Conjugatul unui număr complex: formulă

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Conjugatul păstrează partea reală și schimbă semnul părții imaginare; geometric, este simetricul lui $z$ față de axa reală. Produsul $z\bar{z}=a^2+b^2$ este întotdeauna un număr real nenegativ, nul doar pentru $z=0$ — de aici pornește toată tehnica împărțirii. Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$, $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$, $\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$. Criterii: $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$, iar $z$ este pur imaginar sau nul $⟺\bar{z}=-z$.

Exemplu: Pentru $z=3+4i$: $\bar{z}=3-4i$, $z+\bar{z}=6$, iar $z\bar{z}=9+16=25$. • $\overline{(2+i)(1-3i)}=(2-i)(1+3i)$. • $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$ și $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$.