Radicali: proprietăți, operații și expresii conjugate

Ia o coală A4 și îndoaie-o exact în două, pe latura lungă. Obții o coală A5 — mai mică, dar cu aceeași formă: raportul dintre laturi rămâne neschimbat. Nu e o coincidență de tipografie, ci o consecință matematică: singurul raport care supraviețuiește înjumătățirii este $\sqrt{2}$. Iar $\sqrt{2}$ nu este un număr pe care calculatorul să-l poată scrie complet: îți arată $1,41421356$ și se oprește, pentru că zecimalele lui continuă la nesfârșit, fără nicio regulă care să se repete.

De aici vine întrebarea acestei lecții: dacă nu putem scrie numărul exact, cum calculăm exact cu el? Răspunsul este că păstrăm simbolul $\sqrt{2}$ ca pe o piesă de sine stătătoare și învățăm regulile după care piesele acestea se înmulțesc, se adună, se scot de sub radical și se mută dintr-un numitor în numărător. Sunt regulile care fac diferența, la Bacalaureatul M1, între un răspuns „$\approx 2,83$" și răspunsul corect „$2\sqrt{2}$". Le vei folosi imediat la funcția radical de ordin 2, pe care o cunoști deja, și mai ales la ecuații și inecuații cu radicali, unde o singură condiție uitată strică toată rezolvarea.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect, cu tot cu condiții, proprietățile radicalilor de ordinul 2 și 3 și să le demonstrezi pornind de la definiție.
• Vei ști de ce $\sqrt{a^2}=|a|$ și nu $a$ — și unde anume produce această confuzie greșeli de examen.
• Vei ști să scoți factorii de sub radical și să introduci un factor sub radical, atât la ordinul 2, cât și la ordinul 3.
• Vei ști să efectuezi operații cu radicali: adunare de radicali asemenea, înmulțire, ridicare la pătrat.
• Vei ști să raționalizezi numitorul în toate cazurile uzuale, folosind expresia conjugată.
• Vei ști să folosești conjugatele pentru sume telescopice și pentru comparări fine de numere iraționale.

Hai să descoperim împreună

1. Definițiile, scrise cu grijă

Totul pornește de la două definiții pe care merită să le știi pe de rost, cuvânt cu cuvânt, pentru că toate condițiile de mai târziu se nasc din ele.

Definiție (radicalul de ordinul 2). Pentru $a\ge 0$, $\sqrt{a}$ este unicul număr real nenegativ al cărui pătrat este $a$:

$$\sqrt{a}=t⟺t\ge 0\text{ și }{t}^2=a.$$

Definiție (radicalul de ordinul 3). Pentru orice număr real $a$, $\sqrt[3]{a}$ este unicul număr real al cărui cub este $a$:

$$\sqrt[3]{a}=t⟺t^3=a.$$

Diferența dintre cele două este esențială și vine din comportamentul puterilor: ridicarea la pătrat dă mereu rezultate nenegative, deci nu putem extrage radical de ordinul 2 dintr-un număr negativ; ridicarea la cub, în schimb, păstrează semnul, deci $\sqrt[3]{-8}=-2$ are perfect sens. Vei studia amănunțit funcția asociată în lecția despre funcția radical de ordinul 3.

Din definiții rezultă imediat trei identități pe care le vei folosi zilnic:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a(a\ge 0),\sqrt{a^2}=|a|(a\in \mathbb{R}),\sqrt[3]{a^3}=a(a\in \mathbb{R}).$$

A doua merită oprire. De ce modul? Pentru că $\sqrt{a^2}$ trebuie să fie, prin definiție, nenegativ. Dacă $a=-5$, atunci $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$, adică $|-5|$, nicidecum $-5$. Regula practică: radicalul de ordin par „uită" semnul, deci îl păstrezi tu, prin modul. La ordinul 3 nu apare modul, pentru că radicalul de ordin impar păstrează semnul singur.

