Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă

Până acum ai lucrat cu progresii aritmetice care ți se dădeau de-a gata: „se consideră progresia cu $a_{1} = 5$ și $r = 3$ ". Realitatea, însă, nu vorbește în litere. Realitatea sună așa: „Un depozit primește $340$ de cutii, iar în fiecare zi se expediază câte $24$ ". Sau: „Un elev citește $18$ pagini în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu $4$ pagini mai mult". Nicăieri nu scrie „progresie aritmetică", nicăieri nu apar literele $a_{1}$ și $r$ — și totuși structura e acolo, ascunsă în două-trei cuvinte din enunț.

Această lecție este despre traducerea din română în matematică. Este partea la care se pierd, de regulă, cele mai multe puncte: nu la calcule, ci la înțelegerea a ce trebuie calculat. Vei învăța semnalele care anunță o progresie aritmetică, semnalele care o exclud, o rețetă în patru pași pentru transpunerea oricărui enunț și, foarte important, capcana rangului — acel „al câtelea" care poate decala tot răspunsul cu o unitate. Instrumentele de calcul le ai deja, din Termenul general al unei progresii aritmetice și Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice; aici înveți să decizi pe care dintre ele să-l scoți din trusă.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici în enunț semnalele lingvistice care anunță o progresie aritmetică: „cu aceeași sumă mai mult", „în fiecare zi cu $x$ mai puțin", „în rate egale".
Vei ști să recunoști situațiile care nu sunt progresii aritmetice, în special creșterile procentuale și dublările.
Vei ști să aplici o rețetă în patru pași pentru a transpune orice enunț practic în notația $a_{1}$ , $r$ , $n$ .
Vei ști să eviți capcana rangului: să precizezi exact ce numără $n$ înainte de orice calcul.
Vei ști să decizi dacă problema cere un termen, un rang sau o sumă — și, deci, ce formulă folosești.
Vei ști să verifici plauzibilitatea răspunsului și să spui până unde are sens modelul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă, de fapt, când citești o problemă

Orice problemă cu text are trei straturi. Deasupra stă povestea (cutii, pagini, scaune, litri). Dedesubt stă modelul matematic (o progresie aritmetică, cu un $a_{1}$ și un $r$ ). Iar între ele stă traducerea — pasul pe care nimeni nu-l scrie pe caiet, dar de care depinde tot restul.

Să luăm enunțul: „Un depozit are $340$ de cutii, iar în fiecare zi se expediază câte $24$ de cutii."

Povestea: un depozit care se golește. Modelul: un șir în care fiecare termen e cu $24$ mai mic decât precedentul, adică o progresie aritmetică cu $r = - 24$ . Traducerea: notăm cu $a_{n}$ numărul de cutii rămase după $n$ zile.

Această ultimă propoziție este cea mai importantă din toată rezolvarea și trebuie scrisă, nu doar gândită. Fără ea, peste trei rânduri nu vei mai ști dacă $a_{5}$ înseamnă „după cinci zile" sau „în ziua a cincea", iar cele două lucruri sunt diferite.

2. Semnalele care anunță o progresie aritmetică

Există un set restrâns de formulări care, practic de fiecare dată, indică o progresie aritmetică. Merită să le recunoști din reflex.

„cu … mai mult / mai puțin în fiecare …" — „cu $4$ pagini mai mult în fiecare zi", „cu $3$ locuri mai mult pe fiecare rând". Este semnalul cel mai limpede.
„crește (scade) constant cu …" — „temperatura scade constant cu $2$ grade pe oră".
„câte … pe zi / pe oră / pe lună" — „se consumă câte $25$ de litri pe zi", „se adaugă câte $15$ lei pe lună".
„în rate egale" — o sumă achitată în tranșe identice; totalul plătit crește cu aceeași cantitate.
„la intervale egale" — stâlpi, trepte, marcaje, rânduri de scaune.
„aceeași cantitate", „același număr", „aceeași sumă" — orice sinonim al cuvântului constant aplicat unei cantități absolute.

Cuvântul-cheie al întregii liste este aceeași, iar substantivul de care se leagă trebuie să fie o cantitate, nu un procent. Aici se ascunde toată diferența.

3. Semnalele care exclud progresia aritmetică

Tot atât de utile sunt formulările care spun clar nu este o progresie aritmetică:

„cu $x %$ mai mult / mai puțin" — un procent se aplică valorii curente, deci cantitatea adăugată se schimbă de la un pas la altul.
„de … ori mai mare", „se dublează", „se înjumătățește" — trecerea se face prin înmulțire.
„scade cu un sfert / cu o treime din valoarea actuală" — tot o înmulțire deghizată.

