Formule: Progresii

Șiruri care urcă mereu cu același pas sau prin același factor: termeni, sume și dobânda compusă. 7 formule, clasa 9.

Termenul general al progresiei aritmetice — clasa 9
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice — clasa 9
Termenul general al progresiei geometrice — clasa 9
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice — clasa 9
Caracterizarea progresiei aritmetice — clasa 9
Caracterizarea progresiei geometrice — clasa 9
Dobânda compusă — clasa 9

Termenul general al progresiei aritmetice — clasa 9

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

$a_{1}$ este primul termen, $r$ este rația (cantitatea care se adaugă la fiecare pas), iar $a_{n}$ este termenul de rang $n$ . Pleci din $a_{1}$ și faci $(n - 1)$ pași de mărime $r$ — numărul de pași este cu unu mai mic decât rangul. Formula leagă patru mărimi, deci din trei o afli pe a patra: $r = \frac{a _{n} - a _{1}}{n - 1}$ , $a_{1} = a_{n} - (n - 1) r$ . Capcană: verifică mereu că pentru $n = 1$ formula dă exact $a_{1}$ .

Exemplu: Pentru $a_{1} = 5$ și $r = 3$ : $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32$ . • Dacă $a_{1} = 7$ și $a_{20} = 64$ , atunci $r = \frac{64 - 7}{19} = \frac{57}{19} = 3$ . • Între doi termeni oarecare: $a_{n} = a_{m} + (n - m) r$ , deci $r = \frac{a _{n} - a _{m}}{n - m}$ .

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice — clasa 9

S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2} = \frac{[ 2 a _{1} + ( n - 1 ) r ] \cdot n}{2}

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ este suma primilor $n$ termeni. Prima formă este media dintre primul și ultimul termen, înmulțită cu numărul de termeni; a doua e utilă când nu cunoști ultimul termen, ci doar $a_{1}$ și rația $r$ . Cele două sunt echivalente — alegi după datele problemei. Capcană: de la rangul $p$ la rangul $q$ sunt $q - p + 1$ termeni, nu $q - p$ .

Exemplu: $1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \frac{( 1 + 100 ) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050$ . • Pentru $a_{1} = 4$ , $r = 3$ și $n = 10$ : $S_{10} = \frac{[ 2 \cdot 4 + 9 \cdot 3 ] \cdot 10}{2} = \frac{35 \cdot 10}{2} = 175$ .

Termenul general al progresiei geometrice — clasa 9

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

$b_{1}$ este primul termen ( $b_{1} \neq = 0$ ), $q$ este rația ( $q \neq = 0$ ) — numărul cu care înmulțești la fiecare pas — iar $b_{n}$ este termenul de rang $n$ . Exponentul este cu unu mai mic decât rangul, fiindcă de la $b_{1}$ la $b_{n}$ faci $n - 1$ înmulțiri. Între doi termeni oarecare: $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ . Capcană: rația unei progresii geometrice se află ca raport, $q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ , nu ca diferență.

Exemplu: Pentru $b_{1} = 3$ și $q = 2$ : $b_{6} = 3 \cdot 2^{5} = 3 \cdot 32 = 96$ . • Dacă $b_{2} = 6$ și $b_{5} = 48$ , atunci $q^{3} = \frac{48}{6} = 8$ , deci $q = 2$ .

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice — clasa 9

S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} (q \neq = 1), S_{n} = n \cdot b_{1} (q = 1)

$b_{1}$ este primul termen, $q$ rația, iar $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ . Când $q < 1$ este mai comodă forma echivalentă $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ . Capcană dublă: cazul $q = 1$ se tratează separat, pentru că numitorul ar fi zero; și atenție la exponent — în sumă apare $q^{n}$ , iar în termenul general $q^{n - 1}$ .

Exemplu: $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{9} = 1 \cdot \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} = 1024 - 1 = 1023$ . • Pentru $b_{1} = 5$ , $q = 3$ și $n = 4$ : $S_{4} = 5 \cdot \frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{80}{2} = 200$ .

Caracterizarea progresiei aritmetice — clasa 9

(a_{n}) progresie aritmetic \overset{a}{˘} ⟺ a_{n + 1} = \frac{a _{n} + a _{n + 2}}{2}

Citită în cuvinte: un șir este progresie aritmetică exact atunci când fiecare termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi; echivalent, $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ . Pentru trei numere $x$ , $y$ , $z$ condiția devine $2 y = x + z$ . Capcană: fiind o echivalență, relația trebuie verificată pentru orice $n$ , nu doar pentru un singur triplet. Truc: trei numere în progresie aritmetică se scriu $a - r$ , $a$ , $a + r$ — atunci suma lor devine $3 a$ .

Exemplu: Numerele $4$ , $9$ , $14$ : $2 \cdot 9 = 18 = 4 + 14$ ✓, deci sunt în progresie aritmetică. • Află $x$ dacă $3$ , $x$ , $11$ sunt în progresie aritmetică: $2 x = 3 + 11 = 14$ , deci $x = 7$ .

Caracterizarea progresiei geometrice — clasa 9

(b_{n}) progresie geometric \overset{a}{˘} ⟺ b_{n + 1}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}

Valabilă pentru șiruri cu toți termenii nenuli: fiecare termen este media geometrică a vecinilor săi. Forma corectă a criteriului este cea pătratică; scrierea $b = a c$ merge doar pentru termeni pozitivi, fiindcă radicalul dă exclusiv valoarea nenegativă. Truc: trei numere în progresie geometrică se scriu $\frac{b}{q}$ , $b$ , $b q$ — atunci produsul lor devine $b^{3}$ .

Exemplu: Numerele $2$ , $6$ , $18$ : $6^{2} = 36 = 2 \cdot 18$ ✓, deci sunt în progresie geometrică. • Află $x$ dacă $4$ , $x$ , $25$ sunt în progresie geometrică: $x^{2} = 100$ , deci $x = 10$ sau $x = - 10$ (progresia $4$ , $- 10$ , $25$ are rația $- 2, 5$ ).

Dobânda compusă — clasa 9

C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

$C_{0}$ este suma depusă la început, $p$ este procentul pe perioadă, $n$ numărul de perioade, iar $C_{n}$ suma acumulată. La dobânda compusă, dobânda se calculează la capitalul curent, deci capitalurile formează o progresie geometrică de rație $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Dacă mărimea scade cu $p %$ , rația devine $q = 1 - \frac{p}{100}$ . Capcană: la dobânda simplă, unde procentul se aplică mereu capitalului inițial, formula este $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{n p}{100})$ , iar capitalurile formează o progresie aritmetică.

Exemplu: $1000$ de lei cu $5%$ pe an, timp de $3$ ani: $C_{3} = 1000 \cdot 1, 0 5^{3} = 1157, 625$ lei, față de $1150$ de lei la dobândă simplă. • O populație care scade cu $10%$ pe an ajunge după $2$ ani la $0, 9^{2} = 0, 81$ din valoarea inițială, adică pierde $19%$ , nu $20%$ .