - 1$ , $y_{V} = 1 - 2 - 3 = - 4$ , deci $V (- 1, - 4)$ . c) $x_{V} = 3$ , $y_{V} = - 9 + 18 - 5 = 4$ , deci $V (3, 4)$ . d) $x_{V} = 2$ , $y_{V} = 8 - 16 + 5 = - 3$ , deci $V (2, - 3)$ .

3. a) $x = 3$ . b) $x = 1$ . c) $x = 1$ . d) $x = 0$ (aici $b = 0$ , deci axa este chiar axa $O y$ ).

4. a) $(x - 2)^{2} - 1$ . b) $(x + 1)^{2} - 4$ . c) $- (x - 3)^{2} + 4$ ; desfăcut: $- (x^{2} - 6 x + 9) + 4 = - x^{2} + 6 x - 5$ ✓. d) $2 (x - 2)^{2} - 3$ ; desfăcut: $2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$ ✓.

5. $f (1) = 1 - 6 + 11 = 6$ și $f (5) = 25 - 30 + 11 = 6$ ; $f (2) = 4 - 12 + 11 = 3$ și $f (4) = 16 - 24 + 11 = 3$ . Axa este $x = 3$ , iar perechile $(1, 5)$ și $(2, 4)$ au ambele mijlocul $3$ — sunt deci simetrice față de axă, deci au aceleași imagini.

6. Adevărat. Este exact rezultatul obținut din forma canonică $f (x) = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ : pătratul se anulează pentru $x = - \frac{b}{2 a}$ , iar acolo se află vârful. Formula e valabilă pentru orice $a \neq = 0$ .

7. Fals. Este exact invers: pentru $a < 0$ ramurile sunt orientate în jos. Din $f (x) - y_{V} = a (x - x_{V})^{2}$ și $a < 0$ rezultă $f (x) \leq y_{V}$ , deci graficul nu urcă niciodată peste vârf. Contraexemplu concret: $f (x) = - x^{2}$ are valorile $- 1, 0, - 1$ pentru $x = - 1, 0, 1$ .

8. $x_{V} = \frac{m + 1}{2} = 2$ , deci $m + 1 = 4$ și $m = 3$ . Funcția devine $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , cu vârful $V (2, - 1)$ .

9. a) $x_{V} = - \frac{4}{- 4} = 1$ , $y_{V} = f (1) = - 2 + 4 + 1 = 3$ , deci $V (1, 3)$ și axa $x = 1$ . b) $f (- 1) = - 2 - 4 + 1 = - 5$ ; $f (0) = 1$ ; $f (1) = 3$ ; $f (2) = - 8 + 8 + 1 = 1$ ; $f (3) = - 18 + 12 + 1 = - 5$ . c) $f (0) = f (2) = 1$ și $f (- 1) = f (3) = - 5$ — perechi simetrice față de $x = 1$ . ✓

10. a) $x_{V} = 6$ și $y_{V} = - 9 + 18 = 9$ : punctul cel mai înalt este la $9$ m înălțime, la $6$ m distanță. b) Axa: $x = 6$ . c) $f (2) = - 1 + 6 = 5$ și $f (10) = - 25 + 30 = 5$ ; abscisele $2$ și $10$ au mijlocul $6$ , deci sunt simetrice față de axă.

11. Din vârf, forma canonică este $f (x) = a (x + 1)^{2} - 4$ . Impunem $f (1) = 0$ : $4 a - 4 = 0$ , deci $a = 1$ . Rezultă $f (x) = (x + 1)^{2} - 4 = x^{2} + 2 x - 3$ . Verificare: $x_{V} = - 1$ , $f (- 1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ ✓.

12. $y = 3 x^{2}$ este mai îngustă: în $x = 1$ dă $3$ față de $0, 5$ , iar în $x = 2$ dă $12$ față de $2$ . Urcând mult mai repede pentru aceeași deplasare orizontală, curba se strânge în jurul axei de simetrie. Regula: $∣ a ∣$ mai mare înseamnă parabolă mai îngustă.

13. Vârful e pe axa $O y$ dacă $x_{V} = 0$ , adică $- \frac{b}{2} = 0$ , deci $b = 0$ . Funcția devine $f (x) = x^{2} + 7$ , cu vârful $V (0, 7)$ .

14. a) $a = - 1$ , $b = - 4$ , deci $x_{V} = - \frac{- 4}{- 2} = - 2$ și $y_{V} = f (- 2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ ; $V (- 2, 5)$ . b) $f (x) = - (x + 2)^{2} + 5$ ; desfăcut: $- (x^{2} + 4 x + 4) + 5 = - x^{2} - 4 x + 1$ ✓. c) $C (0, 1)$ este pe grafic, căci $f (0) = 1$ . Simetricul abscisei față de $x = - 2$ este $x^{'} = 2 \cdot (- 2) - 0 = - 4$ , iar $f (- 4) = - 16 + 16 + 1 = 1$ . Punctul este $C^{'} (- 4, 1)$ .