Exemplu. Un telefon costă $2400$ de lei și se ieftinește cu $25%$ în fiecare an. Prețurile sunt $2400$ , $1800$ , $1350$ , … Diferențele sunt $- 600$ și $- 450$ — nu sunt egale, deci nu este progresie aritmetică. Termenii se obțin înmulțind cu $0, 75$ , deci este o progresie geometrică; astfel de situații sunt studiate în Creștere și descreștere procentuală repetată.

Un caz care înșală. Uneori procentul dă totuși o progresie aritmetică — atunci când el se aplică mereu la aceeași valoare de referință, nu la valoarea curentă. Este cazul dobânzii simple: $5%$ dintr-o sumă inițială fixă înseamnă aceeași sumă în fiecare an, deci creștere constantă. Nu procentul e problema, ci la ce se aplică: dacă baza e fixă, avem progresie aritmetică; dacă baza e valoarea curentă, avem progresie geometrică. Regula de decizie și problemele financiare complete sunt tratate în Progresii aritmetice în probleme de dobândă simplă și costuri.

4. Rețeta în patru pași

Odată recunoscut modelul, transpunerea se face mereu la fel.

Pasul 1 — Ce mărime variază? Numărul de cutii, prețul, numărul de pagini, înălțimea plantei. Alege una singură și ține-te de ea.

Pasul 2 — Ce numără rangul? Scrie o propoziție completă: „ $a_{n}$ = numărul de cutii rămase după $n$ zile" sau „ $a_{n}$ = numărul de locuri de pe rândul $n$ ". Această propoziție decide tot ce urmează.

Pasul 3 — Care sunt $a_{1}$ și $r$ ? Primul termen se citește din enunț cu atenție (vezi secțiunea următoare), iar rația este cantitatea adăugată la fiecare pas, cu semn: pozitivă la creștere, negativă la scădere.

Pasul 4 — Ce se cere? Un termen, un rang sau o sumă. De aici alegi formula.

Exemplu complet. „O plantă are $12$ cm și crește cu $3$ cm pe săptămână. După câte săptămâni depășește $50$ cm?"

Pasul 1: variază înălțimea. Pasul 2: notăm cu $h_{n}$ înălțimea după $n$ săptămâni. Pasul 3: după $n$ săptămâni planta a crescut de $n$ ori câte $3$ cm, deci $h_{n} = 12 + 3 n$ (aici e comod ca $h_{0} = 12$ să fie înălțimea inițială). Pasul 4: se cere primul rang cu $h_{n} > 50$ :

$12 + 3 n > 50 ⟺ 3 n > 38 ⟺ n > 12, 67,$

deci $n = 13$ . Verificare: $h_{13} = 12 + 39 = 51 > 50$ , iar $h_{12} = 48 < 50$ ✓. Răspuns: după $13$ săptămâni.

5. Capcana rangului

Aceasta este greșeala care costă cel mai des un punct întreg, deși calculele sunt corecte. Compară două formulări aproape identice:

„Prima zi citește $18$ pagini, apoi cu $4$ mai mult în fiecare zi." Aici $a_{1} = 18$ este ziua întâi, iar în ziua $n$ citește $a_{n} = 18 + 4 (n - 1)$ .
„Un bazin conține $600$ de litri și se adaugă $45$ de litri pe oră." Aici $600$ este cantitatea înainte de orice oră. Dacă notăm cu $a_{n}$ cantitatea după $n$ ore, atunci $a_{n} = 600 + 45 n$ , iar $a_{1} = 645$ — cantitatea inițială corespunde lui $a_{0}$ .

Ambele modele sunt progresii aritmetice, ambele sunt corecte; ce le deosebește este ce anume numără rangul. Confuzia apare când elevul scrie $a_{n} = 600 + 45 n$ și apoi susține că $a_{1}$ este cantitatea inițială — ceea ce e fals cu exact o oră.

Cum eviți capcana, sigur: după ce scrii formula, testeaz-o pe primul caz din enunț. Dacă enunțul spune „în prima zi $18$ pagini", formula ta pentru $n = 1$ trebuie să dea $18$ . Dacă enunțul spune „la început sunt $600$ de litri", formula ta pentru „la început" trebuie să dea $600$ — fie punând $n = 0$ , fie renotând. Două secunde de verificare, un punct salvat.

6. Termen, rang sau sumă? Cum decizi

Odată modelul scris, întrebarea se încadrează într-una din trei categorii, iar cuvintele din enunț ți le indică destul de clar.

Ce cere enunțul	Ce se cere matematic	Formula
„câte … în ziua a $12$ -a", „cât costă în anul $5$ "	un termen	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$
„după câte zile depășește", „al câtelea rând are"	un rang	ecuație sau inecuație în $n$
„în total", „câte … are toată sala", „cât a strâns până acum"	o sumă	$S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$

Semnalele pentru sumă sunt cele mai ușor de ratat, pentru că sunt scurte: „în total", „cu totul", „toată", „cumulat", „până la sfârșitul". Când le vezi, oprește-te și întreabă-te dacă nu cumva ți se cere să aduni toți termenii, nu doar să-l afli pe ultimul.