2. Proprietatea produsului și a câtului la ordinul 2

Teoremă. Pentru orice $a\ge 0$ și $b\ge 0$:

$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$$

Demonstrație. Notăm $t=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$. Verificăm cele două cerințe din definiția lui $\sqrt{ab}$. Întâi, $t\ge 0$, fiind produsul a două numere nenegative. Apoi, ridicând la pătrat și folosind comutativitatea înmulțirii,

$$t^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2\cdot {\left(\sqrt{b}\right)}^2=a\cdot b.$$

Așadar $t$ este un număr nenegativ al cărui pătrat este $ab$. Cum definiția spune că un astfel de număr este unic, rezultă $t=\sqrt{ab}$. $■$

Teoremă. Pentru orice $a\ge 0$ și $b>0$:

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

Demonstrația e identică: raportul $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ este nenegativ și pătratul lui este $\frac{a}{b}$. Observă condiția întărită $b>0$: la numitor nu putem accepta zero.

De ce insistăm pe condiții? Pentru că fără ele proprietatea devine falsă. Scrie $\sqrt{(-4)\cdot (-9)}$: produsul de sub radical este $36$, deci expresia are sens și valoarea $6$. Dar „descompunerea" $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$ nu are niciun sens în $\mathbb{R}$, pentru că niciunul dintre cei doi factori nu există. Prin urmare, proprietatea se aplică doar când fiecare radical scris are sens. Este exact tipul de rigoare pe care programa de mate-info îl cere și pe care corectorii de la Bacalaureat îl urmăresc.

O consecință des folosită, obținută prin aplicarea repetată a proprietății produsului:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^n=\sqrt{a^n}(a\ge 0,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$

3. La ordinul 3, aceleași reguli — fără condiții

Teoremă. Pentru orice numere reale $a$ și $b$ (și $b\ne 0$ la cât):

$$\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b},\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}.$$

Demonstrație (pentru produs). Fie $t=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}$. Atunci $t^3={\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3\cdot {\left(\sqrt[3]{b}\right)}^3=a\cdot b$. Cum un număr real cu cubul egal cu $ab$ este unic, obținem $t=\sqrt[3]{ab}$. $■$

Aici nu mai apare nicio restricție de semn, tocmai pentru că definiția radicalului de ordinul 3 nu cere nimic. Un exemplu de control: $\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}=\sqrt[3]{-216}=-6$, iar $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}=(-2)\cdot 3=-6$. Se potrivesc.

Reține contrastul, pentru că îl vei reîntâlni la ecuații: radicalul de ordin par vine cu condiții, cel de ordin impar nu.

4. Scoaterea factorilor de sub radical

A „simplifica un radical" înseamnă a scoate de sub el tot ce se poate scoate. Rețeta la ordinul 2: descompui numărul în factori și cauți pătrate perfecte; la ordinul 3 cauți cuburi perfecte.

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2},\sqrt{300}=\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt{3}.$$

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{-128}=\sqrt[3]{(-64)\cdot 2}=-4\sqrt[3]{2}.$$

Metoda sigură, când numărul e mare, este descompunerea în factori primi: $72=2^3\cdot 3^2$, iar sub radicalul de ordinul 2 fiecare pereche de factori identici iese afară ca un singur factor. Rămâne înăuntru ce nu se poate împerechea: $\sqrt{72}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2}=2\cdot 3\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$. La ordinul 3, ies tripletele.

Operația inversă — introducerea sub radical — este la fel de utilă, mai ales la comparări: $3\sqrt{2}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{18}$. Atenție: introducerea sub radical de ordinul 2 se face doar pentru factori nenegativi; pentru $-3\sqrt{2}$ scriem $-\sqrt{18}$, păstrând minusul în fața radicalului.

Cu litere, apar modulele. Pentru orice $a$ real, $\sqrt{25a^2}=5|a|$; iar $\sqrt{18x^3}$ are sens doar pentru $x\ge 0$, caz în care $\sqrt{18x^3}=\sqrt{9x^2\cdot 2x}=3x\sqrt{2x}$ (aici $|x|=x$, fiindcă $x\ge 0$). Verificarea e imediată: ${\left(3x\sqrt{2x}\right)}^2=9x^2\cdot 2x=18x^3$.

