Măsura unui arc: grade și radiani

Roata mare dintr-un parc de distracții are raza de $25$ de metri. Cabina în care stai urcă lin și, după câteva secunde, operatorul spune că roata s-a rotit cu „o cincime de tură". Câți metri ai parcurs de fapt? Întrebarea are un răspuns exact, dar ca să-l obții ai nevoie de o unealtă pe care până acum ai folosit-o doar pe jumătate: măsura unui arc de cerc. În gimnaziu ai măsurat unghiuri în grade și ai învățat că un cerc întreg are $360^{\circ }$. E o unitate comodă, dar are un defect ascuns: gradul nu are nicio legătură cu cercul. E o convenție veche de patru mii de ani.

Trigonometria de liceu începe exact de aici, cu o schimbare de unitate care pare mică și care schimbă totul. Vom măsura arcele nu în grade, ci în radiani — o unitate care se naște din cercul însuși, comparând lungimea arcului cu raza. Cu radiani, formule întregi se simplifică până la o înmulțire, iar mai târziu, la funcțiile trigonometrice, argumentul devine un număr real obișnuit, nu „un unghi". Lecția aceasta e poarta de intrare: învățăm să traducem fluent în ambele sensuri, memorăm tabelul valorilor uzuale și calculăm lungimi de arce. Tot ce urmează în capitol — cercul trigonometric, sinusul, cosinusul, tangenta — vorbește limba radianilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce înseamnă măsura unui arc și de ce ea nu depinde de raza cercului.
• Vei ști să definești radianul ca măsura arcului a cărui lungime este egală cu raza.
• Vei ști să transformi din grade în radiani și din radiani în grade, cu o singură formulă folosită în ambele sensuri.
• Vei ști pe de rost tabelul unghiurilor uzuale: $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ },180^{\circ },360^{\circ }$ și corespondenții lor în radiani.
• Vei ști să calculezi lungimea unui arc cu formula $\ell =R\cdot t$ și să o aplici la roți, ceasuri, distanțe pe glob.
• Vei ști să argumentezi de ce radianul este măsura naturală a unui arc și de ce calculatorul trebuie pus pe modul RAD.

Hai să descoperim împreună

1. Ce măsurăm, de fapt, când măsurăm un arc

Ia un cerc cu centrul $O$ și două puncte $A$ și $M$ pe el. Ele împart cercul în două arce; ne interesează unul dintre ele, să zicem cel „de la $A$ la $M$". Ca să-i dăm o măsură, ne uităm la unghiul la centru $\angle AOM$: cu cât e mai deschis unghiul, cu atât e mai lung arcul. Măsura arcului este, prin definiție, măsura unghiului la centru care îl subîntinde.

Aici e miezul: măsura arcului nu depinde de raza cercului. Dacă desenezi două cercuri concentrice, unul de rază $3$ și altul de rază $5$, și tai din amândouă cu aceleași două raze, arcele obținute au lungimi diferite ($3$-ul e mai scurt), dar aceeași măsură — pentru că unghiul la centru e același. Măsura spune „cât din cerc", nu „câți centimetri". Lungimea spune „câți centimetri". Cele două noțiuni sunt legate printr-o formulă simplă, pe care o găsim în secțiunea 6.

2. Gradul — o moștenire babiloniană

De ce are cercul $360^{\circ }$ și nu $100$ sau $1000$? Nu există niciun motiv matematic. Babilonienii, acum aproape patru mii de ani, numărau în baza $60$ și observaseră că anul are aproximativ $360$ de zile: în fiecare zi, Soarele pare să înainteze cu „o parte" pe bolta cerească. Așa s-a născut împărțirea cercului în $360$ de părți egale, fiecare parte fiind un grad. Numărul e comod pentru că se împarte exact la $2,3,4,5,6,8,9,10,12$ și așa mai departe — de aceea jumătatea, treimea sau șesimea de cerc ies numere întregi de grade.