Exemplu de contrast. Un elev face $15$ minute de sport în prima zi și cu $5$ minute mai mult în fiecare zi următoare, timp de $14$ zile.

„Cât face în ultima zi?" → un termen: $a_{14} = 15 + 13 \cdot 5 = 80$ de minute.
„În ce zi face o oră?" → un rang: $15 + 5 (n - 1) = 60 \Rightarrow 5 (n - 1) = 45 \Rightarrow n = 10$ .
„Cât face în total?" → o sumă: $S_{14} = \frac{( 15 + 80 ) \cdot 14}{2} = 95 \cdot 7 = 665$ de minute, adică $11$ ore și $5$ minute.

Trei întrebări, trei formule, aceeași progresie. Citește cerința de două ori înainte de a alege.

7. Verificarea răspunsului și limitele modelului

Un răspuns de matematică aplicată nu e complet până nu treci prin două filtre.

Filtrul aritmetic. Rangul trebuie să fie număr natural nenul. Dacă a ieșit fracționar la o problemă de tip „după câte zile", răspunsul e cel mai mic natural care satisface condiția — și verifici vecinul, ca să fii sigur că e chiar primul.

Filtrul realității. Modelul matematic continuă la infinit, realitatea nu. O progresie descrescătoare trece vesel în numere negative, dar un depozit nu poate avea $- 40$ de cutii, iar o plantă nu scade sub zero. Când rația e negativă, precizează întotdeauna până la ce rang are sens modelul.

Exemplu. Un rezervor de $800$ de litri pierde $25$ de litri pe zi. Modelul $a_{n} = 800 - 25 n$ dă $a_{40} = - 200$ , ceea ce e absurd fizic. Rezervorul se golește când $800 - 25 n = 0$ , adică după $32$ de zile; de acolo încolo modelul nu mai descrie nimic real.

Această grijă nu este pedanterie: la Bacalaureat și la teze, precizarea „modelul are sens până la rangul $n = 32$ " arată exact ce se așteaptă de la un elev care înțelege, nu doar calculează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștere simplă

Un elev pune deoparte $30$ de lei în prima săptămână și, în fiecare săptămână următoare, cu $10$ lei mai mult decât în precedenta. Arătați că sumele săptămânale formează o progresie aritmetică și precizați $a_{1}$ și rația.

Rezolvare. Notăm cu $a_{n}$ suma pusă deoparte în săptămâna $n$ . Din enunț, fiecare sumă este cu $10$ lei mai mare decât cea dinaintea ei, adică $a_{n + 1} - a_{n} = 10$ pentru orice $n$ — diferență constantă, deci progresie aritmetică, cu $a_{1} = 30$ și $r = 10$ .

Semnalul din enunț a fost „cu $10$ lei mai mult în fiecare săptămână": o cantitate fixă adăugată la fiecare pas.

Exemplul 2 — O situație care nu este progresie aritmetică

Un laptop costă $4000$ de lei și se ieftinește cu $20%$ în fiecare an. Este șirul prețurilor o progresie aritmetică?

Rezolvare. Calculăm primele valori: după un an, $4000 - 20% \cdot 4000 = 3200$ de lei; după doi ani, $3200 - 20% \cdot 3200 = 2560$ de lei; după trei, $2560 - 512 = 2048$ de lei.

Diferențele sunt $- 800$ , $- 640$ , $- 512$ — nu sunt egale, deci nu este progresie aritmetică. Motivul: procentul se aplică de fiecare dată la prețul curent, care scade, deci și reducerea în lei scade. Prețurile se obțin înmulțind mereu cu $0, 8$ , ceea ce este o progresie geometrică.

Exemplul 3 — Capcana rangului

Un bazin conține $600$ de litri de apă și se adaugă $45$ de litri pe oră. Un elev scrie $a_{n} = 600 + 45 n$ și afirmă că $a_{1}$ este cantitatea inițială. Este corect?

Rezolvare. Formula este corectă dacă $a_{n}$ înseamnă „cantitatea după $n$ ore" — dar atunci $a_{1} = 645$ este cantitatea după prima oră, nu cea inițială. Cantitatea inițială corespunde lui $n = 0$ : $a_{0} = 600$ .

Există și varianta cu numerotare de la $1$ : dacă vrem ca $a_{1}$ să fie chiar cantitatea inițială, scriem $a_{n} = 600 + 45 (n - 1)$ , și atunci $a_{1} = 600$ , $a_{2} = 645$ și așa mai departe.

