Semnul funcției de gradul al doilea, citit pe grafic

La ștrandul din oraș, un sportiv sare de pe trambulină. Cineva filmează săritura și, din film, se reconstituie înălțimea corpului față de luciul apei, măsurată în metri, la fiecare moment $t$. Rezultatul e o parabolă: la început înălțimea urcă, atinge un maxim, apoi coboară, trece prin zero exact când sportivul atinge apa și devine negativă în secundele în care el se află sub apă. Nimeni nu are nevoie de o formulă ca să citească asta din grafic: partea desenată deasupra axei orizontale înseamnă „deasupra apei", partea de sub axă înseamnă „sub apă", iar punctele în care graficul taie axa sunt momentele de intrare și de ieșire din apă.

Exact acest gest de citire se numește, în limbaj matematic, studiul semnului funcției. Pentru funcțiile de gradul al doilea el are o particularitate minunată: nu trebuie să calculezi valori una câte una, pentru că forma parabolei e mereu aceeași și totul se decide din doar două informații — semnul coeficientului dominant $a$ și discriminantul $\Delta$. Le cunoști deja pe amândouă din lecțiile despre funcția de gradul al doilea și despre intersecțiile parabolei cu axele. Astăzi le punem la treabă împreună și obținem o regulă pe care o vei folosi apoi ani la rând.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă semnul unei funcții și cum se citește el direct de pe grafic.
• Vei ști să determini poziția parabolei față de axa $Ox$ din semnul lui $a$ și din semnul lui $\Delta$.
• Vei ști să enunți și să aplici regula semnului: în afara rădăcinilor semnul lui $a$, între rădăcini semn contrar lui $a$.
• Vei ști să întocmești corect un tabel de semn pentru orice funcție de gradul al doilea.
• Vei ști să recunoști cazurile speciale $\Delta =0$ (parabolă tangentă la axă) și $\Delta <0$ (semn constant pe $\mathbb{R}$).
• Vei ști să găsești condiții asupra unui parametru pentru ca funcția să păstreze același semn pe toată axa reală.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „semnul unei funcții"

A studia semnul funcției $f$ înseamnă a răspunde, pentru fiecare $x$ din domeniu, la întrebarea: valoarea $f(x)$ este pozitivă, negativă sau nulă?

Pe grafic, răspunsul e imediat, pentru că $f(x)$ este chiar ordonata punctului de pe grafic cu abscisa $x$:

• $f(x)>0$ $⟺$ punctul $(x,f(x))$ se află deasupra axei $Ox$;
• $f(x)=0$ $⟺$ punctul se află pe axa $Ox$;
• $f(x)<0$ $⟺$ punctul se află sub axa $Ox$.

Ai făcut deja acest exercițiu pentru dreaptă, în lecția despre semnul funcției afine: acolo axa se împărțea în două bucăți de o singură rădăcină. La gradul al doilea, graficul este o parabolă, iar ea poate tăia axa $Ox$ în două puncte, într-unul singur sau în niciunul. De aici vin cele trei cazuri pe care le studiem astăzi.

Reține de la început formularea corectă a răspunsului. Nu spunem „semnul este pozitiv", ci precizăm pe ce mulțime de valori ale lui $x$: de exemplu, „$f(x)>0$ pentru orice $x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$". Semnul nu e o proprietate a funcției în ansamblu, ci se schimbă de la un interval la altul.

2. Cele două informații care decid totul

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, și $\Delta =b^2-4ac$.

Din lecțiile anterioare știi:

• semnul lui $a$ dă orientarea ramurilor: $a>0$ înseamnă ramuri în sus (parabolă „zâmbitoare"), $a<0$ înseamnă ramuri în jos;
• semnul lui $\Delta$ dă numărul de intersecții cu axa $Ox$: două puncte dacă $\Delta >0$, un singur punct (de tangență) dacă $\Delta =0$, niciunul dacă $\Delta <0$.

