Forma trigonometrică: formulă

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$r=|z|>0$ este modulul, iar $\phi =\arg z\in [0,2\pi )$ este argumentul redus — unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric. Invers, $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$. Stabilește întâi cadranul, din semnele lui $a$ și $b$, și abia apoi argumentul: este cel mai bun control al răspunsului. Capcană: numărul $0$ are modul $0$, dar nu are argument, deci nu are formă trigonometrică.

Exemplu: $z=1+i$: $r=\sqrt{2}$, iar din $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$ (cadranul I) rezultă $\phi =\frac{\pi }{4}$, deci $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$. • $z=-1+i\sqrt{3}$: $r=2$, cadranul II, $\phi =\frac{2\pi }{3}$.