Funcțiile arcsinus și arccosinus

Un tobogan de la ștrand are lungimea de $5$ metri și coboară o diferență de nivel de $2,5$ metri. Ce unghi face cu orizontala? Sinusul unghiului îl citești imediat: raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, adică $\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$. Dar întrebarea nu era „cât e sinusul", ci „cât e unghiul". Ai nevoie de drumul invers: din valoarea sinusului înapoi la măsura unghiului.

Până acum ai mers mereu într-un singur sens — dai un număr real, primești sinusul lui. Acum vrei traseul de întoarcere, iar aici apare o problemă serioasă: funcția sinus nu este injectivă. La valoarea $\frac{1}{2}$ nu răspunde un unghi, ci o infinitate: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{\pi }{6}+2\pi$ și așa mai departe. O funcție inversă nu poate alege „la nimereală" între ele. Soluția, elegantă și obligatorie, este să restrângem domeniul până când sinusul devine bijectiv — și abia atunci să-l întoarcem. Din această operație se nasc funcțiile $\arcsin$ și $\arccos$, uneltele fără de care nu se poate rezolva nicio ecuație trigonometrică.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce funcțiile trigonometrice nu sunt inversabile pe tot domeniul lor și ce înseamnă restricția principală.
• Vei ști să demonstrezi că $\sin :\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\to [-1,1]$ și $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$ sunt bijective.
• Vei ști să definești riguros $\arcsin$ și $\arccos$, să le trasezi graficele și să le citești proprietățile (monotonie, paritate, mărginire).
• Vei ști pe de rost valorile remarcabile ale celor două funcții și le vei calcula rapid pe cele cu argument negativ.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești identitatea $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$.
• Vei ști să deosebești $\sin (\arcsin a)=a$ de $\arcsin (\sin x)$, unde se ascunde cea mai frecventă capcană de examen.

Hai să descoperim împreună

1. De ce sinusul nu are inversă pe $\mathbb{R}$

Din lecția despre funcții injective, surjective, bijective știi că o funcție este injectivă atunci când valori diferite ale argumentului dau valori diferite ale funcției. Iar din lecția despre funcția inversă și condiția de inversabilitate știi teorema-cheie: o funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Aplică acest criteriu funcției $\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Ea nu trece niciun test:

• nu este injectivă, pentru că este periodică de perioadă $2\pi$: $\sin 0=\sin (2\pi )=0$, iar argumentele $0$ și $2\pi$ sunt diferite. De fapt neinjectivitatea e mult mai gravă, fiindcă și $\sin \frac{\pi }{6}=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, unde argumentele nu diferă nici măcar printr-o perioadă;
• nu este surjectivă pe $\mathbb{R}$, pentru că imaginea ei este doar intervalul $[-1,1]$: nu există niciun $x$ real cu $\sin x=2$.

Surjectivitatea o reparăm ușor: schimbăm codomeniul în $[-1,1]$, exact imaginea funcției. Injectivitatea, în schimb, cere o intervenție mai dură asupra domeniului — trebuie să tăiem din $\mathbb{R}$ o bucată pe care sinusul „urcă o singură dată" de la $-1$ la $1$.

2. Restricția principală a sinusului

Alegem intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Nu e o alegere arbitrară: e cel mai scurt interval simetric față de origine pe care sinusul parcurge o singură dată tot intervalul $[-1,1]$, iar simetria față de $0$ îi va da funcției inverse o proprietate frumoasă (imparitatea).

Propoziție. Funcția $\sin :\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\to [-1,1]$ este bijectivă.

Demonstrație. Injectivitatea. Pe cercul trigonometric, punctele asociate numerelor din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ acoperă exact semicercul din dreapta, iar ordonata lor crește continuu de la $-1$ (în punctul de jos) la $1$ (în punctul de sus), fără să se repete. Așadar funcția este strict crescătoare pe acest interval: din $x_1<x_2$ rezultă $\sin x_1<\sin x_2$. O funcție strict monotonă este automat injectivă, pentru că din $x_1\ne x_2$ rezultă $\sin x_1\ne \sin x_2$ (una dintre valori e strict mai mică decât cealaltă).