Ambele modele sunt corecte, dar afirmația elevului nu este: el a amestecat cele două convenții. Testul care demască eroarea: pune $n = 1$ în formula scrisă și compară cu ce spune enunțul.

Exemplul 4 — Recunoaștere din formula termenului general

Care dintre următoarele șiruri descrie o creștere sau o descreștere constantă: $a_{n} = 5 n - 3$ , $b_{n} = n^{2} + 2$ , $c_{n} = \frac{9 - 2 n}{3}$ ?

Rezolvare. Calculăm diferența a doi termeni consecutivi pentru fiecare.

$a_{n + 1} - a_{n} = [5 (n + 1) - 3] - (5 n - 3) = 5$ — constantă, deci creștere constantă cu $5$ unități la fiecare pas.

$b_{n + 1} - b_{n} = [(n + 1)^{2} + 2] - (n^{2} + 2) = 2 n + 1$ — depinde de $n$ (diferențele sunt $3$ , $5$ , $7$ , …), deci creșterea se accelerează: nu este progresie aritmetică.

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{9 - 2 ( n + 1 )}{3} - \frac{9 - 2 n}{3} = - \frac{2}{3}$ — constantă, deci descreștere constantă.

Reține criteriul: o formulă de gradul întâi în $n$ descrie mereu o variație constantă; pătratele și puterile, nu.

Exemplul 5 — De la enunț la sumă

Într-un depozit, buștenii sunt așezați în rânduri: rândul de jos are $30$ de bușteni, iar fiecare rând de deasupra are cu $2$ mai puțini, până la rândul de sus, care are $6$ . Câte rânduri sunt și câți bușteni are stiva?

Rezolvare. Notăm cu $a_{n}$ numărul de bușteni de pe rândul $n$ , numărând de jos în sus. Avem $a_{1} = 30$ și $r = - 2$ — o progresie aritmetică descrescătoare.

Câte rânduri? Ultimul rând are $6$ bușteni:

$30 - 2 (n - 1) = 6 ⟺ 2 (n - 1) = 24 ⟺ n = 13.$

Stiva are $13$ rânduri.

Câți bușteni? Se cere un total, deci folosim formula sumei:

$S_{13} = \frac{( 30 + 6 ) \cdot 13}{2} = 36 \cdot \frac{13}{2} = 18 \cdot 13 = 234.$

Stiva are $234$ de bușteni. Verificare de plauzibilitate: $13$ rânduri cu o medie de $18$ bușteni dau, într-adevăr, în jur de $234$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Într-o sală de spectacole, primul rând are $16$ locuri, iar fiecare rând următor are cu $4$ locuri mai mult decât cel dinaintea lui.

a) Câte locuri are al nouălea rând? b) Câte rânduri are sala, știind că ultimul rând are $76$ de locuri? c) Câte locuri are sala în total?

Rezolvare. Notăm cu $a_{n}$ numărul de locuri de pe rândul $n$ . Din enunț, $a_{1} = 16$ și diferența dintre două rânduri consecutive este constantă, egală cu $4$ : avem o progresie aritmetică cu $r = 4$ .

a) $a_{9} = 16 + 8 \cdot 4 = 16 + 32 = 48$ de locuri.

b) Ultimul rând are $76$ de locuri, deci rezolvăm

$16 + 4 (n - 1) = 76 ⟺ 4 (n - 1) = 60 ⟺ n - 1 = 15 ⟺ n = 16.$

Sala are $16$ rânduri.

c) „În total" cere suma primilor $16$ termeni:

$S_{16} = \frac{( 16 + 76 ) \cdot 16}{2} = 92 \cdot 8 = 736 de locuri .$

Observă traseul complet: recunoașterea modelului (rația $4$ ), apoi un termen, apoi un rang, apoi o sumă — cele trei tipuri de întrebări, într-o singură problemă. Este formatul obișnuit al subiectelor aplicate de la examen.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, scrie mai întâi propoziția „notăm cu $a_{n}$ …" — cu semnificația exactă a rangului — și abia apoi calculează. Verifică la final dacă răspunsul are sens în context.

1. Un elev pune deoparte $30$ de lei în prima săptămână și cu $10$ lei mai mult în fiecare săptămână următoare. Este șirul sumelor săptămânale o progresie aritmetică? Precizează $a_{1}$ și rația.

2. Un telefon costă $3000$ de lei și se ieftinește cu $20%$ în fiecare an. Formează prețurile o progresie aritmetică? Justifică prin calcul.

3. (Problemă aplicată.) Un taxi percepe $6$ lei la pornire și $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notează cu $a_{n}$ costul unei curse de $n$ kilometri. Este șirul costurilor o progresie aritmetică? Cât costă o cursă de $14$ km?