5. Operații: adunare, înmulțire, ridicare la pătrat

Adunarea și scăderea se fac doar între radicali asemenea — adică radicali cu exact același număr sub semn. Radicalul se comportă atunci ca o „unitate de măsură", exact ca $x$-ul din calculul algebric:

$$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Cheia a fost pasul anterior: mai întâi scoatem factorii, ca radicalii să devină asemenea. Fără acest pas, expresia pare o sumă de trei numere fără legătură. Și reține că $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nu se poate „aduna" mai departe: nu există nicio regulă care să transforme suma a doi radicali diferiți într-unul singur.

Înmulțirea folosește proprietatea produsului, în ambele sensuri: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$, iar $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=10\sqrt{18}=30\sqrt{2}$.

Ridicarea la pătrat a unei sume de radicali folosește formulele de calcul prescurtat, cu ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2=a+2\sqrt{ab}+b,{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2=a-2\sqrt{ab}+b.$$

De exemplu ${\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$.

Iar acum vine identitatea vedetă a lecției, diferența de pătrate aplicată radicalilor:

$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b.$$

Produsul a doi radicali „gemeni", care diferă doar prin semnul din mijloc, este un număr fără radicali. Cele două expresii se numesc conjugate una alteia. Exemplu: $\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)=12-5=7$.

Radicali dubli. Uneori un radical ascunde sub el un pătrat perfect deghizat. Cum ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$, rezultă

$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.$$

Ai voie să scrii direct rezultatul numai după ce verifici că el este pozitiv: radicalul e nenegativ, deci și răspunsul trebuie să fie. Compară cu $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$: candidatul natural este $\sqrt{5}-2$, pentru că ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$, iar $\sqrt{5}>2$, deci candidatul este pozitiv. Dacă ai fi scris $2-\sqrt{5}$, ai fi obținut un număr negativ — imposibil pentru un radical.

6. Raționalizarea numitorului

A raționaliza înseamnă a scăpa de radicalii de la numitor, fără a schimba valoarea fracției. Procedeul e mereu același: amplificăm fracția cu o expresie aleasă inteligent. Iată cele patru situații standard.

Cazul $\frac{c}{\sqrt{a}}$ — amplificăm cu $\sqrt{a}$:

$$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Cazul $\frac{c}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}$ — amplificăm cu conjugata numitorului, adică schimbăm semnul din mijloc:

$$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}=\frac{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{5-2}=2\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right).$$

Cazul $\frac{c}{m\pm \sqrt{b}}$ — aceeași idee, conjugata este $m\mp \sqrt{b}$:

$$\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}=3+\sqrt{5}.$$

Cazul radicalului de ordinul 3 — amplificăm astfel încât la numitor să se completeze un cub:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$$

În general $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a}$, pentru $a\ne 0$.

Un avertisment de rigoare: amplificarea cu conjugata are sens doar dacă aceasta este nenulă. Pentru $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ trebuie oricum $a\ne b$, altfel numitorul inițial ar fi zero.

7. La ce folosesc, de fapt, expresiile conjugate

Dincolo de „forma frumoasă" a răspunsului, conjugatele rezolvă două tipuri de probleme care apar constant la olimpiade și la Bacalaureatul M1.

Sume telescopice. Raționalizând, obținem identitatea cheie

$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$

Fiecare termen al sumei devine o diferență, iar termenii se anulează doi câte doi, ca segmentele unui telescop care se strâng unul în altul. Vei vedea mecanismul complet în Exemplul 6.

Comparări fine. Care diferență e mai mare: $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ sau $\sqrt{101}-\sqrt{100}$? Cu calculatorul ai obține două numere apropiate de zero și te-ai putea încurca. Cu conjugata, răspunsul e imediat:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$$

Cum numitorul crește odată cu $n$, fracția scade. Deci $\sqrt{3}-\sqrt{2}>\sqrt{101}-\sqrt{100}$: radicalii se apropie tot mai mult unul de altul pe măsură ce înaintăm — exact „domolirea" creșterii pe care ai observat-o pe graficul funcției radical.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radicali asemenea

Calculați $E=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}$.