Surjectivitatea. Fie $a\in [-1,1]$ oarecare. Pe semicercul din dreapta există un punct de ordonată $a$ — dreapta orizontală $y=a$ taie semicercul exact o dată, fiindcă $|a|\le 1$. Numărul real din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ asociat acelui punct este un argument cu sinusul egal cu $a$. $■$

Restricția aceasta se numește restricția principală a sinusului, iar intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ — intervalul principal. Este exact tehnica pe care ai văzut-o la funcția de gradul al doilea: $f(x)=x^2$ nu e inversabilă pe $\mathbb{R}$, dar restrânsă la $[0,\infty )$ devine bijectivă și își capătă inversa, radicalul.

3. Definiția funcției arcsinus

Definiție. Funcția arcsinus este inversa restricției principale a sinusului:

$$\arcsin :[-1,1]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],\arcsin a=x⟺\left(\sin x=a\text{ și }x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\right).$$

Citirea în cuvinte, care merită memorată: $\arcsin a$ este acel unic număr din intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ al cărui sinus este $a$. Ambele condiții contează la fel de mult. Dacă uiți apartenența la interval, nu mai vorbești despre o funcție, ci despre o mulțime infinită de numere.

Proprietățile se citesc direct din definiție și din teorema de inversabilitate:

• domeniul este $[-1,1]$ — pentru $|a|>1$, expresia $\arcsin a$ nu are sens;
• imaginea este exact $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ — rezultatul unui arcsinus nu poate depăși niciodată $\frac{\pi }{2}$ în valoare absolută;
• este strict crescătoare, pentru că inversa unei funcții strict crescătoare este strict crescătoare;
• este impară: $\arcsin (-a)=-\arcsin a$;
• este mărginită: $-\frac{\pi }{2}\le \arcsin a\le \frac{\pi }{2}$.

Demonstrația imparității. Fie $a\in [-1,1]$ și $\alpha =\arcsin a$, deci $\sin \alpha =a$ și $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Atunci $-\alpha$ aparține aceluiași interval (care e simetric față de origine!), iar $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha =-a$. Cele două condiții din definiție sunt îndeplinite pentru numărul $-\alpha$ și valoarea $-a$, deci $\arcsin (-a)=-\alpha =-\arcsin a$. $■$

Observă unde s-a folosit simetria intervalului — aici se vede de ce alegerea lui a fost inspirată.

4. Graficul lui arcsinus

Din lecția despre funcția inversă știi că graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta $y=x$. Prin urmare, ca să obții graficul lui $\arcsin$, iei bucata de sinusoidă de deasupra intervalului $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (arcul care urcă de la $(-\frac{\pi }{2},-1)$ la $(\frac{\pi }{2},1)$) și o oglindești față de $y=x$.

Rezultatul este o curbă crescătoare care pornește din $(-1,-\frac{\pi }{2})$, trece prin origine și se termină în $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$, cu tangente verticale la capete. Curba este simetrică față de origine — semnul grafic al imparității.

5. Restricția principală a cosinusului și funcția arccosinus

Pentru cosinus, intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ nu merge: acolo cosinusul urcă și apoi coboară, deci nu e injectiv ($\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$). Intervalul potrivit este $[0,\pi ]$, pe care cosinusul coboară strict de la $1$ la $-1$.

Propoziție. Funcția $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$ este bijectivă.

Demonstrație. Punctele asociate numerelor din $[0,\pi ]$ acoperă semicercul superior, iar abscisa lor scade continuu de la $1$ la $-1$: funcția este strict descrescătoare, deci injectivă. Pentru surjectivitate, orice $a\in [-1,1]$ este abscisa exact a unui punct de pe semicercul superior, iar numărul din $[0,\pi ]$ asociat lui verifică $\cos x=a$. $■$

Definiție. Funcția arccosinus este inversa acestei restricții:

$$\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ],\arccos a=x⟺(\cos x=a\text{ și }x\in [0,\pi ]).$$

Proprietăți, prin aceeași lectură:

• domeniul $[-1,1]$, imaginea $[0,\pi ]$ — rezultatul unui arccosinus nu este niciodată negativ;
• este strict descrescătoare (inversa unei funcții strict descrescătoare);
• nu este nici pară, nici impară; în locul imparității are relația $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$.