Combinând cele două informații, obținem șase situații posibile, dar ele se organizează foarte simplu. Cheia este forma canonică, pe care o rescriem aici pentru că ea explică de ce funcționează regula:

$$f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}.$$

Când $\Delta <0$, expresia $-\frac{\Delta }{4a}$ are același semn ca $a$, iar primul termen are și el semnul lui $a$ (pătratul e nenegativ). Cele două nu se pot anula niciodată simultan, deci întreaga expresie păstrează semnul lui $a$ pe toată axa. Asta e, în esență, demonstrația cazului $\Delta <0$, iar celelalte cazuri se citesc la fel de ușor.

3. Cazul $\Delta >0$: regula rădăcinilor

Când $\Delta >0$, funcția are două rădăcini reale distincte, pe care le notăm mereu în ordine crescătoare: $x_1<x_2$. Parabola taie axa $Ox$ în punctele $(x_1,0)$ și $(x_2,0)$, iar între ele face o „excursie" de partea opusă vârfului.

Regula semnului. Funcția are:

• semnul lui $a$ pentru $x<x_1$ și pentru $x>x_2$ (în afara rădăcinilor);
• semn contrar lui $a$ pentru $x_1<x<x_2$ (între rădăcini);
• valoarea $0$ exact în $x_1$ și în $x_2$.

Formularea populară — „semnul lui $a$ în afară, semn contrar între rădăcini" — merită memorată exact așa. Ea funcționează pentru ambele orientări:

Exemplu cu $a>0$. $f(x)=x^2-5x+6$. Avem $\Delta =25-24=1>0$ și rădăcinile $x_1=2$, $x_2=3$. Cum $a=1>0$, ramurile sunt în sus: parabola coboară sub axă între $2$ și $3$ și e deasupra axei în rest. Deci $f(x)>0$ pentru $x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$, $f(x)<0$ pentru $x\in (2,3)$ și $f(x)=0$ pentru $x\in \{2,3\}$.

Controlăm cu două valori: $f(0)=6>0$ ✓ (punct din afara rădăcinilor) și $f(2,5)=6,25-12,5+6=-0,25<0$ ✓ (punct dintre rădăcini). Verificarea cu o valoare de probă în fiecare interval este cel mai bun mod de a te asigura că nu ai încurcat sensurile.

Exemplu cu $a<0$. $f(x)=-x^2+4x-3$. Avem $\Delta =16-12=4>0$, cu rădăcinile $x_1=1$ și $x_2=3$. Cum $a=-1<0$, ramurile sunt în jos: parabola urcă deasupra axei între rădăcini și coboară sub axă în afara lor. Prin urmare $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$ și $f(x)>0$ pentru $x\in (1,3)$. Control: $f(2)=-4+8-3=1>0$ ✓, $f(0)=-3<0$ ✓.

4. Cazul $\Delta =0$: parabola atinge axa o singură dată

Când $\Delta =0$, cele două rădăcini se contopesc într-una singură, $x_0=-\frac{b}{2a}$, care este chiar abscisa vârfului. Parabola este tangentă la axa $Ox$: o atinge într-un punct, dar nu o traversează. Ordonata vârfului este $0$, deci vârful se află pe axă.

Consecința pentru semn: funcția are semnul lui $a$ pe toată axa reală, cu excepția punctului $x_0$, unde ia valoarea $0$.

Exemplu. $f(x)=x^2-6x+9$. Avem $\Delta =36-36=0$, deci $x_0=3$ și, de altfel, $f(x)=(x-3{)}^2$ — scriere care face totul evident: un pătrat este mereu mai mare sau egal cu zero, cu egalitate doar când baza e nulă. Deci $f(x)>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{3\}$ și $f(3)=0$.

Exemplu cu $a<0$. $f(x)=-x^2+6x-9=-(x-3{)}^2$. De data aceasta $f(x)<0$ pentru orice $x\ne 3$ și $f(3)=0$: parabola stă în întregime sub axă și doar o atinge în vârf.

Verifică mereu, în acest caz, dacă enunțul cere semn strict sau nu — diferența dintre „mai mare ca zero" și „mai mare sau egal cu zero" este exact punctul $x_0$, iar la teze acolo se pierd puncte.