Gradul are, totuși, două subdiviziuni moștenite tot din baza $60$: minutul de arc ($1^{\circ }=60^{\prime }$) și secunda de arc ($1^{\prime }=60^{\prime \prime }$). Le vei întâlni în navigație și în astronomie, unde precizia cerută e mult peste ce oferă gradul întreg: coordonatele geografice ale unui oraș se scriu cu grade, minute și secunde, iar telescoapele se orientează cu precizie de fracțiuni de secundă de arc. Dar pentru matematica de liceu, gradul rămâne ceea ce este: o unitate convențională. Nimic din geometria cercului nu „cere" numărul $360$.

Ca să vezi cât e de arbitrar: francezii au încercat, odată cu sistemul metric, să impună gradul centesimal — cercul împărțit în $400$ de părți, unghiul drept având astfel exact $100$ de unități. Unitatea supraviețuiește și azi în topografie, iar unele calculatoare științifice au încă un mod „GRAD" pentru ea, lângă „DEG" și „RAD". Faptul că trei unități diferite descriu același unghi arată limpede că măsura în grade e o alegere omenească, nu o proprietate a cercului.

3. Radianul — unitatea care se naște din cerc

Acum construim o unitate care nu e convenție, ci consecință. Ia cercul de rază $R$ și măsoară pe el, pornind din $A$, un arc a cărui lungime să fie exact $R$. Unghiul la centru care subîntinde acest arc se numește un radian.

Definiție. Un radian este măsura arcului a cărui lungime este egală cu raza cercului pe care se află.

Definiția e „autoreglabilă": dacă mărești cercul, se mărește și raza, deci și arcul de un radian — dar deschiderea unghiului rămâne exact aceeași. Unghiul de un radian arată identic pe orice cerc, exact cum unghiul de $1^{\circ }$ arată identic pe orice cerc.

Cât de mare e un radian? Lungimea întregului cerc este $L=2\pi R$, adică raza încape în cerc de $2\pi \approx 6,283$ ori. Prin urmare:

$$\text{cercul ıˆntreg}=2\pi \text{radiani}=360^{\circ }.$$

De aici, un radian are aproximativ $\frac{360^{\circ }}{6,283}\approx 57,3^{\circ }$ — mai precis $57^{\circ }17^{\prime }45^{\prime \prime }$. Ține minte ordinul de mărime: un radian e puțin sub $60^{\circ }$. E cel mai rapid test de bun-simț când verifici o transformare.

4. Formula de transformare, folosită în ambele sensuri

Toată conversia se sprijină pe o singură egalitate, cea din secțiunea precedentă:

$$180^{\circ }=\pi \text{rad}.$$

(E jumătatea relației $360^{\circ }=2\pi$ rad și e mai comodă, fiindcă are numere mai mici.) Din ea scoatem, prin împărțire, cele două rețete:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}\approx 0,01745\text{rad},1\text{rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,3^{\circ }.$$

Practic:

• Din grade în radiani: înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$. Exemplu: $135^{\circ }=135\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$ rad.
• Din radiani în grade: înmulțești măsura în radiani cu $\frac{180}{\pi }$ pentru a obține măsura în grade. Exemplu: $\frac{7\pi }{6}\text{ rad}={\left(\frac{7\pi }{6}\cdot \frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }=210^{\circ }$.

Observă mecanismul din al doilea calcul: $\pi$-ul se simplifică singur. De aceea, când primești o măsură în radiani scrisă cu $\pi$, transformarea se reduce la a înlocui $\pi$ cu $180^{\circ }$. Este cel mai util truc din lecție: $\frac{5\pi }{6}\to \frac{5\cdot 180^{\circ }}{6}=150^{\circ }$, instantaneu, fără calculator.

O convenție de scriere: la radiani, unitatea nu se scrie. Dacă cineva spune „unghiul $\frac{\pi }{3}$" sau „numărul $2$", se subînțelege radiani. Simbolul ${}^{\circ }$ apare doar la grade și e obligatoriu: $2$ și $2^{\circ }$ sunt unghiuri complet diferite (al doilea e de aproape treizeci de ori mai mic).