Rezolvare. Scoatem factorii: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$. Toți trei au devenit asemenea, deci

$$E=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=(2+3-5)\sqrt{3}=0.$$

Rezultatul e chiar $0$ — o verificare bună a faptului că radicalii nu sunt „numere misterioase", ci se supun aceleiași algebre ca literele. $■$

Exemplul 2 — Conjugate și pătrate

Calculați $A=\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$ și $B={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$.

Rezolvare. Pentru $A$ folosim diferența de pătrate: $A=6-2=4$. Pentru $B$ folosim pătratul sumei: $B=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$.

Observă asimetria rezultatelor: produsul conjugatelor a scăpat complet de radicali, în timp ce pătratul sumei a produs un radical nou, $\sqrt{6}$. De asta conjugata e unealta de raționalizare, nu pătratul. $■$

Exemplul 3 — Raționalizare completă

Aduceți la o formă cu numitor rațional expresia $E=\frac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$.

Rezolvare. Prima fracție se amplifică cu $\sqrt{7}+\sqrt{2}$:

$$\frac{10}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\frac{10\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)}{7-2}=2\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{7}+2\sqrt{2}.$$

A doua se amplifică cu $\sqrt{3}-1$:

$$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

Prin urmare $E=2\sqrt{7}+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Cei trei radicali rămași sunt diferiți, deci expresia nu se mai poate simplifica: aceasta este forma finală. $■$

Exemplul 4 — Radicali cu litere și module

Simplificați $E(x)=\sqrt{x^2-6x+9}$, pentru $x\in \mathbb{R}$, și precizați valoarea lui $E(1)$ și $E(7)$.

Rezolvare. Recunoaștem pătratul perfect: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$. Așadar

$$E(x)=\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|=\{\begin{array}{ll}x-3,& x\ge 3\\ 3-x,& x<3.\end{array}$$

Deci $E(1)=|1-3|=2$ și $E(7)=|7-3|=4$. Dacă am fi „simplificat" grăbit la $x-3$, am fi obținut pentru $E(1)$ valoarea $-2$ — un radical negativ, adică o absurditate. Modulul nu e un moft, ci singura scriere corectă. $■$

Exemplul 5 — Ordinul 3 la lucru

Calculați $C=\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}$ și raționalizați $D=\frac{5}{\sqrt[3]{25}}$.

Rezolvare. Scoatem cuburile perfecte: $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$ și $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$. Atunci

$$C=2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=4\sqrt[3]{2}.$$

Pentru $D$ amplificăm cu $\sqrt[3]{5}$, ca numitorul să devină $\sqrt[3]{125}=5$:

$$D=\frac{5\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[3]{5}}=\frac{5\sqrt[3]{5}}{5}=\sqrt[3]{5}.$$

$■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Arătați că numărul $N=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$ este natural.

Rezolvare. Raționalizăm fiecare termen cu conjugata numitorului. Pentru un $k$ oarecare,

$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.$$

Suma devine

$$N=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\cdots +\left(\sqrt{9}-\sqrt{8}\right).$$

Fiecare radical intermediar apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămân doar capetele:

$$N=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2\in \mathbb{N}.$$

$■$ Reține tiparul: numitorul cu doi radicali consecutivi + conjugata = sumă telescopică. Este unul dintre cele mai frecvente exerciții de tip „arătați că numărul este natural" din subiectele de Bacalaureat M1.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula casei: la fiecare pas, verifică dacă radicalii pe care îi scrii au sens — adică dacă expresia de sub radicalul de ordin 2 este nenegativă.

1. Calculează: $\sqrt{36}$, $\sqrt{0,25}$, $\sqrt[3]{-27}$, $\sqrt[3]{0,008}$.

2. Scoate factorii de sub radical: $\sqrt{50}$, $\sqrt{98}$, $\sqrt{300}$, $\sqrt[3]{54}$, $\sqrt[3]{-128}$.

3. Calculează $\sqrt{20}+\sqrt{45}$ și $\sqrt{50}+\sqrt{2}-\sqrt{32}$.

4. Dezvoltă ${\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}^2$ și ${\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)}^2$.

5. Calculează produsele conjugatelor: $\left(\sqrt{10}-3\right)\left(\sqrt{10}+3\right)$ și $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$.