Demonstrația relației. Fie $\beta =\arccos a$, deci $\cos \beta =a$ și $\beta \in [0,\pi ]$. Atunci $\pi -\beta \in [0,\pi ]$ (scădem din $\pi$ un număr între $0$ și $\pi$), iar din formula de reducere $\cos (\pi -\beta )=-\cos \beta =-a$. Ambele condiții fiind îndeplinite, $\arccos (-a)=\pi -\beta =\pi -\arccos a$. $■$

Graficul lui $\arccos$ se obține tot prin simetrie față de $y=x$, pornind de la arcul de cosinusoidă de deasupra lui $[0,\pi ]$: o curbă descrescătoare de la $(-1,\pi )$ la $(1,0)$, care trece prin punctul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

6. Valorile remarcabile

Aici nu ai nimic nou de învățat: doar citești invers tabelul cu valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază, având grijă ca rezultatul să cadă în intervalul potrivit.

Două observații care fac tabelul memorabil. Prima: valorile lui $\arcsin$ sunt simetrice față de $0$, iar cele ale lui $\arccos$ sunt simetrice față de $\frac{\pi }{2}$ — exact ce prezic imparitatea, respectiv relația $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$. A doua: pe fiecare coloană, suma celor două linii este $\frac{\pi }{2}$. Nu e o coincidență, ci identitatea pe care o demonstrăm imediat.

7. Identitatea fundamentală: $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$

Teoremă. Pentru orice $a\in [-1,1]$ are loc egalitatea

$$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}.$$

Demonstrație. Notăm $\alpha =\arcsin a$; din definiție $\sin \alpha =a$ și $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.

Considerăm numărul $\frac{\pi }{2}-\alpha$ și verificăm pentru el cele două condiții din definiția arccosinusului.

Apartenența la interval: din $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ obținem, înmulțind cu $-1$ și adunând $\frac{\pi }{2}$, că $0\le \frac{\pi }{2}-\alpha \le \pi$. ✓

Valoarea cosinusului: din formulele pentru $\frac{\pi }{2}$ avem $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha =a$. ✓

Cum $\arccos a$ este unicul număr din $[0,\pi ]$ cu cosinusul $a$, rezultă $\arccos a=\frac{\pi }{2}-\alpha =\frac{\pi }{2}-\arcsin a$, adică exact identitatea din enunț. $■$

Identitatea e de aur în practică: îți permite să calculezi orice arccosinus dacă știi arcsinusul corespunzător (și invers) și transformă multe ecuații care conțin ambele funcții într-una singură. De exemplu, $\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$, fără să mai deschizi tabelul.

8. Compunerile: unde e sigur și unde e capcană

Din relațiile fundamentale ale funcției inverse, $f^{-1}\circ f=1_A$ și $f\circ f^{-1}=1_B$, dar numai pe mulțimile pe care funcțiile au fost definite. Concret:

$$\sin (\arcsin a)=a\text{pentru orice }a\in [-1,1],\cos (\arccos a)=a\text{pentru orice }a\in [-1,1].$$

Aceste două egalități sunt întotdeauna adevărate pe domeniul lor, fiindcă $\arcsin a$ cade prin construcție în intervalul principal. În schimb:

$$\arcsin (\sin x)=x\text{doar daca˘}x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],\arccos (\cos x)=x\text{doar daca˘}x\in [0,\pi ].$$

Aici se pierd cele mai multe puncte. Ia $x=\frac{2\pi }{3}$, care nu e în intervalul principal al sinusului. Atunci $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci

$$\arcsin \left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}\ne \frac{2\pi }{3}.$$

Rezultatul nu e o eroare, ci consecința fidelă a definiției: arcsinusul trebuie să răspundă cu un număr din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, iar $\frac{2\pi }{3}$ nu e acolo. Funcția a returnat „reprezentantul legal" al lui $\frac{2\pi }{3}$ din intervalul principal.

Rețeta de lucru. Când ai de calculat $\arcsin (\sin x)$ cu $x$ în afara intervalului principal, reduci mai întâi la primul cadran: găsești un $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu $\sin t=\sin x$ și răspunzi cu $t$. Pentru $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$, acel $t$ este chiar $\pi -x$, deoarece $\sin (\pi -x)=\sin x$ și $\pi -x$ cade exact în intervalul principal. Analog, pentru $\arccos (\cos x)$ cu $x\in [-\pi ,0]$ răspunsul este $-x$.

