Logaritmul: întrebarea «la ce putere?»

O foaie de hârtie are grosimea de o zecime de milimetru. O îndoi în două — două straturi. O îndoi iar — patru straturi. La fiecare îndoire numărul straturilor se dublează, deci după $n$ îndoituri ai $2^{n}$ straturi. Până aici, nimic nou: e chiar creșterea exponențială pe care ai studiat-o în lecția despre creșterea exponențială. Dar acum întoarce întrebarea pe dos: după câte îndoituri ajungi la exact 1024 de straturi? Nu mai cauți rezultatul unei puteri, ci exponentul ei.

Această întrebare — „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin numărul dat?" — este atât de utilă și de des întâlnită, încât matematicienii i-au dat un nume și o notație proprie: logaritm. Răspunsul la întrebarea cu hârtia se scrie $lo g_{2} 1024$ , iar valoarea lui este $10$ , pentru că $2^{10} = 1024$ . În lecția de față vei învăța definiția logaritmului, condițiile în care el există și cum calculezi logaritmi simpli, fără calculator. Este cheia care deschide drumul spre funcția logaritmică și spre scările logaritmice folosite în chimie, în acustică sau în seismologie.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția logaritmului $lo g_{a} b$ ca exponent la care se ridică baza $a$ pentru a obține numărul $b$ .
Vei ști condițiile de existență: $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ — și vei putea explica de ce fiecare dintre ele este necesară.
Vei ști să treci de la forma exponențială $a^{c} = b$ la forma logaritmică $lo g_{a} b = c$ și invers.
Vei ști să calculezi logaritmi simpli, scriind numărul ca putere a bazei, inclusiv cei cu rezultat negativ sau fracționar.
Vei ști să folosești egalitățile de bază $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{n} = n$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ .
Vei ști să încadrezi un logaritm între două numere întregi consecutive, fără calculator.

Hai să descoperim împreună

1. Aceeași relație, trei întrebări diferite

Pornim de la o egalitate simplă, cunoscută din gimnaziu:

$2^{3} = 8.$

În ea intervin trei numere: baza $2$ , exponentul $3$ și rezultatul $8$ . Dacă ascunzi pe rând câte unul dintre ele, obții trei întrebări complet diferite:

Se cunosc baza și exponentul, se caută rezultatul. „Cât face $2^{3}$ ?" Răspuns: $8$ . Este operația de ridicare la putere, cea mai veche cunoștință a ta.
Se cunosc exponentul și rezultatul, se caută baza. „Ce număr la puterea a treia dă $8$ ?" Răspuns: $2$ . Este radicalul, operația din lecția despre funcția radical de ordin 3.
Se cunosc baza și rezultatul, se caută exponentul. „La ce putere trebuie ridicat $2$ ca să obțin $8$ ?" Răspuns: $3$ . Aceasta este operația nouă — logaritmul.

Reține imaginea: puterea, radicalul și logaritmul sunt trei fețe ale aceleiași relații $a^{c} = b$ , fiecare rezolvând altă necunoscută. Logaritmul este singura dintre ele care scoate la lumină exponentul.

2. Definiția logaritmului

Definiție. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ . Se numește logaritm în baza $a$ al numărului $b$ acel număr real $c$ pentru care

$a^{c} = b .$

Se notează $c = lo g_{a} b$ și se citește „logaritm în baza $a$ din $b$ ".

Cu alte cuvinte, logaritmul este un exponent. Această propoziție de patru cuvinte merită memorată ca atare, pentru că elimină din start majoritatea confuziilor. Când vezi scris $lo g_{5} 125$ , tradu imediat: „exponentul la care trebuie ridicat 5 ca să obțin 125". Iar cum $5^{3} = 125$ , răspunsul este $3$ .