5. Tabelul unghiurilor uzuale

Acesta e tabelul pe care îl vei folosi în fiecare oră de trigonometrie de acum înainte. Merită învățat pe de rost, dar mai bine e să-l poți reconstrui: pornești de la $180^{\circ }=\pi$ și împarți.

Cum îl reconstruiești în zece secunde: jumătatea de cerc e $\pi$, deci sfertul e $\frac{\pi }{2}$ ($90^{\circ }$), a treia parte din $180^{\circ }$ e $\frac{\pi }{3}$ ($60^{\circ }$), a patra parte e $\frac{\pi }{4}$ ($45^{\circ }$), a șasea parte e $\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$). Restul se obțin adunând: $120^{\circ }=90^{\circ }+30^{\circ }$, iar $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ ✓.

Un reper util pentru numitori: numitorul $6$ înseamnă „multipli de $30^{\circ }$", numitorul $4$ înseamnă „multipli de $45^{\circ }$", numitorul $3$ înseamnă „multipli de $60^{\circ }$", numitorul $2$ înseamnă „multipli de $90^{\circ }$".

6. Lungimea arcului: de ce radianul câștigă

Fie un cerc de rază $R$ și un arc de măsură $t$, exprimată în radiani. Cercul întreg ($2\pi$ radiani) are lungimea $2\pi R$; lungimile de arc sunt direct proporționale cu măsurile, deci:

$$\frac{\ell }{2\pi R}=\frac{t}{2\pi }⟹\boxed{\ell =R\cdot t}$$

Atât. Lungimea arcului = raza ori măsura în radiani. Nicio constantă, nicio fracție. Aceasta este răsplata pentru schimbarea de unitate și, practic, motivul pentru care radianul există.

Compară cu varianta în grade: dacă arcul are $n$ grade, atunci

$$\ell =\frac{\pi Rn}{180},$$

formulă pe care ai întâlnit-o în gimnaziu și care poartă după ea un $\frac{\pi }{180}$ moștenit din convenția babiloniană. Ambele sunt corecte; a doua e doar prima în care ai înlocuit $t=\frac{\pi n}{180}$.

Exemplu. Roata mare din deschidere: $R=25$ m, o cincime de tură înseamnă $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }=\frac{2\pi }{5}$ rad. Atunci $\ell =25\cdot \frac{2\pi }{5}=10\pi \approx 31,4$ metri. Cabina a parcurs peste $31$ de metri de arc, deși pe verticală a urcat mult mai puțin.

7. De ce radianul e „măsura naturală"

Trei argumente, în ordinea în care le vei simți:

1. Formulele se curăță. Am văzut $\ell =Rt$. Tot așa, aria sectorului de cerc devine $\mathcal{A}=\frac{R^{2}t}{2}$, în loc de $\frac{\pi R^{2}n}{360}$. Peste tot unde apar arce, radianul șterge constantele parazitare.
2. Argumentul devine număr real. Începând din lecția următoare, vom asocia oricărui număr real $t$ un punct pe cerc. Nu „unghiului de $57^{\circ }$", ci numărului $1$. Așa se nasc funcțiile $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ și $\cos :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, care se studiază exact ca funcția afină sau ca funcția de gradul al doilea: cu domeniu, monotonie, grafic.
3. Fizica și analiza matematică o cer. Viteza unghiulară se măsoară în radiani pe secundă, iar în clasa a XI-a vei descoperi că derivata funcției sinus este cosinus numai dacă argumentul e în radiani; altfel apare un factor $\frac{\pi }{180}$ care strică totul.

Consecință practică imediată: la calculatorul de buzunar sau la cel din telefon există comutatorul DEG / RAD. Dacă lucrezi cu măsuri scrise cu $\pi$, comutatorul trebuie să fie pe RAD. Un $\sin (\pi )$ calculat din greșeală în modul DEG dă $0,0548$ în loc de $0$ — o eroare clasică la teze.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din grade în radiani

Transformați în radiani: $40^{\circ }$, $150^{\circ }$, $315^{\circ }$.