5. Cazul $\Delta <0$: parabola nu întâlnește axa

Când $\Delta <0$, ecuația $f(x)=0$ nu are soluții reale, deci parabola nu taie și nu atinge axa $Ox$. Fiind o curbă continuă, ea rămâne în întregime de aceeași parte a axei: deasupra, dacă $a>0$, sub axă, dacă $a<0$.

Concluzie: funcția are semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$, fără nicio excepție.

Exemplu. $f(x)=x^2+x+1$: $\Delta =1-4=-3<0$ și $a=1>0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x$ real. Se vede și din forma canonică: $f(x)={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0$.

Exemplu. $f(x)=-2x^2+3x-5$: $\Delta =9-40=-31<0$ și $a=-2<0$, deci $f(x)<0$ pentru orice $x$ real. Această situație — o expresie de gradul al doilea care nu se anulează niciodată — este surprinzător de utilă: ea garantează, de pildă, că un numitor nu se anulează, deci că o funcție rațională e definită pe tot $\mathbb{R}$.

6. Tabelul de semn

Toate concluziile de mai sus se strâng într-un instrument unic, pe care matematicienii îl folosesc de secole: tabelul de semn. El așază pe un rând valorile lui $x$, în ordine crescătoare, iar dedesubt semnul funcției pe fiecare interval.

Pentru $\Delta >0$, cu rădăcinile $x_1<x_2$:

Pentru $\Delta =0$, cu rădăcina dublă $x_0$:

Pentru $\Delta <0$:

Rețeta de lucru are patru pași, în această ordine strictă:

1. identifici $a$, $b$, $c$ și calculezi $\Delta$;
2. decizi cazul după semnul lui $\Delta$ și, dacă e cazul, afli rădăcinile;
3. ordonezi rădăcinile crescător și construiești tabelul;
4. verifici cu o valoare de probă dintr-un interval — de obicei $x=0$, dacă nu e rădăcină.

Pasul al patrulea nu e o formalitate. E singura piedică în calea greșelii clasice: să scrii semnele în ordinea „$+-+$" indiferent de semnul lui $a$.

7. Semnul cerut pe toată axa: condiții cu parametru

O întrebare care apare foarte des la teze și la Bacalaureat sună așa: pentru ce valori ale parametrului $m$ funcția păstrează același semn pe tot $\mathbb{R}$? Din cazurile studiate, răspunsul e imediat:

• $f(x)>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ $⟺$ $a>0$ și $\Delta <0$;
• $f(x)<0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ $⟺$ $a<0$ și $\Delta <0$;
• $f(x)\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ $⟺$ $a>0$ și $\Delta \le 0$ (se acceptă și tangența);
• $f(x)\le 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ $⟺$ $a<0$ și $\Delta \le 0$.

Cele două condiții trebuie puse împreună; niciuna singură nu ajunge. Dacă știi doar că $\Delta <0$, funcția are semn constant, dar nu știi care; dacă știi doar că $a>0$, parabola poate coborî sub axă între rădăcini.

Exemplu. Determinăm valorile lui $m$ pentru care $f(x)=x^2-2x+m$ ia numai valori strict pozitive. Coeficientul dominant este $a=1>0$ ✓, deci mai rămâne condiția $\Delta <0$: $\Delta =4-4m<0⟺4<4m⟺m>1$. Răspuns: $m\in (1,+\infty )$. Control pentru $m=2$: $f(x)=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1\ge 1>0$ ✓. Control pentru $m=0$: $f(x)=x^2-2x$ se anulează în $0$ și în $2$ și e negativă între ele — deci $m=0$ e corect exclus.

Semnul funcției de gradul al doilea nu e un scop în sine: el este cheia inecuațiilor, pe care le vei rezolva sistematic în lecția următoare, inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic. Aici ne oprim la citirea semnului; acolo vom scrie mulțimi de soluții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul standard, cu $a>0$

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-7x+3$.

Rezolvare. Avem $a=2$, $b=-7$, $c=3$, deci $\Delta =49-24=25>0$. Rădăcinile: $x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4}$, adică $x_1=\frac{1}{2}$ și $x_2=3$.