Cele două forme, exponențială și logaritmică, spun exact același lucru:

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$

Un mic dicționar de traducere, pe care e bine să îl exersezi în ambele sensuri:

Formă exponențială	Formă logaritmică
$2^{3} = 8$	$lo g_{2} 8 = 3$
$3^{4} = 81$	$lo g_{3} 81 = 4$
$1 0^{2} = 100$	$lo g_{10} 100 = 2$
$5^{0} = 1$	$lo g_{5} 1 = 0$
$2^{- 3} = \frac{1}{8}$	$lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$
$9^{1/2} = 3$	$lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$

3. De ce condițiile $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$

Definiția vine la pachet cu trei restricții. Nu sunt capricii de manual — fiecare rezolvă o problemă reală.

Baza trebuie să fie strict pozitivă ( $a > 0$ ). Dacă am accepta baze negative, puterile ar sări haotic: $(- 2)^{2} = 4$ , dar $(- 2)^{1/2}$ nu are sens în mulțimea numerelor reale. Nu ar exista o funcție exponențială cuminte pe care logaritmul să o „întoarcă".

Baza nu poate fi 1 ( $a \neq = 1$ ). Dacă $a = 1$ , atunci $1^{c} = 1$ pentru orice $c$ . Întrebarea „la ce putere ridic 1 ca să obțin 8?" nu are niciun răspuns, iar întrebarea „la ce putere ridic 1 ca să obțin 1?" are o infinitate de răspunsuri. În ambele cazuri, logaritmul nu ar fi bine definit.

Numărul din logaritm trebuie să fie strict pozitiv ( $b > 0$ ). Aceasta este restricția care se uită cel mai des. Motivul: cum ai văzut în lecția despre funcția exponențială, o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă. Nu există niciun exponent $c$ pentru care $2^{c} = - 8$ sau $2^{c} = 0$ . Prin urmare, expresiile $lo g_{2} (- 8)$ și $lo g_{2} 0$ nu există.

Numărul $b$ se mai numește și argumentul logaritmului, iar condiția $b > 0$ se numește condiție de existență. La orice exercițiu cu logaritmi, primul reflex este să verifici că argumentul e strict pozitiv.

4. Logaritmii pe care îi știi fără să calculezi

Patru egalități se obțin direct din definiție și îți vor economisi timp la fiecare exercițiu. Le justificăm pe fiecare într-un rând.

(1) $lo g_{a} 1 = 0$ , pentru orice bază admisibilă. Într-adevăr, $a^{0} = 1$ , deci exponentul căutat este $0$ . Exemple: $lo g_{7} 1 = 0$ , $lo g_{10} 1 = 0$ , $lo g_{e} 1 = 0$ .

(2) $lo g_{a} a = 1$ . Într-adevăr, $a^{1} = a$ . Exemple: $lo g_{6} 6 = 1$ , $lo g_{10} 10 = 1$ .

(3) $lo g_{a} a^{n} = n$ , pentru orice exponent real $n$ . Este definiția citită direct: exponentul la care ridic $a$ pentru a obține $a^{n}$ este, evident, $n$ . Exemple: $lo g_{2} 2^{5} = 5$ , $lo g_{3} 3^{- 2} = - 2$ .

(4) $a^{l o g_{a} b} = b$ , pentru orice $b > 0$ . Este aceeași definiție citită invers: dacă ridic baza la exponentul care produce $b$ , obțin $b$ . Exemple: $2^{l o g_{2} 7} = 7$ , $1 0^{l o g_{10} 3} = 3$ .

Egalitățile (3) și (4) arată cel mai limpede că ridicarea la putere și logaritmarea se anulează reciproc, ca strângerea și desfacerea unui șurub. Această idee — că cele două operații se „întorc" una pe alta — se numește în limbaj de funcții inversabilitate și o vei regăsi în lecția despre funcția logaritmică, unde graficele lor apar ca oglinzi.

5. Cum calculezi un logaritm simplu: rețeta în doi pași

Toate logaritmele „frumoase" din clasa a IX-a se calculează la fel:

Pasul 1. Scrie argumentul $b$ ca putere a bazei $a$ , adică $b = a^{k}$ . Pasul 2. Citește răspunsul: $lo g_{a} b = k$ .