Ultima familie de compuneri, foarte utilă: funcția „cealaltă" aplicată unui arc. Fie $\alpha =\arcsin a$; atunci $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, unde cosinusul e nenegativ, deci din formula fundamentală a trigonometriei:

$$\cos (\arcsin a)=\sqrt{1-a^2},\text{și analog}\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}.$$

Radicalul se ia cu semnul plus tocmai pentru că imaginea fiecărei funcții inverse a fost aleasă într-o zonă unde cealaltă funcție are semn constant. Nimic nu e întâmplător în definițiile acestea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori directe și valori cu argument negativ

Calculați $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$ și $\arcsin (-1)$.

Rezolvare. Pentru primul: căutăm $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$; acesta e $\frac{\pi }{4}$, deci $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$.

Pentru al doilea folosim relația demonstrată: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Verificare: $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$ ✓ și $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ ✓.

Pentru al treilea, imparitatea: $\arcsin (-1)=-\arcsin 1=-\frac{\pi }{2}$. $■$

Exemplul 2 — Identitatea în acțiune

Calculați $\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ și apoi $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Rezolvare. Prima sumă este $\frac{\pi }{2}$ instantaneu, prin teoremă — nu are rost să calculezi termenii.

Pentru a doua, notăm $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Din identitate, $\arccos a=\frac{\pi }{2}-\arcsin a$, deci

$$\arccos a-\arcsin a=\frac{\pi }{2}-2\arcsin a=\frac{\pi }{2}-2\cdot \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi .$$

Control direct: $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi }{4}$ și $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$, iar $\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\pi$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Capcana lui $\arcsin (\sin x)$

Calculați $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{6}\right)$ și $\arccos \left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)$.

Rezolvare. Primul: $\frac{5\pi }{6}\notin \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci nu avem voie să „simplificăm". Calculăm cinstit: $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \left(\pi -\frac{5\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, prin urmare

$$\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{6}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}.$$

(Regula rapidă dă același lucru: $\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$.)

Al doilea: $-\frac{\pi }{3}\notin [0,\pi ]$, deci iarăși atenție. Cum $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, avem $\arccos \left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$ — adică $-x$, conform regulii pentru $x\in [-\pi ,0]$. $■$

Exemplul 4 — Compunere mixtă cu triunghi dreptunghic

Calculați $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$ și $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$.

Rezolvare. Notăm $\alpha =\arcsin \frac{3}{5}$, deci $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ și $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$; cum $\frac{3}{5}>0$, de fapt $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Din formula fundamentală,

$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5},$$

semnul plus fiind impus de cadranul întâi. Atunci $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$.

Imaginea mentală care rezolvă instantaneu astfel de exerciții: $\alpha$ este unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic cu cateta opusă $3$ și ipotenuza $5$; cealaltă catetă e $4$ (triunghiul $3$–$4$–$5$), de unde ies toate rapoartele. $■$

Exemplul 5 — Ecuații cu funcții inverse

Rezolvați în $\mathbb{R}$: a) $\arcsin x=\frac{\pi }{3}$; b) $\arccos x=\frac{5\pi }{6}$; c) $\arcsin x=\frac{3\pi }{4}$.

Rezolvare. a) Aplicăm sinusul: $x=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Verificăm condiția de existență: $\frac{\sqrt{3}}{2}\in [-1,1]$ ✓ și $\frac{\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ ✓. Deci $S=\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$.

b) Aplicăm cosinusul: $x=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\frac{5\pi }{6}\in [0,\pi ]$ ✓. Deci $S=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$.

c) Aici nu mai avem soluție! Membrul stâng aparține prin definiție lui $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, iar $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$. Deci $S=\varnothing$. Morala: înainte de a rezolva, verifică dacă valoarea cerută e în imaginea funcției. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Arătați că $\arcsin \frac{3}{5}+\arcsin \frac{4}{5}=\frac{\pi }{2}$.