Cum $a=2>0$, ramurile sunt în sus:

Control: $f(0)=3>0$ ✓ și $f(1)=2-7+3=-2<0$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Ramuri în jos

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x^2+5x+2$.

Rezolvare. $\Delta =25+24=49>0$, iar rădăcinile sunt $x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{-6}$, adică $-\frac{1}{3}$ și $2$. Le ordonăm: $x_1=-\frac{1}{3}<x_2=2$.

Cum $a=-3<0$, semnul lui $a$ este minus, deci în afara rădăcinilor funcția e negativă, iar între ele pozitivă:

Control: $f(0)=2>0$ ✓ (zero este între rădăcini) și $f(3)=-27+15+2=-10<0$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Rădăcină dublă

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2-4x+1$.

Rezolvare. $\Delta =16-16=0$, deci există o singură rădăcină, $x_0=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Recunoaștem chiar un pătrat perfect: $f(x)=(2x-1{)}^2$.

Cum $a=4>0$ și $\Delta =0$, funcția este strict pozitivă peste tot, în afară de $x_0$:

$$f(x)>0\text{ pentru }x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\},f\left(\frac{1}{2}\right)=0.$$

Observă că parabola nu traversează axa: o atinge și se întoarce. $■$

Exemplul 4 — Semn constant pe toată axa

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+2x-5$ ia numai valori negative.

Rezolvare. $\Delta =4-20=-16<0$ și $a=-1<0$. După regula cazului $\Delta <0$, funcția păstrează semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$, deci $f(x)<0$ pentru orice $x$ real.

Argument independent, prin forma canonică: $f(x)=-\left(x^2-2x+1\right)-4=-(x-1{)}^2-4\le -4<0$. Cea mai mare valoare a funcției este $-4$, atinsă în vârful $(1,-4)$ — și chiar și aceasta e negativă. $■$

Exemplul 5 — Citire inversă, de pe grafic

Graficul unei funcții de gradul al doilea $f$ taie axa $Ox$ în punctele de abscise $-1$ și $5$ și trece prin punctul $A(0,-5)$. a) Determinați semnul lui $a$. b) Scrieți semnul funcției. c) Determinați expresia lui $f$.

Rezolvare. a) Punctul $A$ are ordonata $-5<0$ și abscisa $0$, care se află între rădăcinile $-1$ și $5$. Deci între rădăcini funcția e negativă, adică semnul contrar lui $a$ este minus, de unde $a>0$: ramurile sunt în sus.

b) $f(x)>0$ pentru $x\in (-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )$; $f(x)<0$ pentru $x\in (-1,5)$; $f(-1)=f(5)=0$.

c) Cunoscând rădăcinile, putem scrie $f(x)=a(x+1)(x-5)$. Din $f(0)=-5$ obținem $a\cdot 1\cdot (-5)=-5$, deci $a=1$ și $f(x)=(x+1)(x-5)=x^2-4x-5$. Verificare: $\Delta =16+20=36$, rădăcinile $\frac{4\pm 6}{2}$, adică $-1$ și $5$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2(m+1)x+m+3$, unde $m$ este un parametru real. Determinați valorile lui $m$ pentru care $f(x)>0$ pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. Coeficientul dominant este $a=1>0$, deci prima condiție e îndeplinită automat. Rămâne $\Delta <0$.

$$\Delta ={\left[-2(m+1)\right]}^2-4(m+3)=4(m+1{)}^2-4(m+3)=4\left(m^2+2m+1-m-3\right)=4\left(m^2+m-2\right).$$

Condiția $\Delta <0$ devine $m^2+m-2<0$. Aceasta e o expresie de gradul al doilea în $m$: discriminantul ei este $1+8=9$, iar rădăcinile sunt $\frac{-1\pm 3}{2}$, adică $-2$ și $1$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia e negativă între rădăcini.

Răspuns: $m\in (-2,1)$.

