Modulul unui număr complex: formulă

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Modulul este distanța de la origine până la punctul care îl reprezintă pe $z$ în plan, deci un număr real nenegativ, nul doar pentru $z=0$. Proprietăți multiplicative, foarte utile la calcule lungi: $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ și $\left|z^n\right|=|z{|}^n$. Simetrii: $|z|=|\bar{z}|=|-z|$. Capcană: la adunare nu există egalitate, ci doar inegalitatea triunghiului, $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$.

Exemplu: $|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$. • $|1+i|=\sqrt{2}$, deci $\left|(1+i{)}^8\right|={\left(\sqrt{2}\right)}^8=16$ — și, într-adevăr, $(1+i{)}^8=16$. • Egalitatea $|z-2|=3$ descrie cercul de centru $(2,0)$ și rază $3$.