Rezolvare. Notăm $\alpha =\arcsin \frac{3}{5}$ și $\beta =\arcsin \frac{4}{5}$; ambele sunt în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci suma lor este în $(0,\pi )$.

Din Exemplul 4, $\cos \alpha =\frac{4}{5}$; analog, $\cos \beta =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$. Observăm deci că $\cos \beta =\sin \alpha$ și $\sin \beta =\cos \alpha$.

Folosim formula pentru cosinusul sumei:

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}-\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=0.$$

Singurul număr din intervalul $(0,\pi )$ cu cosinusul zero este $\frac{\pi }{2}$, deci $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$. $■$

(Verificare numerică: $\arcsin 0,6\approx 0,6435$ și $\arcsin 0,8\approx 0,9273$; suma $\approx 1,5708\approx \frac{\pi }{2}$ ✓.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie explicit intervalul în care trebuie să cadă răspunsul — jumătate dintre greșeli dispar doar din acest reflex.

1. Calculează $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\arcsin (-1)$ și $\arccos 0$.

2. Calculează $\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ fără să calculezi separat termenii. Justifică.

3. Calculează $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ și $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, folosind proprietățile de simetrie.

4. Calculează $\sin \left(\arcsin 0,4\right)$ și $\arcsin \left(\sin \frac{\pi }{5}\right)$. Explică de ce ambele „se simplifică".

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ are loc $\arcsin (\sin x)=x$."

6. Calculează $\cos \left(\arcsin \frac{5}{13}\right)$.

7. Calculează $\sin \left(\arccos \left(-\frac{5}{13}\right)\right)$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\arcsin x=\frac{\pi }{6}$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\arccos x=\frac{2\pi }{3}$.

10. Ordonează crescător numerele $\arcsin 0,3$, $\arcsin 0,7$ și $\arcsin (-0,2)$, fără calculator. Ce proprietate ai folosit?

11. Demonstrează că $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$ pentru orice $a\in [-1,1]$.

12. (Problemă aplicată.) Un tobogan are lungimea de $5$ m și coboară o diferență de nivel de $2,5$ m. Ce unghi face cu orizontala? Dar dacă diferența de nivel ar fi de $3$ m, ce ai putea spune despre unghi fără calculator?

13. Calculează $\arcsin \left(\sin \frac{7\pi }{6}\right)$ și $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right)$.

14. Calculează $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{4}{5}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $\arccos \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5}=\frac{\pi }{2}$.

16. Demonstrează identitatea $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a\in [-1,1]$.

17. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\arcsin x=\arccos x$.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\arccos x=2\arcsin x$.

Răspunsuri și explicații

1. $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ (e în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ și are sinusul $\frac{\sqrt{2}}{2}$); $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ (e în $[0,\pi ]$ și are cosinusul $\frac{\sqrt{2}}{2}$); $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$; $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$. Faptul că primele două coincid nu e o regulă — e specific valorii $\frac{\sqrt{2}}{2}$, singura pentru care $\arcsin$ și $\arccos$ dau același rezultat (suma lor fiind $\frac{\pi }{2}$).

2. $\frac{\pi }{2}$, prin identitatea $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$, valabilă pentru orice $a\in [-1,1]$, în particular pentru $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$; $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi }{3}$ (imparitate). Control: suma lor este $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ ✓.

4. $\sin (\arcsin 0,4)=0,4$, pentru că $0,4\in [-1,1]$, adică în domeniul lui $\arcsin$ — această compunere e mereu validă. $\arcsin \left(\sin \frac{\pi }{5}\right)=\frac{\pi }{5}$, pentru că de data aceasta $\frac{\pi }{5}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ (avem $\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$), deci argumentul e deja în intervalul principal.

5. Fals. Egalitatea are loc doar pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Contraexemplu: $x=\frac{3\pi }{4}$ dă $\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{4}\right)=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$. Cauza: imaginea lui $\arcsin$ este $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci rezultatul nu poate fi niciodată $\frac{3\pi }{4}$.

6. Notăm $\alpha =\arcsin \frac{5}{13}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, unde cosinusul e pozitiv. Atunci $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$. (Triunghiul $5$–$12$–$13$.)