4. (Problemă aplicată.) Un magazin reduce prețul unui produs cu $15$ lei în fiecare săptămână, pornind de la $320$ de lei. Notează cu $a_{n}$ prețul în săptămâna $n$ (cu $a_{1} = 320$ ), precizează rația și calculează prețul din săptămâna a opta.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice creștere «cu $5%$ pe an» se modelează printr-o progresie aritmetică."

6. O plantă are $12$ cm și crește cu $3$ cm pe săptămână. După câte săptămâni depășește $50$ cm?

7. Un rezervor de $800$ de litri pierde $25$ de litri pe zi. După câte zile se golește complet? Până la ce rang are sens modelul?

8. Un bazin conține $600$ de litri și se adaugă $45$ de litri pe oră. Un elev scrie $a_{n} = 600 + 45 n$ și afirmă că $a_{1}$ reprezintă cantitatea inițială. Explică unde greșește și scrie o formulă în care $a_{1}$ să fie într-adevăr cantitatea inițială.

9. (Problemă aplicată.) Buștenii dintr-o stivă sunt așezați în rânduri: rândul de jos are $30$ de bușteni, fiecare rând de deasupra are cu $2$ mai puțini, iar rândul de sus are $6$ . Câte rânduri are stiva și câți bușteni are în total?

10. (Problemă aplicată.) Un elev face $15$ minute de sport în prima zi și cu $5$ minute mai mult în fiecare zi următoare, timp de $14$ zile. a) Câte minute face în ultima zi? b) În ce zi face exact o oră? c) Câte minute face în total?

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă în enunț scrie «în fiecare an cu aceeași sumă mai mult», modelul potrivit este o progresie aritmetică."

12. Care dintre situațiile următoare se modelează printr-o progresie aritmetică? a) Un arbore crește cu $30$ cm în fiecare an. b) O cultură de bacterii se dublează la fiecare oră. c) Suma totală plătită pentru un abonament de $45$ de lei pe lună, după $n$ luni.

13. Un depozit are $340$ de cutii și expediază $24$ pe zi. Câte cutii rămân după $9$ zile? După câte zile rămân mai puțin de $100$ de cutii?

14. Un elev citește $18$ pagini în prima zi și cu $4$ pagini mai mult în fiecare zi următoare. În câte zile termină o carte de $546$ de pagini?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Într-o sală de spectacole, primul rând are $16$ locuri, iar fiecare rând următor are cu $4$ locuri mai mult decât precedentul. a) Câte locuri are al nouălea rând? b) Câte rânduri are sala, dacă ultimul rând are $76$ de locuri? c) Câte locuri are sala în total?

16. Care dintre șirurile $a_{n} = 5 n - 3$ , $b_{n} = n^{2} + 2$ , $c_{n} = \frac{9 - 2 n}{3}$ descriu o variație constantă? Pentru fiecare, precizează rația sau justifică de ce nu există.

17. (Problemă aplicată.) O firmă produce $240$ de unități în prima lună și, în fiecare lună următoare, cu $30$ de unități mai mult. a) În ce lună atinge o producție lunară de $600$ de unități? b) Câte unități produce în total în primele $12$ luni?

18. (Provocare.) Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Suma lor este $45$ , iar produsul lor este $3000$ . Determină numerele.

Răspunsuri și explicații

1. Da. Fiecare sumă este cu $10$ lei mai mare decât precedenta, deci diferența a doi termeni consecutivi este constantă: progresie aritmetică cu $a_{1} = 30$ și $r = 10$ . Semnalul din enunț: „cu $10$ lei mai mult în fiecare săptămână" — o cantitate fixă.

2. Nu. Prețurile sunt $3000$ , $2400$ , $1920$ , iar diferențele $- 600$ și $- 480$ nu sunt egale. Procentul se aplică prețului curent, care scade, deci și reducerea în lei scade. Este o progresie geometrică (se înmulțește mereu cu $0, 8$ ).

3. Da. Notăm cu $a_{n}$ costul unei curse de $n$ km: $a_{n} = 6 + 3 n$ . Diferența $a_{n + 1} - a_{n} = 3$ este constantă, deci progresie aritmetică cu $r = 3$ (aici $a_{0} = 6$ este taxa de pornire). O cursă de $14$ km costă $6 + 3 \cdot 14 = 48$ de lei.

4. Rația este $r = - 15$ (preț în scădere). Din $a_{n} = 320 - 15 (n - 1)$ obținem $a_{8} = 320 - 15 \cdot 7 = 320 - 105 = 215$ lei. Model valabil doar cât timp prețul rămâne pozitiv și comercial rezonabil.

5. Fals. Un procent se aplică valorii curente, deci suma adăugată crește de la an la an: modelul este o progresie geometrică. Progresia aritmetică apare când se adaugă aceeași cantitate (de exemplu aceeași sumă în lei), nu același procent.