6. Raționalizează numitorii: $\frac{9}{2\sqrt{3}}$, $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$, $\frac{4}{3-\sqrt{5}}$.

7. Simplifică, pentru $a\in \mathbb{R}$, expresiile $\sqrt{25a^2}$ și $\sqrt{a^2-4a+4}$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $a$ avem $\sqrt{a^2}=a$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a,b\ge 0$ avem $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$."

10. Compară, fără calculator, numerele $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{5}$, folosind introducerea sub radical.

11. Arată că $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$.

12. Raționalizează $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ și calculează $\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{81}$.

13. (Problemă aplicată.) O grădină pătrată are aria de $200$ de metri pătrați. Determină, în formă exactă și apoi aproximativă, lungimea laturii și lungimea gardului care o înconjoară.

14. Calculează ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^3$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră numărul $x=\sqrt{5}+2$. a) Arată că $x\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)=1$. b) Deduce valoarea numărului $x+\frac{1}{x}$.

16. Arată că numărul $a=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{2}$ este natural.

17. Compară numerele $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ și $\sqrt{101}-\sqrt{100}$, folosind expresiile conjugate.

18. (Provocare.) Arată că numărul

$$E=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$

este natural și determină-i valoarea.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{36}=6$; $\sqrt{0,25}=0,5$ (căci $0,5^2=0,25$); $\sqrt[3]{-27}=-3$ (căci $(-3{)}^3=-27$); $\sqrt[3]{0,008}=0,2$ (căci $0,2^3=0,008$).

2. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$; $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$; $\sqrt{300}=\sqrt{100\cdot 3}=10\sqrt{3}$; $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$; $\sqrt[3]{-128}=\sqrt[3]{(-64)\cdot 2}=-4\sqrt[3]{2}$.

3. $\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$. Apoi $\sqrt{50}+\sqrt{2}-\sqrt{32}=5\sqrt{2}+\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

4. ${\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)}^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$. Apoi ${\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 3+2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}+9\cdot 2=12+12\sqrt{6}+18=30+12\sqrt{6}$.

5. $\left(\sqrt{10}-3\right)\left(\sqrt{10}+3\right)=10-9=1$; $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$. Ambele perechi sunt inverse una alteia — de aceea apar atât de des în probleme.

6. $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Apoi $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$. Și $\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4\left(3+\sqrt{5}\right)}{9-5}=3+\sqrt{5}$.

7. $\sqrt{25a^2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{a^2}=5|a|$. Apoi $a^2-4a+4=(a-2{)}^2$, deci $\sqrt{a^2-4a+4}=|a-2|$, adică $a-2$ pentru $a\ge 2$ și $2-a$ pentru $a<2$.

8. Fals. Pentru $a=-5$: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5\ne -5$. Formula corectă este $\sqrt{a^2}=|a|$, iar egalitatea $\sqrt{a^2}=a$ are loc doar pentru $a\ge 0$.

9. Fals. Contraexemplu: $a=9$, $b=16$ dau $\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$. Radicalul se „împrăștie" peste produs și peste cât, niciodată peste sumă sau diferență.

10. $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$. Cum $18<20$ și funcția radical este strict crescătoare, rezultă $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$.

11. Calculăm ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$. Numărul $\sqrt{5}-2$ este pozitiv, pentru că $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$. Fiind nenegativ și având pătratul $9-4\sqrt{5}$, el este chiar $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$, conform definiției.

12. $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{9}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$. Apoi $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}$ și $\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=3\sqrt[3]{3}$, deci suma este $5\sqrt[3]{3}$.

13. Latura este $\ell =\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$ metri, adică aproximativ $14,14$ metri. Gardul are lungimea $4\ell =40\sqrt{2}\approx 56,57$ metri. În formă exactă răspunsul se scrie cu radical; aproximarea o dai doar la final, ca să nu acumulezi erori.

14. ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^3=1+3\sqrt{2}+3\cdot 2+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$. (Am folosit ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$ și ${\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$.)

