Puterile unității imaginare: formulă

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$. Ca să afli $i^n$, împarți exponentul $n$ la $4$ și te uiți doar la rest: restul $0$ dă $1$, restul $1$ dă $i$, restul $2$ dă $-1$, restul $3$ dă $-i$. Regula merge și la exponenți negativi, cu restul luat nenegativ. Consecință utilă: orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$.

Exemplu: $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}=-1$; iar $i^{2027}=-i$. • $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$. • $\frac{1}{i}=\frac{i^3}{i^4}=i^3=-i$.