Mărginire, convexitate și concavitate: lecturi grafice

Privește graficul temperaturii dintr-o zi de vară, afișat pe telefon. Fără să citești o singură cifră, ochiul îți spune două lucruri complet diferite. Primul: cât de sus și cât de jos ajunge curba — a fost o zi între $18^{\circ }$ și $31^{\circ }$, nu a explodat nicăieri. Al doilea: cum se curbează — dimineața creșterea se accelerează, seara scăderea se domolește. Prima observație e despre mărginire, a doua despre convexitate și concavitate.

Sunt exact proprietățile pe care le studiem în această lecție și, spre deosebire de monotonie, ele nu se citesc doar „urcă/coboară". Mărginirea îți spune dacă graficul rămâne captiv într-o bandă orizontală. Convexitatea îți spune dacă graficul se scobește ca o cupă sau se bombează ca o cupolă — adică dacă ritmul de creștere se accelerează sau se domolește. Un economist citește din ea dacă profitul crește tot mai repede sau tot mai încet. Iar la clasa a IX-a le deducem riguros, fără derivate, doar cu inegalități pe care le poți verifica de mână.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce înseamnă majorant, minorant și funcție mărginită superior, inferior sau mărginită, și să demonstrezi fiecare dintre situații.
• Vei ști să folosești criteriul rapid $|f(x)|\le M$ pentru mărginire și să demonstrezi că o funcție nu este mărginită.
• Vei ști să deosebești marginile unei funcții de maximul și minimul ei — margini atinse efectiv.
• Vei ști definiția convexității cu coarda și să demonstrezi convexitatea funcțiilor cu module.
• Vei ști să citești pe grafic convexitatea și concavitatea și să folosești criteriul pantelor la funcții afine pe ramuri.
• Vei ști să arăți că o funcție nu este nici convexă, nici concavă, cu un contraexemplu numeric pe mijlocul unui interval.

Hai să descoperim împreună

1. Mărginire: banda în care stă graficul

Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție numerică.

Definiții. Un număr $M\in \mathbb{R}$ se numește majorant al funcției $f$ dacă $f(x)\le M$ pentru orice $x\in D$. Un număr $m\in \mathbb{R}$ se numește minorant dacă $f(x)\ge m$ pentru orice $x\in D$. Spunem că $f$ este:

• mărginită superior dacă admite cel puțin un majorant;
• mărginită inferior dacă admite cel puțin un minorant;
• mărginită dacă este mărginită și superior, și inferior.

Majoranții nu sunt unici: dacă $M$ e majorant, atunci și $M+1$, și $M+100$ sunt majoranți. Nu ni se cere cel mai bun, ci doar existența unuia.

Geometric: $f$ e mărginită superior dacă graficul stă sub dreapta orizontală $y=M$; mărginită inferior dacă stă deasupra dreptei $y=m$; mărginită dacă stă captiv într-o bandă orizontală $m\le y\le M$. Dreptele de forma $y=m$ le-am întâlnit când am studiat graficul unei funcții și lectura grafică — acum devin instrumente de măsură.

Exemplu. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-|x|$. Cum $|x|\ge 0$, avem $f(x)\le 3$ pentru orice $x$: funcția e mărginită superior, iar $3$ e majorant. Nu e mărginită inferior: pentru $x=1000$ obținem $f(x)=-997$, iar valorile coboară oricât de mult.

2. Criteriul cu modul

Propoziție. Funcția $f:D\to \mathbb{R}$ este mărginită dacă și numai dacă există $M>0$ astfel încât $|f(x)|\le M$ pentru orice $x\in D$.

Demonstrație. „$\Leftarrow$": din $|f(x)|\le M$ rezultă $-M\le f(x)\le M$, deci $-M$ e minorant și $M$ e majorant.

„$\Rightarrow$": dacă $m\le f(x)\le M^{\prime }$ pentru orice $x$, luăm $M=\max (|m|,|M^{\prime }|)$. Atunci $f(x)\le M^{\prime }\le |M^{\prime }|\le M$ și $f(x)\ge m\ge -|m|\ge -M$, deci $-M\le f(x)\le M$, adică $|f(x)|\le M$. $■$

Criteriul transformă două verificări într-una singură. De exemplu, pentru $f(x)=|x+1|-|x-1|$ folosim inegalitatea modulului în forma $||a|-|b||\le |a-b|$, cu $a=x+1$ și $b=x-1$:

$$|f(x)|=||x+1|-|x-1||\le |(x+1)-(x-1)|=|2|=2.$$

Deci $f$ e mărginită, iar marginile chiar se ating: $f(1)=2$, $f(-1)=-2$, de unde $\mathrm{Im}f=[-2,2]$ — funcția impară studiată în lecția despre funcții pare și impare.