Rezolvare. Înmulțim de fiecare dată cu $\frac{\pi }{180}$ și simplificăm fracția:

$$40^{\circ }=\frac{40\pi }{180}=\frac{2\pi }{9},150^{\circ }=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6},315^{\circ }=\frac{315\pi }{180}=\frac{7\pi }{4}.$$

La ultima, simplificarea se face în doi pași: $\frac{315}{180}=\frac{63}{36}=\frac{7}{4}$. Verificare rapidă de bun-simț: $315^{\circ }$ e aproape un cerc întreg, iar $\frac{7\pi }{4}$ e aproape $2\pi$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Din radiani în grade

Transformați în grade: $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{12}$, $3\pi$.

Rezolvare. Înlocuim $\pi$ cu $180^{\circ }$:

$$\frac{4\pi }{3}=\frac{4\cdot 180^{\circ }}{3}=240^{\circ },\frac{5\pi }{12}=\frac{5\cdot 180^{\circ }}{12}=75^{\circ },3\pi =3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }.$$

Ultimul rezultat e perfect legitim: $540^{\circ }$ înseamnă o tură și jumătate. Măsurile pot depăși $360^{\circ }$ — vom vedea în lecția următoare ce înseamnă asta pe cerc. $■$

Exemplul 3 — Un unghi „fără $\pi$"

Câte grade are un unghi de $2$ radiani? Dar unul de $0,5$ radiani?

Rezolvare. Aici nu mai avem $\pi$ care să se simplifice, deci folosim aproximarea $1$ rad $\approx 57,296^{\circ }$:

$$2\text{rad}=2\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 114,59^{\circ },0,5\text{rad}\approx 28,65^{\circ }.$$

Verificare de ordin de mărime: $2$ radiani trebuie să fie ceva mai mult decât $2\cdot 57^{\circ }=114^{\circ }$, adică un unghi obtuz, dar sub $\pi \approx 3,14$ rad, care ar fi unghiul alungit ✓. $■$

Exemplul 4 — Lungimea unui arc

Un cerc are raza $R=12$ cm. Calculați lungimea arcului de măsură $\frac{5\pi }{6}$.

Rezolvare. Măsura e deja în radiani, deci aplicăm direct:

$$\ell =R\cdot t=12\cdot \frac{5\pi }{6}=10\pi \approx 31,42\text{cm}.$$

Control: cercul întreg are $2\pi \cdot 12=24\pi$ cm, iar arcul nostru reprezintă $\frac{5\pi /6}{2\pi }=\frac{5}{12}$ din cerc; într-adevăr, $\frac{5}{12}\cdot 24\pi =10\pi$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Minutarul ceasului

Acul minutar al unui ceas are $9$ cm. Ce distanță parcurge vârful lui în $25$ de minute?

Rezolvare. O oră completă înseamnă o tură, adică $2\pi$ radiani, deci un minut înseamnă $\frac{2\pi }{60}=\frac{\pi }{30}$ radiani. În $25$ de minute:

$$t=25\cdot \frac{\pi }{30}=\frac{5\pi }{6}\text{rad}(=150^{\circ }),\ell =9\cdot \frac{5\pi }{6}=\frac{15\pi }{2}\approx 23,56\text{cm}.$$

Observă că vârful a parcurs aproape $24$ de cm, deși distanța în linie dreaptă dintre poziția inițială și cea finală e mult mai mică. Arcul e drumul, coarda e „zborul păsării". $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră un cerc de centru $O$ și rază $R=8$ și un arc $AM$ de măsură $225^{\circ }$. a) Exprimați măsura arcului în radiani. b) Calculați lungimea arcului $AM$. c) Arătați că lungimea arcului $AM$ reprezintă $\frac{5}{8}$ din lungimea cercului.