Să aplicăm pe câteva exemple, cu voce tare:

$lo g_{2} 32$ : scriem $32 = 2^{5}$ , deci $lo g_{2} 32 = 5$ .
$lo g_{3} 81$ : scriem $81 = 3^{4}$ , deci $lo g_{3} 81 = 4$ .
$lo g_{5} 125$ : scriem $125 = 5^{3}$ , deci $lo g_{5} 125 = 3$ .
$lo g_{10} 1000$ : scriem $1000 = 1 0^{3}$ , deci $lo g_{10} 1000 = 3$ .
$lo g_{2} 1024$ : scriem $1024 = 2^{10}$ , deci $lo g_{2} 1024 = 10$ — răspunsul la problema cu hârtia din deschidere.

Dificultatea reală nu e la logaritm, ci la Pasul 1: trebuie să recunoști puterile. Merită să ai la îndemână puterile lui 2 până la $2^{10} = 1024$ , ale lui 3 până la $3^{5} = 243$ și ale lui 5 până la $5^{4} = 625$ .

6. Logaritmi negativi și logaritmi fracționari

Un logaritm poate ieși negativ sau fracționar — și e perfect normal, pentru că exponenții pot fi negativi sau fracționari.

Logaritm negativ. Apare când argumentul este subunitar, iar baza supraunitară:

$lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3, pentru c \overset{a}{˘} 2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8};$ $lo g_{5} 0, 04 = - 2, pentru c \overset{a}{˘} 5^{- 2} = \frac{1}{25} = 0, 04;$ $lo g_{10} 0, 001 = - 3, pentru c \overset{a}{˘} 1 0^{- 3} = 0, 001.$

Atenție la distincția fină: argumentul nu poate fi negativ, dar rezultatul poate. $lo g_{2} (- 8)$ nu există; $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ există și e negativ.

Logaritm fracționar. Apare când argumentul este un radical al bazei:

$lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}, pentru c \overset{a}{˘} 9^{1/2} = 9 = 3;$ $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}, pentru c \overset{a}{˘} 4^{1/2} = 2;$ $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}, pentru c \overset{a}{˘} 8^{1/3} = 38 = 2.$

Observă simetria: dacă $lo g_{2} 8 = 3$ , atunci $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ . Schimbând între ele baza și argumentul, rezultatul se inversează.

7. Încadrarea unui logaritm între două numere întregi

Cele mai multe logaritme nu sunt numere frumoase. De exemplu, $lo g_{2} 10$ nu este întreg, pentru că 10 nu e putere a lui 2. Dar îl putem încadra, iar asta e adesea tot ce se cere:

$2^{3} = 8 < 10 < 16 = 2^{4} ⟹ 3 < lo g_{2} 10 < 4.$

Raționamentul se sprijină pe faptul că funcția $2^{x}$ este strict crescătoare: dacă valoarea $10$ stă între $2^{3}$ și $2^{4}$ , atunci exponentul care o produce stă între $3$ și $4$ . (Cu calculatorul: $lo g_{2} 10 \approx 3, 322$ — încadrarea e confirmată.)

Alt exemplu: $lo g_{10} 500$ . Cum $1 0^{2} = 100 < 500 < 1000 = 1 0^{3}$ , rezultă $2 < lo g_{10} 500 < 3$ . Valoarea reală este $\approx 2, 699$ .

Această tehnică e foarte utilă în practică: partea întreagă a lui $lo g_{10} b$ îți spune, de fapt, câte cifre are numărul $b$ — un număr de trei cifre are logaritmul zecimal între 2 și 3.

8. Ce urmează și ce nu facem încă

Logaritmii au un set de proprietăți foarte puternice, care transformă înmulțirile în adunări:

$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x .$

Le anunțăm aici, ca să știi că există și de ce logaritmii au fost inventați (secole la rând, înainte de calculatoare, ele au fost unealta care a scurtat calculele astronomilor). Demonstrațiile lor și folosirea lor sistematică în calcule sunt însă materie de clasa a X-a; în clasa a IX-a lucrăm cu definiția și cu citirea grafică.