3. Cum demonstrezi că o funcție NU este mărginită

Aici raționamentul se face prin reducere la absurd, iar rețeta e mereu aceeași: presupui că există un majorant și găsești o valoare care îl depășește.

Propoziție. Funcția afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$, nu este mărginită.

Demonstrație. Presupunem prin absurd că există $M>0$ cu $|f(x)|\le M$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Luăm

$$x_0=\frac{M+1-b}{a}\in \mathbb{R}$$

(are sens, căci $a\ne 0$). Atunci $f(x_0)=a\cdot \frac{M+1-b}{a}+b=M+1-b+b=M+1>M$, ceea ce contrazice $|f(x_0)|\le M$. Deci presupunerea e falsă și $f$ nu e mărginită. $■$

Concluzie: pe tot $\mathbb{R}$, nicio funcție afină neconstantă nu e mărginită. În schimb, pe un interval mărginit $[\alpha ,\beta ]$ orice funcție afină este mărginită: fiind monotonă (revezi monotonia funcției afine), își atinge valorile extreme la capete, deci $f([\alpha ,\beta ])$ e intervalul dintre $f(\alpha )$ și $f(\beta )$.

4. Maxim, minim și margini atinse

Spunem că $f$ are maxim în $x_0\in D$ dacă $f(x)\le f(x_0)$ pentru orice $x\in D$; valoarea $f(x_0)$ e valoarea maximă. Analog pentru minim. Diferența față de majorant e esențială: majorantul e doar o barieră, maximul e o barieră atinsă efectiv.

• $f(x)=3-|x|$ pe $\mathbb{R}$ are maximul $3$, atins în $x=0$; minim nu are.
• $f:(0,1)\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ este mărginită ($0<f(x)<2$), dar nu are nici maxim, nici minim: valorile se apropie oricât de $0$ și de $2$ fără să le atingă, pentru că $0$ și $1$ nu fac parte din domeniu.

Așadar: mărginită $\ne$ are maxim.

5. Convexitate: coarda stă deasupra graficului

Trecem la a doua familie de proprietăți. Ia două puncte de pe grafic, $A(x_1,f(x_1))$ și $B(x_2,f(x_2))$, și unește-le cu un segment — coarda $AB$. Întrebarea e simplă: între $x_1$ și $x_2$, graficul trece pe sub coardă sau pe deasupra ei?

Orice punct dintre $x_1$ și $x_2$ se scrie $x=(1-t)x_1+t{x}_2$, cu $t\in [0,1]$ (pentru $t=0$ obții $x_1$, pentru $t=1$ obții $x_2$, pentru $t=\frac{1}{2}$ mijlocul), iar punctul de pe coardă cu aceeași abscisă are ordonata $(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ — aceeași combinație, aplicată ordonatelor.

Definiție. Funcția $f:I\to \mathbb{R}$, definită pe un interval $I$, este convexă dacă pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0,1]$:

$$f((1-t)x_1+t{x}_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2).$$

Cu alte cuvinte: graficul stă sub coardă (sau pe ea). Funcția $f$ se numește concavă dacă inegalitatea este în sens invers, $\ge$ — adică graficul stă deasupra coardei.

Imagine mnemotehnică: funcția convexă ține apa ca o cupă (formă de vale), funcția concavă o varsă ca o cupolă (formă de deal). Litera „v" din „convexă" te trimite la vale.

Cazul particular al mijlocului ($t=\frac{1}{2}$) merită scris separat, fiindcă e cel mai des folosit:

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\text{(convexa˘)},f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\text{(concava˘)}.$$

Această formă e arma perfectă pentru infirmare: o singură pereche $x_1,x_2$ pentru care valoarea la mijloc depășește media valorilor arată că funcția nu e convexă. Pentru demonstrația afirmativă însă e nevoie de inegalitatea generală, cu $t$ oarecare.

6. Funcțiile afine: și convexe, și concave

Propoziție. Orice funcție afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, este simultan convexă și concavă.

Demonstrație. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$. Calculăm membrul stâng:

$$f((1-t)x_1+t{x}_2)=a((1-t)x_1+t{x}_2)+b=(1-t)a{x}_1+ta{x}_2+b.$$

Acum membrul drept, folosind $(1-t)+t=1$:

$$(1-t)f(x_1)+tf(x_2)=(1-t)(a{x}_1+b)+t(a{x}_2+b)=(1-t)a{x}_1+ta{x}_2+(1-t)b+tb=(1-t)a{x}_1+ta{x}_2+b.$$

Cele două expresii sunt egale. Cum egalitatea implică și „$\le$", și „$\ge$", funcția e și convexă, și concavă. $■$ Geometric era evident: coarda dintre două puncte ale unei drepte se suprapune peste dreaptă — nici deasupra, nici dedesubt.