7. Notăm $\beta =\arccos \left(-\frac{5}{13}\right)\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, unde sinusul e pozitiv. Deci $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$. Observă că semnul minus al argumentului nu schimbă rezultatul, pentru că $\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$ depinde doar de $a^2$.

8. Aplicăm sinusul: $x=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Cum $\frac{\pi }{6}$ chiar aparține lui $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, soluția e validă: $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

9. $x=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, iar $\frac{2\pi }{3}\in [0,\pi ]$ ✓. Deci $S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

10. $\arcsin (-0,2)<\arcsin 0,3<\arcsin 0,7$. Am folosit stricta monotonie crescătoare a funcției $\arcsin$: ordinea argumentelor $-0,2<0,3<0,7$ se transmite identic valorilor. Nu a fost nevoie de niciun calcul.

11. Fie $\beta =\arccos a$, deci $\cos \beta =a$ și $\beta \in [0,\pi ]$. Numărul $\pi -\beta$ verifică ambele condiții din definiția lui $\arccos$ pentru valoarea $-a$: aparține lui $[0,\pi ]$ (din $0\le \beta \le \pi$ rezultă $0\le \pi -\beta \le \pi$) și are $\cos (\pi -\beta )=-\cos \beta =-a$. Prin unicitatea din definiție, $\arccos (-a)=\pi -\beta$. $■$

12. Sinusul unghiului este $\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$, deci unghiul este $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, adică $30^{\circ }$. Pentru diferența de nivel de $3$ m avem $\sin \alpha =0,6>0,5$; din stricta monotonie a lui $\arcsin$ rezultă $\alpha >\frac{\pi }{6}$, adică unghiul e mai mare de $30^{\circ }$ — și, cum $0,6<\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$, este mai mic de $45^{\circ }$. (Valoarea exactă, $\arcsin 0,6\approx 36,87^{\circ }$, nu se exprimă cu unghiuri remarcabile.)

13. $\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$, deci $\arcsin \left(\sin \frac{7\pi }{6}\right)=\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$. (Regula rapidă: $\frac{7\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$, deci răspunsul e $\pi -\frac{7\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$ ✓.) Apoi $\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{6}\right)=\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$.

14. Cu $\alpha =\arcsin \frac{4}{5}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$: $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$, deci $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$.

15. Metoda 1 (elegantă): din identitatea fundamentală, $\arccos \frac{3}{5}=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{3}{5}$ și $\arccos \frac{4}{5}=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{4}{5}$. Adunând și folosind Exemplul 6:

$$\arccos \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5}=\pi -\left(\arcsin \frac{3}{5}+\arcsin \frac{4}{5}\right)=\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}.$$

Metoda 2 (directă): cu $u=\arccos \frac{3}{5}$, $v=\arccos \frac{4}{5}$, ambele în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, avem $\sin u=\frac{4}{5}$, $\sin v=\frac{3}{5}$, deci $\cos (u+v)=\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}-\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=0$; cum $u+v\in (0,\pi )$, rezultă $u+v=\frac{\pi }{2}$.

16. Fie $\alpha =\arcsin a$, deci $\sin \alpha =a$ și $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Numărul $\frac{\pi }{2}-\alpha$ aparține lui $[0,\pi ]$ (din $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ rezultă $0\le \frac{\pi }{2}-\alpha \le \pi$) și are $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha =a$. Prin unicitate, $\arccos a=\frac{\pi }{2}-\alpha$, adică $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$. $■$

17. Notăm $t$ valoarea comună. Din identitate, $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$, deci $2t=\frac{\pi }{2}$, adică $t=\frac{\pi }{4}$. Din $\arcsin x=\frac{\pi }{4}$ obținem $x=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Verificare: $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ ✓. Deci $S=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

18. Notăm $t=\arcsin x$, cu $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Din identitate, $\arccos x=\frac{\pi }{2}-t$, iar ecuația devine $\frac{\pi }{2}-t=2t$, deci $3t=\frac{\pi }{2}$ și $t=\frac{\pi }{6}$. Cum $\frac{\pi }{6}$ chiar aparține intervalului permis, obținem $x=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

Verificare: $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$ și $2\arcsin \frac{1}{2}=2\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ ✓. Deci $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$. Reține tehnica: substituția $t=\arcsin x$ transformă orice ecuație cu $\arcsin$ și $\arccos$ într-o ecuație algebrică în $t$, cu condiția suplimentară $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.