Rezolvare. a) $225^{\circ }=\frac{225\pi }{180}=\frac{5\pi }{4}$ rad (am simplificat prin $45$).

b) $\ell =R\cdot t=8\cdot \frac{5\pi }{4}=10\pi$.

c) Lungimea cercului este $L=2\pi R=16\pi$, deci raportul cerut este

$$\frac{\ell }{L}=\frac{10\pi }{16\pi }=\frac{5}{8}.$$

Același raport se putea obține direct din măsuri, fără nicio lungime: $\frac{225^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{5}{8}$ ✓. Reține ideea — raportul „arc / cerc întreg" e același, indiferent dacă îl calculezi din lungimi, din grade sau din radiani. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fracțiile cu $\pi$ se lasă în formă exactă și se simplifică până la capăt; aproximările zecimale se dau doar când problema o cere.

1. Transformă în radiani: $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $120^{\circ }$, $270^{\circ }$.

2. Transformă în grade: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{4}$, $3\pi$.

3. Transformă în radiani: $15^{\circ }$, $75^{\circ }$, $105^{\circ }$.

4. Transformă în grade: $\frac{2\pi }{9}$, $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{\pi }{10}$.

5. Un arc de pe un cerc de rază $R=6$ cm are măsura $\frac{\pi }{3}$. Calculează lungimea arcului.

6. Pe un cerc de rază $10$, un arc are lungimea $5\pi$. Care este măsura arcului, în radiani și în grade?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un unghi de $1$ radian este mai mare decât un unghi de $60^{\circ }$."

8. Ordonează crescător unghiurile: $100^{\circ }$, $2$ rad, $\frac{3\pi }{5}$.

9. Acul minutar al unui ceas se rotește timp de $20$ de minute. Ce arc descrie, în grade și în radiani?

10. O roată de bicicletă cu raza de $35$ cm se rotește cu $5$ radiani. Ce distanță parcurge un punct de pe anvelopă?

11. (Problemă aplicată.) Roata mare a unui parc are raza de $25$ m. O cabină urcă pe un arc de $72^{\circ }$. Ce lungime are drumul parcurs de cabină?

12. Calculează lungimea arcului de $40^{\circ }$ de pe un cerc de rază $9$.

13. Câți radiani are un unghi de $1^{\circ }$? Dar câte grade are un unghi de $1$ radian? Dă și valorile aproximative.

14. Un triunghi are unghiurile de $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ și $90^{\circ }$. Exprimă-le în radiani și verifică faptul că suma lor este $\pi$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră cercul de centru $O$ și rază $R=6$. a) Transformați în radiani măsura de $210^{\circ }$. b) Calculați lungimea arcului de măsură $210^{\circ }$ de pe acest cerc. c) Arătați că lungimea acestui arc reprezintă $\frac{7}{12}$ din lungimea cercului.

16. Un unghi are măsura de $x$ grade și, în același timp, $\frac{5\pi }{12}$ radiani. Află $x$.

17. Două cercuri concentrice au razele $3$ și $5$. Un unghi la centru de $\frac{\pi }{4}$ taie câte un arc pe fiecare cerc. Calculează cele două lungimi și raportul lor. Ce observi?

18. (Provocare.) Pământul are raza de aproximativ $6371$ km. Calculează lungimea arcului de meridian corespunzător unui unghi la centru de $1^{\prime }$ (un minut de arc). Ce unitate de măsură celebră din navigație recunoști în rezultat?

Răspunsuri și explicații

1. Înmulțim cu $\frac{\pi }{180}$: $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$; $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$; $120^{\circ }=\frac{120\pi }{180}=\frac{2\pi }{3}$; $270^{\circ }=\frac{270\pi }{180}=\frac{3\pi }{2}$.

2. Înlocuim $\pi$ cu $180^{\circ }$: $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$; $\frac{5\pi }{6}=\frac{5\cdot 180^{\circ }}{6}=150^{\circ }$; $\frac{7\pi }{4}=\frac{7\cdot 180^{\circ }}{4}=315^{\circ }$; $3\pi =540^{\circ }$ (o tură și jumătate).