Control pentru $m=0$: $f(x)=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2\ge 2>0$ ✓. Control pentru $m=1$ (capătul exclus): $\Delta =4(1+1-2)=0$, deci $f(x)=(x-2{)}^2$ se anulează în $x=2$ — nu mai e strict pozitivă, deci capătul e corect exclus. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu de semn, scrie tabelul complet și verifică rezultatul cu o valoare de probă.

1. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-9$.

2. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x-5$.

3. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-3$.

4. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+1$. Ce particularitate are graficul ei față de axa $Ox$?

5. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+1$.

6. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x^2+4x+6$.

7. Fără să calculezi rădăcinile, decide dacă funcția $f(x)=3x^2-2x+5$ poate lua valori negative. Justifică.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\Delta <0$, atunci funcția de gradul al doilea este pozitivă pe tot $\mathbb{R}$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(0)<0$ și $a>0$, atunci funcția are două rădăcini reale distincte."

10. Graficul unei funcții de gradul al doilea taie axa $Ox$ în $2$ și în $6$, iar vârful său se află sub axă. Scrie semnul funcției pe fiecare interval și precizează semnul lui $a$.

11. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $f(x)=x^2+4x+m$ ia numai valori strict pozitive.

12. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $f(x)=-x^2+4x+m$ ia numai valori strict negative.

13. (Problemă aplicată.) Înălțimea unei mingi lovite de la nivelul solului este $h(t)=-5t^2+20t$ (metri, cu $t$ în secunde). Studiază semnul lui $h$ pe $\mathbb{R}$ și explică ce semnificație are fiecare zonă în raport cu situația reală. Pe ce interval de timp are sens fizic modelul?

14. Arată că funcția $f(x)=x^2-6x+10$ nu se anulează niciodată și determină cea mai mică valoare pe care o ia.

15. Se știe că funcția de gradul al doilea $f$ are semnul din tabelul: minus pe $(-\infty ,-2)$, plus pe $(-2,4)$, minus pe $(4,+\infty )$. Ce poți spune despre semnul lui $a$ și despre semnul lui $\Delta$? Dă un exemplu concret de expresie cu acest tabel.

16. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $f(x)=m{x}^2-2x+3$ ia numai valori strict pozitive. (Atenție: discută și cazul $m=0$, în care funcția nu mai este de gradul al doilea.)

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-(m+2)x+m+5$. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției nu intersectează axa $Ox$.

18. (Provocare.) Fie $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a>0$. Arată că, dacă există un număr real $t$ cu $f(t)<0$, atunci funcția are obligatoriu două rădăcini reale distincte, iar $t$ se află între ele. (Indicație: pornește de la forma canonică și de la faptul că ordonata vârfului este cea mai mică valoare a funcției.)

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =0+36=36>0$, rădăcinile $-3$ și $3$, $a=1>0$. Deci $f(x)>0$ pe $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$, $f(x)<0$ pe $(-3,3)$, $f(\pm 3)=0$. Control: $f(0)=-9<0$ ✓.

2. $\Delta =16+20=36$, rădăcinile $\frac{4\pm 6}{2}$, adică $-1$ și $5$; $a>0$. Deci $f(x)>0$ pe $(-\infty ,-1)\cup (5,+\infty )$, $f(x)<0$ pe $(-1,5)$. Control: $f(0)=-5<0$ ✓.

3. $\Delta =16-12=4$, rădăcinile $1$ și $3$; $a=-1<0$. Deci $f(x)<0$ pe $(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$ și $f(x)>0$ pe $(1,3)$. Control: $f(2)=1>0$ ✓.

4. $\Delta =4-4=0$, rădăcina dublă $x_0=1$, iar $f(x)=(x-1{)}^2$. Deci $f(x)>0$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=0$. Graficul este tangent la axa $Ox$ în punctul $(1,0)$: o atinge fără să o traverseze.

5. $\Delta =1-4=-3<0$ și $a=1>0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Confirmare: $f(x)={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$.

6. $\Delta =16+48=64$, rădăcinile $\frac{-4\pm 8}{-4}$, adică $-1$ și $3$; $a=-2<0$. Deci $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$ și $f(x)>0$ pe $(-1,3)$. Control: $f(0)=6>0$ ✓.