Tot în clasa a X-a se studiază ecuațiile logaritmice și exponențiale rezolvate algebric. Aici ne oprim la a determina, din definiție, un termen necunoscut într-o relație simplă, și la a citi soluțiile aproximative de pe grafic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Logaritmi calculați din definiție

Calculați: a) $lo g_{2} 64$ ; b) $lo g_{3} 27$ ; c) $lo g_{10} 10000$ .

Rezolvare. Scriem fiecare argument ca putere a bazei:

a) $64 = 2^{6}$ , deci $lo g_{2} 64 = 6$ . b) $27 = 3^{3}$ , deci $lo g_{3} 27 = 3$ . c) $10000 = 1 0^{4}$ , deci $lo g_{10} 10000 = 4$ . ✓

Exemplul 2 — Traducerea între cele două forme

Scrieți în formă logaritmică: $4^{3} = 64$ și $7^{- 2} = \frac{1}{49}$ . Scrieți în formă exponențială: $lo g_{6} 216 = 3$ și $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ .

Rezolvare. Aplicăm echivalența $a^{c} = b ⟺ lo g_{a} b = c$ , cu grijă la cine e baza (rămâne bază în ambele forme):

$4^{3} = 64 ⟹ lo g_{4} 64 = 3$ ;
$7^{- 2} = \frac{1}{49} ⟹ lo g_{7} \frac{1}{49} = - 2$ ;
$lo g_{6} 216 = 3 ⟹ 6^{3} = 216$ (verificare: $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ ✓);
$lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 ⟹ 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ✓.

Exemplul 3 — Logaritmi cu rezultat negativ

Calculați $lo g_{5} \frac{1}{125}$ și $lo g_{10} 0, 01$ .

Rezolvare. a) $\frac{1}{125} = \frac{1}{5 ^{3}} = 5^{- 3}$ , deci $lo g_{5} \frac{1}{125} = - 3$ .

b) $0, 01 = \frac{1}{100} = 1 0^{- 2}$ , deci $lo g_{10} 0, 01 = - 2$ .

Reține: argument subunitar și bază supraunitară $\Rightarrow$ logaritm negativ. Nu confunda cu argument negativ, care este interzis. ✓

Exemplul 4 — Logaritmi cu rezultat fracționar

Calculați $lo g_{25} 5$ și $lo g_{16} 2$ .

Rezolvare. a) Căutăm exponentul $c$ cu $2 5^{c} = 5$ . Cum $25 = 5^{2}$ , avem $2 5^{1/2} = 25 = 5$ , deci $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ .

b) Căutăm $c$ cu $1 6^{c} = 2$ . Cum $16 = 2^{4}$ , trebuie ca $1 6^{1/4} = 416 = 2$ , deci $lo g_{16} 2 = \frac{1}{4}$ . ✓

Verificare rapidă prin simetrie: $lo g_{2} 16 = 4$ și, într-adevăr, $lo g_{16} 2 = \frac{1}{4}$ .

Exemplul 5 — Încadrare fără calculator

Arătați, fără calculator, că $lo g_{3} 50$ este cuprins între $3$ și $4$ .

Rezolvare. Calculăm puterile vecine ale lui 3: $3^{3} = 27$ și $3^{4} = 81$ . Cum

$27 < 50 < 81,$

iar funcția $3^{x}$ este strict crescătoare, exponentul care produce $50$ se află între exponenții care produc $27$ și $81$ :

$3 < lo g_{3} 50 < 4.$

(Cu calculatorul, $lo g_{3} 50 \approx 3, 561$ — încadrarea e corectă.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Calculați $E = lo g_{2} 8 + lo g_{3} \frac{1}{3} - lo g_{7} 1 + 5^{l o g_{5} 4}$ .

Rezolvare. Luăm termenii pe rând, fiecare din definiție:

$lo g_{2} 8 = 3$ , pentru că $2^{3} = 8$ ;
$lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ , pentru că $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ ;
$lo g_{7} 1 = 0$ , pentru că $7^{0} = 1$ ;
$5^{l o g_{5} 4} = 4$ , prin egalitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ .

Așadar

$E = 3 + (- 1) - 0 + 4 = 6.$

Observă cât de mult contează primele patru egalități de bază: patru termeni, patru raționamente de câte un rând. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare logaritm, scrie explicit puterea din care ai dedus răspunsul — acolo se acordă punctele.