7. Funcția modul este convexă — demonstrație completă

Propoziție. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, este convexă.

Demonstrație. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$. Folosim inegalitatea modulului, $|u+v|\le |u|+|v|$, și faptul că $1-t\ge 0$, $t\ge 0$:

$$|(1-t)x_1+t{x}_2|\le |(1-t)x_1|+\left|t{x}_2\right|=(1-t)|x_1|+t|x_2|.$$

La ultimul pas am folosit $|\lambda u|=|\lambda |\cdot |u|=\lambda |u|$ pentru $\lambda \ge 0$. Am obținut exact inegalitatea de convexitate. $■$

De aici decurg imediat multe altele, prin trei reguli simple, valabile pe același interval: suma a două funcții convexe este convexă (aduni inegalitățile); înmulțirea cu $c>0$ păstrează convexitatea, iar cu $c<0$ o transformă în concavitate (inegalitatea își schimbă sensul); adunarea unei funcții afine nu schimbă nimic, fiindcă acolo inegalitatea e egalitate.

Așadar $f(x)=|x-2|+1$ e convexă, $f(x)=|x|+|x-3|$ e convexă (sumă de convexe), iar $f(x)=-|x|+4$ e concavă.

8. Criteriul pantelor la funcțiile afine pe ramuri

La clasa a IX-a lucrăm în principal cu funcții afine sau definite pe ramuri de funcții afine. Pentru ele există o citire imediată, care se vede și pe grafic.

Criteriu. Fie $f$ o funcție continuă pe un interval $I$, afină pe fiecare dintre subintervalele consecutive $I_1,I_2,\dots ,I_k$ care acoperă $I$, cu pantele $m_1,m_2,\dots ,m_k$. Atunci:

• dacă $m_1\le m_2\le \cdots \le m_k$ (pantele cresc), funcția este convexă pe $I$;
• dacă $m_1\ge m_2\ge \cdots \ge m_k$ (pantele scad), funcția este concavă pe $I$;
• dacă pantele nu sunt monotone, funcția nu e nici convexă, nici concavă pe tot $I$.

Justificare. Panta unei coarde este media ponderată a pantelor bucăților traversate. Dacă pantele cresc, graficul pornește mai „lin" decât coarda și termină mai „abrupt" decât ea, deci rămâne dedesubt: linia frântă se îndoaie mereu în sus, ca marginea unei văi. Verificarea riguroasă se face aplicând inegalitatea coardei pe fiecare pereche de puncte, cum vei face la exercițiile 16 și 18.

Exemplu convex. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 2\\ 3x-4,& x>2\end{array}$. În $x=2$ ambele formule dau $2$, deci graficul e o linie frântă neîntreruptă. Pantele $1$, apoi $3$ cresc, deci $f$ e convexă. Verificare pe mijloc, cu $x_1=0$ și $x_2=4$: $f(0)=0$, $f(4)=8$, iar $f(2)=2\le \frac{0+8}{2}=4$ ✓.

Exemplu concav. $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x,& x\le 1\\ x+2,& x>1\end{array}$. În $x=1$ ambele formule dau $3$. Pantele $3$, apoi $1$ scad, deci $f$ e concavă. Verificare: $f(0)=0$, $f(3)=5$, mijlocul $1,5$ cu $f(1,5)=3,5\ge 2,5$ ✓.

Exemplu nici-nici. $f(x)=|x-1|-|x+1|$, cu ramurile $2$ (pentru $x<-1$), $-2x$ (pe $[-1,1]$) și $-2$ (pentru $x>1$). Pantele $0$, $-2$, $0$ nu sunt monotone, iar contraexemplele confirmă: $f(-1)=2>\frac{f(-2)+f(0)}{2}=1$ (nu e convexă) și $f(1)=-2<\frac{f(0)+f(2)}{2}=-1$ (nu e concavă).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mărginire cu majorant explicit

Studiați mărginirea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-|x-1|$ și precizați dacă are maxim sau minim.

Rezolvare. Din $|x-1|\ge 0$ rezultă $-|x-1|\le 0$, deci $f(x)\le 5$ pentru orice $x$: funcția e mărginită superior, iar $5$ este majorant.

Egalitatea $f(x)=5$ are loc când $|x-1|=0$, adică $x=1$: valoarea $5$ este efectiv atinsă, deci $f$ are maximul $5$, atins în $x=1$.

Nu e mărginită inferior: $f(n)=6-n$ pentru $n>1$, valoare care coboară sub orice prag (de exemplu $f(1000)=-994$). Deci $f$ nu e mărginită și nu are minim. $■$

Exemplul 2 — Funcție afină pe interval închis

Determinați marginile funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$, și precizați maximul și minimul.