7. Nu poate. $\Delta =4-60=-56<0$ și $a=3>0$, deci funcția păstrează semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$: e strict pozitivă. Nu a fost nevoie de rădăcini, ci doar de semnul discriminantului.

8. Fals. Din $\Delta <0$ rezultă doar că semnul e constant, iar acel semn este semnul lui $a$. Contraexemplu: $f(x)=-x^2+x-1$ are $\Delta =1-4=-3<0$, dar $a=-1<0$, deci funcția e negativă peste tot. Afirmația e adevărată doar dacă se adaugă ipoteza $a>0$.

9. Adevărat. Dacă $a>0$ și există un punct în care funcția e negativă (aici $x=0$), parabola coboară sub axă; având ramurile în sus, ea trebuie să traverseze axa o dată la stânga și o dată la dreapta acelui punct. Formal: $f(0)=c<0$, deci $\Delta =b^2-4ac\ge -4ac>0$, fiindcă $a>0$ și $c<0$.

10. Vârful sub axă și ramurile: cum vârful e sub axă și funcția are două rădăcini, între ele graficul e sub axă, deci semnul contrar lui $a$ este minus, adică $a>0$. Semnul: $f(x)>0$ pe $(-\infty ,2)\cup (6,+\infty )$, $f(x)<0$ pe $(2,6)$, $f(2)=f(6)=0$.

11. $a=1>0$ ✓; condiția $\Delta <0$ dă $16-4m<0⟺m>4$. Răspuns: $m\in (4,+\infty )$. Control $m=5$: $f(x)=x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1>0$ ✓.

12. $a=-1<0$ ✓; condiția $\Delta <0$ dă $16+4m<0⟺m<-4$. Răspuns: $m\in (-\infty ,-4)$. Control $m=-5$: $f(x)=-x^2+4x-5=-(x-2{)}^2-1<0$ ✓.

13. $\Delta =400>0$, iar $h(t)=-5t(t-4)$ are rădăcinile $0$ și $4$; $a=-5<0$, deci $h(t)>0$ pe $(0,4)$ și $h(t)<0$ în afara acestui interval. Interpretare: mingea este în aer (înălțime pozitivă) exact între momentul lovirii, $t=0$, și momentul căderii, $t=4$ secunde. Valorile negative nu au sens fizic — ele ar însemna „minge sub pământ" —, deci modelul se folosește doar pe intervalul $[0,4]$.

14. $\Delta =36-40=-4<0$, deci funcția nu se anulează. Cum $a=1>0$, ea e strict pozitivă. Forma canonică: $f(x)=(x-3{)}^2+1$, deci cea mai mică valoare este $1$, atinsă în $x=3$ (vârful parabolei).

15. Semnul este minus în afara rădăcinilor $-2$ și $4$ și plus între ele, deci semnul lui $a$ este minus: $a<0$. Existența a două rădăcini distincte înseamnă $\Delta >0$. Exemplu concret: $f(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$; verificare: $\Delta =4+32=36>0$ ✓ și $f(0)=8>0$ ✓.

16. Cazul $m=0$: $f(x)=-2x+3$ e funcție afină, care ia și valori negative (de exemplu $f(2)=-1$) — nu convine. Cazul $m\ne 0$: trebuie $m>0$ și $\Delta =4-12m<0⟺m>\frac{1}{3}$. Cum $\frac{1}{3}>0$, condiția care rămâne este $m>\frac{1}{3}$. Răspuns: $m\in \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$.

17. Graficul nu intersectează axa $Ox$ înseamnă că ecuația $f(x)=0$ nu are soluții reale, adică $\Delta <0$. Calculăm: $\Delta =(m+2{)}^2-4(m+5)=m^2+4m+4-4m-20=m^2-16$. Condiția $m^2-16<0$ este o inecuație în $m$ cu rădăcinile $-4$ și $4$ și coeficient dominant pozitiv, deci soluția e între rădăcini: $m\in (-4,4)$. Control $m=0$: $\Delta =-16<0$ ✓; control $m=4$: $\Delta =0$, graficul devine tangent — deci capătul e corect exclus.