1. Calculează: $lo g_{2} 16$ , $lo g_{2} 64$ , $lo g_{3} 9$ , $lo g_{10} 100$ .

2. Scrie în formă logaritmică: $2^{5} = 32$ ; $3^{4} = 81$ ; $1 0^{- 2} = 0, 01$ ; $5^{0} = 1$ .

3. Scrie în formă exponențială: $lo g_{7} 49 = 2$ ; $lo g_{2} \frac{1}{32} = - 5$ ; $lo g_{6} 1 = 0$ ; $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ .

4. Calculează $lo g_{a} 1$ și $lo g_{a} a$ pentru $a = 2$ , $a = 5$ și $a = 10$ . Ce observi?

5. Explică de ce nu există $lo g_{2} (- 8)$ , de ce nu există $lo g_{3} 0$ și de ce nu se admite baza $a = 1$ .

6. Calculează: $lo g_{2} \frac{1}{16}$ , $lo g_{3} \frac{1}{9}$ , $lo g_{10} 0, 001$ , $lo g_{5} 0, 2$ .

7. Calculează: $lo g_{4} 2$ , $lo g_{9} 3$ , $lo g_{25} 5$ , $lo g_{8} 2$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $lo g_{3} 0 = 0$ , pentru că orice logaritm din zero este zero."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Valoarea unui logaritm poate fi un număr negativ."

10. Încadrează $lo g_{2} 10$ între două numere întregi consecutive, folosind puteri ale lui 2. Justifică prin monotonia funcției $2^{x}$ .

11. Încadrează $lo g_{10} 500$ între două numere întregi consecutive. Ce legătură are rezultatul cu numărul de cifre ale lui 500?

12. Calculează, folosind egalitățile de bază: $2^{l o g_{2} 7}$ ; $lo g_{5} 5^{3}$ ; $1 0^{l o g_{10} 12}$ ; $lo g_{4} 4^{- 2}$ .

13. (Problemă aplicată.) O cultură de bacterii pornește de la 1000 de indivizi și se dublează în fiecare oră. După $n$ ore sunt $1000 \cdot 2^{n}$ bacterii. După câte ore ajung la 32 000? Scrie răspunsul mai întâi ca logaritm, apoi calculează-l.

14. (Problemă aplicată.) O foaie de hârtie îndoită de $n$ ori are $2^{n}$ straturi. Câte îndoituri sunt necesare pentru a obține 512 straturi? Dar 4096?

15. Determină, folosind definiția, numărul $x$ din fiecare relație: a) $lo g_{x} 27 = 3$ ; b) $lo g_{2} x = 6$ ; c) $lo g_{5} x = - 1$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Calculați $lo g_{2} 32 - lo g_{3} \frac{1}{9} + lo g_{10} 1$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $lo g_{2} 16 - lo g_{4} 16 = 2$ .

18. (Provocare.) Demonstrează, prin reducere la absurd, că $lo g_{2} 3$ nu este un număr rațional. (Indicație: presupune $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ cu $p, q$ naturale nenule, treci la forma exponențială și compară paritatea celor doi membri.)

Răspunsuri și explicații

1. $lo g_{2} 16 = 4$ (căci $2^{4} = 16$ ); $lo g_{2} 64 = 6$ ( $2^{6} = 64$ ); $lo g_{3} 9 = 2$ ( $3^{2} = 9$ ); $lo g_{10} 100 = 2$ ( $1 0^{2} = 100$ ).

2. $lo g_{2} 32 = 5$ ; $lo g_{3} 81 = 4$ ; $lo g_{10} 0, 01 = - 2$ ; $lo g_{5} 1 = 0$ .

3. $7^{2} = 49$ ; $2^{- 5} = \frac{1}{32}$ ; $6^{0} = 1$ ; $4^{1/2} = 2$ .