Rezolvare. Panta este $a=2>0$, deci funcția e strict crescătoare pe $[1,4]$. Rezultă că cea mai mică valoare se ia în capătul din stânga, iar cea mai mare în cel din dreapta:

$$f(1)=2-5=-3,f(4)=8-5=3.$$

Așadar $-3\le f(x)\le 3$ pentru orice $x\in [1,4]$: funcția este mărginită. Ambele capete aparțin domeniului, deci valorile sunt atinse: minimul este $-3$ (în $x=1$), maximul este $3$ (în $x=4$), iar $\mathrm{Im}f=[-3,3]$. $■$

Observație: dacă domeniul ar fi fost intervalul deschis $(1,4)$, funcția ar fi rămas mărginită, dar n-ar mai fi avut nici maxim, nici minim.

Exemplul 3 — Mărginire prin inegalitatea modulului

Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|-|x+2|$ este mărginită și determinați $\mathrm{Im}f$.

Rezolvare. Mărginirea: folosim $||a|-|b||\le |a-b|$ cu $a=x-2$, $b=x+2$:

$$|f(x)|\le |(x-2)-(x+2)|=|-4|=4,$$

deci $-4\le f(x)\le 4$ pentru orice $x$ real.

Imaginea: explicităm pe ramuri, cu punctele critice $-2$ și $2$: $f(x)=(2-x)-(-x-2)=4$ pentru $x<-2$; $f(x)=(2-x)-(x+2)=-2x$ pentru $-2\le x\le 2$; $f(x)=(x-2)-(x+2)=-4$ pentru $x>2$.

Pe ramura din mijloc, $-2x$ parcurge tot $[-4,4]$ când $x$ parcurge $[-2,2]$. Deci $\mathrm{Im}f=[-4,4]$, marginile sunt atinse, iar funcția are maximul $4$ și minimul $-4$. $■$

Exemplul 4 — Convexitate demonstrată riguros

Demonstrați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+3|$ este convexă.

Rezolvare. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$. Notăm $z=(1-t)x_1+t{x}_2$ și observăm, folosind $(1-t)+t=1$, că

$$z+3=(1-t)x_1+t{x}_2+(1-t)\cdot 3+t\cdot 3=(1-t)(x_1+3)+t(x_2+3).$$

Aplicăm inegalitatea modulului și scoatem factorii nenegativi $1-t$ și $t$:

$$f(z)=|z+3|\le (1-t)|x_1+3|+t|x_2+3|=(1-t)f(x_1)+tf(x_2).$$

Exact inegalitatea cerută, deci $f$ este convexă. $■$ Graficul e un V cu vârful în $(-3,0)$: se vede că orice coardă trece pe deasupra.

Exemplul 5 — Funcție pe ramuri: criteriul pantelor plus verificare

Studiați convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ 4x+1,& x>0\end{array}$

Rezolvare. Continuitatea în punctul de racord: pentru $x=0$, prima formulă dă $1$, iar a doua tinde tot spre $1$ — graficul este o linie frântă fără salt, cu vârful în $(0,1)$.

Criteriul pantelor: $m_1=1$ pe $(-\infty ,0]$ și $m_2=4$ pe $(0,\infty )$. Cum $1<4$, pantele cresc, deci funcția este convexă.

Verificare numerică pe mijloc, ca să ne asigurăm: alegem $x_1=-2$ și $x_2=2$. Atunci $f(-2)=-1$, $f(2)=9$, mijlocul este $0$ și $f(0)=1$. Într-adevăr

$$1\le \frac{-1+9}{2}=4✓$$

Concluzia e confirmată. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|+|x+3|$. a) Arătați că $f(x)\ge 6$ pentru orice număr real $x$. b) Arătați că $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$. c) Determinați $\mathrm{Im}f$ și precizați dacă funcția are maxim.

Rezolvare. a) Folosim inegalitatea modulului sub forma $|u|+|v|\ge |u-v|$, cu $u=x+3$ și $v=x-3$:

$$f(x)=|x-3|+|x+3|\ge |(x+3)-(x-3)|=|6|=6.$$

Deci $6$ este minorant, iar funcția este mărginită inferior.

b) Funcțiile $x\mapsto |x-3|$ și $x\mapsto |x+3|$ sunt convexe (demonstrația e cea din Exemplul 4, cu $-3$, respectiv $+3$). Suma a două funcții convexe este convexă, deci $f$ este convexă. Verificare cu pantele: pe ramuri, $f(x)=-2x$ pentru $x<-3$, $f(x)=6$ pentru $-3\le x\le 3$ și $f(x)=2x$ pentru $x>3$; pantele $-2,0,2$ sunt crescătoare ✓.

c) Din forma pe ramuri se vede că $f(x)=6$ pe tot intervalul $[-3,3]$ — minimul $6$ este atins, ba chiar într-o infinitate de puncte. Pentru $x>3$, valorile $2x$ cresc nemărginit; pentru $x<-3$, valorile $-2x$ cresc și ele nemărginit. Prin urmare $\mathrm{Im}f=[6,\infty )$: funcția nu este mărginită superior și nu are maxim. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. Pentru mărginire, indică explicit majorantul sau minorantul găsit; pentru convexitate, folosește definiția cu coarda sau criteriul pantelor, iar pentru infirmare, o pereche de valori concrete.