18. Din forma canonică, $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}$, iar pentru $a>0$ cea mai mică valoare a funcției este ordonata vârfului, $-\frac{\Delta }{4a}$. Dacă $f(t)<0$, atunci și minimul e negativ: $-\frac{\Delta }{4a}\le f(t)<0$. Cum $a>0$, rezultă $\frac{\Delta }{4a}>0$, deci $\Delta >0$: există două rădăcini distincte $x_1<x_2$. În sfârșit, pentru $a>0$ funcția e negativă numai între rădăcini, deci din $f(t)<0$ rezultă $t\in (x_1,x_2)$. $■$

De reținut

• Semnul funcției se citește pe grafic ca poziție față de axa $Ox$: deasupra înseamnă $f(x)>0$, sub axă înseamnă $f(x)<0$, pe axă înseamnă $f(x)=0$.
• Totul se decide din două informații: semnul lui $a$ (orientarea ramurilor) și semnul lui $\Delta$ (numărul de intersecții cu axa).
• $\Delta >0$: semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar lui $a$ între ele, zero în rădăcini.
• $\Delta =0$: semnul lui $a$ peste tot, cu excepția rădăcinii duble $x_0=-\frac{b}{2a}$, unde funcția e nulă; parabola e tangentă la axă.
• $\Delta <0$: semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$. De aici: $f(x)>0$ pentru orice $x$ real $⟺a>0$ și $\Delta <0$.

Greșeli frecvente

• Scrii mereu „$+-+$" fără să te uiți la semnul lui $a$. Când $a<0$, tabelul e „$-+-$". Antidotul: o valoare de probă (de obicei $x=0$) verificată în tabel, la fiecare exercițiu.
• Nu ordonezi rădăcinile crescător. Formula poate să-ți dea întâi rădăcina mai mare; dacă o scrii în tabel în ordinea în care a ieșit, semnele ajung inversate. Notează întotdeauna $x_1<x_2$.
• Confuzia dintre $\Delta =0$ și $\Delta <0$. La $\Delta =0$ funcția se anulează într-un punct, deci nu e strict de semnul lui $a$ peste tot; la $\Delta <0$ nu se anulează niciodată. Diferența contează exact la inecuațiile cu $\ge$ sau $\le$.
• Ceri doar $\Delta <0$ pentru „funcția e pozitivă pe $\mathbb{R}$". Trebuie și $a>0$; altfel obții tocmai contrariul, o funcție negativă peste tot.
• Uiți să discuți cazul în care coeficientul dominant conține parametrul. La $f(x)=m{x}^2+\dots$, valoarea $m=0$ trebuie tratată separat, pentru că atunci funcția nu mai este de gradul al doilea.

Aplică acasă

1. Harta semnelor. Alege cinci funcții de gradul al doilea din culegere, câte una din fiecare caz posibil (două cu $\Delta >0$ și $a$ de semne diferite, două cu $\Delta =0$, una cu $\Delta <0$). Fă pentru fiecare tabelul de semn pe o singură pagină și pune alături schița parabolei. Vei avea o „hartă" pe care o poți reciti înainte de teză în două minute.

2. Parabola din realitate. Fotografiază un obiect cu formă de arc din orașul tău (un pod, o poartă, jetul unei fântâni arteziene). Alege o axă orizontală convenabilă în fotografie și decide, doar privind imaginea, pe ce zonă „funcția" e pozitivă și pe ce zonă e negativă. Discută ce ai ales ca nivel zero — răspunsul depinde de această alegere.

3. Vânătoarea de discriminanți negativi. Scrie cinci expresii de forma $x^2+bx+c$ care să nu se anuleze niciodată, alegând singur numerele. Verifică de fiecare dată prin calculul discriminantului și, în plus, prin scrierea sub formă canonică — a doua metodă îți arată și cea mai mică valoare a funcției.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă cunoștințele despre parabolă (vârf, rădăcini, orientare) într-un instrument operațional: tabelul de semn. Verifică trei lucruri: că elevul calculează corect $\Delta$ și rădăcinile, că știe regula „semnul lui $a$ în afară, semn contrar între rădăcini" și o justifică prin poziția parabolei față de axă, și că folosește sistematic o valoare de probă pentru control. Această ultimă deprindere elimină singură majoritatea greșelilor.