3. $15^{\circ }=\frac{15\pi }{180}=\frac{\pi }{12}$; $75^{\circ }=\frac{75\pi }{180}=\frac{5\pi }{12}$; $105^{\circ }=\frac{105\pi }{180}=\frac{7\pi }{12}$. Numitorul $12$ e semnul distinctiv al multiplilor de $15^{\circ }$.

4. $\frac{2\pi }{9}=\frac{2\cdot 180^{\circ }}{9}=40^{\circ }$; $\frac{11\pi }{6}=\frac{11\cdot 180^{\circ }}{6}=330^{\circ }$; $\frac{\pi }{10}=\frac{180^{\circ }}{10}=18^{\circ }$.

5. $\ell =R\cdot t=6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi \approx 6,28$ cm.

6. Din $\ell =R\cdot t$ obținem $t=\frac{\ell }{R}=\frac{5\pi }{10}=\frac{\pi }{2}$ rad, adică $90^{\circ }$ — un sfert de cerc.

7. Fals. Un radian are aproximativ $57,3^{\circ }$, deci este mai mic decât $60^{\circ }$. Confuzia vine din faptul că cele două valori sunt apropiate; reperul corect este $1$ rad $=\frac{180^{\circ }}{\pi }$, iar cum $\pi >3$, rezultă $\frac{180^{\circ }}{\pi }<60^{\circ }$.

8. Aducem totul în grade: $2$ rad $\approx 114,59^{\circ }$, iar $\frac{3\pi }{5}=\frac{3\cdot 180^{\circ }}{5}=108^{\circ }$. Ordinea crescătoare este $100^{\circ }<\frac{3\pi }{5}<2$ rad.

9. $20$ de minute înseamnă o treime de oră, deci o treime de tură: $\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$ rad.

10. $\ell =35\cdot 5=175$ cm $=1,75$ m. (Măsura fiind dată direct în radiani, formula nu cere nicio conversie — exact avantajul radianului.)

11. $72^{\circ }=\frac{72\pi }{180}=\frac{2\pi }{5}$ rad, deci $\ell =25\cdot \frac{2\pi }{5}=10\pi \approx 31,42$ m.

12. $40^{\circ }=\frac{2\pi }{9}$ rad, deci $\ell =9\cdot \frac{2\pi }{9}=2\pi \approx 6,28$. (Cu formula în grade: $\ell =\frac{\pi \cdot 9\cdot 40}{180}=2\pi$ ✓.)

13. $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$ rad $\approx 0,01745$ rad; $1$ rad $=\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,296^{\circ }$, adică aproximativ $57^{\circ }17^{\prime }45^{\prime \prime }$. Cele două numere sunt inverse unul altuia ca factor de conversie.

14. $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$, $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$, $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$. Suma: $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}+\frac{3\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}=\pi$ ✓ — suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$, adică $\pi$ radiani.

15. a) $210^{\circ }=\frac{210\pi }{180}=\frac{7\pi }{6}$ rad. b) $\ell =6\cdot \frac{7\pi }{6}=7\pi$. c) $L=2\pi \cdot 6=12\pi$, deci $\frac{\ell }{L}=\frac{7\pi }{12\pi }=\frac{7}{12}$; același rezultat se citește direct din $\frac{210^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{7}{12}$.

16. $\frac{5\pi }{12}=\frac{5\cdot 180^{\circ }}{12}=75^{\circ }$, deci $x=75$.

17. ${\ell }_1=3\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ și ${\ell }_2=5\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$; raportul este $\frac{3}{5}$, adică exact raportul razelor. Observația e importantă: măsura arcului e aceeași pe ambele cercuri, lungimile diferă proporțional cu raza — de aceea măsura, nu lungimea, e mărimea potrivită pentru a descrie „cât din cerc".