15. $x_{V} = - \frac{b}{6} = 1$ , deci $b = - 6$ . Apoi $f (1) = 3 - 6 + c = - 4$ , de unde $c = - 1$ . Funcția: $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ . Verificare cu discriminantul: $Δ = 36 + 12 = 48$ , $y_{V} = - \frac{48}{12} = - 4$ ✓.

16. a) $t_{V} = - \frac{20}{- 10} = 2$ secunde, iar $h (2) = - 20 + 40 + 1 = 21$ metri. b) $h (1) = - 5 + 20 + 1 = 16$ și $h (3) = - 45 + 60 + 1 = 16$ ✓ — momentele $1$ și $3$ sunt simetrice față de $t = 2$ , deci mingea trece prin aceeași înălțime, o dată urcând și o dată coborând.

17. Vârful e pe axa $O x$ dacă $y_{V} = 0$ . Cum $x_{V} = 2$ , condiția devine $f (2) = 4 - 8 + m = 0$ , deci $m = 4$ . Funcția este $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ , cu vârful $V (2, 0)$ — chiar pe axă. (Prin formulă: $Δ = 16 - 4 m = 0$ dă același $m = 4$ .)

18. a) Din $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ obținem $f (x_{V} + t) = a t^{2} + y_{V}$ și $f (x_{V} - t) = a (- t)^{2} + y_{V} = a t^{2} + y_{V}$ ; cele două expresii sunt identice pentru orice $t$ . b) Scriem $p = x_{V} + t$ cu $t = p - x_{V}$ . Din $f (p) = f (q)$ și din forma canonică rezultă $a (p - x_{V})^{2} = a (q - x_{V})^{2}$ , deci, cu $a \neq = 0$ , $(p - x_{V})^{2} = (q - x_{V})^{2}$ . Cum $p \neq = q$ , singura posibilitate rămasă este $p - x_{V} = - (q - x_{V})$ , de unde $p + q = 2 x_{V}$ , adică $x_{V} = \frac{p + q}{2}$ . c) Din $f (- 1) = f (7)$ rezultă $x_{V} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ , iar $f (3) = - 4$ înseamnă $y_{V} = - 4$ . Cu $a = 1$ : $f (x) = (x - 3)^{2} - 4 = x^{2} - 6 x + 5$ . Verificare: $f (- 1) = 1 + 6 + 5 = 12$ și $f (7) = 49 - 42 + 5 = 12$ ✓.

De reținut

Vârful parabolei asociate funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ are coordonatele $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ , unde $Δ = b^{2} - 4 a c$ . În practică, $y_{V}$ se obține cel mai sigur ca $f (x_{V})$ .
Axa de simetrie este dreapta verticală $x = - \frac{b}{2 a}$ , care trece prin vârf și oglindește perfect cele două ramuri.
Semnul lui $a$ dă sensul ramurilor: $a > 0$ înseamnă ramuri în sus (vârful e punctul cel mai de jos), $a < 0$ înseamnă ramuri în jos (vârful e punctul cel mai de sus). Mărimea $∣ a ∣$ dă deschiderea: mai mare, parabolă mai îngustă.
Forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ se obține prin restrângerea pătratului și se verifică întotdeauna prin desfacerea parantezelor.
Simetria: $f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t)$ pentru orice $t$ ; invers, dacă $f (p) = f (q)$ cu $p \neq = q$ , atunci $x_{V} = \frac{p + q}{2}$ .

Greșeli frecvente

Uiți semnul minus în $- \frac{b}{2 a}$ . Pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , abscisa vârfului este $- \frac{- 4}{2} = 2$ , nu $- 2$ . Scrie mereu formula întreagă, cu $b$ în paranteză, apoi calculează.
Confuzi $Δ$ cu $y_{V}$ . Ordonata vârfului este $- \frac{Δ}{4 a}$ , nu $Δ$ și nici $\frac{Δ}{4 a}$ . Dacă ai un dubiu, calculează pur și simplu $f (x_{V})$ — dă același rezultat și nu depinde de memorarea formulei.
Greșești semnul în forma canonică. Vârful $V (- 1, - 4)$ dă $f (x) = a (x + 1)^{2} - 4$ , cu plus în paranteză, pentru că $x - x_{V} = x - (- 1) = x + 1$ . Verificarea prin desfacere prinde imediat eroarea.
Desenezi parabola cu vârf ascuțit. Curba trece rotunjit prin vârf, ca fundul unei cupe; un colț ar însemna o cu totul altă funcție.
Calculezi toate valorile din tabel. Este muncă pierdută: după ce ai vârful, valorile de la stânga sunt copia celor de la dreapta. Folosește simetria, câștigi timp și eviți erori de aritmetică.