1. Studiază mărginirea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+2$. Are maxim? Are minim?

2. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-|x-1|$ este mărginită superior și precizează valoarea maximă și punctul în care e atinsă.

3. Determină minimul și maximul funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-1$, și scrie $\mathrm{Im}f$.

4. Demonstrează, prin reducere la absurd, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+7$ nu este mărginită.

5. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-5|-|x+5|$ verifică $|f(x)|\le 10$ și determină $\mathrm{Im}f$.

6. Demonstrează, folosind definiția cu coarda, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-5|$ este convexă.

7. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-|x|+4$ este concavă și precizează maximul ei.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție afină este și convexă, și concavă."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție mărginită are maxim și minim." (Indicație: încearcă $f:(0,1)\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$.)

10. Studiază convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ 4x+1,& x>0\end{array}$ folosind criteriul pantelor, apoi verifică inegalitatea pe mijloc pentru $x_1=-3$ și $x_2=1$.

11. Studiază convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+2,& x\le 1\\ -3x+4,& x>1\end{array}$ Este continuă în $x=1$? Ce arată pantele?

12. (Problemă aplicată.) Un furnizor de energie facturează $1,20$ lei/kWh pentru primii $100$ kWh consumați într-o lună și $1,80$ lei/kWh pentru fiecare kWh peste $100$. Scrie funcția cost $C:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ pe ramuri, calculează $C(50)$, $C(100)$ și $C(200)$ și arată că funcția este convexă. Ce înseamnă convexitatea, în cuvintele clientului?

13. Arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|-|x+1|$ nu este nici convexă, nici concavă, folosind două contraexemple pe mijlocul unor intervale potrivite.

14. Graficul unei funcții $f:[-4,4]\to \mathbb{R}$ este linia frântă care unește, în ordine, punctele $(-4,5)$, $(-1,-1)$, $(2,-1)$ și $(4,3)$. Citește de pe această descriere: a) marginile funcției și punctele de extrem; b) intervalele de monotonie; c) dacă funcția e convexă pe $[-4,4]$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-4|+|x+4|$. a) Arătați că $f(x)\ge 8$ pentru orice $x$ real. b) Determinați mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $f(x)=8$. c) Arătați că $f$ este convexă și precizați $\mathrm{Im}f$.

16. Fie $f,g:I\to \mathbb{R}$ două funcții convexe pe intervalul $I$. Demonstrează, pornind de la definiția cu coarda, că $f+g$ este convexă pe $I$.

17. Fie $f,g:D\to \mathbb{R}$ mărginite, cu $|f(x)|\le M_1$ și $|g(x)|\le M_2$ pentru orice $x\in D$. Demonstrează că $f+g$ este mărginită și găsește un majorant explicit pentru $|f+g|$.

18. (Provocare.) Demonstrează că, pentru orice număr real $a$, funcția $f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=|x-a|$ este convexă. Deduce de aici că funcția $F(x)=|x|+|x-3|+|x+2|$ este convexă și determină valoarea ei minimă. (Indicație pentru minim: analizează $F$ pe ramurile determinate de $-2$, $0$ și $3$.)

Răspunsuri și explicații

1. Din $|x|\ge 0$ rezultă $f(x)\ge 2$, deci $f$ e mărginită inferior, cu minorantul $2$. Minimul $2$ este atins în $x=0$. Nu e mărginită superior: $f(n)=n+2$ crește nemărginit, deci nu are maxim și nu este mărginită.

2. $|x-1|\ge 0\Rightarrow -|x-1|\le 0\Rightarrow f(x)\le 5$: majorant $5$. Egalitatea are loc când $|x-1|=0$, adică $x=1$, deci maximul este $5$, atins în $x=1$.

3. Panta $4>0$, deci $f$ e strict crescătoare pe $[0,3]$: minimul e $f(0)=-1$, maximul e $f(3)=11$. Ambele capete sunt în domeniu, deci valorile sunt atinse și $\mathrm{Im}f=[-1,11]$.