18. $1^{\prime }=\frac{1^{\circ }}{60}=\frac{\pi }{180\cdot 60}=\frac{\pi }{10800}\approx 0,00029089$ rad. Atunci $\ell =6371\cdot 0,00029089\approx 1,853$ km, adică aproximativ $1853$ metri — practic mila marină ($1852$ m prin definiție internațională). Mila marină a fost aleasă tocmai ca lungimea unui minut de arc pe meridian: pe hartă, o diferență de un minut de latitudine înseamnă o milă. Diferența de un metru față de valoarea oficială vine din faptul că Pământul nu e o sferă perfectă.

De reținut

• Măsura unui arc este măsura unghiului la centru care îl subîntinde; ea nu depinde de rază, spre deosebire de lungimea arcului.
• Un radian este măsura arcului de lungime egală cu raza. Relația de bază: $180^{\circ }=\pi$ rad, deci $1$ rad $\approx 57,3^{\circ }$.
• Conversii: din grade în radiani înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$; din radiani în grade înlocuiești $\pi$ cu $180^{\circ }$ (echivalent: înmulțești cu $\frac{180}{\pi }$).
• Tabelul uzual: $30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$, $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$, $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$, $90^{\circ }=\frac{\pi }{2}$, $180^{\circ }=\pi$, $270^{\circ }=\frac{3\pi }{2}$, $360^{\circ }=2\pi$.
• Lungimea arcului: $\ell =R\cdot t$ cu $t$ în radiani (sau $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$ cu $n$ în grade). Formula curată e motivul principal pentru care folosim radiani.

Greșeli frecvente

• Se înmulțește cu factorul greșit. Din grade în radiani se înmulțește cu $\frac{\pi }{180}$ (numărul scade mult), din radiani în grade cu $\frac{180}{\pi }$ (numărul crește mult). Testul salvator: rezultatul în radiani al unui unghi obișnuit e un număr mic, sub $6,3$.
• Se uită simbolul de grad. Unghiul de $2$ radiani și unghiul de $2^{\circ }$ sunt lucruri complet diferite — primul e obtuz, al doilea abia se vede. La radiani unitatea nu se scrie, la grade simbolul ${}^{\circ }$ este obligatoriu.
• Se aplică $\ell =R\cdot t$ cu $t$ în grade. Formula scurtă cere neapărat radiani; cu grade rezultă valori de zeci de ori mai mari. Transformă întâi, calculează după.
• Calculatorul rămâne pe DEG. Orice calcul cu măsuri scrise cu $\pi$ trebuie făcut pe modul RAD; altfel $\sin \pi$ iese $0,0548$ în loc de $0$.
• Se confundă lungimea arcului cu lungimea coardei. Arcul e drumul curbat pe cerc, coarda e segmentul dintre capete; arcul e întotdeauna mai lung.

Aplică acasă

1. Roata bicicletei tale. Măsoară cu o ruletă diametrul roții și calculează raza $R$. Marchează cu o cretă un punct pe anvelopă și pe asfalt, apoi rostogolește bicicleta exact o tură, până când creta atinge din nou solul. Măsoară distanța: ar trebui să fie $2\pi R$. Calculează apoi câți radiani se rotește roata pe o distanță de $10$ metri (formula $t=\frac{\ell }{R}$) și transformă rezultatul în grade și în ture complete.

2. Ceasul din bucătărie. Alege trei momente ale zilei și calculează, pentru fiecare, arcul descris de minutar de la ora fixă până atunci — în grade și în radiani. Măsoară apoi lungimea acului și află distanța reală parcursă de vârf. Compară rezultatele cu drumul acului orar în același interval: de câte ori e mai scurt?