15. a) $\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)=5-4=1$. b) Din punctul a) rezultă $\frac{1}{x}=\sqrt{5}-2$, deci $x+\frac{1}{x}=\left(\sqrt{5}+2\right)+\left(\sqrt{5}-2\right)=2\sqrt{5}$. Observă eleganța: nu a fost nevoie de nicio aproximare zecimală.

16. Căutăm un pătrat perfect: ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^2=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}$, iar $3+\sqrt{2}>0$. Deci $\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}$ și $a=3+\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\in \mathbb{N}$.

17. Amplificăm fiecare diferență cu conjugata ei: $\sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ și $\sqrt{101}-\sqrt{100}=\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{100}}$. Numărătorii sunt egali, iar numitorul al doilea este mult mai mare, deci a doua fracție e mai mică: $\sqrt{3}-\sqrt{2}>\sqrt{101}-\sqrt{100}$.

18. Fiecare termen se raționalizează: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Suma devine telescopică:

$$E=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\cdots +\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9.$$

Deci $E=9$, număr natural. Frumusețea metodei: o sumă de $99$ de fracții urâte se calculează exact, din două capete.

De reținut

• Definițiile decid totul: $\sqrt{a}$ există doar pentru $a\ge 0$ și este nenegativ; $\sqrt[3]{a}$ există pentru orice $a$ real și păstrează semnul. De aici vin toate condițiile.
• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ și $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ cu condițiile $a\ge 0$, $b\ge 0$ (respectiv $b>0$). La ordinul 3 aceleași formule funcționează fără nicio condiție de semn.
• $\sqrt{a^2}=|a|$, nu $a$. Modulul este obligatoriu ori de câte ori sub radical apare un pătrat cu literă.
• Radicalii se adună doar dacă sunt asemenea; înainte de adunare, scoate factorii de sub radical. Nu există nicio formulă pentru $\sqrt{a+b}$.
• Conjugata lui $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ este $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, iar produsul lor este $a-b$, fără radicali. Este unealta pentru raționalizare, pentru sume telescopice și pentru comparări fine.

Greșeli frecvente

• „$\sqrt{a^2}=a$." Fals pentru $a$ negativ. Scrie $|a|$ și abia apoi discută pe cazuri, în funcție de semnul lui $a$. Este cea mai des sancționată greșeală din tot capitolul.
• „$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$." Radicalul respectă înmulțirea și împărțirea, nu adunarea. Un singur contraexemplu ($9$ și $16$) închide discuția.
• Aplicarea proprietăților fără verificarea condițiilor. Scrierea $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=\sqrt{36}$ este greșită: membrul stâng nu există în $\mathbb{R}$. Verifică întotdeauna că fiecare radical pe care îl scrii are sens.
• Adunarea radicalilor neasemenea: $2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ nu se „strânge" în $5\sqrt{5}$ și nici altfel. Doar radicalii cu același număr sub semn se adună.
• Radical dublu cu semn greșit: din ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^2=9-4\sqrt{5}$ nu deduce că $\sqrt{9-4\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$. Dintre cele două numere cu același pătrat, îl alegi mereu pe cel pozitiv.

Aplică acasă

1. Măsoară formatul A4. Cu rigla, măsoară laturile unei coli A4 și calculează raportul dintre latura lungă și cea scurtă. Compară rezultatul cu $\sqrt{2}\approx 1,41421$. Apoi îndoaie coala în două și repetă măsurătoarea pe coala A5: raportul ar trebui să se păstreze. Explică, folosind proprietățile radicalilor, de ce $\sqrt{2}$ este singurul raport cu această proprietate.

2. Diagonalele din casă. Alege trei obiecte dreptunghiulare (ecranul telefonului, o masă, o ușă), măsoară-le laturile și calculează diagonala cu teorema lui Pitagora. Scrie fiecare rezultat în formă exactă, cu radicalul simplificat (factorii scoși de sub radical), și abia apoi aproximarea cu două zecimale. Verifică o diagonală și cu ruleta.