4. Presupunem că există $M>0$ cu $|f(x)|\le M$ pentru orice $x$. Luăm $x_0=\frac{7-M-1}{2}=\frac{6-M}{2}$; atunci $f(x_0)=-2\cdot \frac{6-M}{2}+7=M-6+7=M+1>M$ — contradicție. Deci $f$ nu e mărginită. (Orice funcție afină cu $a\ne 0$ e nemărginită pe $\mathbb{R}$.)

5. $|f(x)|=||x-5|-|x+5||\le |(x-5)-(x+5)|=10$. Pe ramuri: $f(x)=10$ pentru $x<-5$; $f(x)=-2x$ pentru $-5\le x\le 5$; $f(x)=-10$ pentru $x>5$. Ramura din mijloc acoperă tot $[-10,10]$, deci $\mathrm{Im}f=[-10,10]$.

6. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$ și $z=(1-t)x_1+t{x}_2$. Cum $(1-t)+t=1$, avem $z-5=(1-t)(x_1-5)+t(x_2-5)$. Aplicând inegalitatea modulului și $|\lambda u|=\lambda |u|$ pentru $\lambda \ge 0$: $|z-5|\le (1-t)|x_1-5|+t|x_2-5|$, adică $f(z)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$. Convexă. ✓

7. Din exercițiul 6 (cu $a=0$) știm că $|x|$ e convexă: $|z|\le (1-t)|x_1|+t|x_2|$. Înmulțind cu $-1$ inegalitatea își schimbă sensul, iar adunând $4$ nu se schimbă nimic: $-|z|+4\ge (1-t)(-|x_1|+4)+t(-|x_2|+4)$, adică $f(z)\ge (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ — concavă. Maximul este $4$, atins în $x=0$.

8. Adevărat. Pentru $f(x)=ax+b$, calculul din lecție arată că $f((1-t)x_1+t{x}_2)=(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ — egalitate, care implică simultan „$\le$" și „$\ge$". Geometric: coarda dintre două puncte ale unei drepte se suprapune peste dreaptă.

9. Fals. Contraexemplu: $f:(0,1)\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$. Este mărginită, căci $0<f(x)<2$, dar nu are maxim (valorile se apropie oricât de $2$ fără să-l atingă, pentru că $1\notin (0,1)$) și nici minim. Mărginirea cere doar existența unor bariere, nu și atingerea lor.

10. În $x=0$ ambele ramuri dau valoarea $1$, deci graficul e o linie frântă continuă. Pantele sunt $m_1=1$ și $m_2=4$; cum $1<4$, funcția e convexă. Verificare: $f(-3)=-2$, $f(1)=5$, mijlocul lui $-3$ și $1$ este $-1$, cu $f(-1)=0$. Într-adevăr $0\le \frac{-2+5}{2}=1,5$ ✓.

11. În $x=1$: prima formulă dă $-1+2=1$, a doua dă $-3+4=1$ — deci este continuă, graficul nu are salt. Pantele sunt $-1$, apoi $-3$: scad, deci funcția este concavă. Verificare: $f(0)=2$, $f(2)=-2$, mijlocul $1$ cu $f(1)=1\ge \frac{2+(-2)}{2}=0$ ✓.

12. $C(x)=\{\begin{array}{ll}1,2x,& 0\le x\le 100\\ 120+1,8(x-100),& x>100\end{array}$ Valorile: $C(50)=60$, $C(100)=120$, $C(200)=300$ lei. Funcția e continuă în $100$ (ambele formule dau $120$), iar pantele $1,2$ și $1,8$ cresc, deci $C$ e convexă. În cuvintele clientului: fiecare kWh în plus costă mai mult decât precedentul.

13. Pe ramuri: $2$ pentru $x<-1$, $-2x$ pe $[-1,1]$, $-2$ pentru $x>1$. Nu e convexă: cu $x_1=-2$, $x_2=0$, $f(-1)=2>\frac{2+0}{2}=1$. Nu e concavă: cu $x_1=0$, $x_2=2$, $f(1)=-2<\frac{0-2}{2}=-1$. Pantele $0,-2,0$ nu sunt monotone.

14. a) Maximul e $5$ (în $x=-4$), minimul e $-1$ (atins pe tot segmentul de la $x=-1$ la $x=2$), deci $\mathrm{Im}f=[-1,5]$ și funcția e mărginită. b) Descrescătoare pe $[-4,-1]$, constantă pe $[-1,2]$, crescătoare pe $[2,4]$. c) Pantele sunt $\frac{-1-5}{-1+4}=-2$, apoi $0$, apoi $\frac{3+1}{4-2}=2$; cum $-2<0<2$, funcția este convexă pe $[-4,4]$.