De reținut

• Funcțiile trigonometrice nu sunt inversabile pe tot domeniul (nu sunt injective, fiind periodice). Le restrângem la un interval pe care sunt strict monotone: $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ pentru sinus, $[0,\pi ]$ pentru cosinus.
• Definiții: $\arcsin a$ este unicul număr din $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cu sinusul $a$; $\arccos a$ este unicul număr din $[0,\pi ]$ cu cosinusul $a$. Ambele au domeniul $[-1,1]$.
• $\arcsin$ este strict crescătoare și impară; $\arccos$ este strict descrescătoare și verifică $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$. Graficele lor se obțin prin simetrie față de prima bisectoare.
• Identitatea de aur: $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $a\in [-1,1]$.
• Compuneri: $\sin (\arcsin a)=a$ și $\cos (\arccos a)=a$ mereu pe $[-1,1]$; dar $\arcsin (\sin x)=x$ numai pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ și $\arccos (\cos x)=x$ numai pentru $x\in [0,\pi ]$. În plus, $\cos (\arcsin a)=\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$.

Greșeli frecvente

• „Simplificarea" oarbă a compunerii. Se scrie $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$, deși rezultatul corect este $\frac{\pi }{3}$. Verifică întotdeauna dacă argumentul e în intervalul principal; dacă nu, redu-l întâi.
• Rezultat în afara imaginii. Se dă ca răspuns $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7\pi }{6}$ — un număr care are într-adevăr sinusul $-\frac{1}{2}$, dar nu e în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Răspunsul corect este $-\frac{\pi }{6}$.
• Confuzia $\arcsin$ cu $\frac{1}{\sin }$. Notația ${\sin }^{-1}$, folosită pe calculatoare, nu înseamnă $\frac{1}{\sin }$, ci funcția inversă. $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, în timp ce $\frac{1}{\sin \frac{1}{2}}\approx 2,09$ — două lucruri complet diferite.
• Aplicarea imparității la $\arccos$. Se scrie $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}$, ceea ce e imposibil: arccosinusul nu ia niciodată valori negative. Regula corectă e $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$, deci $\frac{2\pi }{3}$.
• Ignorarea domeniului $[-1,1]$. Expresii ca $\arcsin 2$ sau $\arccos (-1,5)$ nu au sens. Înainte de orice calcul, verifică dacă argumentul e cuprins între $-1$ și $1$.

Aplică acasă

1. Panta scărilor din casa ta. Măsoară cu ruleta înălțimea unei trepte și adâncimea ei, apoi lungimea „ipotenuzei" (linia oblică a balustradei pe o treaptă). Calculează sinusul unghiului de înclinare ca raport dintre înălțime și lungimea oblică și determină unghiul cu $\arcsin$ (folosește tasta sin⁻¹ de la calculator, setat pe grade). Normativele recomandă între $30^{\circ }$ și $38^{\circ }$ — se încadrează scara ta?

2. Tabelul întors. Ia tabelul valorilor remarcabile ale sinusului și cosinusului și rescrie-l „pe verticală", ca tabel de $\arcsin$ și $\arccos$. Verifică apoi, pe fiecare coloană, că suma celor două valori este exact $\frac{\pi }{2}$. Ai obținut, experimental, identitatea fundamentală a lecției.

3. Detectorul de capcane. Alege cinci numere din afara intervalelor principale — de exemplu $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{4\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$ și $\frac{11\pi }{6}$ — și calculează pentru fiecare $\arcsin (\sin x)$ și $\arccos (\cos x)$. Notează de fiecare dată dacă rezultatul coincide cu $x$ sau nu și de ce. Vei ajunge singur la regulile $\pi -x$ și $-x$.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Funcții trigonometrice inverse și ecuații trigonometrice" din segmentul de specialitate (CS) al programei de matematică-informatică și are un rol dublu: pe de o parte introduce două funcții noi, pe de alta închide un arc început în semestrul întâi, la capitolul de funcții. Ideea centrală nu este „încă o formulă", ci aplicarea concretă a echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate: elevul vede pentru prima dată de ce contează cu adevărat teoria de la lecțiile despre injectivitate, surjectivitate și funcția inversă. Fără restrângerea domeniului, $\arcsin$ pur și simplu nu ar exista.