3. Provocarea telescopului. Scrie pe o foaie suma $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ pentru $k=3$, apoi $k=8$, apoi $k=15$, și calculează de fiecare dată rezultatul. Găsești regula? Formulează o conjectură pentru $k$ oarecare și demonstreaz-o cu metoda conjugatelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția este „sala de forță" a întregului capitol al radicalilor din programa de matematică-informatică. Elevul trebuie să iasă de aici cu trei automatisme: scrie condițiile odată cu proprietățile, pune modul la $\sqrt{a^2}$ și recunoaște instantaneu conjugata unui numitor. Aceste automatisme fac diferența la ecuații și inecuații cu radicali, unde condițiile neglijate produc soluții false, și la exercițiile de calcul din subiectul I al Bacalaureatului M1.

Întrebări bune de control: „Cât este $\sqrt{(-7{)}^2}$ și de ce?" (răspuns: $7$, prin definiție radicalul e nenegativ); „De ce nu putem scrie $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}=\sqrt{36}$?" (pentru că factorii nu există în $\mathbb{R}$); „Cu ce amplifici ca să raționalizezi $\frac{3}{\sqrt{7}-2}$?" (cu $\sqrt{7}+2$). Semne că a înțeles: scoate factorii de sub radical înainte de a aduna, lasă rezultatele în formă exactă (nu trece pe zecimale la fiecare pas) și verifică semnul răspunsului la radicalii dubli.

La Bacalaureatul M1, radicalii apar în aproape fiecare variantă: calcule de tip „arătați că numărul este natural/rațional", sume telescopice, raționalizări în probleme cu funcții și, indirect, în toate exercițiile cu formula ecuației de gradul al doilea, unde discriminantul se extrage sub radical — vezi ecuația de gradul al doilea.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să raționalizezi numitorul unei fracții? Înseamnă să transformi fracția într-una echivalentă, care nu mai are radicali la numitor. Se face amplificând fracția cu un factor potrivit: cu $\sqrt{a}$ dacă numitorul este $\sqrt{a}$, sau cu expresia conjugată dacă numitorul este o sumă ori o diferență de radicali.

Ce este expresia conjugată? Este expresia obținută prin schimbarea semnului din mijloc: conjugata lui $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ este $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, iar conjugata lui $3-\sqrt{5}$ este $3+\sqrt{5}$. Produsul unei expresii cu conjugata ei nu mai conține radicali, fiind o diferență de pătrate.

De ce $\sqrt{a^2}$ este egal cu modulul lui $a$, și nu cu $a$? Pentru că, prin definiție, radicalul de ordin 2 dă mereu un rezultat nenegativ. Dacă $a$ este negativ, $a$ însuși nu poate fi rezultatul. Exemplu: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$.

Se poate extrage radical de ordinul 3 dintr-un număr negativ? Da. Spre deosebire de ordinul 2, radicalul de ordin impar există pentru orice număr real, pentru că ridicarea la cub păstrează semnul: $\sqrt[3]{-8}=-2$, deoarece $(-2{)}^3=-8$.

Cum scot factorii de sub radical? Descompui numărul de sub radical în factori primi și scoți afară fiecare pereche de factori identici (la ordinul 2) sau fiecare triplet (la ordinul 3). Exemplu: $\sqrt{72}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

Se pot aduna doi radicali diferiți, ca $\sqrt{2}+\sqrt{3}$? Nu, suma rămâne așa cum este. Se adună doar radicalii asemenea, adică cei cu același număr sub semnul radical, exact cum aduni $2x+3x=5x$. Înainte de a decide, scoate factorii de sub radical — uneori radicali care par diferiți devin asemenea.

Cum calculez rapid un radical dublu, de tipul $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$? Cauți să scrii expresia de sub radical ca pătrat perfect de forma ${\left(m+\sqrt{n}\right)}^2=m^2+n+2m\sqrt{n}$. Aici $2m\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ dă $m=2$, iar $m^2+n=7$ dă $n=3$; deci rezultatul este $2+\sqrt{3}$. Verifică mereu ca răspunsul să fie pozitiv.

Unde folosesc conjugatele în afara raționalizării? La sume telescopice (fiecare termen devine o diferență de radicali, iar termenii se anulează între ei) și la comparări de numere iraționale apropiate, unde calculatorul nu e de încredere din cauza rotunjirilor.