4. $lo g_{2} 1 = lo g_{5} 1 = lo g_{10} 1 = 0$ , iar $lo g_{2} 2 = lo g_{5} 5 = lo g_{10} 10 = 1$ . Observație: rezultatul nu depinde de bază, pentru că $a^{0} = 1$ și $a^{1} = a$ pentru orice bază admisibilă.

5. $lo g_{2} (- 8)$ nu există: nu există exponent $c$ cu $2^{c} = - 8$ , fiindcă orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă. $lo g_{3} 0$ nu există din același motiv: $3^{c} > 0$ mereu, deci $3^{c} = 0$ e imposibil. Baza $a = 1$ e interzisă pentru că $1^{c} = 1$ pentru orice $c$ : ecuația $1^{c} = b$ nu are soluție când $b \neq = 1$ și are o infinitate de soluții când $b = 1$ — logaritmul nu ar fi unic determinat.

6. $lo g_{2} \frac{1}{16} = - 4$ ( $2^{- 4} = \frac{1}{16}$ ); $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ ; $lo g_{10} 0, 001 = - 3$ ; $lo g_{5} 0, 2 = - 1$ , pentru că $0, 2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}$ .

7. $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ ( $4^{1/2} = 2$ ); $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ ; $lo g_{25} 5 = \frac{1}{2}$ ; $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ ( $8^{1/3} = 2$ ).

8. Fals — și de două ori greșit. Întâi, $lo g_{3} 0$ nu există: argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv. Apoi, egalitatea cu zero se obține pentru argumentul $1$ , nu $0$ : $lo g_{a} 1 = 0$ .

9. Adevărat. Valoarea logaritmului este un exponent, iar exponenții pot fi negativi. De exemplu $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ sau $lo g_{10} 0, 01 = - 2$ . Nu confunda cu argumentul, care trebuie să fie strict pozitiv.

10. $2^{3} = 8$ și $2^{4} = 16$ , iar $8 < 10 < 16$ . Funcția $2^{x}$ fiind strict crescătoare, exponentul care dă $10$ se află între $3$ și $4$ : $3 < lo g_{2} 10 < 4$ . (Valoarea reală: $\approx 3, 322$ .)

11. $1 0^{2} = 100 < 500 < 1000 = 1 0^{3}$ , deci $2 < lo g_{10} 500 < 3$ . Legătura cu numărul de cifre: 500 are trei cifre, iar logaritmul lui zecimal are partea întreagă $2 = 3 - 1$ . În general, un număr cu $k$ cifre are logaritmul zecimal între $k - 1$ și $k$ .

12. $2^{l o g_{2} 7} = 7$ (egalitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ ); $lo g_{5} 5^{3} = 3$ ; $1 0^{l o g_{10} 12} = 12$ ; $lo g_{4} 4^{- 2} = - 2$ .

13. Trebuie ca $1000 \cdot 2^{n} = 32000$ , adică $2^{n} = 32$ . Răspunsul este $n = lo g_{2} 32$ , iar cum $32 = 2^{5}$ , obținem $n = 5$ ore.

14. Pentru 512 straturi: $2^{n} = 512 = 2^{9}$ , deci $n = lo g_{2} 512 = 9$ îndoituri. Pentru 4096: $4096 = 2^{12}$ , deci $n = 12$ îndoituri. (În realitate, o foaie obișnuită nu poate fi îndoită de mai mult de 7–8 ori — creșterea exponențială bate rezistența hârtiei.)

15. a) Din definiție, $x^{3} = 27$ , deci $x = 3$ (baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1 — condiția e respectată). b) $2^{6} = x$ , deci $x = 64$ . c) $5^{- 1} = x$ , deci $x = \frac{1}{5} = 0, 2$ .

16. $lo g_{2} 32 = 5$ ; $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ ; $lo g_{10} 1 = 0$ . Deci expresia este $5 - (- 2) + 0 = 7$ .

17. $lo g_{2} 16 = 4$ , pentru că $2^{4} = 16$ ; $lo g_{4} 16 = 2$ , pentru că $4^{2} = 16$ . Diferența: $4 - 2 = 2$ . ✓ Observă că același argument, privit din baze diferite, dă logaritmi diferiți — baza contează întotdeauna.