Întrebări bune de control: „Ce semn are funcția între rădăcini, dacă $a<0$?" (pozitiv); „Poate o funcție de gradul al doilea să fie negativă pe tot $\mathbb{R}$?" (da, dacă $a<0$ și $\Delta <0$); „Ce înseamnă geometric $\Delta =0$?" (parabola e tangentă la axa $Ox$, o atinge fără să o traverseze). Semne că a înțeles: nu confundă cazurile $\Delta =0$ și $\Delta <0$, ordonează rădăcinile înainte de a construi tabelul și tratează separat cazul în care coeficientul dominant depinde de un parametru.

La Bacalaureat, semnul funcției de gradul al doilea apare aproape la fiecare sesiune, cel mai des în forma „determinați $m$ real pentru care $f(x)>0$ pentru orice $x$ real" sau „arătați că graficul nu intersectează axa $Ox$". Este și fundamentul pentru inecuațiile de gradul al doilea, pentru domeniile de definiție ale funcțiilor cu radical și pentru studiul semnului oricărei expresii care se descompune în factori de gradul întâi și al doilea.

Întrebări frecvente

Cum aflu semnul unei funcții de gradul al doilea? Calculezi discriminantul $\Delta =b^2-4ac$ și te uiți la semnul lui $a$. Dacă $\Delta >0$, afli rădăcinile și aplici regula: semnul lui $a$ în afara lor, semn contrar între ele. Dacă $\Delta =0$, funcția are semnul lui $a$ peste tot, mai puțin în rădăcina dublă, unde e zero. Dacă $\Delta <0$, are semnul lui $a$ pe tot $\mathbb{R}$.

Ce înseamnă „semn contrar lui a între rădăcini"? Înseamnă că, pe intervalul dintre cele două rădăcini, valorile funcției au semnul opus coeficientului $a$. Dacă $a>0$, între rădăcini funcția e negativă (parabola coboară sub axă); dacă $a<0$, între rădăcini e pozitivă.

Când este funcția de gradul al doilea pozitivă pentru orice x real? Exact atunci când $a>0$ și $\Delta <0$: ramurile sunt în sus, iar parabola nu atinge deloc axa $Ox$, deci rămâne în întregime deasupra ei. Ambele condiții sunt necesare.

Ce se întâmplă cu semnul când discriminantul este zero? Parabola atinge axa $Ox$ într-un singur punct, vârful. Funcția are semnul lui $a$ pentru orice $x$ diferit de $x_0=-\frac{b}{2a}$ și se anulează în $x_0$. Nu există interval pe care semnul să se schimbe — parabola nu traversează axa.

De ce trebuie ordonate rădăcinile înainte de tabelul de semn? Pentru că tabelul citește axa reală de la stânga la dreapta. Dacă scrii rădăcina mai mare prima, intervalul „dintre rădăcini" ajunge scris greșit și toate semnele se încurcă. Notează întotdeauna $x_1<x_2$.

Cum verific rapid dacă am scris corect tabelul de semn? Alegi o valoare simplă din fiecare interval (de exemplu $x=0$, dacă nu e rădăcină) și calculezi $f$ în ea. Semnul rezultat trebuie să coincidă cu cel din tabel. Este verificarea care prinde cel mai des greșeala de orientare a ramurilor.

La ce folosește studiul semnului mai departe? Este pasul obligatoriu pentru rezolvarea inecuațiilor de gradul al doilea, pentru determinarea domeniului funcțiilor cu radical (unde se cere ca expresia de sub radical să fie nenegativă) și pentru studiul semnului produselor și rapoartelor de funcții.

Pot afla semnul fără să calculez rădăcinile? Da, în două situații: când $\Delta <0$ și când expresia se recunoaște ca pătrat perfect, de exemplu $(x-3{)}^2$. În rest, rădăcinile sunt necesare: ele sunt granițele dintre zonele de semn diferit.