6. Notăm cu $h_{n}$ înălțimea după $n$ săptămâni: $h_{n} = 12 + 3 n$ . Din $12 + 3 n > 50$ rezultă $3 n > 38$ , deci $n > 12, 67$ și $n = 13$ . Verificare: $h_{13} = 51 > 50$ , iar $h_{12} = 48 < 50$ ✓. Răspuns: după $13$ săptămâni.

7. Notăm cu $a_{n}$ cantitatea rămasă după $n$ zile: $a_{n} = 800 - 25 n$ . Rezervorul se golește când $800 - 25 n = 0$ , adică $n = 32$ de zile. Modelul are sens pentru $n \leq 32$ ; pentru ranguri mai mari, formula ar da valori negative, imposibile fizic.

8. Formula $a_{n} = 600 + 45 n$ este corectă dacă $a_{n}$ înseamnă „cantitatea după $n$ ore" — dar atunci $a_{1} = 645$ este cantitatea după prima oră, nu cea inițială; cantitatea inițială este $a_{0} = 600$ . Dacă vrem ca $a_{1}$ să fie cantitatea inițială, scriem $a_{n} = 600 + 45 (n - 1)$ . Testul care depistează eroarea: pune $n = 1$ în formulă și compară cu enunțul.

9. $a_{1} = 30$ , $r = - 2$ . Numărul de rânduri: $30 - 2 (n - 1) = 6 \Rightarrow 2 (n - 1) = 24 \Rightarrow n = 13$ rânduri. Totalul (se cere o sumă): $S_{13} = \frac{( 30 + 6 ) \cdot 13}{2} = 18 \cdot 13 = 234$ de bușteni.

10. $a_{1} = 15$ , $r = 5$ . a) $a_{14} = 15 + 13 \cdot 5 = 80$ de minute. b) $15 + 5 (n - 1) = 60 \Rightarrow 5 (n - 1) = 45 \Rightarrow n = 10$ : în ziua a zecea. c) $S_{14} = \frac{( 15 + 80 ) \cdot 14}{2} = 95 \cdot 7 = 665$ de minute (adică $11$ ore și $5$ minute).

11. Adevărat. „Aceeași sumă" înseamnă o cantitate constantă adăugată la fiecare pas, adică exact definiția progresiei aritmetice: $a_{n + 1} - a_{n} = r$ . Atenție însă la diferența față de „același procent", care dă o progresie geometrică.

12. a) Da — creștere cu o cantitate fixă, progresie aritmetică cu $r = 30$ (cm). b) Nu — dublarea este o înmulțire, deci progresie geometrică. c) Da — suma plătită după $n$ luni este $45 n$ , iar diferența dintre două luni consecutive este mereu $45$ : progresie aritmetică cu $r = 45$ .

13. Notăm cu $a_{n}$ numărul de cutii rămase după $n$ zile: $a_{n} = 340 - 24 n$ . După $9$ zile: $a_{9} = 340 - 216 = 124$ de cutii. Pentru condiția din final: $340 - 24 n < 100 ⟺ 24 n > 240 ⟺ n > 10$ , deci $n = 11$ ; într-adevăr, $a_{11} = 340 - 264 = 76 < 100$ , iar $a_{10} = 100$ nu îndeplinește cerința „mai puțin de $100$ ".

14. Se cere un total de pagini citite, deci o sumă. Cu $a_{1} = 18$ și $r = 4$ :

$S_{n} = \frac{[ 36 + 4 ( n - 1 ) ] n}{2} = \frac{( 4 n + 32 ) n}{2} = 2 n (n + 8) .$

Din $2 n (n + 8) = 546$ obținem $n (n + 8) = 273$ ; cum $13 \cdot 21 = 273$ , rezultă $n = 13$ . Verificare: $a_{13} = 18 + 48 = 66$ , iar $\frac{( 18 + 66 ) \cdot 13}{2} = 42 \cdot 13 = 546$ ✓. Termină cartea în $13$ zile.

15. $a_{1} = 16$ , $r = 4$ . a) $a_{9} = 16 + 8 \cdot 4 = 48$ de locuri. b) $16 + 4 (n - 1) = 76 \Rightarrow 4 (n - 1) = 60 \Rightarrow n = 16$ rânduri. c) $S_{16} = \frac{( 16 + 76 ) \cdot 16}{2} = 92 \cdot 8 = 736$ de locuri.

16. $a_{n} = 5 n - 3$ : diferența este $5$ , constantă — variație constantă (creștere), rația $5$ . $b_{n} = n^{2} + 2$ : diferența este $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ , care depinde de $n$ (valorile $3$ , $5$ , $7$ , …) — nu există rație, nu este progresie aritmetică. $c_{n} = \frac{9 - 2 n}{3}$ : diferența este $- \frac{2}{3}$ , constantă — descreștere constantă, rația $- \frac{2}{3}$ .