18. Presupunem, prin absurd, că $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ , cu $p, q$ numere naturale nenule. Trecând la forma exponențială obținem $2^{p / q} = 3$ , deci, ridicând ambii membri la puterea $q$ :

$2^{p} = 3^{q} .$

Membrul stâng este un număr par (fiind o putere cu exponent nenul a lui 2), iar membrul drept este impar (produs de numere impare). Un număr nu poate fi simultan par și impar — contradicție. Deci presupunerea e falsă și $lo g_{2} 3$ este irațional. (Valoarea lui aproximativă este $1, 585$ , cuprinsă, cum era de așteptat, între $lo g_{2} 2 = 1$ și $lo g_{2} 4 = 2$ .)

De reținut

Logaritmul este un exponent: $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ . Întrebarea pe care o pune este mereu „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin argumentul?".
Condiții de existență: baza $a > 0$ și $a \neq = 1$ , argumentul $b > 0$ . Nu există logaritm din numere negative sau din zero.
Cele patru egalități de aur: $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} a^{n} = n$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ . Ultimele două arată că puterea și logaritmul se anulează reciproc.
Rezultatul poate fi negativ sau fracționar: $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ . Negativ nu înseamnă inexistent — inexistent e doar logaritmul cu argument nepozitiv.
Încadrarea între întregi se face cu puterile vecine ale bazei: din $3^{3} < 50 < 3^{4}$ rezultă $3 < lo g_{3} 50 < 4$ , pe baza monotoniei funcției exponențiale.

Greșeli frecvente

Confuzia dintre argument negativ și rezultat negativ. $lo g_{2} (- 8)$ nu există; $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ există și e negativ. Prima verificare la orice exercițiu: argumentul e strict pozitiv?
„ $lo g_{a} 0 = 0$ ." Fals de două ori: $lo g_{a} 0$ nu există, iar valoarea zero se obține pentru argumentul $1$ , nu $0$ . Reține: $lo g_{a} 1 = 0$ .
Inversarea bazei cu argumentul. $lo g_{2} 8 = 3$ , dar $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ — cu totul alt număr. Baza se scrie mereu jos, ca indice, și rămâne bază și în forma exponențială.
Uitarea bazei la trecerea între forme. Din $lo g_{5} 125 = 3$ nu rezultă $3^{5} = 125$ , ci $5^{3} = 125$ . Regula: baza logaritmului devine baza puterii, valoarea logaritmului devine exponent.
Folosirea proprietăților $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ fără să fi fost studiate. În clasa a IX-a lucrăm cu definiția. Și mai grav: mulți inventează reguli inexistente, de tipul „ $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ " — este fals, verifică pe $lo g_{2} (4 + 4) = 3$ față de $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 4 = 4$ .

Aplică acasă

Tabla puterilor. Scrie pe o fișă puterile lui 2 până la $2^{10}$ , ale lui 3 până la $3^{5}$ , ale lui 5 până la $5^{4}$ și ale lui 10 până la $1 0^{6}$ . Apoi acoperă coloana rezultatelor și exersează în ambele sensuri: „cât face $3^{4}$ ?" și „la ce putere ridic 3 ca să obțin 243?". Cinci minute pe zi, o săptămână.
Câte cifre are? Ia zece numere mari din viața reală (populația României, distanța până la Lună în kilometri, numărul de locuitori ai orașului tău, prețul unei mașini). Pentru fiecare, încadrează $lo g_{10}$ al numărului între două întregi, folosind doar numărul de cifre. Verifică apoi cu calculatorul, cu tasta „log".
Îndoirea hârtiei. Ia o foaie A4 și îndoaie-o în două de câte ori poți. Numără îndoiturile și calculează $2^{n}$ straturi. Câte îndoituri ar fi necesare, teoretic, ca să depășești grosimea de un metru, dacă foaia are $0, 1$ mm? (Răspuns: cauți cel mai mic $n$ cu $2^{n} > 10000$ , deci $n = 14$ .) Explică de ce practic nu reușești.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce logaritmul strict la nivelul definiției, așa cum cere programa de trunchi comun: logaritmul ca exponent, echivalența dintre forma exponențială și cea logaritmică, condițiile de existență și calculul logaritmilor „frumoși" prin recunoașterea puterilor. Proprietățile operatorii ale logaritmilor sunt doar anunțate, nu dezvoltate — ele fac obiectul clasei a X-a, la fel ca ecuațiile logaritmice și exponențiale.