15. a) $f(x)=|x-4|+|x+4|\ge |(x+4)-(x-4)|=8$. b) Egalitatea în inegalitatea modulului are loc când cele două numere $x+4$ și $-(x-4)$ au același semn, adică exact pe $[-4,4]$; se verifică direct: pentru $-4\le x\le 4$, $f(x)=(4-x)+(x+4)=8$. Deci mulțimea căutată este $[-4,4]$. c) $f$ e sumă de două funcții convexe de tip $|x-a|$, deci convexă; pe ramuri $f(x)=-2x$ pentru $x<-4$, $8$ pe $[-4,4]$ și $2x$ pentru $x>4$, cu pantele crescătoare $-2,0,2$. Cum ramurile exterioare cresc nemărginit, $\mathrm{Im}f=[8,\infty )$.

16. Fie $x_1,x_2\in I$, $t\in [0,1]$ și $z=(1-t)x_1+t{x}_2$. Din convexitatea lui $f$ și a lui $g$: $f(z)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ și $g(z)\le (1-t)g(x_1)+tg(x_2)$. Adunăm cele două inegalități de același sens: $f(z)+g(z)\le (1-t)(f(x_1)+g(x_1))+t(f(x_2)+g(x_2))$, adică $(f+g)(z)\le (1-t)(f+g)(x_1)+t(f+g)(x_2)$. Deci $f+g$ e convexă. $■$

17. Pentru orice $x\in D$, prin inegalitatea modulului: $|(f+g)(x)|=|f(x)+g(x)|\le |f(x)|+|g(x)|\le M_1+M_2$. Deci $f+g$ e mărginită, cu majorantul explicit $M=M_1+M_2$ pentru $|f+g|$.

18. Convexitatea lui $|x-a|$: fie $z=(1-t)x_1+t{x}_2$; cum $(1-t)+t=1$, avem $z-a=(1-t)(x_1-a)+t(x_2-a)$, deci $|z-a|\le (1-t)|x_1-a|+t|x_2-a|$ — exact inegalitatea coardei. Pentru $F$: e suma a trei funcții de acest tip ($a=0$, $a=3$, $a=-2$), iar suma de funcții convexe e convexă (exercițiul 16, aplicat de două ori). Minimul: pantele pe ramurile determinate de $-2,0,3$ sunt $-3$, $-1$, $1$, $3$; funcția scade până în $x=0$ și crește după, deci minimul e $F(0)=0+3+2=5$ — atins în abscisa din mijloc. $■$

De reținut

• $f$ e mărginită $⟺$ există $M>0$ cu $|f(x)|\le M$ pentru orice $x$ din domeniu $⟺$ graficul stă într-o bandă orizontală.
• Majorant $\ne$ maxim: maximul este un majorant atins de funcție. O funcție mărginită poate să nu aibă nici maxim, nici minim (de exemplu $f(x)=2x$ pe $(0,1)$).
• $f$ e convexă pe $I$ dacă $f((1-t)x_1+t{x}_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ pentru orice $x_1,x_2\in I$ și $t\in [0,1]$ — graficul stă sub coardă (formă de vale). Concavă = inegalitate inversă, graficul deasupra coardei (formă de cupolă).
• Funcțiile afine sunt și convexe, și concave (inegalitatea devine egalitate). Funcțiile de tip $|x-a|$ sunt convexe, iar sumele de funcții convexe rămân convexe.
• La funcțiile afine pe ramuri (continue), decid pantele: pante crescătoare $\Rightarrow$ convexă, pante descrescătoare $\Rightarrow$ concavă, pante nemonotone $\Rightarrow$ niciuna.

Greșeli frecvente

• Confuzia „mărginită" cu „are maxim". $f(x)=2x$ pe $(0,1)$ e mărginită, dar nu-și atinge marginile. Verifică dacă valoarea-barieră e efectiv luată de funcție.
• Confuzia „convexă" cu „crescătoare". Sunt proprietăți independente: $f(x)=|x|$ e convexă, dar scade pe $(-\infty ,0]$. Monotonia spune încotro merge graficul, convexitatea spune cum se îndoaie.
• Verifici convexitatea într-o singură pereche de puncte și decizi „da". O verificare pe mijloc poate doar să infirme; pentru afirmare ai nevoie de inegalitatea generală sau de criteriul pantelor.
• Uiți continuitatea la funcțiile pe ramuri. Criteriul pantelor se aplică numai dacă în punctul de racord cele două formule dau aceeași valoare.
• Crezi că orice funcție e ori convexă, ori concavă. Multe nu sunt niciuna pe tot domeniul; poți însă spune corect pe ce intervale e convexă și pe care concavă.

Aplică acasă

1. Factura convexă. Ia o factură reală de energie, apă sau internet cu tarif pe trepte. Scrie funcția cost pe ramuri, calculează costul pentru trei consumuri diferite și decide, din pante, dacă funcția e convexă sau concavă. Explică apoi în două propoziții ce înseamnă asta pentru buzunarul familiei.