17. Notăm cu $a_{n}$ producția din luna $n$ : $a_{1} = 240$ , $r = 30$ . a) $240 + 30 (n - 1) = 600 ⟺ 30 (n - 1) = 360 ⟺ n = 13$ : în luna a treisprezecea (deci nu în primul an). b) Se cere un total: $a_{12} = 240 + 11 \cdot 30 = 570$ , deci $S_{12} = \frac{( 240 + 570 ) \cdot 12}{2} = 810 \cdot 6 = 4860$ de unități.

18. Notăm cele trei numere sub forma simetrică $a - r$ , $a$ , $a + r$ (termeni consecutivi ai unei progresii de rație $r$ ). Suma lor este $3 a = 45$ , deci $a = 15$ . Produsul:

$(15 - r) \cdot 15 \cdot (15 + r) = 3000 ⟺ 15 (225 - r^{2}) = 3000 ⟺ 225 - r^{2} = 200 ⟺ r^{2} = 25,$

deci $r = 5$ sau $r = - 5$ . În ambele cazuri numerele sunt $10$ , $15$ , $20$ (în ordine crescătoare sau descrescătoare). Verificare: $10 + 15 + 20 = 45$ ✓ și $10 \cdot 15 \cdot 20 = 3000$ ✓. Notarea simetrică este trucul care face problema ușoară: ea elimină o necunoscută din prima ecuație.

De reținut

Semnalele care anunță o progresie aritmetică sunt formulările cu aceeași cantitate: „cu $x$ mai mult/mai puțin în fiecare…", „crește constant cu…", „câte $x$ pe zi", „în rate egale".
Semnalele care o exclud: „cu $x %$ mai mult", „se dublează", „de $k$ ori mai mare" — toate înseamnă înmulțire, deci progresie geometrică. Procentul dă totuși progresie aritmetică doar când se aplică mereu la aceeași valoare de referință.
Rețeta în patru pași: ce mărime variază → ce numără rangul (scris explicit!) → $a_{1}$ și $r$ cu semn → ce se cere (termen, rang sau sumă).
Capcana rangului: verifică formula pe primul caz din enunț. Dacă enunțul spune „în prima zi $18$ ", formula ta pentru $n = 1$ trebuie să dea $18$ .
Cuvintele „în total", „cu totul", „toată" cer o sumă, nu un termen; „în ziua a $n$ -a" sau „al $n$ -lea rând" cer un termen; „după câte zile" cere un rang.

Greșeli frecvente

Rangul nedefinit. Se calculează fără a scrie ce înseamnă $a_{n}$ , iar la final răspunsul e decalat cu o unitate. Scrie propoziția „notăm cu $a_{n}$ …" înainte de orice calcul.
Procentul confundat cu cantitatea. „Cu $10%$ mai mult" nu e progresie aritmetică; „cu $10$ lei mai mult" este. Verifică mereu dacă ce se adaugă este o sumă fixă sau un procent din valoarea curentă.
Termen în loc de sumă. La întrebarea „câte locuri are sala" se răspunde cu numărul de locuri de pe ultimul rând. Cuvântul „total" (sau „toată") cere formula sumei.
Rația fără semn. La scădere, rația este negativă. Dacă scrii $r = 24$ pentru un depozit care se golește, toate rezultatele vor fi greșite; corect este $r = - 24$ .
Model dus dincolo de realitate. O progresie descrescătoare continuă în numere negative; un stoc, nu. Precizează până la ce rang are sens modelul, mai ales la probleme cu golire sau epuizare.

Aplică acasă

Vânătoarea de progresii. Timp de o zi, notează trei situații din jurul tău în care ceva variază cu o cantitate constantă: trepte, marcaje pe șosea, prețuri afișate, rânduri de scaune, plăți lunare. Pentru fiecare, scrie $a_{1}$ , rația și formula termenului general, apoi calculează un termen pe care nu-l poți număra direct și verifică-l dacă se poate.
Traduce un enunț real. Ia o ofertă comercială reală (un abonament, o rată, un tarif afișat) și scrie enunțul unei probleme pe baza ei: o întrebare de tip termen, una de tip rang și una de tip sumă. Rezolvă-le și verifică dacă răspunsurile sunt plauzibile. Dacă tariful conține un procent, argumentează de ce modelul aritmetic nu se potrivește.
Testul semnalelor. Scrie pe o fișă zece formulări scurte, jumătate cu cantitate fixă („cu $20$ de lei mai mult"), jumătate cu procent sau înmulțire („cu $20%$ mai mult", „se dublează"). Amestecă-le și dă-le unui coleg sau unui părinte să le sorteze în „progresie aritmetică" și „nu". Discutați cazurile la care nu sunteți de acord — de obicei sunt cele mai instructive.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția de sinteză a capitolului: nu introduce formule noi, ci antrenează exact competența pe care programa o cere explicit — transpunerea în limbaj matematic a unor situații practice descrise printr-o progresie. Practic, este lecția care face diferența între un elev care „știe formulele" și unul care rezolvă probleme.