Cel mai important obiectiv este reflexul de traducere: elevul trebuie să transforme instantaneu $lo g_{a} b = c$ în $a^{c} = b$ și invers. Aproape toate greșelile de mai târziu vin din lipsa acestui reflex. Al doilea obiectiv este disciplina condițiilor de existență — argumentul strict pozitiv — care în clasa a X-a devine obligatorie la orice ecuație.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă $lo g_{5} 125$ , spus în cuvinte?" (exponentul la care ridic 5 ca să obțin 125); „De ce nu există $lo g_{2} (- 4)$ ?" (puterile lui 2 sunt mereu pozitive); „Cât face $lo g_{a} a$ și de ce?" (1, pentru că $a^{1} = a$ ); „Între ce numere întregi se află $lo g_{2} 100$ ?" (între 6 și 7, căci $64 < 100 < 128$ ). Semne că a înțeles: nu confundă argumentul negativ cu rezultatul negativ, scrie baza corect la trecerea între forme și poate încadra un logaritm fără calculator.

La Bacalaureat, logaritmii apar constant la partea I a subiectului — calcule de tipul $lo g_{2} 8 + lo g_{3} 9$ — și, în combinație cu proprietățile din clasa a X-a, în ecuații și inecuații. Definiția solidă construită acum face diferența între un calcul de zece secunde și o rezolvare confuză.

Întrebări frecvente

Ce este logaritmul, pe înțelesul tuturor? Este răspunsul la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza ca să obțin numărul dat?". De exemplu, $lo g_{2} 8 = 3$ pentru că $2^{3} = 8$ . Pe scurt: logaritmul este un exponent.

Cum se citește $lo g_{a} b$ ? Se citește „logaritm în baza $a$ din $b$ ". Numărul $a$ se numește bază și se scrie mic, jos; numărul $b$ se numește argument. Rezultatul este exponentul care transformă baza în argument.

Care sunt condițiile ca un logaritm să existe? Baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de 1 ( $a > 0$ , $a \neq = 1$ ), iar argumentul strict pozitiv ( $b > 0$ ). Dacă vreuna dintre condiții nu e îndeplinită, expresia nu are sens.

De ce nu există logaritm din numere negative? Pentru că o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă: nu există niciun exponent $c$ pentru care $2^{c}$ să fie $- 8$ sau $0$ . Graficul funcției exponențiale stă în întregime deasupra axei $O x$ .

Poate un logaritm să fie negativ? Da. Rezultatul este un exponent, iar exponenții pot fi negativi. De exemplu $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , pentru că $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ . Logaritmul iese negativ când baza e supraunitară și argumentul subunitar.

Cum calculez un logaritm fără calculator? Scrii argumentul ca putere a bazei, apoi citești exponentul. Pentru $lo g_{3} 81$ : observi că $81 = 3^{4}$ , deci răspunsul este 4. Dacă argumentul nu este o putere exactă a bazei, poți doar să încadrezi rezultatul între două numere întregi, folosind puterile vecine.

Ce legătură are logaritmul cu funcția exponențială? Sunt operații inverse: exponențiala ridică baza la un exponent, logaritmul recuperează exponentul. Din acest motiv $a^{l o g_{a} b} = b$ și $lo g_{a} a^{n} = n$ — fiecare o desface pe cealaltă.

La ce se folosesc logaritmii în viața reală? La toate mărimile care variază pe multe ordine de mărime: pH-ul în chimie, decibelii în acustică, magnitudinea cutremurelor, luminozitatea stelelor. Istoric, logaritmii au fost inventați pentru a transforma înmulțirile grele în adunări simple, ceea ce a scurtat enorm calculele astronomilor înainte de apariția calculatoarelor.