3. Harta și mila marină. Deschide o hartă digitală și găsește două puncte de pe același meridian care diferă cu exact $1^{\circ }$ de latitudine (de exemplu $44^{\circ }$ N și $45^{\circ }$ N). Calculează distanța dintre ele cu formula $\ell =R\cdot t$, luând $R=6371$ km, apoi verifică rezultatul cu instrumentul de măsurare al hărții. Ar trebui să obții aproximativ $111$ km.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de trigonometrie a clasei a IX-a și are un rol de „schimbare de limbă": elevul trebuie să treacă de la gradul învățat în gimnaziu la radian, unitatea folosită în toată matematica de liceu și în fizică. Competențele vizate sunt identificarea pe cercul trigonometric a punctelor asociate unor măsuri exprimate în grade sau în radiani și modelarea unor situații practice cu mărimi circulare. Verificarea minimă: elevul convertește fluent în ambele sensuri, știe tabelul unghiurilor uzuale fără să-l caute și aplică formula $\ell =R\cdot t$ fiind atent la unitatea măsurii.

Întrebări bune de control: „Cât este $1$ radian în grade, aproximativ?" ($\approx 57^{\circ }$, adică sub $60^{\circ }$); „De ce nu depinde măsura arcului de raza cercului?" (unghiul la centru e același; se schimbă doar lungimea); „Ce trebuie să fie $t$ în formula $\ell =Rt$?" (radiani); „De ce trigonometria preferă radianii?" (formulele se simplifică și argumentul devine număr real). Semne că a înțeles: transformă $\frac{7\pi }{6}$ în $210^{\circ }$ mental, în două secunde, și își verifică singur rezultatele cu ordinul de mărime.

La teze și la Bacalaureat, conversia grade–radiani apare rareori ca cerință de sine stătătoare, dar este ascunsă în aproape orice exercițiu de trigonometrie: enunțul dă $\frac{5\pi }{6}$ și elevul trebuie să „vadă" instantaneu $150^{\circ }$, ca să poată reduce la primul cadran sau să citească valoarea pe cercul trigonometric. Un elev care ezită la conversie pierde timp prețios la fiecare subiect. Merită exersat până devine reflex, împreună cu tabelul unghiurilor uzuale.

Întrebări frecvente

Ce este un radian, explicat simplu? Un radian este deschiderea unghiului la centru care „taie" pe cerc un arc exact cât raza. Cum în cerc raza încape de $2\pi \approx 6,28$ ori, cercul întreg are $2\pi$ radiani, iar un radian are aproximativ $57,3^{\circ }$.

Cum transform grade în radiani? Înmulțești măsura în grade cu $\frac{\pi }{180}$ și simplifici fracția. De exemplu, $150^{\circ }=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$ radiani.

Cum transform radiani în grade? Înlocuiești $\pi$ cu $180^{\circ }$ și calculezi. De exemplu, $\frac{7\pi }{4}=\frac{7\cdot 180^{\circ }}{4}=315^{\circ }$. Dacă măsura nu conține $\pi$, înmulțești cu $\frac{180}{\pi }\approx 57,3$.

Câte grade are $\pi$ radiani? Exact $180^{\circ }$, adică un unghi alungit (jumătate de cerc). Din această singură egalitate se obțin toate celelalte conversii.

De ce se folosesc radiani și nu doar grade? Pentru că formulele devin mai simple — lungimea arcului este pur și simplu $\ell =R\cdot t$ — și pentru că argumentul funcțiilor trigonometrice devine un număr real obișnuit, ceea ce permite studiul lor ca funcții. În fizică și în analiza matematică, radianul este singura unitate care funcționează fără factori de corecție.

Cum calculez lungimea unui arc de cerc? Cu formula $\ell =R\cdot t$, unde $R$ este raza, iar $t$ măsura arcului în radiani. Dacă măsura e dată în grade, fie o transformi întâi, fie folosești formula echivalentă $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$.

Care e diferența dintre măsura unui arc și lungimea lui? Măsura arată „cât din cerc" ocupă arcul și este aceeași pe orice cerc; lungimea se măsoară în centimetri sau metri și crește proporțional cu raza. Legătura dintre ele este exact formula $\ell =R\cdot t$.

De ce cercul are $360$ de grade? Este o convenție babiloniană veche de aproape patru mii de ani, legată de sistemul de numerație în baza $60$ și de anul de aproximativ $360$ de zile. Nu are nicio justificare matematică — spre deosebire de radian, care se deduce din geometria cercului.