Întrebări bune de control: „De ce nu are sinusul inversă pe $\mathbb{R}$?" (nu e injectiv, fiind periodic); „Care este imaginea funcției $\arccos$?" ($[0,\pi ]$ — răspunsul nu e niciodată negativ); „Cât face $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ și de ce nu $\frac{2\pi }{3}$?"; „Cum calculezi $\arccos (-a)$ dacă știi $\arccos a$?". Semne că a înțeles: își scrie singur, înainte de calcul, intervalul în care trebuie să cadă răspunsul; nu aplică niciodată imparitatea la $\arccos$; recunoaște imediat că $\arcsin 3$ nu are sens.

La Bacalaureatul M1, aceste funcții apar în două ipostaze. Prima, direct: calculul unor expresii de tipul $\arcsin a+\arccos b$, $\cos (\arcsin a)$ sau demonstrarea unor egalități ca cea din Exemplul 6. A doua, indirect, dar mult mai frecvent: ca limbaj obligatoriu pentru scrierea soluțiilor ecuațiilor trigonometrice, subiect care apare aproape în fiecare sesiune. Un elev care nu stăpânește definițiile de aici nu va putea scrie corect mulțimea soluțiilor la lecția despre ecuații trigonometrice elementare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă arcsin de a, mai exact? Este unicul număr real din intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ al cărui sinus este $a$. Ambele părți contează: valoarea sinusului trebuie să fie $a$, iar rezultatul trebuie să fie în intervalul principal. Din acest motiv, $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, nu $\frac{5\pi }{6}$, deși ambele numere au sinusul $\frac{1}{2}$.

De ce restrângem domeniul funcției sinus? Pentru că pe tot $\mathbb{R}$ sinusul nu este injectiv: fiind periodic, ia aceeași valoare pentru o infinitate de argumente. O funcție inversă trebuie să răspundă cu un singur număr, deci trebuie să alegem dinainte o zonă în care sinusul urcă o singură dată de la $-1$ la $1$. Aceea este $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.

Care este diferența dintre arcsin și arccos ca interval de valori? $\arcsin$ ia valori în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, deci poate da rezultate negative; $\arccos$ ia valori în $[0,\pi ]$, deci rezultatul lui nu este niciodată negativ. Domeniul e același pentru amândouă: $[-1,1]$.

Cât face arcsin de sin de x? Este $x$ numai dacă $x$ aparține intervalului $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. În rest trebuie să reduci: pentru $x\in \left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ răspunsul este $\pi -x$. De exemplu, $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}$.

Cum demonstrez că arcsin a plus arccos a este pi supra doi? Notezi $\alpha =\arcsin a$ și arăți că numărul $\frac{\pi }{2}-\alpha$ îndeplinește exact cele două condiții din definiția lui $\arccos a$: aparține lui $[0,\pi ]$ și are cosinusul $a$ (din formula $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$). Prin unicitate, $\arccos a=\frac{\pi }{2}-\arcsin a$.

Se poate calcula arcsin 2? Nu, expresia nu are sens. Domeniul funcției $\arcsin$ este $[-1,1]$, pentru că sinusul nu depășește niciodată aceste limite: nu există niciun număr real cu sinusul $2$. Același lucru e valabil pentru $\arccos$.

Cum calculez cosinus de arcsin de a fără calculator? Folosești formula $\cos (\arcsin a)=\sqrt{1-a^2}$, cu semnul plus. Justificarea: $\arcsin a$ se află în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, interval pe care cosinusul este nenegativ, deci din ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ radicalul se ia pozitiv. De exemplu, $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}$.

La ce îmi folosesc funcțiile arcsin și arccos? În primul rând la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice: fără ele nu poți scrie mulțimea soluțiilor ecuației $\sin x=a$ atunci când $a$ nu e o valoare remarcabilă. Apoi, în orice problemă practică unde cunoști un raport de lungimi și vrei unghiul: pante de rampe și acoperișuri, unghiul de înclinare al panourilor solare, navigație, robotică, grafică pe calculator.