Aplică acasă

Vânătoarea de parabole. Fotografiază cinci obiecte din jur care par să aibă formă de parabolă: jetul unei fântâni, un cablu de pod, arcada unui gard, antena de pe bloc, traiectoria apei dintr-un furtun. Pentru fiecare, desenează pe fotografie axa de simetrie și marchează vârful. Există vreunul unde axa nu este verticală? Ce înseamnă asta pentru posibilitatea de a-l descrie cu $y = a x^{2} + b x + c$ ?
Trei parabole pe același desen. Pe hârtie milimetrică, trasează în același reper $y = x^{2}$ , $y = (x - 3)^{2}$ și $y = (x - 3)^{2} - 2$ , folosind pentru fiecare vârful și trei perechi de puncte simetrice. Scrie sub desen cum s-a deplasat vârful de la o funcție la alta și verifică regula translației.
Fântâna din parc. Alege o fântână arteziană sau un furtun de udat și estimează, cu pași sau cu o riglă lungă, distanța de la duză până unde apa atinge solul, precum și înălțimea maximă. Presupunând că vârful e la jumătatea distanței, scrie o funcție de forma $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ care să se potrivească datelor tale și verifică-i valorile în două puncte intermediare.

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce instrumentele de bază pentru orice lucru cu parabola: coordonatele vârfului, ecuația axei de simetrie, sensul ramurilor și forma canonică. Deducerea prin restrângerea pătratului este făcută integral, dar accentul practic cade pe două deprinderi: calcularea lui $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ fără greșeală de semn și obținerea lui $y_{V}$ prin înlocuire directă, ca autoverificare. Elevul trebuie să plece de aici capabil să schițeze o parabolă în cinci pași, folosind simetria pentru a înjumătăți calculele.

Întrebări bune de control: „Care e abscisa vârfului pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ ?" ( $3$ ); „Încotro sunt ramurile dacă $a = - 2$ ?" (în jos); „Dacă $f (2) = f (8)$ , unde e axa de simetrie?" (la $x = 5$ ); „Cum verifici o formă canonică?" (desfăcând parantezele). Semne că a înțeles: nu mai calculează valorile din stânga vârfului, ci le copiază prin simetrie, și verifică singur ordonata vârfului prin $f (x_{V})$ .

Discriminantul $Δ$ apare aici doar ca număr care intră în formula ordonatei vârfului; rolul lui în determinarea intersecțiilor cu axa $O x$ face obiectul lecției următoare, iar limbajul de maxim și minim, cu tabel de variație, vine imediat după. La teze și la Bacalaureat, cerințele „scrieți forma canonică", „determinați vârful" și „arătați că $f (p) = f (q)$ " sunt printre cele mai frecvente din întregul capitol și se rezolvă în două-trei rânduri fiecare.

Întrebări frecvente

Care este formula vârfului parabolei? Vârful are coordonatele $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ , unde $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Cea mai sigură metodă în practică este să calculezi întâi $x_{V}$ cu formula, apoi $y_{V}$ prin înlocuire directă în funcție.

Cum aflu axa de simetrie a unei parabole? Este dreapta verticală care trece prin vârf, deci are ecuația $x = - \frac{b}{2 a}$ . De exemplu, pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ axa este $x = 3$ .

Când sunt ramurile parabolei în sus și când în jos? În sus dacă $a > 0$ și în jos dacă $a < 0$ . Explicația vine din forma canonică: $f (x) - y_{V} = a (x - x_{V})^{2}$ , iar pătratul e mereu nenegativ, deci semnul diferenței este chiar semnul lui $a$ .

Ce este forma canonică a funcției de gradul al doilea? Scrierea $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ , obținută prin restrângerea pătratului. Avantajul ei este că arată direct vârful și explică simetria; se verifică întotdeauna desfăcând parantezele și comparând cu forma inițială.

Ce înseamnă discriminantul $Δ$ ? Este numărul $b^{2} - 4 a c$ . În această lecție îl folosim doar în formula ordonatei vârfului, $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ ; semnul lui decide însă și câte puncte de intersecție are parabola cu axa $O x$ , lucru studiat în lecția următoare.

De ce toate parabolele au o axă de simetrie verticală? Pentru că, scrisă canonic, funcția depinde de $x$ doar prin pătratul $(x - x_{V})^{2}$ , iar două numere aflate la distanțe egale de $x_{V}$ au același pătrat al diferenței. Rezultă $f (x_{V} + t) = f (x_{V} - t)$ pentru orice $t$ , adică exact simetria față de dreapta $x = x_{V}$ .

Cum desenez rapid o parabolă? Stabilești sensul ramurilor din semnul lui $a$ , calculezi vârful, trasezi punctat axa de simetrie, calculezi două valori la dreapta vârfului și le copiezi simetric la stânga, apoi unești punctele cu o curbă netedă. Cinci puncte sunt de obicei suficiente pentru o schiță corectă.

De ce contează coeficientul $a$ pentru forma curbei? Pentru că el măsoară cât de repede se depărtează valorile de ordonata vârfului: la aceeași distanță $t$ față de axă, diferența este $a t^{2}$ . Cu $∣ a ∣$ mare parabola urcă (sau coboară) abrupt și pare îngustă; cu $∣ a ∣$ mic este largă și aplatizată.