2. Vânătoarea de curburi. Fotografiază trei „grafice" din realitate: un cablu suspendat între doi stâlpi, arcul unui pod și traiectoria unei mingi aruncate. Pentru fiecare, decide dacă forma e convexă sau concavă privind unde cade coarda dintre capete — deasupra sau dedesubtul curbei.

3. Laborator digital. În GeoGebra sau Desmos, trasează $y=|x|$, $y=-|x|+4$ și $y=|x-1|-|x+1|$. Adaugă pe fiecare grafic două puncte mobile și segmentul dintre ele, apoi plimbă-le. Notează dacă segmentul rămâne mereu deasupra, mereu dedesubt, sau uneori într-un fel, uneori în altul.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează mărginirea, convexitatea și concavitatea — ultimele proprietăți din lista „monotonie, mărginire, paritate/imparitate, convexitate/concavitate; lecturi grafice" din programa de matematică-informatică. Definiția convexității este dată riguros, prin inegalitatea coardei, dar fără derivate (acestea apar abia în clasa a XI-a); registrul de funcții e cel cerut de programă: funcții afine, restricții ale lor și funcții pe ramuri de afine, în special cu module. Elevul trebuie să plece de aici cu trei automatisme: să indice explicit majorantul/minorantul găsit, să deosebească marginea de valoarea extremă atinsă și să infirme convexitatea printr-un calcul pe mijlocul unui interval.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că o funcție e mărginită?" (graficul stă într-o bandă orizontală, $|f(x)|\le M$); „Poate o funcție mărginită să nu aibă maxim?" (da, dacă valoarea-limită nu e atinsă); „Cum recunoști o funcție convexă pe grafic?" (coarda trece pe deasupra graficului); „Ce fel de funcție este și convexă, și concavă?" (una afină). Semne că a înțeles: nu confundă convexitatea cu monotonia și verifică continuitatea înainte de a aplica criteriul pantelor.

La Bacalaureatul M1, aceste proprietăți apar mai ales ca inegalități de demonstrat („arătați că $f(x)\ge k$ pentru orice $x$ real"), determinări de imagine $\mathrm{Im}f$ și lecturi grafice în subiectul I. Ele pregătesc direct studiul funcției de gradul al doilea — parabola cu $a>0$ e convexă, cea cu $a<0$ e concavă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție este mărginită? Că valorile ei nu scapă dintr-o bandă orizontală: există un număr $M>0$ astfel încât $|f(x)|\le M$ pentru orice $x$ din domeniu. Echivalent, funcția are și un majorant, și un minorant.

Care e diferența dintre majorant și maxim? Majorantul este orice barieră superioară: $f(x)\le M$ pentru toți $x$. Maximul este o barieră atinsă: există un $x_0$ din domeniu cu $f(x_0)=M$. Orice maxim e majorant, dar nu orice majorant e maxim.

Ce este o funcție convexă, pe înțelesul tuturor? O funcție al cărei grafic se scobește ca o vale: dacă unești două puncte ale graficului cu un segment, graficul rămâne dedesubtul segmentului. Matematic, $f((1-t)x_1+t{x}_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)$ pentru orice $t\in [0,1]$.

Cum recunosc convexitatea pe grafic, fără calcule? Plimbă mental o coardă între două puncte oarecare ale graficului. Dacă rămâne mereu deasupra curbei — convexă. Dacă rămâne mereu dedesubt — concavă. Dacă uneori deasupra, uneori dedesubt — niciuna, dar poți indica intervalele pe care este una sau alta.

Este funcția modul convexă? Da. Demonstrația folosește inegalitatea modulului: $|(1-t)x_1+t{x}_2|\le (1-t)|x_1|+t|x_2|$, exact inegalitatea coardei. Graficul în V este scobit ca o vale, deci orice coardă trece pe deasupra.

O funcție poate fi și convexă, și concavă? Da — exact funcțiile afine, $f(x)=ax+b$. La ele inegalitatea coardei devine egalitate, fiindcă graficul este o dreaptă și coarda se suprapune peste el.

Cum arăt că o funcție NU este convexă? Găsești o singură pereche $x_1,x_2$ pentru care valoarea la mijloc depășește media valorilor: $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$. Un contraexemplu numeric este suficient, exact ca la paritate sau injectivitate.

Are convexitatea legătură cu monotonia? Nu, sunt proprietăți independente: monotonia spune dacă graficul urcă sau coboară, convexitatea spune cum se îndoaie. O funcție poate fi crescătoare și convexă, crescătoare și concavă, descrescătoare și convexă sau descrescătoare și concavă.