Cele trei dificultăți previzibile sunt, în ordinea frecvenței: (1) confuzia dintre creșterea cu o cantitate fixă și creșterea procentuală; (2) definirea neglijentă a rangului, care produce răspunsuri decalate cu o unitate; (3) alegerea greșită între termen și sumă, la enunțuri care conțin cuvântul „total". Toate trei se corectează prin obișnuința de a scrie, înainte de calcule, propoziția „notăm cu $a_{n}$ …" și de a verifica formula pe primul caz din enunț.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă exact $a_{5}$ în problema ta?"; „Ce se adaugă la fiecare pas — o sumă sau un procent?"; „Ți se cere ultimul termen sau totalul?"; „Până la ce zi mai are sens formula ta?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea prin definirea rangului, fără să i se ceară; recunoaște imediat că „se dublează" scoate problema din capitolul progresiilor aritmetice; verifică plauzibilitatea rezultatului la final. La Bacalaureat, problemele aplicate cu progresii au exact structura Exemplului 6 — o recunoaștere urmată de un termen, un rang și o sumă — iar punctajul se pierde aproape întotdeauna la traducere, nu la calcul. Continuarea firească este Progresii aritmetice în probleme de dobândă simplă și costuri, unde aceleași reflexe se aplică pe situații financiare.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dintr-un enunț că am de-a face cu o progresie aritmetică? Caută formulările care indică o cantitate fixă adăugată sau scăzută la fiecare pas: „cu $4$ pagini mai mult în fiecare zi", „câte $25$ de litri pe zi", „cu $3$ locuri mai mult pe fiecare rând", „în rate egale". Cuvântul-cheie este aceeași, legat de o cantitate, nu de un procent.

Când o problemă nu este progresie aritmetică? Când creșterea sau scăderea se face prin înmulțire: „cu $20%$ mai mult", „se dublează", „de trei ori mai mare", „scade cu un sfert din valoarea actuală". În aceste cazuri cantitatea adăugată se schimbă de la un pas la altul, iar modelul potrivit este progresia geometrică.

De ce dobânda simplă dă o progresie aritmetică, deși e vorba de procente? Pentru că la dobânda simplă procentul se aplică mereu sumei inițiale, care nu se schimbă — deci suma adăugată este identică în fiecare an. Contează la ce se aplică procentul: la o bază fixă înseamnă creștere constantă, la valoarea curentă înseamnă creștere geometrică.

Cum stabilesc corect ce înseamnă rangul $n$ ? Scrie o propoziție completă înainte de calcule: „ $a_{n}$ = numărul de cutii rămase după $n$ zile" sau „ $a_{n}$ = numărul de locuri de pe rândul $n$ ". Apoi verifică formula pentru $n = 1$ : rezultatul trebuie să corespundă primului caz descris în enunț.

Cum știu dacă mi se cere un termen sau o sumă? Dacă în enunț apar cuvintele „în total", „cu totul", „toată sala", „cumulat", ți se cere o sumă și folosești $S_{n}$ . Dacă apar „în ziua a $n$ -a", „al $n$ -lea rând", „în anul $5$ ", ți se cere un termen și folosești formula termenului general.

Ce fac dacă rangul îmi iese fracționar? Depinde de întrebare. Dacă se cerea rangul unui termen exact, răspunsul este că valoarea nu apare în progresie. Dacă se cerea „după câte zile depășește", iei cel mai mic număr natural mai mare decât rezultatul și verifici și vecinul din stânga, ca să te asiguri că este chiar primul.

Până unde are sens un model cu progresie aritmetică? Până unde valorile rămân realiste. O progresie descrescătoare trece în numere negative, dar un stoc, o cantitate de apă sau un preț nu pot fi negative. La astfel de probleme, calculează rangul la care mărimea ajunge la zero și precizează explicit că modelul este valabil doar până acolo.

De ce se pierd puncte la problemele cu text, chiar dacă știu formulele? Pentru că punctele se pierd la traducere, nu la calcul: rangul definit neglijent, rația fără semn, „totalul" confundat cu ultimul termen. Reflexul care le previne pe toate este să scrii modelul complet — ce este $a_{n}$ , cât este $a_{1}$ , cât este $r$ — înainte de a atinge prima formulă.